¨Ubungsblatt 1

Übungsblatt 1
zur Vorlesung
Theorie 5 – Klassische Feldtheorie“
”
im Sommersemester 2013
Dozent: Jun.-Prof. Harvey B. Meyer
Abgabetermin: Montag, 22.04.2013, 13:00
1. Beispielverifikation der Sätze von Stokes und Gauss
(a) (3 P.) Verifizieren Sie den Satz von Stokes für das Vektorfeld
A = (4β −1 x − 2α −1 y)e x + (βy − α −1 x)e y
und die Fläche
Σ =
{ ( x
) 2 ( }
y 2
r ∈ R 3 : + ≤ 1 und z = 1
β α)
durch explizite Berechnung beider Seiten der Gleichung.
(b) (3 P.) Verifizieren Sie den Gauß’schen Integralsatz für das Vektorfeld
und das Gebiet
V = a(xe x + ye y ) + bze z
Ω = { r ∈ R 3 : |r| 2 ≤ R 2}
durch explizite Berechnung beider Seiten der Gleichung.
2. (6 P.) Parabolische Zylinderkoordinaten
Parabolische Zylinderkoordinaten (u, v, z) im R 3 sind durch
x 1 = 1 2 (u2 − v 2 )
x 2 = uv
x 3 = z
definiert. Geben Sie das Volumenelement sowie den Laplace-Operator in parabolischen
Zylinderkoordinaten an.

3. (8 P.) Greensche Funktion des Laplace-Operators
Die Diracsche δ-Distribution in d Dimensionen sei (formell) definiert über die Eigenschaften
∫
δ (d) (x) = 0 fürx ≠ 0
R d d d x δ (d) (x)f(x) = f(0)
für f ∈ C ∞ (R d ), supp(f) ⊂ R d kompakt. Zeigen Sie unter Verwendung dieser Definition
und der Annahme, daß der Gaußsche Integralsatz auch in d Dimensionen analog gilt,
daß für
{ 1
(2−d)Ω
G d (x) =
d
|x| 2−d , d ≠ 2
log |x|, d = 2
1
2π
(wobei Ω d = vol d−1 (S d−1 ) das (d − 1)-dimensionale Maß der Einheitssphäre S d−1 ⊂ R d
sei)
∆G d (x) = δ (d) (x)
gilt.