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6. Verschiebungsansätze - Umwelt-Campus Birkenfeld

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<strong>Umwelt</strong>-<strong>Campus</strong> <strong>Birkenfeld</strong> der Fachhochschule Trier<br />

Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

Mit Hilfe der <strong>Verschiebungsansätze</strong> werden die Elementsteifigkeitsmatrix,<br />

die Verzerrungen und daraus abgeleitet die Dehnungen und Spannungen<br />

ermittelt.<br />

Die Steifigkeitsmatrizen einfacher Elemente (Stab-, Balken- und Dreieckselemente)<br />

können noch elementar aus den Gleichgewichts- und<br />

Verformungsbedingungen der Mechanik gewonnen werden.<br />

Für Scheiben- und Plattenelemente sowie für Volumenelemente lassen<br />

sich die zugehörigen Steifigkeitsmatrizen nur über Näherungsverfahren<br />

aus den <strong>Verschiebungsansätze</strong>n ermitteln.<br />

Eine besondere Rolle spielen dabei Ansatzfunktionen und die daraus<br />

abgeleiteten Formfunktionen, mit denen die kontinuierlichen<br />

Verformungen des Elements durch die diskreten Verschiebungen der<br />

Knoten ausgedrückt werden.<br />

1


<strong>Umwelt</strong>-<strong>Campus</strong> <strong>Birkenfeld</strong> der Fachhochschule Trier<br />

Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />

<strong>6.</strong>1 Ansatzfunktionen<br />

Der Zusammenhang zwischen der kontinuierlichen Verformungen ui (x,y,z)<br />

im Inneren eines Elements und den diskreten Knotenverschiebungen uj wird<br />

durch sog. Ansatzfunktionen hergestellt.<br />

u 1<br />

1<br />

y<br />

F 1<br />

z x<br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

3<br />

F 3<br />

u 3<br />

F 2<br />

u 2<br />

2<br />

Elementverformungen:<br />

u i (x,y,z)=f(u j )<br />

i=x,y,z Richtungen<br />

j=1,2,...m Knotenverschiebungen<br />

m=k·n Element-FHG´s<br />

k Knotenanzahl<br />

n Knoten-FHG´s<br />

Für jede Verformung u x , u y und u z wird eine Ansatzfunktion in Abhängigkeit<br />

der Summe aller Freiheitsgrade m der Elementknoten benötigt.<br />

2


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Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />

<strong>Verschiebungsansätze</strong> haben folgenden Bedingungen zu genügen:<br />

1. Die Ansatzfunktion muss Konstantglieder enthalten<br />

Damit wird gewährleisten, das bei Verkleinerung der Elemente die<br />

Verformungen und Spannungen gegen konstante Werte konvergieren.<br />

2. Es dürfen keine Verformungen oder Spannungen im Element<br />

infolge Starrkörperbewegungen auftreten<br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

F<br />

Spannungsfreies Element<br />

unter Starrkörpertranslation<br />

und Rotation<br />

Ansatzfunktionen, die o. g. Bedingungen erfüllen, werden als vollständig<br />

bezeichnet.<br />

3


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3. Die Ansatzfunktion muss invariant gegenüber Koordinatentransformation<br />

sein (Isotropie)<br />

Verformungen und Spannungen dürfen sich beim Übergang von<br />

einem Koordinatensystem zu einem anderen nicht ändern<br />

4. Die Ansatzfunktion muss im Inneren und entlang der Ränder<br />

kontinuierliche Verschiebungen gewährleisten (Kompatibilität)<br />

5<br />

1<br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

4<br />

2<br />

u 4<br />

u 2<br />

3<br />

Keine Klaffung Überlappung an an<br />

gemeinsamen Rändern<br />

Bei kompatiblen Elementen wird die Verformungen entlang der Ränder nur<br />

durch die Verschiebungen der zugehörigen Randknoten definiert.<br />

4


erfüllen.<br />

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Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />

Die Forderungen lassen sich durch gut vollständige Polynome in der Form<br />

u(<br />

x,<br />

y,<br />

z)<br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

q<br />

=<br />

i=<br />

1<br />

c<br />

i<br />

⋅<br />

x<br />

j<br />

⋅<br />

y<br />

k<br />

⋅<br />

z<br />

l<br />

,<br />

j,<br />

k , l<br />

=<br />

0,<br />

1,<br />

2,...,<br />

Für ein- und zweidimensionale Elemente ergibt sich deren Aufbau aus<br />

dem Pascal´schen Dreieck:<br />

1<br />

Polynomgrad p<br />

x y<br />

x 2 xy y 2<br />

x 3 x 2 y xy 2 y 3<br />

x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 xy 4<br />

Ein Polynom ist vollständig, wenn alle im Dreieck aufgeführten Therme bis<br />

zum Polynomgrad p im Ansatz auftreten.<br />

p<br />

=<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

j<br />

+<br />

k<br />

+<br />

l<br />

5


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Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />

Man unterscheidet nach dem Grad p des Polynoms zwischen<br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

• linearen Ansatzfunktionen (p = 1)<br />

• quadratischen Ansatzfunktionen (p = 2) und<br />

• kubischen Ansatzfunktionen (p = 3) usw.<br />

Mit steigendem Polynomgrad p der verwendeten Elemente verbessert sich<br />

die Qualität der Ergebnisse (Verformung und Spannung).<br />

Linearer Ansatz<br />

u z (x,y)<br />

F<br />

Quadratischer Ansatz<br />

u z (x,y)<br />

Da der Berechnungsaufwand jedoch stark zunimmt, werden Elemente<br />

mit einem Polynomgrad p > 5 werden eher selten verwendet.<br />

F<br />

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Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />

Je nach Anzahl der unabhängigen Variablen ergeben sich:<br />

• eindimensionale Ansatzfunktionen u i (x) = f(u j )<br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

Stabelement<br />

u x(x)<br />

Balkenelement<br />

u z(x)<br />

• zweidimensionale Ansatzfunktionen u i (x,y) = f(u j )<br />

Scheibenelement<br />

• dreidimensionale Ansatzfunktionen u i (x,y,z) = f(u j )<br />

Tetraederelement<br />

u x(x,y)<br />

u y(x,y)<br />

Plattenelement<br />

u z(x,y)<br />

u x(x,y,z)<br />

u y(x,y,z)<br />

u z(x,y,z)<br />

Schalenelement<br />

u x(x,y)<br />

u y(x,y)<br />

u z(x,y)<br />

Hexaederelement<br />

7


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Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />

Die Konstanten c i in den Ansatzfunktionen sind unbekannt und müssen<br />

aus der Geometrie des Elements und den Knotenverschiebungen<br />

und Verdrehungen bestimmt werden.<br />

Die Anzahl der Konstanten c i in den Ansatzfunktionen eines<br />

Elements muss mit der Anzahl m der unabhängigen Knotenfreiheitsgrade<br />

übereinstimmen.<br />

Damit sind vollständige Polynome als Ansatzfunktion nur für eindimensionale<br />

Elemente sowie für zweidimensionale Dreieck-Scheibenelemente<br />

und dreidimensionale Tetraederelemente zu realisieren.<br />

Für Viereck-Scheibenelemente und Hexaederelemente lassen sich<br />

kompatible Ansätze auf der Basis unvollständiger Polynome finden.<br />

Für Platten- und Schalenelemente, bei denen zusätzlich translatorische<br />

Verschiebungen aus Knotenrotationen zu berücksichtigen sind, können<br />

jedoch die Kompatibilitätsforderung nicht mehr vollständig eingehalten<br />

werden (inkompatible Elemente).<br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

8


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Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />

Mit dem Pascal´schen Dreieck lassen sich somit für die Elemente die<br />

erforderlichen <strong>Verschiebungsansätze</strong> formulieren:<br />

Stabelement:<br />

Linearer Ansatz: u x (x) = c 1 + c 2 ·x<br />

Balkenelement:<br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

u 1x<br />

u 1y<br />

u 1z<br />

r 1z<br />

Kubischer Ansatz: u y (x) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·x 2 + c 4 ·x 3<br />

r 1y<br />

u 2z<br />

r 2z<br />

u 2x<br />

u 2y<br />

r 2y<br />

u z (x) = c 5 + c 6 ·x + c 7 ·x 2 + c 8 ·x 3<br />

z<br />

y<br />

x<br />

9


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Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />

Dreieck-Scheibenelement:<br />

1<br />

x y<br />

x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 1<br />

x y<br />

x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 z<br />

y<br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

x<br />

u 1x<br />

u 6x<br />

u 1y<br />

u 6y<br />

u 3x<br />

u 4y<br />

u 2y<br />

u 5y<br />

u 4x<br />

Vollständiger ux (x,y) = c1 + c2 ·x + c3 ·y<br />

linearer Ansatz: uy (x,y) = c4 + c5 ·x + c6 ·y<br />

Vollst. quadra- u x (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·x 2 + c 5 ·xy + c 6 ·y 2<br />

tischer Ansatz: u y (x,y) = c 7 + c 8 ·x + c 9 ·y + c 10 ·x 2 + c 11 ·xy + c 12 ·y 2<br />

u 5x<br />

u 2y<br />

u 2x<br />

10


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Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />

Rechteck-Scheibenelement:<br />

1<br />

x y<br />

x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 1<br />

x y<br />

x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 z<br />

y<br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

x<br />

u 8x<br />

u 1x<br />

u 4x<br />

u 4y<br />

u 8y<br />

u 1y<br />

Bilinearer u x (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·xy<br />

Ansatz: u y (x,y) = c 5 + c 6 ·x + c 7 ·y + c 8 ·xy<br />

Serendipity u x (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·x 2 + c 5 ·xy + c 6 ·y 2 + c 7 ·x 2 y + c 8 ·xy 2<br />

Ansatz: u y (x,y) = c 9 + c 10 ·x + c 11 ·y + c 12 ·x 2 + c 13 ·xy + c 14 ·y 2 + c 15 ·x 2 y + c 16 ·xy 2<br />

Die Ansätze bilden unvollständige Polynome, erfüllen aber die Stetigkeitsanforderung<br />

an den Rändern.<br />

u 7y<br />

u 5y<br />

u 7x<br />

u 5x<br />

u 3y<br />

u 6y<br />

u 2y<br />

u 3x<br />

u 6x<br />

u 2x<br />

11


<strong>Umwelt</strong>-<strong>Campus</strong> <strong>Birkenfeld</strong> der Fachhochschule Trier<br />

Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />

Dreieck-Plattenelement:<br />

1<br />

x y<br />

x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 1<br />

x y<br />

x2 xy y2 x3 x2y+xy2 y3 z<br />

y<br />

x<br />

Zur Beschreibung der Durchbiegung ist ein vollständiges Polynom 3.<br />

Grades notwendig. Für die 10 Konstanten des kubischen Ansatzes stehen<br />

nur 9 Knotenfreiheitsgrade zu Verfügung. Es müssen zwei Koeffizienten<br />

zusammengefasst werden:<br />

u y (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·x 2 + c 4 ·x·y + c 6 ·y 2 + c 7 ·x 3 + c 8 ·(x 2 y + xy 2 ) + c 9 ·y 3<br />

Das Element erfüllt die Stetigkeitsanforderung an den Rändern nicht exakt,<br />

hat sich aber in der Praxis bewährt.<br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

r 1z<br />

r 1x r 2x<br />

u 1y<br />

r 2z<br />

u 2y<br />

u 3y<br />

r 3z<br />

r 3x<br />

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Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />

Rechteck-Plattenelement:<br />

1<br />

x y<br />

x 2 xy y 2<br />

x 3 x 2 y xy 2 y 3<br />

x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4<br />

z<br />

y<br />

x<br />

Gewählt wird ein unvollständiges Polynom 4. Grades:<br />

u y (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·x 2 + c 4 ·x·y + c 6 ·y 2 + c 7 ·x 3<br />

+ c 8 ·x 2 y + c 9 ·xy 2 + c 10 ·y 3 + c 11 ·x 3 y + c 12 ·xy 3<br />

Auch dieses Element erfüllt die Stetigkeitsanforderung an den Rändern<br />

nicht exakt.<br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

r 1z<br />

u 1y<br />

r 4z<br />

u 4y<br />

r 4x<br />

r 1x r 2x<br />

r 2z<br />

u 2y<br />

u 3y<br />

r 3z<br />

r 3x<br />

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Finite-Elemente Methoden (FEM)<br />

u3y u4z Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />

u4x u8y u8z u10x u9x u9z u8x u3z y<br />

x<br />

u1x u1z u10z u10y u5x u<br />

u 5z<br />

1y<br />

u7x u7z u5y u9y u6x u6z u7y u6y u2x u2z u2y u3y u3x Tetraeder-Element:<br />

z<br />

Vollständiger<br />

linearer<br />

Ansatz:<br />

Vollständiger<br />

quadratischer<br />

Ansatz:<br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

u x (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·z<br />

u y (x,y) = c 5 + c 6 ·x + c 7 ·y + c 8 ·z<br />

u z (x,y) = c 9 + c 10 ·x + c 11 ·y + c 12 ·z<br />

u x (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·z + c 5 ·x 2 + c 6 ·xy + ... + c 10 ·z 2<br />

u y (x,y) = c 11 + c 12 ·x + c 13 ·y + c 14 ·z + c 15 ·x 2 + c 16 ·xy + ... + c 20 ·z 2<br />

u z (x,y) = c 21 + c 22 ·x + c 23 ·y + c 24 ·z + c 25 ·x 2 + c 26 ·xy + ... + c 30 ·z 2<br />

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Hexaeder-Element:<br />

z<br />

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y<br />

x<br />

u8y u8z u u<br />

15y<br />

7y<br />

u15z u u<br />

16y<br />

7z<br />

u8x u u14y 15x<br />

u u<br />

16x<br />

u 7x<br />

u 14x<br />

u16z 13y<br />

u<br />

u13x u u<br />

6x<br />

14z<br />

5x<br />

u u20y u20z 19z<br />

u u<br />

5z 5y u13z u u<br />

6z 6y u19x u17x u u u18x 20x<br />

11z u19y u12y u u<br />

u u 4z 11y u 3z<br />

17z<br />

18z u10y u17y u<br />

u u 4x u11xu 18y<br />

u12x 10x<br />

3x<br />

u u<br />

1x<br />

4y u9x u3y u12z u2x u10z u u<br />

1z u 9y<br />

9z u2z u1y u2y Trilinearer<br />

Ansatz:<br />

Serendipity<br />

Ansatz:<br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

u x (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·z + c 5 ·xy + c 6 ·yz + c 7 ·xz + c 8 ·xyz<br />

u y (x,y) = c 9 + c 10 ·x + c 11 ·y + c 12 ·z + c 13 ·xy + c 14 ·yz + c 15 ·xz + c 16 ·xyz<br />

u z (x,y) = c 17 + c 18 ·x + c 19 ·y + c 20 ·z + c 21 ·xy + c 22 ·yz + c 23 ·xz + c 24 ·xyz<br />

u x (x,y) = c 1 + c 2 ·x + c 3 ·y + c 4 ·z + c 5 ·x 2 + c 6 ·xy + ... + c 20 ·z 2<br />

u y (x,y) = c 21 + c 22 ·x + c 23 ·y + c 24 ·z + c 15 ·x 2 + c 16 ·xy + ... + c 40 ·z 2<br />

u z (x,y) = c 41 + c 42 ·x + c 43 ·y + c 44 ·z + c 45 ·x 2 + c 46 ·xy + ... + c 60 ·z 2<br />

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<strong>Umwelt</strong>-<strong>Campus</strong> <strong>Birkenfeld</strong> der Fachhochschule Trier<br />

Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />

<strong>6.</strong>2 Formfunktionen<br />

Werden die Konstanten c i in den Ansatzfunktionen durch Einsetzen der<br />

Knotenverschiebungen eliminiert, lässt sich die kontinuierliche Elementverformung<br />

u i (x,y,z) als Summe der Produkte aus Formfunktionen<br />

N ik (x,y,z) und diskreten Knotenverschiebungen u j des Elements<br />

ausdrücken.<br />

Es gilt:<br />

Die Formfunktion ist unabhängig von den Knotenverschiebungen. Sie kann<br />

als Einheitsverformung über dem Element angesehen werden.<br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

k= 1<br />

oder in Matrixschreibweise<br />

{u(x,y,z)} = [N(x,y,z)] · {u}<br />

n<br />

u i (x,y,z) = N ik (x,y,z) · u j<br />

i = x,y,z<br />

j = 1,2,...m FHG´s<br />

k= 1,2,...n Knoten<br />

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<strong>Umwelt</strong>-<strong>Campus</strong> <strong>Birkenfeld</strong> der Fachhochschule Trier<br />

Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler<br />

Formfunktionen besitzen folgende Eigenschaften:<br />

• Je Verformungsrichtung i = x,y,z eines Elements existiert für jeden<br />

Elementknoten k genau eine Formfunktion N ik (x,y,z).<br />

• Die Formfunktionen N ik (x,y,z) besitzen im Knoten mit dem Index k den<br />

Wert 1 und liefern in allen anderen Knoten den Wert null.<br />

N<br />

1<br />

1<br />

• Die Formfunktionen geben den Anteil aus den Verschiebungen eines<br />

Knotens an der Elementverformung wieder.<br />

<strong>6.</strong> <strong>Verschiebungsansätze</strong><br />

N i1 (x,y)<br />

2<br />

3<br />

N i2 (x,y) 3<br />

1<br />

N<br />

2<br />

1<br />

1<br />

N i3 (x,y)<br />

2<br />

N<br />

1<br />

3<br />

17

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