Kurzanleitung zum Smith-Diagramm - von Uwe Siart

Kurzanleitungzum Smith-Diagramm ∗
http://www.siart.de/lehre/smishort.pdf
UweSiart
tutorien@siart.de
20.Januar 2014 (Version3.77)
Inhaltsverzeichnis
1. BeschreibungdesSmith-Diagramms 2
2. Arbeitenmit demSmith-Diagramm 3
2.1. Ablesenvon r, z, s undm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Konzentrierte Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. Transformationdurchverlustfreie Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4. Leerlauf undKurzschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5. ImpedanzmessungmitHilfe einer Messleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6. Güte von Reflexionsresonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.7. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A. ZeichneneinesSmith-Diagramms 12
∗ Die Abschnitte 1 und 2 dieses Aufsatzes sind ein Auszug aus: Detlefsen, J.; Siart, U.: Grundlagen der Hochfrequenztechnik.4.
Auflage. München: Oldenbourg, 2012.
1

1. BeschreibungdesSmith-Diagramms
DasSmith-DiagrammstelltdasInneredesEinheitskreisesderReflexionsfaktorebenedar.Alswichtigstes
grafisches Hilfsmittel sind die transformierten Koordinatenlinien aus der Impedanz- bzw.
Admittanzebene eingetragen. Zusätzlich befinden sich am Rand eine Winkelskala und eine Skala
derzugehörigennormiertenLeitungslängel/λ.DerReflexionsfaktorr ergibtsichausdernormiertenImpedanzz=Z/Z
L durchdie Beziehung
r(z)= z−1
z +1 , (1)
wennderBezugswiderstandZ L gleichdemLeitungswellenwiderstandist.DiekonformeAbbildung
(1) transformiert jeden Punktz aus der Impedanzebene eineindeutig in einen Punktr der Reflexionsfaktorebene.Die
Umkehrungder Transformation(1) lautet
z(r)= 1+r
1−r . (2)
DieBilderdergeradenKoordinatenlinienRe{z}=constundIm{z}=constinderReflexionsfaktorebenesindKreise,diealledurchdenPunktr=
1verlaufen.DurchdieTransformation(1)wirddie
rechtez-Halbebene,also alle passiven Impedanzen, vollständig aufdas Innere des Einheitskreises
in der r-Ebene abgebildet. Das Bild des Punktes z→∞ ist der Punkt r = 1. Die unendlich ausgedehnterechtez-HalbebenewirddadurchaufeinenbegrenztenBereichabgebildet.Einweiterer
VorteildieserTransformationistdiebesonderseinfacheDarstellungeinerLeitungstransformation
in der r-Ebene (siehe Abschnitt 2.3). In Abb.1 sind die Bilder einiger z-Koordinatenlinien in der
r-Ebene dargestellt. Die Abbildung (1) ist winkeltreu. Die Koordinatenlinien Re{z}=const und
Im{z}=constschneidensichsowohlinderz-Ebenealsauchinderr-EbeneunterrechtemWinkel
[6, 9].
ImSmith-DiagrammsindeinigeKreiseRe{z}=constundIm{z}=constbereitseingetragen,sodassinderr-EbeneeinKoordinatengitterfürdiezur
gehörigeImpedanzz zurVerfügungsteht.In
Abb.2 sind die Linien Re{z}=const und Im{z}=const getrennt dargestellt. Im Smith-Diagramm
Im{z}
Im{r}
+1
0
+1 +2
Re{z}
1
Re{r}
−1
(a) Impedanzebene
(b) Reflexionsfaktorebene
Abb. 1:EinigeBeispiele fürBilder vonKoordinatenlinien derz-Ebene inderr-Ebene
2

(a)Re{z}=const
(b)Im{z}=const
Abb. 2:Koordinatengitter der Impedanz imSmith-Diagramm
sindbeideLiniengruppenzusammenmitihrerBeschriftungeingetragen.EntsprechendderTatsache,
dass nur der Bereich|r|≤ 1 dargestellt ist, befinden sich im Smith-Diagramm nur die Kreise
für Re{z}≥0 und−∞

|r|= const
r
m
|r|
φ r
s
Abb. 3:Ablesen vonr,s undm
Die Werte Re{z} und Im{z} ergeben unmittelbar den Wert der nach (2) zugehörigen normierten
Impedanzz= Re{z}+jIm{z}.EbensokönnenausdemSmith-DiagrammdasStehwellenverhältnis
s undderAnpassungsfaktorm abgelesenwerden,diemitdemBetragdesReflexionsfaktorsdurch
s= 1 m = 1+|r|
1−|r|
verknüpftsind.FürdenSonderfallIm{r}=0istauchIm{z}=0undfürz≥ 1istr=|r|.Dierechte
Seite von (5) ist dann identisch mit der rechten Seite von (2). In diesem Fall besitzts offenbar den
gleichen Wert wie die zu r gehörige normierte Impedanz z. Ebenso besitztm den gleichen Wert
wie die zu r gehörige Admittanz y. Folglich können die Werte s und m an den Schnittpunkten
des Kreises|r|= const mit der Realteilachse derr-Ebene in denz-Koordinaten abgelesen werden.
Abb.3 verdeutlicht die Vorgehensweise.
2.2. KonzentrierteBauelemente
DurchHinzuschaltenvonkonzentriertenElementenR,L undC werdenderRealteilbzw. derImaginärteilderImpedanz(Admittanz)verändert.EsergebensichVerschiebungenentlangderz-bzw.
y-Koordinatenlinien.HandeltessichdabeiumeineSerienschaltung,dannrechnetmanvorteilhaft
mit der normierten Impedanzz. Bei der Behandlung von Parallelschaltungen wird man die Rechnung
mit der normierten Admittanz y bevorzugen. Die Zusammenschaltung von Bauelementen
ist dann jeweils durch einfache Addition der Impedanzen oder Admittanzen zu behandeln. Der
Übergangzwischen beidenDarstellungsartenerfolgtdurch Punktspiegelungam Ursprung.
InTabelle1istdieVeränderungvonzundydurchdasHinzuschaltenvonBauelementenineiner
Übersicht zusammengestellt. So vergrößert die Serienschaltung einer Induktivität beispielsweise
denImaginärteilderImpedanz,währenderdurchdieSerienschaltungeinerKapazitätverkleinert
wird.Esseinochbetont,dassderRealteilderImpedanzundauchderAdmittanzdurchHinzuschaltenvon
passivenElementenniemals verkleinertwerden kann.
(5)
Element Serienschaltung Parallelschaltung
Re{z} Im{z} Re{y} Im{y}
R ր – ր –
L – ր – ց
C – ց – ր
Tabelle1:Vergrößerung(ր)undVerkleinerung(ց)vonReal-und
Imaginärteil von z und y durch Hinzuschalten von konzentrierten
Bauelementen. –bedeutet »keine Veränderung«
4

L S
z
Serienschaltung
C S
R S
y
R P
C P
L P
Parallelschaltung
Abb. 4:Verschiebungsrichtungen im Smith-Diagramm durch Zuschalten
von konzentriertenBauelementenR,L undC
In Abb.4 sind alle Verschiebungen eingezeichnet, die zu den in Tabelle 1 angegebenen Änderungen
gehören. Die Länge der Verschiebungen ergibt sich aus den normierten Impedanzen bzw.
AdmittanzenderBauelemente,diezurÜbersichtinTabelle2zusammengestelltsind.Anhandvon
Tabelle 2 wird auch deutlich, dass beispielsweise eine Induktivität L eine negativ imaginäre normierteAdmittanzbesitzt.DeshalbwirddurchParallelschaltungeinerInduktivitätderImaginärteil
derAdmittanzverkleinert.AufdieseWeisekönnenalleVerschiebungen,dieinAbb.4eingetragen
sind, leicht nachvollzogen werden. Umgekehrt kann man durch Ablesen der Länge von erforderlichen
Verschiebungen (etwa der Änderung des Imaginärteils) die Werte der hierzu benötigten
Elemente bestimmen.Zur Entnormierungkannebenfallsdie ÜbersichtinTabelle2hilfreichsein.
DiebisherigenErkenntnissekönnenauchzurKonstruktionvonFrequenzgängenherangezogen
werden. Weil in den Werten der Impedanzen und Admittanzen von Blindelementen die Kreisfrequenzω
und die ElementwerteL undC im Produkt stehen, bewirkt eine Erhöhung bzw. ErniedrigungderFrequenzdiegleicheVerschiebungimSmith-DiagrammwieeineErhöhungbzw.ErniedrigungvonLoderC.DahergeltendieinAbb.4dargestelltenTransformationenfürLundC
inder
gleichen Weise auch für die Konstruktion von Ortskurven der Impedanz von Blindelementen mit
der Frequenz f als Kurvenparameter.
Beispiel 1 IneinerTransformationsschaltungmit50-Ω-LeitungenwerdeeinBauelementbenötigt,welchesbeiderBetriebsfrequenz
f = 234MHzdenImaginärteilderAdmittanzum2verkleinert.DasBauelementmussalsodienormierte
Admittanzy=−j2besitzenundparallelgeschaltetwerden.GemäßTabelle2mussessichumeineInduktivitäthandeln.
Die BestimmungsgleichungfürL lautet
−j Z L
ωL =−j2
unddurch Entnormierungergibt sichder Wert
L= Z L
2ω = 50Ω
2·2π·234MHz = 17nH.
Normierung
Element
R L C
z=Z/Z L =
y=YZ L =
R
Z L
Z L
R
jωL
Z L
−j Z L
ωL
1
−j
ωCZ L
jωCZ L
Serienschaltung
Parallelschaltung
Tabelle2:Normierung und Entnormierung
der Impedanzen und Admittanzen
von konzentriertenElementen
5

2.3. TransformationdurchverlustfreieLeitungen
EineverlustfreieLeitungtransformiertdenReflexionsfaktorr 2 anihrenAbschlussklemmendurch
eine einfache Phasendrehung
r 1 =r 2·e −j2βl (6)
in den Reflexionsfaktorr 1 an den Eingangsklemmen. Im Smith-Diagramm erfolgt diese Transformation
durch Drehung um den Winkel−2βl um den Ursprung. In Abb.5 ist dieser Transformationspfaddargestellt.Mit
β= 2π/λ ergibtsichfür denDrehwinkel
−2βl=−4π l λ . (7)
Der normierten Leitungslängel/λ=0,5 entspricht eine Volldrehung im Smith-Diagramm. Eine
Leitung der Längel= λ/2 transformiert wieder in den selben Reflexionsfaktor und damit auch
indieselbeImpedanz.Laut(7)istderDrehwinkelproportionalzurnormiertenLeitungslängel/λ.
Am Rand des Smith-Diagramms ist daher eine weitere Skala fürl/λ angebracht. Sie ist ein nützliches
Hilfsmittel um die Transformation durch eine Leitung einzutragen oder um erforderliche
Leitungslängenabzulesen.ZurBestimmungderphysikalischenLeitungslänge(inm)istdannnur
noch die Entnormierungmitder Wellenlängeλ erforderlich.
Gleichung(6)giltfürdieTransformationvondenAbschlussklemmenzudenEingangsklemmen.
DieDrehungimSmith-DiagrammerfolgtindiesemFallimmathematischnegativenSinnoderim
Uhrzeigersinn.EntsprechendistdieDrehungbeieinerTransformationinRichtungderAbschlussklemmen
entgegen dem Uhrzeigersinn auszuführen. Diese Drehrichtungen sind im Impedanzdiagramm
und im Admittanzdiagramm die gleichen. Der Nullpunkt für diel/λ-Skala ist willkürlich
bei arg{r}=180° gesetzt. Diel/λ-Skala ist als Hilfsmittel zum Ablesen der Differenz gedacht. InsbesonderebeimDurchlaufendesSkalennullpunktsistdaraufzuachten,dassdie
Differenz richtig
abgelesenwird.
2.4. Leerlauf undKurzschluss
Einleerlaufendes(LL)oderkurzgeschlossenes(KS)Leitungsendeistgekennzeichnetdurchunendlich
große oder verschwindende Impedanz oder Admittanz. Dementsprechend befinden sich die
PunktefürLeerlaufundKurzschlussandenPunkten0und∞imSmith-Diagramm.Dabeiistwieder
zu beachten, dass diese Punkte beim Wechsel zwischen Impedanz- und Admittanzdarstellung
ihre Rollenvertauschen.InAbb.6 sind diese Punktezusammenmitdem Punktr= 0eingetragen.
z
y
Abb. 5:TransformationdurchverlustfreieLeitungen
6

z= jX/Z L
y= jBZ L
Abb.6: ZurBehandlungvonkurzgeschlossenenoderleerlaufenden
z= 0(KS)
y= 0(LL)
z= 1
z→∞(LL)
y→∞(KS)
Leitungen mit Hilfedes Smith-Diagramms
Eine wichtige Rolle spielen diese Punkte bei der Dimensionierung von kurzgeschlossenenoder
leerlaufendenStichleitungenmitHilfedesSmith-Diagramms.OffenbarkannmandurchTransformation
eines Kurzschlusses oder eines Leerlaufs über eine Leitung mit einstellbarer Länge jede
beliebigeReaktanzerhalten.ZweckmäßigerweisewirdmanparallelgeschalteteStichleitungenim
Admittanzdiagramm behandeln und in Serie geschaltete Stichleitungen im Impedanzdiagramm.
DieerforderlicheLeitungslängeergibtsichdurchTransformationvomAbschluss(KSoderLL)bis
zur erforderlichenImpedanz oder Admittanz andenEingangsklemmen(Abb.6).
Beispiel 2 Bei der Betriebsfrequenz f = 900MHz soll eine Kapazität von C = 5,3pF durch die Eingangsadmittanz
einer amEndekurzgeschlossenen 50-Ω-Leitung nachgebildet werden. Die normierteAdmittanz dieser Kapazität ist
jωC·Z L = j·2π·900MHz·5,3pF·50Ω=j1,5.
WirdimensionierendieLeitungmitHilfedesAdmittanzdiagramms.DerKurzschlusspunktliegtdaherbeiy→∞rechts
imSmith-Diagramm. Als erforderliche Leitungslängezur Transformationvony→∞bisy E = j1,5lesenwir
l
λ = 0,25+0,1565=0,4065
ab. Handelt es sich dabei beispielsweise um eine mit Teflon (ε r = 2,1) gefüllte Koaxialleitung, so muss die Leitung die
Länge
besitzen 1 .
l= 0,4065λ=0,4065·
c 0
f √ 3·10 8 m/s
= 0,4065·
ε r 900MHz·√2,1 = 93,5mm
2.5. Impedanzmessungmit Hilfe einer Messleitung
Eine Messleitung ist eine Einrichtung zur Abtastung von|U(z)| auf einer Hochfrequenzleitung.
Die wesentlichen Bestandteile einer Messleitung sind eine verschiebbare Feldsonde, ein Detektor
miteinerSpannungsanzeigeundeinegenaueLängenskala.DieSondeisteinkapazitiverStift,der
in das elektrische Feld der Leitung eintaucht und so ein der Leitungsspannung|U(z)| proportionales
Signal liefert. Mit Kenntnis des Verlaufes|U(z)| (genauer: der Lage der Minima von|U(z)|)
und durch eine Referenzmessung kann die AbschlussimpedanzZ A der Leitung bestimmt werden.
Dieses Verfahrensollim Folgendennäher erläutertwerden.
1 Der exakte Wert fürc 0 ist299792458m/s.
7

Um den Zusammenhang zwischen|U(z)| und r(z) zu verdeutlichen, schreiben wir unter Verwendung
vonU r =r(0)·U h
Offenbar ist
U(z)=U h·e −jβz +U r·e +jβz =U h·e −jβz·(1+r(0)·e j2βz) . (8)
|U(z)|∼|1+r(0)·e j2βz |. (9)
ImSmith-Diagrammidentifizierenwir|1+r(0)·e j2βz |=|1+r(z)|alsdieLängederStreckezwischen
den Punktenr=−1 undr(z) (Abb.7). Der auf der Leitung beobachtete wellige Verlauf|U(z)| ist
also gerade die »Pleuelbewegung«, die diese Strecke bei Bewegung auf einem Kreis|r|=const
vollzieht. Mit dieser Erkenntnis lässt sich die Impedanzmessung mit Hilfe einer Messleitung sehr
schnellverstehen.Die Vorgehensweise istwie folgt.
Referenzmessung Der erste Schritt ist eine Referenzmessung bei kurzgeschlossener Leitung.
Das Messobjekt wird durch einen Kurzschluss ersetzt und mit Hilfe der Messleitung sucht man
eine beliebige der sich ergebenden Spannungsnullstellen auf. Diese Nullstellen sind örtlich sehr
scharf, sodass sie recht genau lokalisiert werden können. Der Ort einer solchen Nullstelle wird
festgehalten. Sein Abstand zur Kurzschlussebene (und damit zum Ort des Messobjekts) istn·λ/2.
Auf diese Weise hat man einen Ort (Referenzebene) auf der Leitung festgelegt, an dem sicher die
gleiche Impedanz vorliegt, wie am Ort des Messobjektes. Falls die Leitungswellenlänge nicht bekanntist,kannsiemitderMessleitungdurchBestimmungdesAbstandesλ/2zweierbenachbarter
Spannungsnullstellenebenfallsmesstechnischerfasstwerden.InAbb.8aistderSpannungsverlauf
im Kurzschlussfallgestrichelteingezeichnet.
Messung des Stehwellenverhältnisses Der Kurzschluss wird nun durch das Messobjekt ersetzt.
Es ergibt sich ein im Allgemeinen welliger Verlauf von|U(z)| auf der Leitung. Mit Hilfe der
Messleitung bestimmt man nun das Verhältniss=U max /U min . Der Kreis|r|= const, auf dem sich
z A befindenmuss,kannnunindas Smith-Diagrammeingezeichnetwerden (Abb.8).
MessungderPhasevonr(0) Nachdem|r(0)| bereitsfestliegt,istnochdessenPhasezubestimmen.
Hierzu sucht man ausgehend von der Referenzebene das nächste Spannungsminimum in
∼|U(z)|
1
r(z)
Abb. 7:DieLängederStreckezwischendemKurzschlusspunktundderSpitze
vonr(z) ist proportionalzur Spannungsamplitude auf der Leitung
8

Z A
∆z
nλ/2
Z A
|U(z)|
U max
U min
z
U min
∆z
λ
z A
U max
(a)
(b)
Abb. 8:Zur Bestimmung von Betrag und Phase des Abschlussreflexionsfaktors durch Bestimmung der Lage der Spannungsminimabzw.
-maxima
Richtung Messobjekt. Dessen Abstand ∆z von der Referenzebene liest man an der Skala der Messleitungab.AusdenvorangegangenenÜberlegungenwirddeutlich,dassamOrtvonU
min dieReflexionsfaktorphase
gerade 180° ist. Man befindet sich auf dem Schnittpunkt des Kreises|r|= const
mit der negativen Realteilachse, also an einer Stelle, an der Z gerade reell ist und kleiner als Z L .
Zur Bestimmung vonz A muss man nun lediglich von diesem Ort aus um ∆z/λ in Richtung Generator
transformieren. Man transformiert also zurück in die Referenzebene in derz= z A ist. Diese
Prozedurverläuftäquivalent,wennmanausgehendvonderReferenzebenedasnächsteMinimum
in Richtung Generator aufsuchen würde. In diesem Fall ändert sich die Drehrichtung im Smith-
Diagramm,weil die RücktransformationzurReferenzebenenuninRichtungLasterfolgt.
Die Auswertung der Messung lässt sich grafisch einfach und anschaulich mit dem Smith-Diagramm
durchführen. Die Formeln zur Berechnung von r A = r(0) lassen sich mit dem bisher Gesagtenaberrecht
einfachanschreiben.Wir erhalten
und
|r A |= s−1
s +1 = U max−U min
U max +U min
arg{r A }=π−2β∆z=π−4π ∆z
λ
beiVerwendung des nächstenMinimums von der ReferenzebeneinRichtung Last.
(10a)
(10b)
2.6. Güte von Reflexionsresonatoren
Der folgende Abschnitt soll die grafische Behandlung von Reflexionsresonatoren (Eintor-Resonatoren)erläutern.MitHilfedesSmith-DiagrammsistdieKonstruktionder3-dB-Bandbreitenpunkte
aufderOrtskurvedesResonatorleitwertesbesondersleicht.AusderBandbreitefolgtdirektdieResonatorgüte,
wobei die Unterscheidung zwischen der Eigengüte, der externen und der belasteten
Güte auferstaunlicheinfache Weisemöglichist [1].
9

Y L
C ′ L ′ G ′
1 : ü
Y 1 Y 2
Abb. 9:Ersatzschaltbild eines Reflexionsresonators mit
Ankopplung an eineHochfrequenzleitung
ZurHerleitungderKonstruktionbetrachtenwirdasErsatzschaltbildeinesResonators,derdurch
ein verlustfreies Koppelzweitor an das Ende einer Leitung mit WellenwiderstandZ L = 1/Y L angekoppeltist
(Abb.9). Der LeitwertY 2 des Parallelkreises(ohne Koppelzweitor) istzunächst
Y 2 =G ′ (1+jQ 0 v), (11)
wobeidieEigengüteQ 0 =Y K ′ /G ′ unddierelativeVerstimmungv=ω/ω 0 −ω 0 /ω verwendetwurden.Y
K ′ =ω 0 C ′ = 1/(ω 0 L ′ ) istmitderResonanzfrequenzω 0 = 1/ √ L ′ C ′ derResonanzblindleitwert
des Kreises. Für kleine Abweichungen ∆ω von der Resonanzfrequenzω 0 ist die Schmalbandnäherungv≈
2∆ω/ω 0 = 2δω zulässig.SiewirdfürdiefolgendenBetrachtungenauchstetsverwendet.
Das Koppelzweitor transformiert Y 2 in den Abschlussleitwert Y 1 = ü 2 Y 2 der angeschlossenen
Leitung.WegenY K = ü 2 Y K ′ undG= ü 2 G ′ wirddieEigengüteQ 0 durchdieseTransformationnicht
verändert. Es ergibtsich
y 1 = Y 1
Y L
= 1 κ (1+jQ 02δω)= 1 κ +jQ ext2δω (12)
mit dem Ankopplungsmaß κ = Y L /G und der externen Güte Q ext = Q 0 /κ = Y K /Y L . In Abb.10
ist der Verlauf von (12) für drei verschiedene Werte von κ sowohl in der y- wie auch in der r-
Ebene(Impedanzdiagramm)gezeigt.EineDimensionierungmitκ= 1bezeichnetmanalskritische
Kopplungundentsprechendheißteine Kopplungmitκ< 1unterkritisch, mitκ> 1 überkritisch.
Die vom Resonator absorbierte Leistung bezogen auf die verfügbare Leistung istp= 1−|r 1 | 2 .
Im{y 1 }
κ= 2 κ= 1 κ= 0,5
ω ω ω
0,5 1 2
Re{y 1 }
(a)y-Ebene
(b)r-Ebene
Abb. 10:OrtskurvendesKlemmenleitwerteseinesReflexionsresonatorsbeiverschiedenenAnkopplungsmaßenκ.Kurvenparameter
ist dieKreisfrequenzω
10

Mit (4)ergibtsichalso
1− 1 κ
p= 1−
(1+jQ 02δω)
1+ 1 κ (1+jQ 02δω)
2
= 1− (κ−1)2 + (Q 0 2δω) 2
(κ +1) 2 + (Q 0 2δω) 2. (13)
Dieser Ausdrucknimmtfürδω= 0 seinenMaximalwertp max = 4κ/(κ +1) 2 an.Für
δω 3dB =± 1 κ +1
(14)
2 Q 0
istp= 0,5p max , sodass sichmitder belastetenGüteQ L =Q 0 /(κ +1) der Zusammenhang
δω 3dB;L = 1
2Q L
(15a)
ergibt. Wegender Definition der Gütengilt dies auchfürdie Eigengüte undfürdie externeGüte:
δω 3dB;0 = 1
2Q 0
δω 3dB; ext = 1 .
2Q ext
(15b)
(15c)
ZurBestimmungderzugehörigenPunkteaufderOrtskurvey 1 (ω,κ= const)suchenwirzusätzlich
die Ortskurveny 1 (κ,ω=±δω= const). Die gesuchten Punkte ergeben sich dann als die Schnittpunkte
dieser Ortskurvenpaare. Der normierte Leitwerty 1 ausgedrückt durch die drei Güten ist
y 1 = 1 κ (1+jQ 02δω)= 1 κ +jQ ext2δω= 1 κ +jQ 1+κ
L 2δω. (12’)
κ
Setztmanindiese Beziehungdie Frequenzabweichungen(15) ein, soerhältmandie Ortskurven
y 1 (δω=± 1
2Q 0
)= 1 κ ±j1 κ
y 1 (δω=± 1
2Q ext
)= 1 κ ±j
y 1 (δω=± 1
2Q L
)= 1 κ ±j(1+ 1 κ )
die in Abb.11 dargestellt sind. Bei den Schnittpunkten der Ortskurve (12) mit diesen Ortskurven
liegenalsogeradedie3-dB-BandbreitenpunktebezüglichderjeweiligenGüten.FallsdieOrtskurve
(12) mit einer Frequenzskala versehen wird, so können auf diese Weise die Eigengüte, die externe
Güte und die belastete Güte eines Resonators durch ablesen der zugehörigen 3-dB-Bandbreiten
grafischbestimmtwerden.
2.7. Zusammenfassung
Nach der Behandlung einiger wichtiger Arbeitsschritte können wir diese zum Überblick über die
Möglichkeitendes Smith-Diagrammskurzzusammenfassen:
11

Im{y 1 }
1
1 2 3 4
Re{y 1 }
−1
(a)y-Ebene
δω=±1/(2Q 0 )
δω=±1/(2Q ext )
δω=±1/(2Q L )
(b)r-Ebene
Abb. 11:OrtskurvendesKlemmenleitwerteseinesReflexionsresonatorsbeifestenVerstimmungenδω.Kurvenparameter
ist das Ankopplungsmaßκ
• Bei der Arbeit mit dem Smith-Diagramm ist die Impedanz (Admittanz) auf den WellenwiderstandderjenigenLeitungzunormieren,diegeradebehandeltwerdensoll.DieKoordinatenlinienfürRealteilundImaginärteildernormiertenImpedanz(Admittanz)sindimSmith-
Diagrammeingetragenundbeschriftet.
• Der Kreis|r|= const um den Mittelpunkt des Diagramms durch den Punktz schneidet die
Achse Im{z}=0 in den Punkten m und s und ermöglicht so das Ablesen des Stehwellenverhältnisses
s und dessen Kehrwertes m. Die Werte s und m können als Re{z} an diesen
Schnittpunktenabgelesenwerden.
• Der Übergang zwischen Impedanz z und Admittanz y erfolgt durch Punktspiegelung am
Mittelpunkt des Diagramms. Diesen Schritt wendet man zweckmäßig bei jedem Wechsel
zwischen Serien- und Parallelschaltung an. Das Zuschalten von konzentrierten Elementen
kannso stetsdurcheinfache Addition behandeltwerden.
• Der Transformation durch eine verlustfreie Leitung entspricht eine Rotation um den Mittelpunkt
des Diagramms. Der Drehwinkel ist proportional zur elektrischen Länge der Leitung.
Die Transformation über eine halbe Wellenlänge entspricht dabei einer Volldrehung
im Smith-Diagramm.
• Den Eingangswiderstand (Eingangsleitwert) von Blindleitungen bestimmt man auf die gleiche
Weise. Wegen Re{z}=0 bzw. Re{y}=0 bewegt man sich mit zunehmender Leitungslängeauf
dem Randkreis|r|= 1des Diagramms.
A. ZeichneneinesSmith-Diagramms
Die Kreise des krummlinigen Koordinatengitters fürz im Smith-Diagramm haben alle den Punkt
r= 1 gemeinsam. Gerade dann, wenn ein besonders fein strukturiertes Smith-Diagramm mit vie-
12

Re{z}
Re{z}=const
1+Re{z}
1
Im{z}=const 1+j
Im{z}
Mittelpunkt Radius Schnittpunkt
1
1+Re{z} Re{z}+jIm{z}−1
1 Re{z}+jIm{z}+1
Im{z}
Tabelle3: Mittelpunkte und Halbmesser der
Kreise Re{z} = const und Im{z} = const in
der r-Ebene. Aus diesen Punkten können die
Anfangs- und Endpunkte der jeweiligen Kreisbögenberechnet
werden.
lenKoordinatenliniengezeichnetwerdensoll,istessinnvoll,nichtalleKreisebiszumPunktr= 1
durchzuzeichnen.DasDiagrammgewinntdadurchwesentlichanÜbersichtlichkeit.DiesesVorgehenerfordertjedochnebenderKenntnisderKreismittelpunkteundihrerRadienauchdieBerechnung
ihrer gegenseitigen Schnittpunkte. Von der Transformation (1) lassen sich die Gleichungen
(
Re{r}− Re{z} ) 2 ( ) 2
+Im{r} 2 Re{z}
= Re{z}=const (16a)
1+Re{z} 1+Re{z}
(
(Re{r}−1) 2 + Im{r}− 1 ) 2 ( ) 2
1
= Im{z}=const (16b)
Im{z} Im{z}
fürdieKreiseRe{z}=constundIm{z}=constinderr-Ebeneableiten[9].AusderForm(16)lassen
sich Mittelpunkt und Radius leicht ablesen. Sie sind in Tabelle 3 zur Übersicht zusammengestellt.
Der Schnittpunkt zweier Kreise Re{z}=const und Im{z}=const ergibt sich direkt durch AuswertungderAbbildungsbeziehung(1).DiezurDarstellungderKreisenotwendigenPunktesindin
Abb.12in derr-Ebenemarkiertundmitihren zugehörigenkomplexenr-Wertenbeschriftet.
13

jIm{z}−1
jIm{z}+1
Im{r}
1
1+j
Im{z}
Re{z}+jIm{z}−1
Re{z}+jIm{z}+1
Re{r}
Re{z}−1
Re{z}+1 =a s
1−
1
1+Re{z}
}{{}
R a = 1−as
2
= Re{z}
1+Re{z}
Abb. 12:Die Kreise Re{z} = const und Im{z} = const sowie die Lage ihrer Mittelpunkte und ihrer gegenseitigen
Schnittpunkte
14

Verzeichnis derverwendetenFormelzeichen
Symbol Einheit Bedeutung
B S Suszeptanz
C F Kapazität
G S Konduktanz
I A Stromstärke
I h A Amplitude der hinlaufendenStromwelle
I r A Amplitude der rücklaufendenStromwelle
L H Induktivität
Q 1 Güte
Q 0 1 Eigengüte
Q L 1 belasteteGüte
Q ext 1 externeGüte
R Ω Resistanz
U V Spannung
U h V Amplitude der hinlaufendenSpannungswelle
U max V Maximalwertder Leitungsspannung
U min V Minimalwert der Leitungsspannung
U r V Amplitude der rücklaufendenSpannungswelle
X Ω Reaktanz
Y S Admittanz
Z Ω Impedanz
Z A Ω Abschlusswiderstand
Z L Ω Bezugswiderstand, Leitungswellenwiderstand
c 0 m/s Vakuum-Lichtgeschwindigkeit
f Hz Frequenz
l m Leitungslänge
m 1 Anpassungsfaktor
p 1 absorbierterLeistungsanteil
r 1 Reflexionsfaktor
r 1 1 ReflexionsfaktoramLeitungseingang
r 2 1 ReflexionsfaktoramLeitungsabschluss
r A 1 Abschlussreflexionsfaktor
s 1 Stehwellenverhältnis
v 1 relative Verstimmung
y 1 normierte Admittanz
z 1 normierte Impedanz
z m Längenkoordinate
∆z m Längenabschnitt
β rad/m Phasenmaß
ε r 1 relative Permittivität
κ 1 Ankopplungsmaß
λ m Wellenlänge
φ r rad Phasedes Reflexionsfaktors
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Symbol Einheit Bedeutung
ω rad/s Kreisfrequenz
∆ω rad/s Abweichung der Kreisfrequenz
δω 1 Abweichung bezogenaufdie Resonanzkreisfrequenz
– Zahlen–
e 1 EulerscheZahle= ∑ ∞
k=0 1 k!
j 1 imaginäre Einheit (j 2 =−1)
π 1 LudolfscheZahl
Literatur
[1] H. Brand:SchaltungslehrelinearerMikrowellennetze.Stuttgart:Hirzel-Verlag, 1970.
[2] R. E.Collin: Foundations for Microwave Engineering. 2nded. IEEEPressSeries onElectromagnetic Theory. Hoboken:
Wiley & Sons,2001.
[3] J.Detlefsen undU.Siart:Grundlagender Hochfrequenztechnik.4.Aufl. München: Oldenbourg, 2012.
[4] H. Meinke und F. W. Gundlach: Taschenbuch der Hochfrequenztechnik. Hrsg. von K. Lange und K.-H. Löcherer.
5. Aufl.Berlin:Springer,1992.
[5] S. J. Orfanidis: Electromagnetic Waves and Antennas. Rutgers University, August 25, 2013. url: http://www.ece.
rutgers.edu/~orfanidi/ewa/ (visitedon09/07/2013).
[6] H.W.Schüßler:SystemtheorielinearerelektrischerNetzwerke.2.Aufl.Bd.1.Netzwerke,SignaleundSysteme.Berlin:
Springer,1990.
[7] K.Simonyi:TheoretischeElektrotechnik.10. Aufl. Leipzig: Barth,EditionDt.Verlagder Wissenschaften, 1993.
[8] R. Unbehauen: »Einschwingvorgänge, Nichtlineare Netzwerke, Theoretische Erweiterungen«. In: 4. Aufl. Bd. 2.
Grundlagen der Elektrotechnik. Berlin:Springer,1994. Kap.8.
[9] O. Zinke und H. Brunswig: Hochfrequenztechnik 1. Hrsg. von A. Vlcek, H. L. Hartnagel und K. Mayer. 6. Aufl.
Berlin:Springer,2000.
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Index
A
Admittanz ................................ 4
Admittanz,normiert ....................... 3
Ankopplungsmaß ......................... 10
Anpassungsfaktor ......................... 4
B
Bandbreite ................................ 9
Bezugswiderstand ......................... 2
D
Drehwinkel ............................... 6
E
Eigengüte ................................ 10
Einheitskreis ............................ 2,3
Entnormierung .......................... 5,6
F
Feldsonde ................................. 7
Frequenzgang-Konstruktion ................ 5
G
Güte ...................................... 9
I
Impedanz ................................. 4
Impedanz,normiert ........................ 2
Impedanzmessung ......................... 8
Induktivität ............................... 5
K
Kapazität ................................. 5
konforme Abbildung ....................... 2
Koordinatengitter .......................... 2
Koordinatenlinien ...................... 2,13
Koppelzweitor ............................ 10
Kopplung ................................ 10
Kreismittelpunkte ........................ 13
Kurzschluss ............................... 7
N
Normierung ............................. 2, 5
O
Ortskurve ................................ 11
P
Parallelschaltung .......................... 4
Phasendrehung ............................ 6
Punktspiegelung ........................... 3
R
Randskala ................................. 6
Referenzebene ............................. 8
Referenzmessung .......................... 8
Reflexionsfaktorablesen ................... 3
Reflexionsfaktor,Betrag .................... 4
Reflexionsfaktor,Phase ..................... 9
Reflexionsfaktorebene ...................... 2
Resonator ................................. 9
S
Schmalbandnäherung ..................... 10
Schnittpunkte ............................ 13
Serienschaltung ........................... 4
Skalennullpunkt ........................... 6
Spannungsnullstellen ...................... 8
Stehwellenverhältnis ..................... 4, 8
Stichleitung ............................... 7
V
Verschiebung .............................. 4
W
Welligkeit ................................. 8
Winkeltreue ............................... 2
L
Leerlauf ................................... 7
Leitung, verlustfrei ........................ 6
Leitungslänge ............................. 6
Leitungsspannung ......................... 8
Leitungstransformation .................... 6
M
Messleitung ............................... 7
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