6. Verschiebungsansätze - Umwelt-Campus Birkenfeld

Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier 

Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 

6. Verschiebungsansätze 


Mit Hilfe der Verschiebungsansätze werden die Elementsteifigkeitsmatrix, 

die Verzerrungen und daraus abgeleitet die Dehnungen und Spannungen 

ermittelt. 

Die Steifigkeitsmatrizen einfacher Elemente (Stab-, Balken- und Dreieckselemente) 

können noch elementar aus den Gleichgewichts- und 

Verformungsbedingungen der Mechanik gewonnen werden. 

Für Scheiben- und Plattenelemente sowie für Volumenelemente lassen 

sich die zugehörigen Steifigkeitsmatrizen nur über Näherungsverfahren 

aus den Verschiebungsansätzen ermitteln. 

Eine besondere Rolle spielen dabei Ansatzfunktionen und die daraus 

abgeleiteten Formfunktionen, mit denen die kontinuierlichen 

Verformungen des Elements durch die diskreten Verschiebungen der 

Knoten ausgedrückt werden. 

1



6.1 Ansatzfunktionen 

Der Zusammenhang zwischen der kontinuierlichen Verformungen ui (x,y,z) 

im Inneren eines Elements und den diskreten Knotenverschiebungen uj wird 

durch sog. Ansatzfunktionen hergestellt. 

u 1 

1 

y 

F 1 

z x 


3 

F 3 

u 3 

F 2 

u 2 

2 

Elementverformungen: 

u i (x,y,z)=f(u j ) 

i=x,y,z Richtungen 

j=1,2,...m Knotenverschiebungen 

m=k·n Element-FHG´s 

k Knotenanzahl 

n Knoten-FHG´s 

Für jede Verformung u x , u y und u z wird eine Ansatzfunktion in Abhängigkeit 

der Summe aller Freiheitsgrade m der Elementknoten benötigt. 

2



Verschiebungsansätze haben folgenden Bedingungen zu genügen: 

1. Die Ansatzfunktion muss Konstantglieder enthalten 

Damit wird gewährleisten, das bei Verkleinerung der Elemente die 

Verformungen und Spannungen gegen konstante Werte konvergieren. 

2. Es dürfen keine Verformungen oder Spannungen im Element 

infolge Starrkörperbewegungen auftreten 


F 

Spannungsfreies Element 

unter Starrkörpertranslation 

und Rotation 

Ansatzfunktionen, die o. g. Bedingungen erfüllen, werden als vollständig 

bezeichnet. 

3



3. Die Ansatzfunktion muss invariant gegenüber Koordinatentransformation 

sein (Isotropie) 

Verformungen und Spannungen dürfen sich beim Übergang von 

einem Koordinatensystem zu einem anderen nicht ändern 

4. Die Ansatzfunktion muss im Inneren und entlang der Ränder 

kontinuierliche Verschiebungen gewährleisten (Kompatibilität) 

5 

1 


4 

2 

u 4 

u 2 

3 

Keine Klaffung Überlappung an an 

gemeinsamen Rändern 

Bei kompatiblen Elementen wird die Verformungen entlang der Ränder nur 

durch die Verschiebungen der zugehörigen Randknoten definiert. 

4

erfüllen. 



Die Forderungen lassen sich durch gut vollständige Polynome in der Form 

u( 

x, 

y, 

z) 


q 

= 

i= 

1 

c 

i 

⋅ 

x 

j 

⋅ 

y 

k 

⋅ 

z 

l 

, 

j, 

k , l 

= 

0, 

1, 

2,..., 

Für ein- und zweidimensionale Elemente ergibt sich deren Aufbau aus 

dem Pascal´schen Dreieck: 

1 

Polynomgrad p 

x y 

x 2 xy y 2 

x 3 x 2 y xy 2 y 3 

x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 xy 4 

Ein Polynom ist vollständig, wenn alle im Dreieck aufgeführten Therme bis 

zum Polynomgrad p im Ansatz auftreten. 

p 

= 

1 

2 

3 

4 

j 

+ 

k 

+ 

l 

5



Man unterscheidet nach dem Grad p des Polynoms zwischen 


• linearen Ansatzfunktionen (p = 1) 

• quadratischen Ansatzfunktionen (p = 2) und 

• kubischen Ansatzfunktionen (p = 3) usw. 

Mit steigendem Polynomgrad p der verwendeten Elemente verbessert sich 

die Qualität der Ergebnisse (Verformung und Spannung). 

Linearer Ansatz 

u z (x,y) 

F 

Quadratischer Ansatz 

u z (x,y) 

Da der Berechnungsaufwand jedoch stark zunimmt, werden Elemente 

mit einem Polynomgrad p > 5 werden eher selten verwendet. 

F 

6



Je nach Anzahl der unabhängigen Variablen ergeben sich: 

• eindimensionale Ansatzfunktionen u i (x) = f(u j ) 


Stabelement 

u x(x) 

Balkenelement 

u z(x) 

• zweidimensionale Ansatzfunktionen u i (x,y) = f(u j ) 

Scheibenelement 

• dreidimensionale Ansatzfunktionen u i (x,y,z) = f(u j ) 

Tetraederelement 

u x(x,y) 

u y(x,y) 

Plattenelement 

u z(x,y) 

u x(x,y,z) 

u y(x,y,z) 

u z(x,y,z) 

Schalenelement 

u x(x,y) 

u y(x,y) 

u z(x,y) 

Hexaederelement 

7



Die Konstanten c i in den Ansatzfunktionen sind unbekannt und müssen 

aus der Geometrie des Elements und den Knotenverschiebungen 

und Verdrehungen bestimmt werden. 

Die Anzahl der Konstanten c i in den Ansatzfunktionen eines 

Elements muss mit der Anzahl m der unabhängigen Knotenfreiheitsgrade 

übereinstimmen. 

Damit sind vollständige Polynome als Ansatzfunktion nur für eindimensionale 

Elemente sowie für zweidimensionale Dreieck-Scheibenelemente 

und dreidimensionale Tetraederelemente zu realisieren. 

Für Viereck-Scheibenelemente und Hexaederelemente lassen sich 

kompatible Ansätze auf der Basis unvollständiger Polynome finden. 

Für Platten- und Schalenelemente, bei denen zusätzlich translatorische 

Verschiebungen aus Knotenrotationen zu berücksichtigen sind, können 

jedoch die Kompatibilitätsforderung nicht mehr vollständig eingehalten 

werden (inkompatible Elemente). 


8



Mit dem Pascal´schen Dreieck lassen sich somit für die Elemente die 

erforderlichen Verschiebungsansätze formulieren: 

Stabelement: 

Linearer Ansatz: u x (x) = c 1 + c 2 ·x 

Balkenelement: 


u 1x 

u 1y 

u 1z 

r 1z 

Kubischer Ansatz: u y (x) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·x 2 + c 4 ·x 3 

r 1y 

u 2z 

r 2z 

u 2x 

u 2y 

r 2y 

u z (x) = c 5 + c 6 ·x + c 7 ·x 2 + c 8 ·x 3 

z 

y 

x 

9



Dreieck-Scheibenelement: 

1 

x y 

x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 1 

x y 

x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 z 

y 


x 

u 1x 

u 6x 

u 1y 

u 6y 

u 3x 

u 4y 

u 2y 

u 5y 

u 4x 

Vollständiger ux (x,y) = c1 + c2 ·x + c3 ·y 

linearer Ansatz: uy (x,y) = c4 + c5 ·x + c6 ·y 

Vollst. quadra- u x (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·x 2 + c 5 ·xy + c 6 ·y 2 

tischer Ansatz: u y (x,y) = c 7 + c 8 ·x + c 9 ·y + c 10 ·x 2 + c 11 ·xy + c 12 ·y 2 

u 5x 

u 2y 

u 2x 

10



Rechteck-Scheibenelement: 

1 

x y 


x y 

x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 z 

y 


x 

u 8x 

u 1x 

u 4x 

u 4y 

u 8y 

u 1y 

Bilinearer u x (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·xy 

Ansatz: u y (x,y) = c 5 + c 6 ·x + c 7 ·y + c 8 ·xy 

Serendipity u x (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·x 2 + c 5 ·xy + c 6 ·y 2 + c 7 ·x 2 y + c 8 ·xy 2 

Ansatz: u y (x,y) = c 9 + c 10 ·x + c 11 ·y + c 12 ·x 2 + c 13 ·xy + c 14 ·y 2 + c 15 ·x 2 y + c 16 ·xy 2 

Die Ansätze bilden unvollständige Polynome, erfüllen aber die Stetigkeitsanforderung 

an den Rändern. 

u 7y 

u 5y 

u 7x 

u 5x 

u 3y 

u 6y 

u 2y 

u 3x 

u 6x 

u 2x 

11



Dreieck-Plattenelement: 

1 

x y 


x y 

x2 xy y2 x3 x2y+xy2 y3 z 

y 

x 

Zur Beschreibung der Durchbiegung ist ein vollständiges Polynom 3. 

Grades notwendig. Für die 10 Konstanten des kubischen Ansatzes stehen 

nur 9 Knotenfreiheitsgrade zu Verfügung. Es müssen zwei Koeffizienten 

zusammengefasst werden: 

u y (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·x 2 + c 4 ·x·y + c 6 ·y 2 + c 7 ·x 3 + c 8 ·(x 2 y + xy 2 ) + c 9 ·y 3 

Das Element erfüllt die Stetigkeitsanforderung an den Rändern nicht exakt, 

hat sich aber in der Praxis bewährt. 


r 1z 

r 1x r 2x 

u 1y 

r 2z 

u 2y 

u 3y 

r 3z 

r 3x 

12



Rechteck-Plattenelement: 

1 

x y 

x 2 xy y 2 

x 3 x 2 y xy 2 y 3 

x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4 

z 

y 

x 

Gewählt wird ein unvollständiges Polynom 4. Grades: 

u y (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·x 2 + c 4 ·x·y + c 6 ·y 2 + c 7 ·x 3 

+ c 8 ·x 2 y + c 9 ·xy 2 + c 10 ·y 3 + c 11 ·x 3 y + c 12 ·xy 3 

Auch dieses Element erfüllt die Stetigkeitsanforderung an den Rändern 

nicht exakt. 


r 1z 

u 1y 

r 4z 

u 4y 

r 4x 

r 1x r 2x 

r 2z 

u 2y 

u 3y 

r 3z 

r 3x 

13


Finite-Elemente Methoden (FEM) 

u3y u4z Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 

u4x u8y u8z u10x u9x u9z u8x u3z y 

x 

u1x u1z u10z u10y u5x u 

u 5z 

1y 

u7x u7z u5y u9y u6x u6z u7y u6y u2x u2z u2y u3y u3x Tetraeder-Element: 

z 

Vollständiger 

linearer 

Ansatz: 

Vollständiger 

quadratischer 

Ansatz: 


u x (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·z 

u y (x,y) = c 5 + c 6 ·x + c 7 ·y + c 8 ·z 

u z (x,y) = c 9 + c 10 ·x + c 11 ·y + c 12 ·z 

u x (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·z + c 5 ·x 2 + c 6 ·xy + ... + c 10 ·z 2 

u y (x,y) = c 11 + c 12 ·x + c 13 ·y + c 14 ·z + c 15 ·x 2 + c 16 ·xy + ... + c 20 ·z 2 

u z (x,y) = c 21 + c 22 ·x + c 23 ·y + c 24 ·z + c 25 ·x 2 + c 26 ·xy + ... + c 30 ·z 2 

14

Hexaeder-Element: 

z 



y 

x 

u8y u8z u u 

15y 

7y 

u15z u u 

16y 

7z 

u8x u u14y 15x 

u u 

16x 

u 7x 

u 14x 

u16z 13y 

u 

u13x u u 

6x 

14z 

5x 

u u20y u20z 19z 

u u 

5z 5y u13z u u 

6z 6y u19x u17x u u u18x 20x 

11z u19y u12y u u 

u u 4z 11y u 3z 

17z 

18z u10y u17y u 

u u 4x u11xu 18y 

u12x 10x 

3x 

u u 

1x 

4y u9x u3y u12z u2x u10z u u 

1z u 9y 

9z u2z u1y u2y Trilinearer 

Ansatz: 

Serendipity 

Ansatz: 


u x (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·z + c 5 ·xy + c 6 ·yz + c 7 ·xz + c 8 ·xyz 

u y (x,y) = c 9 + c 10 ·x + c 11 ·y + c 12 ·z + c 13 ·xy + c 14 ·yz + c 15 ·xz + c 16 ·xyz 

u z (x,y) = c 17 + c 18 ·x + c 19 ·y + c 20 ·z + c 21 ·xy + c 22 ·yz + c 23 ·xz + c 24 ·xyz 

u x (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·z + c 5 ·x 2 + c 6 ·xy + ... + c 20 ·z 2 

u y (x,y) = c 21 + c 22 ·x + c 23 ·y + c 24 ·z + c 15 ·x 2 + c 16 ·xy + ... + c 40 ·z 2 

u z (x,y) = c 41 + c 42 ·x + c 43 ·y + c 44 ·z + c 45 ·x 2 + c 46 ·xy + ... + c 60 ·z 2 

15



6.2 Formfunktionen 

Werden die Konstanten c i in den Ansatzfunktionen durch Einsetzen der 

Knotenverschiebungen eliminiert, lässt sich die kontinuierliche Elementverformung 

u i (x,y,z) als Summe der Produkte aus Formfunktionen 

N ik (x,y,z) und diskreten Knotenverschiebungen u j des Elements 

ausdrücken. 

Es gilt: 

Die Formfunktion ist unabhängig von den Knotenverschiebungen. Sie kann 

als Einheitsverformung über dem Element angesehen werden. 


k= 1 

oder in Matrixschreibweise 

{u(x,y,z)} = [N(x,y,z)] · {u} 

n 

u i (x,y,z) = N ik (x,y,z) · u j 

i = x,y,z 

j = 1,2,...m FHG´s 

k= 1,2,...n Knoten 

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Formfunktionen besitzen folgende Eigenschaften: 

• Je Verformungsrichtung i = x,y,z eines Elements existiert für jeden 

Elementknoten k genau eine Formfunktion N ik (x,y,z). 

• Die Formfunktionen N ik (x,y,z) besitzen im Knoten mit dem Index k den 

Wert 1 und liefern in allen anderen Knoten den Wert null. 

N 

1 

1 

• Die Formfunktionen geben den Anteil aus den Verschiebungen eines 

Knotens an der Elementverformung wieder. 


N i1 (x,y) 

2 

3 

N i2 (x,y) 3 

1 

N 

2 

1 

1 

N i3 (x,y) 

2 

N 

1 

3 

17

6. Verschiebungsansätze - Umwelt-Campus Birkenfeld

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