4.2 Differentialrechnung III - Mathematik

4.2 Differentialrechnung III
Inhaltsverzeichnis
1 Überblick Extremal- und Wendepunkte 2
2 Monotonie und erste Ableitung 2
3 Krümmung und zweite Ableitung 6
4 Extremalpunkte 7
5 Wendepunkte 12
6 Anwendungsaufgaben 15
7 Kurvendiskussion 16
8 Kurvendiskussion ohne TI-NSpire 16
9 Kurvendiskussion mit dem TI-NSpire 19
1

Diff’rechnung III 16.11.2010 Theorie und Übungen 2
Differentialrechnung III-Spezielle Punkte auf
dem Graphen
1 Überblick Extremal- und Wendepunkte
Viele technische und wirtschaftliche Prozesse können durch Funktionen beschrieben werden. Diese kann
man durch Gleichungen und durch Graphen darstellen. Dabei spielen bestimmte Punkte des Graphen eine
wichtige Rolle. Beispiele dafür sind die Schnittpunkte mit der x- und y-Achse, Extremalpunkte (Hoch- und
Tiefpunkte) und Wendepunkte (Wechsel von einer Rechts- in eine Linkskrümmung und umgekehrt). Kennt
man die Lage dieser charakteristische Punkte, so kann man den prinzipiellen Verlauf des Graphen sehen. Die
Achsenschnittpunkte berechnen sich Hilfe von Gleichungen, während es mit Hilfe der Differentialrechnung
möglich ist, Extremalpunkte und Wendepunkte zu berechnen.
2 Monotonie und erste Ableitung
Das Steigungsverhalten einer Funktion, in der Fachsprache als Monotonieverhalten bezeichnet, prägt den
Kurvenverlauf besonders. Man unterscheidet grundsätzlich Monotonie von strenger Monotonie, wir begnügen
uns mit in diesem Skript mit strenger Monotonie.

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Umgangssprachlich heisst streng monoton steigend: je grösser das x, umso grösser ist der Funktionswert.
Mathematisch können diese Aussage folgendermassen notieren:
Definition 1 Gilt für zwei beliebige Stellen x 1 und x 2 des Intervalles I mit x 1 < x 2 stets f(x 1 ) < f(x 2 ), so
wird die Funktion f als streng monoton steigend auf dem Intervall bezeichnet.
Umgangssprachlich heisst streng monoton steigend: je grösser das x, umso grösser ist der Funktionswert.
Mathematisch können wir diese Aussage folgendermassen notieren:
Definition 2 Gilt für zwei beliebige Stellen x 1 und x 2 des Intervalles I mit x 1 < x 2 stets f(x 1 ) > f(x 2 ), so
wird die Funktion f als streng monoton fallend auf dem Intervall bezeichnet.
Am folgenden Beispiel wollen wir das Monotonieverhalten des Graphen untersuchen, indem wir den Graphen
zeichnen.
Beispiel:
Untersuche das Monotonieverhalten von f(x)=x 2 − 2x graphisch.

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4
2
−2
2
−2
−4
Gibt es auch einen rechnerischen Weg, um das Monotonieverhalten zu ermitteln Wir nehmem wiederum
die Funktion f(x)=x 2 −2x und zeichnen auf der linken Abbildung eine paar Tangenten und auf der rechten
Abbildung die Graphen von f(x) und f ′ (x) ins gleiche Koordinatensystem.
4
2
−2
−2
2
−4
Wir beobachten:

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Satz 1 Das Monotoniekriterium
Beispiel
Untersuche die Funktion f(x) = 1 3 x3 − x 2 + 4 mithilfe des Monotoniekriteriums auf strenge Monotonie.
Überprüfe anschliessend Dein Ergebnis, indem Du den Graphen mit dem TI-NSpire plottest.
1. Untersuche die Funktion f(x)= 1 3 x3 + 1 2 x2 −2x auf strenge Monotonie. Plotte anschliessend den Graphen
mit dem TI-89 und überprüfe Dein Ergebnis.
2. Untersuche die Funktion f(x)= 2 3 x3 + x 2 − 12x auf strenge Monotonie. Plotte anschliessend den Graphen
mit dem TI-89 und überprüfe Dein Ergebnis.
3. Untersuche die Funktion f(x)=− 1 3 x3 + 1 2 x2 + 12x auf strenge Monotonie. Plotte anschliessend den
Graphen mit dem TI-89 und überprüfe Dein Ergebnis.
3 Krümmung und zweite Ableitung
Ein weiteres wichtiges Merkmal eines Funktionsgraphen ist sein Krümmungsverhalten. Bewegt man sich
auf dem unten abgebildeten Graphen in Richtung der positiven x-Achse, so durchfährt man zunächst eine
Rechtskurve, dann eine Linkskurve. Denjenigen Punkt, in dem sich die Krümmungsart ändert, nennt man
Wendepunkt.

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Zuerst die Definitionen für Links- und Rechtskrümmung. Wir betrachten den Graphen von f(x) = 1 3 x3 −
x 2 + 4 mit der dazugehörigen Ableitungsfunktion:
4
2
−2
2
−2
Wir beobachten:
• Wenn der Graph in einem Intervall I rechtsgekrümmt ist, dann ist f ′ auf I ...................................... .
• Wenn der Graph in einem Intervall I linksgekrümmt ist, dann ist f ′ auf I ......................................... .

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Wir können also Rechts- und Linkskrümmung folgendermassen definieren:
Definition 3 (Rechts- und Linkskrümmung)
• f heisst rechtsgekrümmt auf I genau dann, wenn ........................ .
• f heisst linksgekrümmt auf I genau dann, wenn .......................... .
4. Gegeben ist die Funktion f(x)= x4
12 − x3 + 5 2 x2 + 3x+1. Untersuche ihr Krümmungsverhalten auf R.
Plotte anschliessend den Graphen mit dem TI-NSpire und überprüfe Dein Ergebnis.
5. Gegeben ist die Funktion f(x)=x 3 . Untersuche ihr Krümmungsverhalten auf R. Plotte anschliessend
den Graphen mit dem TI-NSpire und überprüfe Dein Ergebnis.
6. Gegeben ist die Funktion f(x) = x4 6 − x3 − 4x 2 − x+6. Untersuche ihr Krümmungsverhalten auf R.
Plotte anschliessend den Graphen mit dem TI-NSpire und überprüfe Dein Ergebnis.
4 Extremalpunkte
Ein Extremalpunkt ist ein Hoch- oder ein Tiefpunkt. Beispiele von solchen Punkten sind auf der untenstehenden
Abbildung zu sehen.
3
2
1
−2
P 1
P 2
x 1 x 2
−1
−1
1 2 3
−2
Der Punkt P 1 ist ein Hochpunkt, während der Punkt P 2 ein Tiefpunkt ist. Auf dem obigen Graphen haben
wir also einen Hochpunkt an der Stelle x 1 und einen Tiefpunkt an der Stelle x 2 . Oft werden Hoch- und
Tiefpunkte auch allgemein als Extrempunkte bezeichnet.
Bemerkung

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Wir können auch noch unterscheiden zwischen lokalem und globalem Hochpunkt (Tiefpunkt). Das Wort
lokal kann mit örtlich übersetzt werden. Wenn wir von einem lokalen Maximum im Punkt x 0 sprechen, dann
ist damit der höchste Punkt in der Umgebung von x 0 gemeint. Den „höchsten “aller Maximalpunkte nennen
wir dann globalen Maximalpunkt. In diesem Skript machen wir diesen Unterschied nicht, wir sprechen
einfach von Extremal-, Hoch- und Tiefpunkten.
Wir wollen nun den Begriff Hochpunkt mathematisch definieren. Dafür verwenden wir am besten den Begriff
der Umgebung, den ich kurz erkläre. Anschaulich:
x 0 − ε
x 0
x 0 + ε
Unter einer Umgebung U x0 von x 0 verstehen wir das Intervall (x 0 − ε,x 0 + ε), wobei ε > 0. Ein lokaler
Hochpunkt an der Stelle (x 0 | f(x 0 )) liegt dann vor, wenn es eine Umgebung von x 0 so gibt, dass alle Punkte
rechts und links von x 0 tiefer liegen. Mathematisch:
Definition 4 Der Punkt H(x 0 | f(x 0 )) des Graphen von f heisst Hochpunkt von f , wenn es eine Umgebung
U x0 so gibt, dass für alle x∈ U x0 gilt: f(x)≤ f(x 0 ).
Genau gleich definieren wir einen lokalen Tiefpunkt:
Definition 5 Der Punkt T(x 0 | f(x 0 )) des Graphen von f heisst Tiefpunkt von f , wenn es eine Umgebung U x0
so gibt, dass für alle x∈ U x0 gilt: f(x)≥ f(x 0 ).
Zuerst wollen wir Eigenschaften von Hoch und Tiefpunkten mit dem TI-NSpire beobachten. Dazu füllen
wir die untenstehende Tabelle aus. Wir gehen folgendermassen vor:
Plotte zuerst den Graphen der Vorschrift auf dem TI-NSpire. Die Stelle x 0 bezeichnet die Stelle, wo ein
Extrempunkt oder Wendepunkt vorkommt. Bestimme diese Stelle durch ablesen. Fülle anschliessend die
entsprechende Zeile der Tabelle aus.
f(x) f ′ (x) f ′′ (x) f ′′′ (x) x 0 f ′ (x 0 ) f ′′ (x 0 ) f ′′′ (x 0 ) Ma/Mi
x 2 + x
−x 2 + x
x 4
−x 4
Wir beobachten:

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Satz 2 Die Funktion f sei an der Stelle x E differenzierbar. Dann gilt: Wenn bei x E ein Extremalpunkt von f
liegt, dann ist f ′ (x E )=0.
Diese Bedingung ist eine notwendige Bedingung. Sie muss notwendigerweise erfüllt sein, wenn ein Extremalpunkt
vorliegen soll. Diese Bedingung alleine reicht aber nicht (sie ist nicht hinreichend). Betrachten wir
folgendes Beispiel:
4
3
2
1
x 3
−2
−1
−1
−2
−3
1 2 3
An der Stelle x=0 ist die Ableitung zwar 0, es liegt aber trotzdem kein Extrempunkt vor.
Kurz zu hinreichend/notwendig: Es ist hinreichend Schüler der Klasse 4aW zu sein, um Schüler der Kanti Solothurn zu sein, aber nicht notwendig.
Man ist z.B. auch Schüler der Kanti Solothurn, wenn man Schüler der Klasse 2bW ist. Dagegen ist es notwendig, Schüler einer Klasse der Kanti Solothurn
zu sein, um Schüler der Kanti Solothurn zu sein (Gleichzeitig ist es auch hinreichend).
Übungen
7. An welchen Stellen besitzt die Funktion f(x)=x 3 + 9x 2 − 21x lokale Extrempunkte [x 1 =−7,x 2 = 1]
8. Überprüfe, ob die folgenden Funktionen an den angegebenen Stellen horizontale Tangenten besitzen.
a) f(x)= 1 4 x3 − 3x mit x 0 =−2 [ja]
b) f(x)=x 3 − x 2 − 4x+4 mit x 0 = 1 [nein]
Die zweite Bedingung finden wir schnell durch anschauliches Überlegen:

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−1
3 f ′′ (x) f ′ (x) f(x)
2
1
x 1 x 2
1 2
−1
−2
Unsere Beobachtung halten wir gleich in einem Satz fest:
Satz 3 Links- und Rechtskrümmung
• Wenn f auf I rechtsgekrümmt ist, dann ist f ′′ (x)......... auf I.
• Wenn f auf I linksgekrümmt ist, dann ist f ′′ (x)......... auf I.
Bei einem Hochpunkt an der Stelle x 1 ist der Graph in einer Umgebung von x 1 rechtsgekrümmt, während
bei einem Tiefpunkt an der Stelle x 1 der Graph in einer Umgebung von x 1 linksgekrümmt ist. Dies führt uns
zu folgendem Satz:
Satz 4 Gegeben ist die an der Stelle x 1 zweimal differenzierbare Funktion f mit der Vorschrift f(x). Dann
gilt:
• f ′ (x 1 )=0 und f ′′ (x 1 )0⇒Minimalpunkt bei x 1 .
• f ′ (x 1 )=0 und f ′′ (x 1 )=0 ⇒ keine Aussage möglich, es müssen weitere Ableitungen untersucht werden.
Beachte, dass die Bedingungen f ′′ (x 1 )0 nicht notwendig sind, d.h. der Graph kann bei x 1
auch einen Extrempunkt haben, wenn f ′′ (x)=0 ist.
Beispiel
Die Funktion f : R→R, f(x)=−x 4 hat an der Stelle x=0 ein Maximum, obwohl die Bedingung f ′′ (x 1 )

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9. Ermittle mit dem TI-NSpire die Maximal- und Minimalpunkte. Gib Dein Ergebnis in der Form Ma(..|..)
oder Mi(..|..) an.
a) f(x)=x 3 + 4.5x 2 − 30x+1 [Ma(−5|138.5),Mi(2|−33)]
b) f(x)=3x 3 − 16x+8 [Ma(−1.3|−7.1),Mi(1.3|7.1)]
c) f(x)=8x 3 + 24x 2 + 18x+11 [Ma(−1.5|11),Mi(−0.5|7)]
d) f(x)=4x 3 − 2.5x 2 − 2x [Ma(−0.25|0.28),Mi(0.6|−1.26)]
10. Bestimme a und b so, dass der Graph von f(x)= ax2 + 1
in P=(2|1) einen Extremalpunkt besitzt.
bx
Kontrolliere anschliessend Dein Ergebnis.
[a=0.25 und b=1]
11. Der TR kann für diese Aufgabe uneingeschränkt verwendet werden. Eine Polynomfunktion der Form
f(x)=a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 hat einen Extrempunkt in P=(3|10), dazu hat der Graph an der Stelle
x=5 die Steigung−3/4. Für x=7 liefert die Funktion den Wert 12. [a 0 =−8.56,a 1 = 15.19,a 2 =−3.94,a 3 = 0.31]
5 Wendepunkte
Wie schon Eingangs erwähnt, ist ein Wendepunkt ein Punkt auf dem Graphen, bei dem der Funktionsgraph
von einer Links- zu einer Rechtskurve oder umgekehrt wechselt. Es gibt zwei Fälle:
• 1.Fall: der Graph ändert sein Krümmungsverhalten und die Ableitung von f(x) ist 0⇒Sattelpunkt.
Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt.
• 2.Fall: der Graph ändert sein Krümmungsverhalten und die Ableitung von f(x) ist nicht 0⇒Wendepunkt.
Auf dem linken untenstehenden Graph sehen wir einen Wendepunkt (P 1 ) auf dem rechten Graphen sehen wir
einen Sattelpunkt (P 2 ). Wir „sehen“, dass auf dem linken Graphen f ′ (0)≠0 gilt und dass auf dem rechten
Graphen f ′ (0)=0 gilt.
3
2
3
2
−1
1
f(x) 1
P 1
x 3
1 2 −1
−1
−1
x 3
P 2
f(x)
1 2
−2
−2

Diff’rechnung III 16.11.2010 Theorie und Übungen 12
Es geht jetzt um die Frage, wie wir Wendepunkte berechnen können. Wir wollen die Antwort selber herausfinden,
indem wir mit Hilfe des TI-NSpire die untenstehende Tabelle ausfüllen. Gehe folgendermassen
vor:
Plotte zuerst den Graphen der Vorschrift auf dem TI-NSpire. Die Stelle x 0 bezeichnet die Stelle, wo ein
Extrempunkt oder Wendepunkt vorkommt. Bestimme diese Stelle durch ablesen. Fülle anschliessend die
entsprechende Zeile der Tabelle aus.
f(x) f ′ (x) f ′′ (x) f ′′′ (x) x 0 f ′ (x 0 ) f ′′ (x 0 ) f ′′′ (x 0 ) SP/WP
x 3
−x 3
x 3 + x
x 5 + x
x 5
Wir beobachten:

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3
f ′ (x)
3
2
2
f ′ (x)
1
f ′′ (x) 1
f ′′ (x)
−1
−1
1 2
−1
−1
1 2
−2
−2
Wir beobachten:
Für einen Wende- oder Terrassenpunkt an der Stelle x W gilt:
Diese Bedingung ist notwendig für einen Wendepunkt, aber nicht hinreichend. Auch diese Behauptung
lässt sich beweisen, worauf wir wiederum verzichten. Ein Beispiel, das zeigt, dass die Bedingung nicht
hinreichend ist:
Beispiel
Für die Funktion f : R→R, f(x)=x 4 gilt: f ′′ (0)=0, in(0|0) hat die Funktion aber einen Minimalpunkt.
Am obigen Beispiel können wir noch weiter beobachten, dass die Ableitung von f ′′ (x) ungleich 0 ist. Dies
führt uns zur Vermutung, dass diese Bedingung auch notwendig ist für einen Wendepunkt. Auch diese Vermutung
lässt sich beweisen.
Im folgenden Satz sind unsere Beobachtungen zusammengefasst.
Satz 5 Gegeben ist eine an der Stelle x W zweimal differenzierbare Funktion f . Dann gilt:
• f ′ (x W )=0 und f ′′ (x W )=0 und f ′′′ (x W )≠0⇒Sattelpunkt bei x 3 .
• f ′ (x W )=0 und f ′′ (x W )=0 und f ′′′ (x W )=0⇒Keine Aussage möglich, es müssen weitere Ableitungen
bzw. der Graph untersucht werden.
• f ′ (x 3 )≠0 und f ′′ (x 3 )=0⇒Wendepunkt bei x 3 .
Übungen
12. Bestimme die Wendepunkte. Prüfe, ob sogar ein Sattelpunkt vorliegt. Gib Dein Ergebnis in der Form
W(...|...) bzw. S(...|...) an. Überprüfe anschliessend Dein Ergebnis, indem Du den Graphen mit dem
TI-NSpire plottest.

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a) f(x)=2x 3 + 12x 2 − 7 [W(−2|25)] b) f(x)=3x 4 + 6x 3 + 4x [W(−1|−7),W(0|0)]
c) f(x)=x 5 [S(0|0)] d) f(x)=x 4 − 4x 3 [S(0|0),W(2|−16)]
13. Bestimme p so, dass der Graph der Funktion f(x) = 2(x2 − 9)
x 2 + p
bei x=2 einen Wendepunkt besitzt.
[p 1 =−9, p 2 = 12]
14. Gegeben ist die Funktion f a (x)=x 3 −3ax 2 (a∈R + ). Berechne die Koordinaten des Wendepunktes in
Abhängigkeit von a.
15. Der TR kann für diese Aufgabe uneingeschränkt verwendet werden. Gegeben ist ein Polynom der
Form a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x+a 0 , dessen Graph die folgenden Bedingungen erfüllt: Extremwert in
(0|0), Wendepunkt in(2|3), Tangente am Wendepunkt parallel zur Geraden y=2x. Berechne a 0 ,a 1 ,a 2 ,a 3
und a 4 . [a 0 = 0,a 1 = 0,a 2 = 1.5,a 3 =−0.5 und a 4 = 0.0625]
6 Anwendungsaufgaben
Übungen
16. Auf dem Mond lautet das Weg-Zeit-Gesetz des freien Falls ungefähr s(t)=0.8t 2 ([t]= s,[s(t)]= m).
Mit welcher Geschwindigkeit schlägt der Körper auf dem Mondboden auf, wenn er aus einer Höhe
von 80m herunterfällt
[128m/s]
17. Der Verlauf einer leichten Viruserkrankung wird durch die Funktion C(t) = 106
8 ·(6t2 − t 3 ) modelliert.
Dabei ist t die Zeit seit Infektionsbeginn in Tagen und C die Anzahl der Virionen in einem ml
Blutflüssigkeit.
a) Wann ist die Virenzunahme am grössten [nach 2 Tagen]
b) Wann ist die Erkrankung vorbei [nach 6 Tagen]
18. Am Oktoberfest in München sind in einem grossen Fass Bier anfänglich 2000 Liter Bier. Der Inhalt
V(t) des Fasses lässt sich in Abhängigkeit der Zeit t in Minuten durch
V(t)=2000− 5
48 t2 + 1
3456 t3
beschreiben. Die Ausflussgeschwindigkeit des Bieres wird in Liter/min gemessen.
a) Skizziere den Verlauf des Graphen mit dem TI-NSpire.
b) Zeige, dass das Fass nach vier Stunden leer ist.
c) Wie gross ist die Durchschnittliche Ausflussgeschwindigkeit zwischen der 20. und der 30.Minute
[4.66 Liter/Min]
d) Wie gross ist die Ausflussgeschindigkeit nach 30 min [5.47 Liter/Min]
e) Wann ist das Fest auf seinem „Höhepunkt “, bzw. wann ist die Ausflussgeschwindigkeit am grössten
[120 Min]

Diff’rechnung III 16.11.2010 Theorie und Übungen 15
7 Kurvendiskussion
Hier geht es darum, von einer gegebenen Funktion den Graphen zeichnen zu können. Es stellt sich die
Frage, ob wir nicht einfach ein paar Punkte berechnen und ins Koordinatensystem eintragen können. Bei
einfachen Vorschriften ist das kein Problem, aber z.B. bei gebrochen rationalen Funktionen (Brüchen) geht
das schon nicht mehr, wie wir sehen werden. Wir berechnen nun die signifikanten Punkte (Minimalunkte,Maximalpunkte,...)
und können nachher dank diesen Punkten den Graphen skizzieren.
Zuerst eine Vorübung:
19. Wir kennen für eine Funktion die folgenden Angaben. Skizziere aufgrund dieser Angaben den Graphen.
a) • D=R
• Asymptote bei y=1 für x→+∞ und für x→−∞
• Wendepunkte bei (−0.6|−0.5) und (0.6,−0.5)
• Nullstellen bei x=−1 und x=1
• Minimum bei (0|−1)
b) • D=R\{−1,1}
• Pole bei x=−1 und bei x=1
• Wendepunkte bei (0|0)
• Nullstelle bei x=0
• Minimum bei (1.7|2.6) und Maximum bei (−1.7|−2.6).
• monoton fallend im Intervall (−1|1).
8 Kurvendiskussion ohne TI-NSpire
Beispiel 1
Berechne bei der Funktion f die grösstmögliche Definitionsmenge in R,Nullstellen, Extremalpunkte und
Wendepunkte, wenn
f(x)=x 3 + 6x 2 + 11x+6
(Hinweis für die Nullstellen: x 3 + 6x 2 + 11x+6=(x+1)(x+2)(x+3))
• D=R
• Nullstellen:(x+1)(x+2)(x+3)=0⇒x 1 =−1,x 2 =−2,x 3 =−3⇒N 1 (−1|0),N 1 (−2|0),N 1 (−3|0)
• f ′ (x)=3x 2 + 12x+11
• f ′′ (x)=6x+12
• Extremalpunkte:

Diff’rechnung III 16.11.2010 Theorie und Übungen 16
– f ′ (x)=0⇒3x 2 + 12x+11=0
– x 1,2 = − 12±√ 144−132
⇒ x 1 ≈−1.42,x 2 ≈−2.58
6
– f ′′ (−1.42)=3.48, f(−1.42)=−0.38⇒T P(−1.42|−0.38)
– f ′′ (−2.58)=−3.48, f(−2.58)=0.38⇒HP(−2.58|0.38)
• Wendepunkte:
– f ′′ (x)=0⇒6x+12=0⇒x=−2
– f ′ (−2)=−1≠0, f(−2)=0⇒ WP(−2|0)
• Der Graph:
Beispiel 2 Berechne die grösstmögliche Definitionsmenge in R,Pole,Nullstellen,horizontale Asymptoten,Extremalpunkte
und Wendepunkte bei der Funktion
f(x)= x2
2x−1
• Grösstmögliche Definitionsmenge: 2x−1=0⇒2x=1⇒x=0.5⇒D=R\{0.5}
• Nullstellen: x 2 = 0⇒x=0⇒N(0|0)
• f ′ (x)= 2x(2x−1)−x2· 2
(2x−1) 2 = 4x2 − 2x−2x 2
(2x−1) 2 = 2x2 − 2x
(2x−1) 2

Diff’rechnung III 16.11.2010 Theorie und Übungen 17
• f ′′ (x)= (4x−2)(2x−1)2 −(2x 2 − 2x)·2(2x−1)·2
(2x−1) 4 = (4x−2)(4x2 − 4x+1)−(2x 2 − 2x)(8x−4)
(2x−1) 4 =
16x 3 − 16x 2 + 4x−8x 2 + 8x−2−16x 3 + 8x 2 + 16x 2 − 8x
(2x−1) 4 = 4x−2
(2x−1) 4 = 2(2x−1)
(2x−1) 4 = 2
(2x−1) 3
• Extremalpunkte:
– f ′ (x)=0⇒ 2x2 − 2x
(2x−1) 2 = 0⇒2x2 − 2x=0⇒x(2x−2)=0⇒x 1 = 0,x 2 = 1
– x 1 = 0: f ′′ (0)=
– x 2 = 1: f ′′ (1)=
2
=−2, f(0)=0⇒HP(0|0)
(2·0−1) 3
2
= 2, f(1)=1⇒T P(1|1)
(2·1−1) 3
• Wendepunkte: f ′′ (x)=0⇒ 2 = 0⇒ keine Lösung, damit keine WP
(2x−1) 3
• horizontale Asymptoten:
• Pole:
x 2
– lim
x→∞ 2x−1 = ∞
x 2
– lim
x→−∞ 2x−1 =−∞
– Damit keine horizontalen Asymptoten
– Der Kandidat 0.5 kann nicht weggekürzt werden damit haben wir den Pol x=0.5
• Der Graph sieht folgendermassen aus:

Diff’rechnung III 16.11.2010 Theorie und Übungen 18
9 Kurvendiskussion mit dem TI-NSpire
In diesem Abschnitt können alle Funktionen des TI-NSpire (ausser fmin() und fmax()) verwendet werden !
Beispiel
Berechne Definitionsmenge,Pole,Nullstellen,Asymptoten,Extremalpunkte und Wendepunkte bei der Funktion
f(x)= x3
x 2 − 1 .
Skizziere nachher mit Hilfe dieser Berechnungen den Graphen der Funktion (nächste Seite).

Diff’rechnung III 16.11.2010 Theorie und Übungen 19
20. Berechne Definitionsmenge,Pole,Nullstellen,Asymptoten,Extremas und Wendepunkte. Skizziere nachher
den Graphen und überprüfe mit dem Taschenrechner.
a) f(x)=x 3 − x 2 − x−1 [D=R,N(1.84|0),Ma(−0.33|−0.82),Mi(1|−2),W(0.33|−1.41)]
b) f(x)= x2 − 4
2x 2 − 2
[D=R\{−1,1},y=0.5,N 1 (−2|0),N 2 (2|0),Mi(0|2)]
c) f(x)=x− √ 4−x 2 [D=[−2,2],N( √ 2|0),Mi(− √ 2|−2.83)]
d) f(x)= 4·e−x2
x−2 + 1 [D=R\{2},Pol bei 2,y=1,Mi(0.29|−1.15),Ma(1.71|0.26),W 1 (−0.48|−0.29),W 2 (1|−0.47)]