Dozent: Prof. Dr. Bernd Ammann - Mathematik

Dozent: Prof. Dr. Bernd Ammann
Vorlesung: Differentialgeometrie II
Zeit und Ort: Di 8-10, Do 10-12, M102
Übungen: Mi 8-10, M102
Vorkenntnisse: Grundstudium und Differentialgeometrie I
Inhalt: In dieser Vorlesung werden die Hilfsmittel aus der Vorlesung Differentialgeometrie
I genutzt, um riemannsche Mannigfaltigkeiten genauer zu studieren.
Hauptziel der Vorlesung ist es, die Krümmung von riemannschen Mannigfaltigkeiten
besser zu verstehen. Typische Fragen sind: Welche Eigenschaften haben Mannigfaltigkeiten
mit Schnittkrümmung K > 0 Mit K ≤ 0 Mit Ric ≥ 0 Mit Ric ≤ 0 Welche
(kompakten) Mannigfaltigkeiten tragen Metriken mit positiver Skalarkrümmung
Welche globalen Eigenschaften folgen aus diesen verschiedenen Krümmungseigenschaften.
Wir werden auch Laplace- und Dirac-Operatoren auf riemannschen Mannigfaltigkeiten
studieren, teilweise um die oben genannten Krümmungsfragen studieren,
teilweise auch um Eigenschaften des Spektrums herzuleiten.
Literatur: M. Do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser
F. Warner, Foundations of Differentiable manifolds and Lie groups, Springer
B. O’Neill, Semi-Riemannian geometry (with applications to relativity)
T. Sakai, Riemannian Geometry, AMS
J. Cheeger, D. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry
Anschlussveranstaltung: Spezialvorlesung im Wintersemester, Seminare
Benoteter Leistungsnachweis: (ja/nein)
Nein.
Unbenoteter Leistungsnachweis: (ja/nein)
Ja. Kriterien hierfür sind: Regelmäßige Abgabe der Übungsblätter, mindestens die
Hälfte der erreichbaren Übungspunkte, mindestens einmal erfolgreiches Vortragen
einer Übungsaufgabe.
Regelungen in nichtmodularisierten Studiengängen:
Eignung als Prüfungsstoff in welchen Prüfungen: Diplomprüfung.
Seminar/Hauptseminar: Differentialtopologie
Zeit und Ort: Fr 8-10, M102.
Vorkenntnisse: Grundstudium, Grundkenntnisse über Mannigfaltigkeiten.
Inhalt: Das Seminar folgt dem Buch Toplogy from the differentiable viewpoint von
John Milnor, ergänzt von den unten genannten Büchern.
Themen sind: Der Fundamentalsatz der Algebra. Der Satz von Sard, demzufolge
die meisten Werte einer Abbildung regulär sind. Als Anwendung der Brouwersche

Fixpunktsatz. Abbildungsgrad. Nullstellen von Vektorfeldern. Euler-Charakteristik.
Bezüge zu Morse-Theorie und Bordismus-Theorie.
Der Inhalt des Seminars ergänzt meine Vorlesungen Differentialgeometrie I und II in
dem Sinne, dass wir hier ein Gebiet der Differentialgeometrie behandeln, das wichtige
Querverbindungen aufzeigt, aber leider in den Vorlesungen aus Zeitgründen nicht
eingehend betrachtet werden kann. Im logischen Aufbau ist das Seminar jedoch recht
unabhängig von diesen Vorlesungen, es kann also auch im Prinzip sogar von einem
guten Studenten ohne Kenntnisse in Riemannscher Geometrie besucht werden. Als
Grundlagen benötigen wir eine gute Vertrautheit mit dem Mannigfaltigkeitsbegriff,
insbesondere den Aspekten, die sich ohne (semi-)riemannsche Metrik ausdrücken
lassen.
Literatur:
J. Milnor, Toplogy from the differentiable viewpoint, Princeton
T. Bröcker, K. Jänich, Einführung in die Differentialtopologie, Springer
M.W. Hirsch, Differential Topology, Springer Graduate Texts in Mathematics
Anmeldung: Bitte kommen Sie zur Vorbesprechung mit Themenvergabe am
Donnerstag 11.2., 13.15 Uhr, M101
Zugang zu Hauptseminaren, Diplom- und Zulassungsarbeiten:
Studenten, die später bei mir an einem Hauptseminar teilnehmen oder eine Diplom- oder Zulassungsarbeit
schreiben wollen, können sich darauf durch Teilnahme an folgenden Lehrveranstaltungen
in diesem oder den folgenden Semestern vorbereiten:
Vorlesung Differentialgeometrie II im SS 2010 (obligatorisch), Seminar über Differentialtopologie
im SS 2010, Vorlesung Lorentz-Geometrie von (Ginoux) im SS 2010,
Globale Analysis II (Bunke) im SS 2010, Spezial-Vorlesungen über Kähler-Geometrie
und über Geometrische Analysis im WS 2010/11.
Seminar/Hauptseminar: Der Ricci-Fluss
gemeinsam mit Prof. F. Finster
Zeit und Ort: Do 8-10, M102
Vorkenntnisse: Vertiefte Kenntnisse in Riemannscher Geometrie. Kenntnisse über
parabolische partielle Differentialgleichungen sind hilfreich.
Inhalt: Der Ricci-Fluss ist die Lösung der partiellen Differentialgleichung d/dt g =
ric. Die Kurzzeitexistenz von Lösungen und erste wichtige Resultate beruhen auf
wichtigen Arbeiten der 90er Jahre von Richard Hamilton und anderen. Unter anderem
entstand dort das Programm, mit Hilfe des Ricci-Flusses die Gültigkeit der Poincaré-Vermutung
in Dimension 3, oder allgemeiner der Geometrisierungs-Vermutung,
zu beweisen. Das Gebiet erlangte im Jahre 2002 mit Hilfe der Perelmanschen Entropie-
Formel einen sensationellen Durchbruch. In den folgenden Jahren wurde die Ergebnisse
aufgearbeitet und interessante neue Anwendungen folgten, bis hin zu stärkeren
Sphären-Pinching-Resultaten von Schoen und Brendle.

Ziel des Seminars ist diese Entwicklung zu verfolgen.
Da die Original-Literatur von Perelman didaktisch suboptimal aufgeschrieben ist,
wollen wir dem sehr schönen Buch von Peter Topping Lectures on the Ricci flow folgen.
Das Seminar-Programm wird ergänzt durch Original-Literatur (z.B. Hamilton)
und andere Lehrbücher. Eine Literaturliste wird vor der Vorbesprechung auf meiner
Homepage zu finden sein.
Anmeldung: Vorbesprechung am Do 11.2. 10.15 in M102.
Oberseminar: Globale Analysis
gemeinsam mit Prof. U. Bunke
Do 14-17 Uhr, Raum M102
In diesem Seminar werden aktuelle Forschungsprojekte vorgestellt, Diplomanden,
Doktoranden, Zulassungsarbeitschreibende tragen ihre Resultate vor und Gäste der
Arbeitsgruppe berichten über ihre aktuellen Ergebnisse.