Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen
Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen
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CBADE<br />
<strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong><br />
<strong>in</strong> <strong>magnetischen</strong> <strong>und</strong> <strong>optischen</strong> <strong>Fallen</strong><br />
Diplomarbeit im<br />
Studiengang Diplom-Physik<br />
vorgelegt von:<br />
Jens Hart<strong>in</strong>g<br />
Betreuender Gutachter:<br />
Zweiter Gutachter:<br />
Prof.Dr.Dr.EberhardR.Hilf<br />
Prof. Dr. Alexander Rauh<br />
Oldenburg, 10. Februar 1999
Inhaltsverzeichnis<br />
1 E<strong>in</strong> Bild geht um die Welt... 1<br />
2 E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> die <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> (BEC) 5<br />
2.1 Verschiedene Ansätze zur quantenstatistischen Beschreibung thermodynamischerSysteme<br />
............................... 5<br />
2.1.1 Mikrokanonische Gesamtheit . . .................. 5<br />
2.1.2 Kanonische Gesamtheit . . . . . .................. 6<br />
2.1.3 Großkanonische Gesamtheit . . . .................. 7<br />
2.2 Die <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> im großkanonischen Ensemble . . . . . . 9<br />
2.3 Thermodynamische Eigenschaften von flüssigem Helium . . . ....... 13<br />
2.3.1 4 He .................................. 13<br />
2.3.2 3 He .................................. 17<br />
2.4 WechselwirkendeQuantengase<strong>in</strong>harmonischen<strong>Fallen</strong>........... 19<br />
2.4.1 Die Gross-Pitaevskii-Theorie . . . .................. 21<br />
2.4.2 Auswirkungen auf thermodynamische Eigenschaften . ....... 23<br />
3 Rekursionsformeln zur Berechnung der kanonischen Zustandssumme 25<br />
3.1 E<strong>in</strong>ältererAnsatz............................... 25<br />
3.2 DieneueRekursionsformel.......................... 26<br />
3.2.1 Andere Ansätze . . . ......................... 28<br />
3.3 Anwendung auf Helium . . . ......................... 29<br />
3.3.1 Die spezifische Wärme C V (T ) .................... 32<br />
3.3.2 Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuationen . . . .................. 34<br />
4 Kühlung von atomaren Gasen <strong>und</strong> <strong>Fallen</strong> für neutrale Teilchen 39<br />
4.1 Doppler - Kühlung . . . . . ......................... 39<br />
4.2 “OptischerSirup”............................... 43<br />
4.3 Sisyphuskühlung . . . . . . ......................... 45<br />
4.4 Optische<strong>Fallen</strong> ................................ 47<br />
4.5 Magnetische<strong>Fallen</strong>.............................. 50<br />
4.6 Verdampfungskühlung . . . ......................... 50<br />
4.7 Magneto-optische<strong>Fallen</strong>(MOT) ....................... 51<br />
4.7.1 Exkurs: Penn<strong>in</strong>g-<strong>und</strong>Paul-Trap................... 52<br />
4.7.2 TOP Trap . . . . . . ......................... 54<br />
4.7.3 Permanent Magnet Trap . . . . . .................. 55<br />
4.7.4 Cloverleaf Trap . . . ......................... 56<br />
4.8 Dichtebestimmung <strong>in</strong> der Atomwolke . . .................. 57<br />
I
II<br />
INHALTSVERZEICHNIS<br />
4.9 NeuesteexperimentelleErgebnisse...................... 58<br />
4.10 Anwendungen neben der <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> . . . ........ 58<br />
4.10.1 Atomoptik . . . . .......................... 58<br />
4.10.2 Hochauflösende Spektroskopie . . . . . ............... 59<br />
4.10.3 Atomuhren . . . . .......................... 59<br />
4.10.4 Ultrakalte Kollisionen . . ...................... 60<br />
4.10.5 Optische P<strong>in</strong>zetten .......................... 60<br />
5 Simulation e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-Gases <strong>in</strong> der TOP-Falle 61<br />
5.1 EigenschaftenderFalle............................ 61<br />
5.2 Bestimmung der kritischen Temperatur T c .................. 63<br />
5.3 Berechnung der Dichteverteilung <strong>in</strong> der Falle . ............... 64<br />
5.4 Zeitentwicklung e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong> Kondensats . . . . . . ........ 72<br />
5.5 VergleichmitdemExperiment ........................ 77<br />
6 Zusammenfassung <strong>und</strong> Ausblick 81<br />
A Dreidimensionale Potentiale 87<br />
A.1 Harmonischer Oszillator . .......................... 87<br />
A.2 Box ...................................... 89<br />
A.2.1 Spezialfall Würfel .......................... 90<br />
A.3 HarteKugel.................................. 90<br />
A.4 Harte Hohlkugel . . . . . . .......................... 92<br />
A.5 Zyl<strong>in</strong>der.................................... 94<br />
A.6 Zyl<strong>in</strong>der mit periodischen Randbed<strong>in</strong>gungen . . ............... 96<br />
A.7 Hohlzyl<strong>in</strong>der ................................. 98<br />
B Beschreibung der verwendeten Programme 101<br />
B.1 Hauptprogramme ...............................101<br />
B.1.1 recur98occup.f . . ..........................101<br />
B.1.2 Potentiale <strong>und</strong> Energieeigenwerte . . . ...............101<br />
B.1.3 howave.f <strong>und</strong> howavet.f . ......................102<br />
B.2 Hilfsskripte<strong>und</strong>-programme.........................102<br />
B.2.1 Sortierprogramme ..........................102<br />
B.2.2 Shell-Skripte . . . ..........................103<br />
C Artikel 105<br />
D Erklärung des Inhalts der CD-Rom 111<br />
E Vollständige Serien der Bilder aus den Simulationen der JILA-Falle 113<br />
E.1 TemperaturabhängigeSequenzen.......................114<br />
E.2 ZeitabhängigeSequenzen...........................122
Abbildungsverzeichnis<br />
1.1 Geschw<strong>in</strong>digkeitsverteilung e<strong>in</strong>es der ersten <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensate für<br />
verschiedeneTemperaturen[29]........................ 1<br />
2.1 Graphische Darstellung der Funktion g 3/2 (z). ................ 10<br />
2.2 Die mittlere Besetzungszahl des Gr<strong>und</strong>zustandes. . . . ........... 12<br />
2.3 P ,T -Phasendiagramm von 4 He. ....................... 14<br />
2.4 Energiespektrum aus Phononen- <strong>und</strong> Rotonenanteil. . . ........... 16<br />
2.5 P ,T -Phasendiagramm von 3 He........................ 18<br />
3.1 Zu den betrachteten Potentialen gehören Kugeln, Boxen <strong>und</strong> Zyl<strong>in</strong>der <strong>und</strong><br />
für die zugehörigen Hohlkörper gilt λ = r/r 2 (Kugel) <strong>und</strong> λ = d/d 2 (Zyl<strong>in</strong>der). 30<br />
3.2 Die Entartung σ der Energieeigenwerte e<strong>in</strong>es Zyl<strong>in</strong>ders mit 10000 Teilchen. 31<br />
3.3 Die spezifische Wärme pro Teilchen für verschiedene Körper <strong>und</strong> N=100,<br />
1000 <strong>und</strong> 10000 Teilchen. . . ......................... 32<br />
3.4 Die spezifische Wärme für verschiedene Zyl<strong>in</strong>der, Hohlzyl<strong>in</strong>der <strong>und</strong> Hohlkugeln<br />
mit N=10000 Teilchen. ........................ 33<br />
3.5 Die spezifische Wärme für unterschiedlich deformierte Hohlzyl<strong>in</strong>der <strong>und</strong><br />
N=10000 Teilchen. . . . . . ......................... 34<br />
3.6 Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuation pro Teilchen für verschiedene Körper <strong>und</strong><br />
N=100, 1000 <strong>und</strong> 10000 Teilchen. . . . . .................. 34<br />
3.7 Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuation für verschiedene Zyl<strong>in</strong>der, Hohlzyl<strong>in</strong>der <strong>und</strong><br />
Hohlkugeln mit N=10000 Teilchen. . . . .................. 35<br />
3.8 Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuationen für unterschiedlich deformierte Hohlzyl<strong>in</strong>der<br />
<strong>und</strong> N=10000 Teilchen. . . . ......................... 35<br />
3.9 Relative Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuationen für unterschiedlich deformierte Quader<br />
<strong>und</strong> N=1000, beziehungsweise N=10000 Teilchen. ........... 36<br />
4.1 Die Absorption e<strong>in</strong>es Photons mit dem Impuls p = ~k (oben) regt e<strong>in</strong><br />
Atom mit der Geschw<strong>in</strong>digkeit v 0 an <strong>und</strong> bewirkt e<strong>in</strong>e Abbremsung um<br />
~k/m auf v = v 0 − ~k/m (rechts). Durch den Übergang <strong>in</strong> den Gr<strong>und</strong>zustand<br />
wird die aufgenommene Energie <strong>in</strong> Form e<strong>in</strong>es spontan emittierten<br />
Photonsabgegeben(l<strong>in</strong>ks)........................... 40<br />
4.2 Ablenkung e<strong>in</strong>es Atomstrahls mit Laserlicht. . . . . . ........... 41<br />
4.3 Ablenkung e<strong>in</strong>es Atomstrahls mit konvergentem Laserlicht. . . ....... 42<br />
4.4 Geschw<strong>in</strong>digkeitsverteilung e<strong>in</strong>es Atomstrahls vor <strong>und</strong> nach der Wechselwirkung<br />
mit Laserlicht e<strong>in</strong>er festen Frequenz. . . . . . ........... 42<br />
4.5 Geschw<strong>in</strong>digkeitsverteilung e<strong>in</strong>es Atomstrahls vor <strong>und</strong> nach der Wechselwirkung<br />
mit Laserlicht e<strong>in</strong>er kont<strong>in</strong>uierlich kle<strong>in</strong>er werdenden Frequenz. . . 43<br />
III
IV<br />
ABBILDUNGSVERZEICHNIS<br />
4.6 Anordnung der Laser zur Erzeugung e<strong>in</strong>es “<strong>optischen</strong> Sirups”: Sechs Laser<br />
werden aus verschiedenen Richtungen auf e<strong>in</strong>e Wolke aus Atomen gerichtet. 43<br />
4.7 Zwei gegene<strong>in</strong>ander ausgerichtete Laser üben e<strong>in</strong>e geschw<strong>in</strong>digkeitsabhängige<br />
Kraft auf e<strong>in</strong> sich mit der Geschw<strong>in</strong>digkeit v bewegendes Teilchen<br />
aus. Die dicke Kurve zeigt die resultierende Kraft aus den von jedem e<strong>in</strong>zelnen<br />
Laser ausgeübten Kräften (dünn). . . . . ............... 44<br />
4.8 E<strong>in</strong>fachstes mögliches Niveauschema für Sisyphus-Kühlung (a). Die<br />
Dicke der Pfeile gibt die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit e<strong>in</strong>es Übergangs an. Durch<br />
Absorptions- <strong>und</strong> Emissionsvorgänge ist der Wechsel <strong>in</strong> e<strong>in</strong> anderes Gr<strong>und</strong>zustandsniveaumöglich(b).<br />
......................... 46<br />
4.9 Durch die Verschiebung der Gr<strong>und</strong>zustandsniveaus s<strong>in</strong>kt die potentielle<br />
Energie der Atome durch Absorptions- <strong>und</strong> Emissionsprozesse, da die<br />
Energie des emittierten Photons größer ist als die des absorbierten. . . . . . 47<br />
4.10 E<strong>in</strong>dimensionale Strahlungsdruckfalle aus zwei gegenüberliegenden divergentenLasern..................................<br />
48<br />
4.11 Schematische Darstellung der Penn<strong>in</strong>g-Falle (nach [123]). . ........ 53<br />
4.12 Schematische Darstellung der TOP-Falle (nach [4]). Die großen horizontal<br />
angebrachten Spulen erzeugen das Anti-Helmholtz-Feld <strong>und</strong> die kle<strong>in</strong>en<br />
vertikal <strong>in</strong>stallierten s<strong>in</strong>d für das rotierende Feld verantwortlich. . . . . . . 55<br />
4.13 Atomfalle mit Permanentmagneten <strong>in</strong> Ioffe-Pritchard-Konfiguration (aus<br />
[119])...................................... 56<br />
4.14 Schematische Darstellung der Kleeblatt-Falle. . ............... 56<br />
5.1 Die spezifische Wärme <strong>in</strong> der TOP-Falle für 2000, 10000, 20000 <strong>und</strong><br />
100000 Teilchen. . . . . . .......................... 63<br />
5.2 L<strong>in</strong>eare <strong>und</strong> logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen<br />
bei T =3,0·10 −9 , 1,0·10 −8 , 4,0·10 −8 <strong>und</strong> 5,5·10 −8 Kelv<strong>in</strong>. ....... 68<br />
5.3 L<strong>in</strong>eare <strong>und</strong> logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 10000<br />
Teilchen bei T =1,0·10 −8 , 4,0·10 −8 , 8,0·10 −8 <strong>und</strong> 1,0·10 −7 Kelv<strong>in</strong>. . . . . . 69<br />
5.4 L<strong>in</strong>eare <strong>und</strong> logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 20000<br />
Teilchen bei T =1,0·10 −8 , 4,0·10 −8 , 8,0·10 −8 <strong>und</strong> 1,0·10 −7 Kelv<strong>in</strong>. . . . . . 70<br />
5.5 L<strong>in</strong>eare <strong>und</strong> logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 100000<br />
Teilchen bei T =1,0·10 −8 , 8,0·10 −8 , 1,6·10 −7 <strong>und</strong> 2,1·10 −7 Kelv<strong>in</strong>. . . . . . 71<br />
5.6 L<strong>in</strong>eare <strong>und</strong> logarithmische Darstellung der zeitabhängigen Dichteverteilung<br />
für 2000 Teilchen bei T =1,0·10 −8 Kelv<strong>in</strong> <strong>und</strong> t=1,0·10 −11 , 2,0·10 −10 ,<br />
9,0·10 −5 <strong>und</strong> 1,0·10 −3 Sek<strong>und</strong>en. . ...................... 75<br />
5.7 L<strong>in</strong>eare <strong>und</strong> logarithmische Darstellung der zeitabhängigen Dichteverteilung<br />
für 2000 Teilchen bei T =4,5·10 −8 Kelv<strong>in</strong> <strong>und</strong> t=1,0·10 −11 , 2,0·10 −10 ,<br />
9,0·10 −5 <strong>und</strong> 1,0·10 −3 Sek<strong>und</strong>en. . ...................... 76<br />
E.1 L<strong>in</strong>eare Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen. ........114<br />
E.2 Logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen. . . . . 115<br />
E.3 L<strong>in</strong>eare Darstellung der Dichteverteilung für 10000 Teilchen. ........116<br />
E.4 Logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 10000 Teilchen. . . . 117<br />
E.5 L<strong>in</strong>eare Darstellung der Dichteverteilung für 20000 Teilchen. ........118<br />
E.6 Logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 20000 Teilchen. . . . 119<br />
E.7 L<strong>in</strong>eare Darstellung der Dichteverteilung für 100000 Teilchen. . . . . . . . 120
ABBILDUNGSVERZEICHNIS<br />
V<br />
E.8 Logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 100000 Teilchen. . . . 121<br />
E.9 L<strong>in</strong>eare zeitabhängige Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen<br />
bei 1.0e-8 Kelv<strong>in</strong>. . . . . . . .........................122<br />
E.10 L<strong>in</strong>eare zeitabhängige Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen<br />
bei 1.0e-8 Kelv<strong>in</strong>. . . . . . . .........................123<br />
E.11 Logarithmische zeitabhängige Darstellung der Dichteverteilung für 2000<br />
Teilchen bei 1.0e-8 Kelv<strong>in</strong>. . .........................124<br />
E.12 Logarithmische zeitabhängige Darstellung der Dichteverteilung für 2000<br />
Teilchen bei 1.0e-8 Kelv<strong>in</strong>. . .........................125
1 E<strong>in</strong> Bild geht um die Welt...<br />
Im Frühjahr 1995 beendete der von amerikanischen Physikern <strong>in</strong> der Zeitschrift “Nature”<br />
veröffentlichte Artikel mit dem Titel “Observation of <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong> Condensation <strong>in</strong> a Dilute<br />
Atomic Vapor” e<strong>in</strong>en jahrelangen Wettlauf um die Erzeugung des ersten atomaren<br />
<strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensats [4]. E<strong>in</strong>er Forschungsgruppe aus Boulder (Colorado) war es gelungen,<br />
<strong>in</strong> e<strong>in</strong>er neuartigen Falle für neutrale Teilchen etwa zweitausend 87 Rb Atome auf<br />
e<strong>in</strong>ige h<strong>und</strong>ert Nanokelv<strong>in</strong> herunterzukühlen. Bei solchen tiefen Temperaturen <strong>und</strong> entsprechendem<br />
Druck kann e<strong>in</strong> bereits 1925 von Albert <strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong> für e<strong>in</strong> ideales Gas vorhergesagter<br />
Effekt e<strong>in</strong>treten: Teilchen mit ganzzahligem Gesamtsp<strong>in</strong> kondensieren <strong>in</strong> e<strong>in</strong>en<br />
geme<strong>in</strong>samen Quantenzustand. Das bedeutet, daß jedes Teilchen dieselben physikalischen<br />
Eigenschaften besitzt, <strong>in</strong>sbesondere identische Orte <strong>und</strong> Geschw<strong>in</strong>digkeiten [39].<br />
Abbildung 1.1: Geschw<strong>in</strong>digkeitsverteilung e<strong>in</strong>es der ersten <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensate für verschiedene<br />
Temperaturen [29].<br />
Albert <strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong> veröffentlichte se<strong>in</strong>e theoretischen Ideen aufgr<strong>und</strong> von Vorüberlegungen<br />
des <strong>in</strong>dischen Physikers Satyendra Nath <strong>Bose</strong> [16], mit dem er zu jener Zeit e<strong>in</strong>en regen<br />
Briefwechsel zu diesem Thema führte. Bei zwei Treffen <strong>in</strong> Paris <strong>und</strong> der Schweiz hatten<br />
<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong> <strong>und</strong> <strong>Bose</strong> Gelegenheit ihre Kontakte zu vertiefen [65].<br />
Wegen der <strong>in</strong>teratomaren van-der-Waals-Wechselwirkungen erschien die experimentelle<br />
1
2 Kapitel 1. E<strong>in</strong> Bild geht um die Welt...<br />
Beobachtung dieses Effekts damals unmöglich. Erw<strong>in</strong> Schröd<strong>in</strong>ger beschrieb das Problem<br />
mit den Worten [103, 112]: “Um e<strong>in</strong>e signifikante Abweichung [vom klassischen Verhalten]<br />
aufzuweisen, benötigt man so hohe Dichten <strong>und</strong> so kle<strong>in</strong>e Temperaturen, daß die vander-Waals-Korrekturen<br />
<strong>und</strong> die Effekte e<strong>in</strong>er möglichen Entartung von der gleichen Größenordnung<br />
se<strong>in</strong> werden, <strong>und</strong> es besteht wenig Aussicht dafür, daß die beiden Arten von<br />
Effekten sich jemals trennen lassen.”<br />
Siebzig Jahre später sche<strong>in</strong>t diese Aussage überholt zu se<strong>in</strong>, denn heute ist es möglich, die<br />
nötigen experimentellen Voraussetzungen zu erreichen. Allerd<strong>in</strong>gs s<strong>in</strong>d die technischen<br />
Möglichkeiten bisher auf sehr dünne Gase aus Alkaliatomen begrenzt, deren Gesamtsp<strong>in</strong><br />
sich aus den E<strong>in</strong>zelsp<strong>in</strong>s der Elektronen <strong>und</strong> Nukleonen zusammensetzt. Obwohl die E<strong>in</strong>zelsp<strong>in</strong>s<br />
halbzahlig s<strong>in</strong>d, ergibt sich für das gesamte Atom e<strong>in</strong>e ganzzahlige Drehimpulsquantenzahl,<br />
so daß die Näherung als Boson bei ger<strong>in</strong>gen Dichten erlaubt ist. Die Kopplung<br />
von Fermionen zu “effektiven” Bosonen ist e<strong>in</strong> <strong>in</strong>teressantes theoretisches Problem, welches<br />
hier jedoch nicht betrachtet werden soll (siehe beispielsweise [91]).<br />
E<strong>in</strong>es der berühmtesten Bilder der populären naturwissenschaftlichen Literatur der letzten<br />
Jahre ist wahrsche<strong>in</strong>lich die <strong>in</strong> Abbildung 1.1 gezeigte Geschw<strong>in</strong>digkeitsverteilung e<strong>in</strong>er<br />
Atomwolke. Sie entspricht e<strong>in</strong>er Falschfarbenaufnahme der Teilchendichte <strong>in</strong> der Atomfalle<br />
der Gruppe aus Boulder. In diesem Fall entspricht die Geschw<strong>in</strong>digkeitsverteilung der<br />
Teilchendichte, da sich die langsamsten Teilchen mit sehr großer Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit im<br />
Zentrum der Falle aufhalten. Sehr anschaulich zeigt sich, wie bei abnehmender Temperatur<br />
die Teilchendichte im Zentrum der Falle zunimmt. Die blauweißen Gebiete bezeichnen m<strong>in</strong>imale<br />
Bewegung <strong>und</strong> größte Dichte. Vor Bildung des Kondensats bei etwa 200 Nanokelv<strong>in</strong><br />
s<strong>in</strong>d die Geschw<strong>in</strong>digkeiten der Atome noch nahezu gleichförmig verteilt. Bei weiterer Abkühlung<br />
auf 100 Nanokelv<strong>in</strong> ersche<strong>in</strong>t das Kondensat als Bereich fast stationärer Atome,<br />
<strong>und</strong> bei noch ger<strong>in</strong>geren Temperaturen bleibt nur noch dieses Objekt übrig.<br />
Nur kurze Zeit nach der Erzeugung des ersten Kondensats durch Eric Cornell <strong>und</strong> se<strong>in</strong>e<br />
Mitarbeiter erreichten zwei weitere amerikanische Gruppen die nötigen experimentellen<br />
Voraussetzungen <strong>und</strong> erzeugten Kondensate aus Lithium [18] <strong>und</strong> Natrium [90]. Diese<br />
Erfolge weckten das Interesse vieler Forscher auf der ganzen Welt, <strong>und</strong> mittlerweile existieren<br />
be<strong>in</strong>ahe zwanzig Laboratorien, die <strong>in</strong> der Lage s<strong>in</strong>d, e<strong>in</strong> <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensat<br />
zu erzeugen. Der jüngste Erfolg war am 30. Dezember 1998 im japanischen Kyoto zu<br />
verzeichnen, wo es der dortigen Quantenoptik-Gruppe gelang, ebenfalls 87 Rb <strong>in</strong> den kondensierten<br />
Zustand zu überführen. Im Vergleich zu den ersten Experimenten hat sich dabei<br />
e<strong>in</strong>iges verändert: Durch weiterentwickelte <strong>Fallen</strong> ist die Zahl der gefangenen Atome um<br />
zwei Größenordnungen gestiegen, <strong>und</strong> die Kühlung bedarf e<strong>in</strong>er sehr viel ger<strong>in</strong>geren Zeit.<br />
Auch die Theoretiker blieben nicht tatenlos, so daß die Zahl der Veröffentlichungen zu<br />
diesem Thema deutlich anstieg. E<strong>in</strong>ige neue Ansätze zur Beschreibung e<strong>in</strong>es dünnen Gases<br />
<strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Atomfalle s<strong>in</strong>d seitdem entstanden <strong>und</strong> können direkt mit dem Experiment<br />
verglichen werden. Diese Ansätze zeigen, daß die üblichen aus Lehrbüchern bekannten<br />
Beschreibungsweisen nicht immer die geeignetesten s<strong>in</strong>d, da sie die Eigenschaften der Experimente<br />
nicht realistisch <strong>in</strong>tegrieren.<br />
An dieser Stelle setzt auch die vorliegende Arbeit an: Das typische Lehrbuchbeispiel zur<br />
<strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> ist die Beschreibung e<strong>in</strong>es idealen <strong>Bose</strong>-Gases unter Verwendung<br />
der großkanonischen Gesamtheit. Aufgr<strong>und</strong> der festen Teilchenzahl <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Atom-
3<br />
falle <strong>und</strong> der endlichen Größe des Potentials bietet sich allerd<strong>in</strong>gs e<strong>in</strong>e kanonische oder<br />
mikrokanonische Beschreibung an.<br />
In dieser Arbeit sollen nach e<strong>in</strong>er E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> verschiedene Ansätze zur quantenstatistischen<br />
Beschreibung idealer <strong>Bose</strong>-Gase <strong>in</strong> Abschnitt 2.1 die theoretischen Gr<strong>und</strong>lagen der<br />
<strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> erklärt werden.<br />
Die Unterschiede zwischen e<strong>in</strong>em idealen <strong>und</strong> e<strong>in</strong>em realen System werden am Beispiel<br />
von flüssigem Helium gezeigt, das aufgr<strong>und</strong> se<strong>in</strong>er Suprafluidität unterhalb von etwa zwei<br />
Kelv<strong>in</strong> ( 4 He) <strong>und</strong> e<strong>in</strong>igen Millikelv<strong>in</strong> ( 3 He) lange Zeit als e<strong>in</strong>ziges Beispiel e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-<br />
<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensats galt (Vergleiche Abschnitt 2.3).<br />
Die <strong>in</strong> den aktuellen Experimenten genutzten <strong>Fallen</strong> lassen sich gut durch harmonische<br />
Oszillatorpotentiale nähern. E<strong>in</strong>e weit verbreitete Theorie zur Beschreibung wechselwirkender<br />
Gase <strong>in</strong> solchen Potentialen ist die Gross-Pitaevskii-Theorie, auf die im Anschluß<br />
e<strong>in</strong>gegangen wird.<br />
Wie bereits bemerkt wurde, ist e<strong>in</strong>e kanonische Beschreibung e<strong>in</strong>es Systems besser geeignet<br />
als e<strong>in</strong>e großkanonische, um aktuelle Experimente zu nähern. Aus diesem Gr<strong>und</strong> wird<br />
<strong>in</strong> Kapitel 3 e<strong>in</strong>e neue Rekursionsformel zur Berechnung der kanonischen Zustandssumme,<br />
beziehungsweise der Besetzungszahlen der Zustände <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Potential, vorgestellt<br />
<strong>und</strong> anschließend auf 4 He <strong>in</strong> verschiedenen harten Potentialen angewandt.<br />
Das eigentliche Ziel dieser Arbeit ist die Simulation e<strong>in</strong>es dünnen Gases aus 87 Rb-Atomen<br />
<strong>in</strong> der sogenannten “Time-Orbit<strong>in</strong>g-Potential-Trap”, kurz TOP-Trap, also der Falle, <strong>in</strong> der<br />
das erste <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensat aus Alkaliatomen erzeugt wurde. Für e<strong>in</strong> besseres Verständnis<br />
der experimentellen Techniken <strong>und</strong> Möglichkeiten werden die Methoden zur Kühlung<br />
e<strong>in</strong>es Teilchengases, die Funktion magneto-optischer <strong>Fallen</strong> <strong>und</strong> das typische Verfahren<br />
zur Erzeugung e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensats im darauffolgenden Kapitel beschrieben.<br />
Dort wird auch speziell auf die ersten Experimente <strong>und</strong> <strong>Fallen</strong>typen e<strong>in</strong>gegangen, sowie<br />
e<strong>in</strong> kurzer Überblick auf benachbarte Gebiete <strong>und</strong> neueste experimentelle Ergebnisse<br />
gegeben.<br />
Anschließend erfolgt im fünften Kapitel unter Verwendung der im dritten Kapitel e<strong>in</strong>geführten<br />
Rekursion die Berechnung der kritischen Temperatur T c , bei der der Übergang zum<br />
Kondensat stattf<strong>in</strong>det. Mit Hilfe der ebenfalls aus der Rekursion erhaltenen Besetzungszahlen<br />
<strong>und</strong> der Wellenfunktion e<strong>in</strong>es Teilchens wird dann die orts- <strong>und</strong> temperaturabhängige<br />
Dichte im Potential der TOP-Falle berechnet.<br />
In den Experimenten wird das <strong>Fallen</strong>potential zu e<strong>in</strong>em bestimmten Zeitpunkt abgeschaltet<br />
<strong>und</strong> die Wolke kann sich frei ausbreiten, was für das angewendete Verfahren zur Dichtebestimmung<br />
<strong>in</strong> der Atomwolke notwendig ist (siehe Abschnitt 4.8). Durch Berechnung der<br />
quantenmechanischen Zeitentwicklung freier nicht wechselwirkender Teilchen wird überprüft,<br />
wie gut sich die experimentellen Daten mit Hilfe dieses Verfahrens nähern lassen.<br />
Den Abschluß dieser Arbeit bildet dann e<strong>in</strong>e Zusammenfassung der Ergebnisse, <strong>in</strong>klusive<br />
der Antwort auf die Frage, wie gut die Näherung e<strong>in</strong>es dünnen Gases wechselwirkender<br />
Atome als e<strong>in</strong> ideales ist. Weiterh<strong>in</strong> sollen Ideen <strong>und</strong> Anregungen für zukünftige Ansätze<br />
zusammengetragen werden.
2<br />
E<strong>in</strong>führung<br />
<strong>in</strong> die<br />
<strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> (BEC)<br />
2.1 Verschiedene Ansätze zur quantenstatistischen Beschreibung<br />
thermodynamischer Systeme<br />
Sowohl <strong>in</strong> der klassischen Statistischen Physik als auch <strong>in</strong> der Quantenstatistik betrachtet<br />
man e<strong>in</strong> physikalisches System Σ({A i }) (mit i =1, 2, ...), dessen Zustand von e<strong>in</strong>er Menge<br />
von außen e<strong>in</strong>stellbarer Variablen {A i } abhängt. Diese makroskopischen Randbed<strong>in</strong>gungen<br />
können beispielsweise Größen wie die Temperatur T , der Druck P , die Teilchenzahl<br />
N, aber auch Funktionen, die von solchen Größen abhängen, se<strong>in</strong>.<br />
Da man es <strong>in</strong> der Regel mit großen Teilchenzahlen zu tun hat <strong>und</strong> Wechselwirkungen nicht<br />
vernachlässigt werden können, ist es nicht möglich die Eigenschaften solcher Systeme direkt<br />
mit den Methoden der Quanten- oder klassischen Mechanik zu berechnen. E<strong>in</strong>e Möglichkeit<br />
dieses Problem zu umgehen ist die Ensemble-Methode von Gibbs, die es durch die<br />
Aufstellung von Postulaten ermöglicht, den zeitlichen Mittelwert e<strong>in</strong>er Variable mit dem<br />
Ensemble-Mittel zu verb<strong>in</strong>den.<br />
E<strong>in</strong> <strong>in</strong>teressanter Ansatz, der zeigt unter welchen Bed<strong>in</strong>gungen die Postulate gelten, wurde<br />
1998 <strong>in</strong> “Physical Review Letters” veröffentlicht [116].<br />
Die Art des Ensembles, mit dem e<strong>in</strong> physikalisches system beschrieben wird, hängt von<br />
den Randbed<strong>in</strong>gungen des Systems ab. An dieser Stelle sollen allerd<strong>in</strong>gs nur drei davon<br />
kurz vorgestellt werden, die zwar von unterschiedlichen Randbed<strong>in</strong>gungen ausgehen, für<br />
große Teilchenzahlen N aber äquivalente quantenstatistische Relationen s<strong>in</strong>d. In kle<strong>in</strong>en<br />
Systemen ergeben sich zum Teil sehr unterschiedliche Ergebnisse.<br />
Das mikrokanonische-, kanonische- <strong>und</strong> großkanonische Ensemble unterscheiden sich <strong>in</strong><br />
erster L<strong>in</strong>ie durch ihre Randbed<strong>in</strong>gungen. Es sollte daher das jeweils günstigste Verfahren<br />
zur Beschreibung des betrachteten Systems ausgewählt werden.<br />
Die E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> diesem Kapitel erfolgt nur sehr kurz, da die Thematik <strong>in</strong> nahezu jedem<br />
Lehrbuch der Statistischen Physik (siehe etwa [44,66,69,82,95,109]) ausführlich behandelt<br />
wird.<br />
2.1.1 Mikrokanonische Gesamtheit<br />
Systeme, die der mikrokanonischen Gesamtheit gehorchen, besitzen e<strong>in</strong>e feste Teilchenzahl<br />
N, e<strong>in</strong>festes Volumen V <strong>und</strong> e<strong>in</strong>e Energie zwischen E <strong>und</strong> E +∆, mit ∆ ≪ E. Die<br />
5
6 Kapitel 2. E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> die <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> (BEC)<br />
mikrokanonische Gesamtheit besetzt das Phasenvolumen<br />
( E
2.1 Großkanonische Gesamtheit 7<br />
dessen Proportionalitätskonstante durch die Normierungsbed<strong>in</strong>gung Sp ˆρ =1festgelegt<br />
wird. Man erhält also mit dem Hamiltonoperator Ĥ des Systems S 1 den Quotienten<br />
e−βĤ<br />
ˆρ = . (2.8)<br />
Sp e−βĤ Der Nenner dieses Bruches wird als die kanonische Zustandssumme def<strong>in</strong>iert:<br />
Z N (β,V )=Spe −βĤ = ∑ n<br />
e −βEn (2.9)<br />
Damit erhält man als thermodynamisches Potential die Helmholtz freie Energie<br />
F (β,V,N)=− 1 β ln Z N(β,V )=U − S β<br />
(2.10)<br />
<strong>und</strong> wiederum lassen sich die <strong>in</strong>nere Energie <strong>und</strong> die Entropie angeben:<br />
U = −∂ N,V<br />
β<br />
S = −β 2 ∂ N,V<br />
β<br />
1<br />
ln Z N (β,V )=−<br />
Z N (β,V ) ∂N,V β<br />
Z N (β,V ) (2.11)<br />
( 1<br />
β ln Z N(β,V ))<br />
. (2.12)<br />
E<strong>in</strong>e weitere wichtige Größe, die <strong>in</strong> späteren Kapiteln von Bedeutung se<strong>in</strong> wird, ist die<br />
spezifische Wärmekapazität:<br />
(<br />
C V = −β 2 ∂ N,V<br />
β<br />
U = β 2 ∂ N,V<br />
β<br />
∂ N,V<br />
β<br />
)<br />
ln Z N (β,V ) . (2.13)<br />
2.1.3 Großkanonische Gesamtheit<br />
Um Systeme zu beschreiben, die sich sowohl <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Wärmebad bef<strong>in</strong>den als auch Teilchen<br />
mit der Umgebung austauschen können, bedient man sich der großkanonischen Gesamtheit.<br />
Die Temperatur T ist daher wie das Volumen V e<strong>in</strong>e gegebene makroskopische<br />
Randbed<strong>in</strong>gung, die Energie fluktuiert dabei um e<strong>in</strong>en Mittelwert, <strong>und</strong> der Austausch von<br />
Teilchen mit e<strong>in</strong>em externen Reservoir bewirkt e<strong>in</strong>e fluktuierende Teilchenzahl N. E<strong>in</strong><br />
def<strong>in</strong>iertes chemisches Potential µ beschreibt den Energiebeitrag, der nötig ist, um e<strong>in</strong><br />
weiteres Teilchen <strong>in</strong> das System zu br<strong>in</strong>gen.<br />
Analog zu Abschnitt 2.1.2 kann der statistische Operator der großkanonischen Gesamtheit,<br />
ˆρ =<br />
ˆN)<br />
e−β(Ĥ−µ<br />
, (2.14)<br />
Sp e−β(Ĥ−µ ˆN)<br />
aufgestellt werden ( ˆN ist der Teilchenzahloperator). Die großkanonische Zustandssumme<br />
ist damit<br />
Ξ µ (β,V )=Spe −β(Ĥ−µ ˆN)<br />
(2.15)<br />
∞∑ ∑<br />
= e −β(En(N)−µN) . (2.16)<br />
N=0<br />
n
8 Kapitel 2. E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> die <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> (BEC)<br />
Führt man die Fugazität<br />
z = e βµ (2.17)<br />
e<strong>in</strong>, so läßt sich die großkanonische Zustandssumme als Polynom <strong>in</strong> z schreiben:<br />
Ξ z (β,V )=<br />
∞∑<br />
z N Z N (β,V ) (2.18)<br />
N=0<br />
Man erhält mit dem Erwartungswert der Teilchenzahl<br />
〈<br />
ˆN〉<br />
= 1 β ∂β,V µ ln Ξ µ (β,V )=z∂ β,V<br />
z ln Ξ(β,V ) (2.19)<br />
die <strong>in</strong>nere Energie<br />
〈 〉<br />
U = −∂ µ,V<br />
β<br />
ln Ξ µ (β,V )+µ ˆN = −∂ z,V<br />
β<br />
ln Ξ z (β,V ). (2.20)<br />
Im großkanonischen Ensemble übernimmt das dazugehörige großkanonische Potential J<br />
die Bedeutung, die die freie Energie im kanonischen <strong>und</strong> die Entropie <strong>in</strong> der mikrokanonischen<br />
Gesamtheit haben:<br />
J(β,V,µ)=− 1 β ln Ξ µ(β,V )=−pV, (2.21)<br />
wobei p den Druck bezeichnet. Die großkanonische Zustandssumme läßt sich dadurch auch<br />
anders schreiben:<br />
Ξ µ (β,V )=e −βJ(β,V,µ) . (2.22)<br />
Betrachtet man den Spezialfall e<strong>in</strong>es dünnen Gases aus nicht wechselwirkenden Bosonen,<br />
ist die Gesamtenergie<br />
E(N) = ∑ i<br />
ɛ i η i (2.23)<br />
aus den Energien ɛ i der E<strong>in</strong>teilchenzustände <strong>und</strong> ihren Besetzungszahlen η i zusammengesetzt.<br />
Weiterh<strong>in</strong> müssen die Besetzungszahlen der Bed<strong>in</strong>gung ∑ i η i = N folgen. Dadurch<br />
wird die großkanonische Zustandssumme für das ideale <strong>Bose</strong>-Gas zu<br />
Ξ µ (β,V )=<br />
=<br />
∞∑<br />
N=0<br />
∞∑<br />
N=0<br />
∑<br />
P{η i }<br />
ηi =N<br />
∑<br />
P{η i }<br />
ηi =N<br />
z N e −βP i ɛ iη i<br />
(2.24)<br />
∏ (<br />
ze<br />
−βɛ i<br />
) ηi<br />
, (2.25)<br />
i
2.2 Die <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> im großkanonischen Ensemble 9<br />
wobei die Doppelsumme e<strong>in</strong>e unabhängige Summation über alle η i darstellt. In der großkanonischen<br />
Zustandssumme lassen sich die Summationen besonders e<strong>in</strong>fach durchführen<br />
<strong>und</strong> dadurch beispielsweise die Besetzungszahlen berechnen (siehe unten). Das ist der<br />
Gr<strong>und</strong> dafür, warum diese Näherung <strong>in</strong> den meisten Lehrbüchern zur Beschreibung der<br />
<strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> benutzt wird. Die Auswertung der kanonischen Zustandssumme<br />
ist dagegen wegen der Teilchenzahlbeschränkung weitaus komplizierter <strong>und</strong> nur mit<br />
relativ aufwendigen Verfahren, wie den <strong>in</strong> Abschnitt 3 beschriebenen Rekursionsformeln,<br />
möglich. Somit erhalten wir nach [69]<br />
Ξ µ (β,V )= ∏ ( )<br />
∑ (<br />
ze<br />
−βɛ i<br />
) ηi<br />
(2.26)<br />
i η i<br />
= ∏ i<br />
1<br />
1 − ze −βɛ i . (2.27)<br />
Die mittlere Anzahl Teilchen mit der Energie ɛ i ist dann die <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<br />
Verteilungsfunktion:<br />
〈η i 〉 = − 1 β ∂ ɛ i<br />
ln Ξ µ (β,V ) (2.28)<br />
= ze−βɛ i<br />
1 − ze −βɛ i<br />
=<br />
1<br />
e β(ɛ i−µ)<br />
− 1<br />
(2.29)<br />
2.2 Die <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> im großkanonischen<br />
Ensemble<br />
In der großkanonischen Beschreibung ergibt sich die Zustandsgleichung e<strong>in</strong>es idealen<br />
<strong>Bose</strong>-Gases aus N Teilchen der Masse m <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Volumen V zu [69]<br />
N<br />
V = 1 λ 3 g 3/2(z)+ 1 V<br />
1<br />
1 − z . (2.30)<br />
Dabei ist<br />
√<br />
2π~<br />
2<br />
λ =<br />
(2.31)<br />
mT<br />
die thermische De-Broglie-Wellenlänge, <strong>und</strong> für die weitere Beschreibung wird das spezifische<br />
Volumen v = V/N e<strong>in</strong>geführt. Die Funktion g 3/2 (z) ist e<strong>in</strong> Spezialfall der allgeme<strong>in</strong>en<br />
Klasse von Funktionen, die durch<br />
∞∑ z l<br />
g n (z) =<br />
(2.32)<br />
l n<br />
def<strong>in</strong>iert ist. Damit g 3/2 (z) die Zustandsgleichung erfüllt, muß die Fugazität z zwischen 0<br />
<strong>und</strong> 1 liegen, so daß g 3/2 (z) e<strong>in</strong>e beschränkte, positive, monoton wachsende Funktion ist.<br />
Nach Def<strong>in</strong>ition 2.32 erhält man<br />
g 3/2 (z) =z + z2<br />
2<br />
l=1<br />
3/2<br />
+<br />
z3<br />
+ ..., (2.33)<br />
33/2
10 Kapitel 2. E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> die <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> (BEC)<br />
deren Ableitung für z =1zwar divergiert, jedoch e<strong>in</strong>en endlichen Wert besitzt:<br />
∞∑<br />
( )<br />
1 3<br />
g 3/2 (1) =<br />
l = ζ =2, 612 (2.34)<br />
3/2 2<br />
l=1<br />
Bei ζ(n) handelt es sich um die Riemansche Zetafunktion, die nach [66] für alle n mit g n<br />
wie<br />
verknüpft ist. Für den beschränkten Bereich von z gilt weiterh<strong>in</strong><br />
g n (1) = ζ(n) (2.35)<br />
g 3/2 ≤ 2, 612. (2.36)<br />
Abbildung 2.1 zeigt e<strong>in</strong>e graphische Darstellung der Funktion g 3/2 (z).<br />
2,612<br />
g 3/2 (z)<br />
Abbildung 2.1: Graphische Darstellung der Funktion g 3/2 (z).<br />
1<br />
z<br />
Formt man (2.30) mit dem Erwartungswert der Gr<strong>und</strong>zustandsbesetzungszahl<br />
〈η 0 〉 = z<br />
1 − z<br />
um zu<br />
so folgt, daß<br />
〈η 0 〉<br />
V<br />
(2.37)<br />
=<br />
λ3<br />
v − g 3/2(z), (2.38)<br />
〈η 0 〉<br />
V > 0 (2.39)<br />
ist, wenn für die Temperatur <strong>und</strong> das spezifische Volumen<br />
λ 3<br />
v >g 3/2(1) (2.40)<br />
gilt. Das bedeutet, daß e<strong>in</strong>e makroskopische Zahl der Teilchen das Gr<strong>und</strong>zustandsniveau<br />
besetzt, <strong>und</strong> diese Bed<strong>in</strong>gung def<strong>in</strong>iert e<strong>in</strong>en Unterraum des thermodynamischen (P ,V ,β)-<br />
Raumes für das ideale <strong>Bose</strong>-Gas, der dem Übergangsgebiet zum <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensat<br />
entspricht.
2.2 Die <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> im großkanonischen Ensemble 11<br />
Vom übrigen Teil des (P ,V ,β)-Raumes ist das <strong>Kondensation</strong>sgebiet durch die zweidimensionale<br />
Fläche<br />
λ 3<br />
v = g 3/2(1) (2.41)<br />
getrennt. Legt man also das spezifische Volumen v fest <strong>und</strong> löst diese Gleichung nach λ 3<br />
auf, ergibt sich e<strong>in</strong>e kritische Temperatur<br />
T c = 1 β c<br />
=<br />
2π~ 2<br />
m ( vg 3/2 (1) ) 2/3 . (2.42)<br />
Diese Temperatur entspricht dem Punkt, an dem die thermische De-Broglie-Wellenlänge λ<br />
von der gleichen Größenordnung wie der mittlere Teilchenabstand ist. Ist die Temperatur<br />
fest <strong>und</strong> gegeben, so erhält man e<strong>in</strong> kritisches Volumen<br />
v c =<br />
λ3<br />
g 3/2 (1) . (2.43)<br />
Vollzieht man den Grenzübergang zu e<strong>in</strong>em unendlichen Volumen, ergibt sich nach [69]<br />
für die Fugazität<br />
⎧<br />
Lösung von g ⎪⎨<br />
3/2 (z) = λ3 λ 3<br />
falls<br />
v v ≤ g 3/2(1),<br />
z =<br />
(2.44)<br />
⎪⎩<br />
λ 3<br />
1 falls<br />
v ≥ g 3/2(1)<br />
<strong>und</strong> mit (2.37) folgt für die Gr<strong>und</strong>zustandsbesetzungszahl<br />
⎧⎪<br />
0 falls<br />
〈η 0 〉 ⎨<br />
N = ( ) 3/2<br />
⎪ T ⎩ 1 − = 1 − v falls<br />
T c<br />
Der Verlauf dieser Funktion ist <strong>in</strong> Abbildung 2.2 wiedergegeben.<br />
v c<br />
λ 3<br />
v ≤ g 3/2(1),<br />
λ 3<br />
v ≥ g 3/2(1).<br />
(2.45)<br />
Man sieht, daß oberhalb der kritischen Temperatur ke<strong>in</strong> e<strong>in</strong>ziger Zustand von e<strong>in</strong>er endlichen<br />
Anzahl Teilchen besetzt ist. Unterhalb von T c f<strong>in</strong>det sich jedoch e<strong>in</strong> makroskopischer<br />
Anteil der Teilchen im Gr<strong>und</strong>zustand, während die übrigen Bosonen ebenfalls über alle<br />
weiteren Zustände verteilt s<strong>in</strong>d. Bei T =0bef<strong>in</strong>den sich alle Teilchen im untersten Niveau.<br />
Oftmals wird die <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> als <strong>Kondensation</strong> im Impulsraum beschrieben.<br />
Betrachtet man allerd<strong>in</strong>gs die Zustandsgleichung, so erkennt man nach Huang ke<strong>in</strong>en<br />
Unterschied zwischen diesem Effekt <strong>und</strong> der <strong>Kondensation</strong> e<strong>in</strong>es Gases zu e<strong>in</strong>er Flüssigkeit,<br />
also e<strong>in</strong>es Phasenübergangs erster Ordnung. Bef<strong>in</strong>det sich das Gas <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em externen<br />
Potential, so f<strong>in</strong>det nach Huangs Def<strong>in</strong>ition e<strong>in</strong> Phasenübergang zweiter Ordnung statt [69].
12 Kapitel 2. E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> die <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> (BEC)<br />
〈η 0 〉 /N<br />
1<br />
Abbildung 2.2: Die mittlere Besetzungszahl des Gr<strong>und</strong>zustandes.<br />
T c<br />
T<br />
Der Begriff “<strong>Kondensation</strong> im Impulsraum” dient nur der Betonung, daß es sich bei der<br />
<strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> um e<strong>in</strong>e vollständige Symmetrisierung der Wellenfunktionen<br />
<strong>und</strong> nicht um das Ergebnis <strong>in</strong>termolekularer Wechselwirkungen handelt.<br />
Aufgr<strong>und</strong> von (2.44) unterscheiden sich für alle thermodynamischen Variablen die Beschreibung<br />
unterhalb <strong>und</strong> oberhalb der kritischen Temperatur. Nach [95] <strong>und</strong> [69] erhält<br />
man für den Druck des idealen <strong>Bose</strong>-Gases<br />
⎧<br />
1<br />
⎪⎨ λ g 5/2(z) falls v>v 3 c ,<br />
βP =<br />
(2.46)<br />
⎪⎩<br />
1<br />
λ g 5/2(1) falls vv c ,<br />
2 Pv = ⎪<br />
3 v ⎩<br />
2 λ 3 β g 5/2(1) falls vv 3 c ,<br />
⎪ ⎩<br />
5 v<br />
2 λ g 5/2(1) falls vv 3 c ,<br />
4 g 1/2 (z)<br />
V<br />
N = ⎪ ⎩<br />
15 v<br />
4 λ g 5/2(1) falls v
2.3 Thermodynamische Eigenschaften von flüssigem Helium 13<br />
2.3 Thermodynamische Eigenschaften von flüssigem<br />
Helium<br />
Bis vor e<strong>in</strong>igen Jahren war Helium die e<strong>in</strong>zige bekannte Flüssigkeit, die bei sehr niedrigen<br />
Temperaturen existiert. Man g<strong>in</strong>g davon aus, daß 4 He der e<strong>in</strong>zige Stoff ist, der <strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>s<br />
Postulat e<strong>in</strong>es Kondensats nahekommt. Der entscheidende Unterschied zwischen e<strong>in</strong>em<br />
idealen Gas <strong>und</strong> e<strong>in</strong>em realen System s<strong>in</strong>d <strong>in</strong>teratomare Wechselwirkungen, für deren Beschreibung<br />
zum<strong>in</strong>dest für den Fall 4 He schon lange Theorien existieren.<br />
Extrapoliert man die für Helium experimentell erhaltene Dampfdruckkurve bis zum absoluten<br />
Nullpunkt, so zeigt sich, daß die Steigung dP/dT >0 ist, was bedeutet, daß selbst<br />
dort e<strong>in</strong>e Flüssigkeit existiert. E<strong>in</strong>e feste Phase kann nur bei e<strong>in</strong>em äußeren Druck von etwa<br />
25bar entstehen [70].<br />
Warum aber bleibt Helium bei niedrigen Temperaturen flüssig Zum e<strong>in</strong>en s<strong>in</strong>d die Wechselwirkungen<br />
zwischen den Atomen bei Edelgasen schwach. Weiterh<strong>in</strong> hat es unter den<br />
Edelgasen die kle<strong>in</strong>ste Masse. Daher ist die Nullpunktsbewegung der Atome vergleichsweise<br />
groß, so daß ihnen ke<strong>in</strong>e wohldef<strong>in</strong>ierten Gitterpunkte zugeordnet werden können.<br />
Betrachtet man Heliumatome ohne äußeren Druck am absoluten Nullpunkt, bestimmt sich<br />
die wahrsche<strong>in</strong>lichste Konfiguration durch die Wellenfunktion des Gr<strong>und</strong>zustandes. Diese<br />
muß so se<strong>in</strong>, daß die Gesamtenergie des Systems m<strong>in</strong>imal wird. Man geht weiterh<strong>in</strong> davon<br />
aus, daß e<strong>in</strong> Atom e<strong>in</strong>en durch die Dichte ρ bestimmten Bereich ∆x =(N/ρ) 1/3 e<strong>in</strong>nehmen<br />
muß, der viel kle<strong>in</strong>er als die Reichweite des Potentials ist. ∆x ist ungefähr 0,5·10 −10 m,<br />
<strong>und</strong> nach der Unschärferelation ergibt sich e<strong>in</strong>e Unschärfe <strong>in</strong> der Energie, die nach [70] <strong>in</strong><br />
E<strong>in</strong>heiten von k B <strong>in</strong> der Größenordnung von<br />
∆E = 1<br />
2m<br />
( ~<br />
∆x<br />
) 2<br />
∼ 10K (2.50)<br />
liegt. Da das mit der Tiefe des Potentialtopfes vergleichbar ist, ist es nicht möglich, die<br />
Teilchen zu lokalisieren. Andere Edelgase bleiben dagegen bei tiefen Temperaturen nicht<br />
flüssig, weil ihre Massen größer s<strong>in</strong>d. Das leichtere H 2 besitzt so starke molekulare Wechselwirkungen,<br />
daß es bei endlicher Temperatur <strong>in</strong> den festen Zustand übergeht. Im Gegensatz<br />
zum Wasserstoff besitzt Helium ke<strong>in</strong>e geb<strong>und</strong>enen Zwei-Teilchen-Zustände.<br />
In der Natur tritt Helium <strong>in</strong> Form von zwei Isotopen, 3 He <strong>und</strong> 4 He, auf, die unter Normaldruck<br />
bei 3,2K <strong>und</strong> 4,2K flüssig werden. 3 He tritt jedoch <strong>in</strong> der Natur weitaus seltener<br />
auf <strong>und</strong> ist außerdem nur mit großem Aufwand herstellbar. Aufgr<strong>und</strong> der Zusammensetzung<br />
aus sechs Fermionen ist der Gesamtsp<strong>in</strong> von 4 He ganzzahlig <strong>und</strong> es gehorcht der<br />
<strong>Bose</strong>-Statistik. 3 He dagegen besitzt e<strong>in</strong>en halbzahligen Gesamtsp<strong>in</strong> <strong>und</strong> läßt sich daher als<br />
Fermion ansehen.<br />
2.3.1 4 He<br />
Heike Kammerl<strong>in</strong>gh Onnes aus Leiden <strong>in</strong> den Niederlanden erhielt 1913 den Nobelpreis,<br />
weil es ihm 1908 als erstem gelungen war, Helium zu verflüssigen. 1 Schon damals bemerk-<br />
1 Tatsächlich machte Kammerl<strong>in</strong>gh Onnes’ Assistent G. Holst, der später die Philips Forschungslabore<br />
gründete, diese Entdeckungen. Es ist allerd<strong>in</strong>gs klar, daß die Experimente von Kammerl<strong>in</strong>gh Onnes geplant
14 Kapitel 2. E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> die <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> (BEC)<br />
te er, daß <strong>in</strong> 4 He bei etwa 2 Kelv<strong>in</strong> etwas außergewöhnliches geschieht.<br />
Es dauerte allerd<strong>in</strong>gs bis zum Ende der dreißiger Jahre, bis Pjotr Kapitza das Phänomen<br />
experimentell studierte.<br />
4 He zeigt bei der Temperatur T λ =2, 18K e<strong>in</strong>en sogenannten λ-Übergang 2 , das heißt an<br />
diesem Punkt wird die spezifische Wärme logarithmisch unendlich. Der λ-Übergang teilt<br />
die flüssige Phase <strong>in</strong> zwei weitere, die He I <strong>und</strong> He II genannt werden. Abbildung 2.3 zeigt<br />
das P ,T -Phasendiagramm von 4 He.<br />
P<br />
fest<br />
λ-Übergang<br />
25 bar<br />
He I<br />
He II<br />
kritischer Punkt<br />
Gas<br />
T λ =2,18K T<br />
Abbildung 2.3: P ,T -Phasendiagramm von 4 He.<br />
Lange Zeit war man der Me<strong>in</strong>ung, daß e<strong>in</strong> solcher Übergang bei 3 He nicht existiert. Da 3 He<br />
der Fermi-Statistik gehorcht <strong>und</strong> 4 He mit der <strong>Bose</strong>-Statistik beschrieben werden kann, lag<br />
die Vermutung nahe, daß es sich bei diesem Vorgang um die durch molekulare Wechselwirkungen<br />
verfälschte <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> handelt. Fritz London veröffentlichte<br />
diese Idee bereits 1938 [84–86]. Weitere Arbeiten zu diesem Thema wurden beispielsweise<br />
von Oliver Penrose <strong>und</strong> Lars Onsager vorgelegt [102].<br />
Die <strong>in</strong> dieser Arbeit vorgestellten Betrachtungen gehen von e<strong>in</strong>em idealen 4 He Gas aus. Die<br />
Masse der Teilchen beträgt m4 He =6, 6455168 · 10 −27 kg, <strong>und</strong> die Dichte von flüssigem<br />
Helium ist ρ4 He = 125 kg . Das Volumen V , <strong>in</strong> dem sich die Teilchen bef<strong>in</strong>den, wird als<br />
m 3<br />
konstant angesehen <strong>und</strong> aus Masse, Dichte <strong>und</strong> Teilchenzahl N berechnet. Setzt man diese<br />
Werte <strong>in</strong> die Gleichung<br />
(<br />
T c = 2π~2 N<br />
mk B Vg 3/2 (1)<br />
) 2<br />
3<br />
(2.51)<br />
e<strong>in</strong>, ergibt sich die kritische Temperatur T c = 3, 14K. Der Unterschied zwischen dem<br />
λ-Übergang <strong>und</strong> dem Wert des idealen <strong>Bose</strong>-Gases ist, daß es sich nicht um e<strong>in</strong>en Phasenübergang<br />
erster Ordnung handelt. Zwar spielt die <strong>Bose</strong>-Statistik die größte Rolle beim<br />
Übergang <strong>in</strong> flüssigem 4 He, es existiert jedoch bisher ke<strong>in</strong>e exakte Theorie, die die <strong>in</strong>termolekularen<br />
Kräfte vollständig e<strong>in</strong>bezieht. Obwohl die potentielle Energie zwischen 4 He<br />
Atomen bekannt ist, läßt sich die Zustandssumme nur formal aufschreiben <strong>und</strong> ist bisher<br />
<strong>und</strong> vorgeschlagen worden s<strong>in</strong>d [23].<br />
2 Der griechische Buchstabe λ wurde für die Bezeichnung dieses Übergangs gewählt, weil die Form des<br />
Temperaturverlaufs der spezifischen Wärme C V <strong>in</strong> der Nähe von T λ diesem Zeichen ähnlich sieht. Ähnlichkeiten<br />
bestehen auch zu den Übergängen von Ferromagneten <strong>in</strong> der Nähe des Curie-Punktes <strong>und</strong> b<strong>in</strong>ären<br />
Legierungen <strong>in</strong> der Nähe des Ordnungs-Unordnungs-Überganges.
2.3 4 He 15<br />
nicht explizit berechnet worden. Aus diesem Gr<strong>und</strong> ist der Zusammenhang zwischen dem<br />
λ-Übergang <strong>und</strong> der <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> zur Zeit nur e<strong>in</strong>e s<strong>in</strong>nvoll ersche<strong>in</strong>ende<br />
Vermutung.<br />
Könnte Helium sich oberhalb von T λ verfestigen, so würden die Wellenfunktionen der<br />
e<strong>in</strong>zelnen Atome nicht überlappen <strong>und</strong> die Symmetrie der Gesamtwellenfunktion ke<strong>in</strong>e<br />
entscheidenden Folgen zeigen, das heißt die <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> wäre nicht beobachtbar.<br />
E<strong>in</strong>e gute Beschreibung von 4 He für Temperaturen unterhalb der Übergangstemperatur T λ<br />
ist die sogenannte Zwei-Phasen-Theorie von Laszlo Tisza, die die Koexistenz e<strong>in</strong>er suprafluiden<br />
<strong>und</strong> e<strong>in</strong>er normalen Phase annimmt [118]. 3 Die Atome im Gr<strong>und</strong>zustand, also<br />
das <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensat, entsprechen hier der suprafluiden Phase, <strong>und</strong> die angeregten<br />
Atome bef<strong>in</strong>den sich <strong>in</strong> der normalen Phase. Tisza nimmt an, daß sich die normale Flüssigkeit<br />
wie e<strong>in</strong>e gewöhnliche, klassisch bekannte Flüssigkeit verhält <strong>und</strong> der suprafluide Teil<br />
e<strong>in</strong>ige außergewöhnliche Eigenschaften besitzt: Ihre Entropie ist Null <strong>und</strong> sie kann ohne<br />
Widerstand durch Kanäle von extrem kle<strong>in</strong>en Durchmessern fließen. 4 E<strong>in</strong>e sehr kle<strong>in</strong>e Öffnung<br />
<strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Gefäß mit He II filtert die suprafluide Komponente, weil die andere Phase<br />
das Loch nicht passieren kann. Verb<strong>in</strong>det man zwei Gefäße mit e<strong>in</strong>em dünnen Rohr <strong>und</strong><br />
br<strong>in</strong>gt e<strong>in</strong>en Teil der suprafluiden Komponente durch e<strong>in</strong> Druckgefälle dazu, <strong>in</strong> das andere<br />
Gefäß zu fließen, steigt die Entropie pro Massene<strong>in</strong>heit im ersten Gefäß an <strong>und</strong> nimmt im<br />
zweiten ab. Aus diesem Gr<strong>und</strong> erwärmt sich das erste Gefäß <strong>und</strong> das zweite kühlt sich ab<br />
(mechanokalorischer Effekt). Der umgekehrte Effekt, also die Erzeugung e<strong>in</strong>es Druckgefälles<br />
durch Erwärmung, heißt Spr<strong>in</strong>gbrunnen-Effekt. Weiterh<strong>in</strong> ist suprafluides Helium <strong>in</strong><br />
der Lage, an Wänden hochzufließen <strong>und</strong> e<strong>in</strong> ausgezeichneter Wärmeisolator.<br />
Die beschriebenen Effekte lassen sich mit dem Zwei-Flüssigkeits-Modell erklären, es fehlt<br />
jedoch e<strong>in</strong>e vollständige hydrodynamische Beschreibung von flüssigem 4 He, sowie se<strong>in</strong>er<br />
molekularen Natur. 5 Landau <strong>und</strong> Feynman versuchen die molekulare Natur mit Hilfe des<br />
Zwei-Flüssigkeits-Modells <strong>in</strong> der Nähe des absoluten Nullpunktes zu erklären.<br />
Wie <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Phononengas ist die experimentelle spezifische Wärme bei Temperaturen <strong>in</strong><br />
der Nähe des Nullpunktes proportional zu T 3 . Landau beschreibt daher die Zustände <strong>in</strong> der<br />
Nähe des Gr<strong>und</strong>zustandes als e<strong>in</strong> Gas aus nicht mite<strong>in</strong>ander wechselwirkenden Elementar-<br />
3 Auch für <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong> Kondensate aus Alkaliatomen existieren Ansätze dieser Art. Siehe beispielsweise<br />
[36].<br />
4 Die Fähigkeit durch extrem kle<strong>in</strong>e Durchmesser fließen zu können, macht man sich <strong>in</strong> der Praxis zum<br />
Beispiel bei modernen supraleitenden Magneten zu nutze. Möchte man sehr starke Felder erzeugen, so s<strong>in</strong>d<br />
zum e<strong>in</strong>en Spulen mit vielen Wicklungen <strong>und</strong> zum anderen hohe Ströme nötig. Damit die Spulen, die <strong>in</strong> der<br />
Regel aus Niob hergestellt werden, möglichst gut gekühlt werden, benutzt man nicht nur flüssiges, sondern<br />
suprafluides Helium. Dieses ist <strong>in</strong> der Lage, zwischen den Niobwicklungen h<strong>in</strong>durchzufließen <strong>und</strong> dadurch<br />
e<strong>in</strong>e gleichmäßige Kühlung zu gewährleisten. E<strong>in</strong>e Anwendung f<strong>in</strong>den solche Magnete mit Feldern von etwa<br />
10 Tesla beispielsweise <strong>in</strong> zukünftigen Beschleunigern [57].<br />
5 Bisher s<strong>in</strong>d nur Neutronenstreuexperimente <strong>in</strong> der Lage, den Anteil der kondensierten Phase zu messen.<br />
Allerd<strong>in</strong>gs s<strong>in</strong>d die Ergebnisse schwer zu <strong>in</strong>terpretieren, <strong>und</strong> es wird nicht damit gerechnet, daß der kondensierte<br />
Teil <strong>in</strong> den nächsten Jahren direkt mit solchen Verfahren beobachtet werden kann [114]. Neuere<br />
Ansätze arbeiten mit niederenergetischen Heliumstrahlen, die auf e<strong>in</strong>e suprafluide Schicht gelenkt werden.<br />
E<strong>in</strong> Atom, das auf das Target trifft, besitzt e<strong>in</strong>e Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit mit den kondensierten Atomen zu wechselwirken<br />
<strong>und</strong> sofort auf der anderen Seite des Targets wieder auszutreten (Quantum Evaporation). Durch<br />
Time-of-Flight Messungen kann der kondensierte Anteil bestimmt werden [122].
16 Kapitel 2. E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> die <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> (BEC)<br />
anregungen, deren Energieniveaus<br />
E n = E 0 + ∑ k<br />
~ω k n k (2.52)<br />
s<strong>in</strong>d [70, 83]. 6 ~ω k ist die Energie e<strong>in</strong>er Elementaranregung mit dem Wellenvektor k <strong>und</strong><br />
n k =0, 1, 2... die jeweilige Besetzungszahl. Diese Energie muß <strong>in</strong> der Nähe des Nullpunktes<br />
die richtige spezifische Wärme liefern. Da die Temperatur proportional zu T 3 ist,<br />
folgt für k → 0 die Beziehung ω k → ~ck (k ist hier der Betrag von k). Die Schallgeschw<strong>in</strong>digkeit<br />
c <strong>in</strong> flüssigem Helium berechnet sich nach der statischen Def<strong>in</strong>ition der<br />
Festkörpertheorie:<br />
c = √ ∂ ρ P. (2.53)<br />
(Gleichung 2.53 gilt nur, wenn c viel kle<strong>in</strong>er als die Lichtgeschw<strong>in</strong>digkeit ist !) Für endliche<br />
Temperaturen erhält die spezifische Wärme C V e<strong>in</strong>en zusätzlichen Term exp(−∆/k B T ).<br />
Bei ∆ handelt es sich um e<strong>in</strong>e aus dem Experiment zu bestimmende Konstante. Weitere<br />
Konstanten dieser Art s<strong>in</strong>d k 0 <strong>und</strong> σ, sodaß gilt:<br />
{ ~ck (k ≪ k0 )<br />
~ω =<br />
∆+ ~2 (k−k 0 ) 2<br />
(k ∼ k<br />
2σ 0 )<br />
(2.54)<br />
Diese Funktion ist <strong>in</strong> Abbildung 2.4 dargestellt. Der Teil für kle<strong>in</strong>e k verläuft l<strong>in</strong>ear <strong>und</strong><br />
~ω k<br />
Rotonenanteil<br />
Phononenanteil<br />
~ck<br />
Abbildung 2.4: Energiespektrum aus Phononen- <strong>und</strong> Rotonenanteil.<br />
wird Phononenanteil genannt, der Teil um k 0 dagegen Rotonenanteil. Landau dachte, daß es<br />
sich bei den Rotonen um von den Phononen verschiedene Anregungen mit Sp<strong>in</strong> ~ handelt<br />
<strong>und</strong> gab ihnen daher den zusätzlichen Namen. Tatsächlich s<strong>in</strong>d allerd<strong>in</strong>gs beide Teilstücke<br />
der <strong>in</strong> Abbildung 2.4 dargestellten Kurve Teil e<strong>in</strong>er e<strong>in</strong>zigen Funktion.<br />
Bei tiefen Temperaturen <strong>und</strong> ger<strong>in</strong>ger Dichte kann man die Quasiteilchen als unabhängig,<br />
also als ideales <strong>Bose</strong>-Gas, betrachten. In großkanonischer Näherung ist die mittlere Teilchenzahl<br />
〈n k 〉 =<br />
k 0<br />
∆<br />
k<br />
1<br />
e ~βω k − 1<br />
, (2.55)<br />
6 Landau soll e<strong>in</strong>mal folgendes gesagt haben: “Die Theorie der Suprafluidität ist me<strong>in</strong>e beste Theorie, weil<br />
sie bis jetzt niemand richtig versteht.”
2.3 3 He 17<br />
<strong>und</strong> die <strong>in</strong>nere Energie im Volumen V wird<br />
U = E 0 + ∑ k<br />
~ω k 〈n k 〉 = E 0 + V ∫ ∞<br />
dk<br />
k2 ~ω k<br />
. (2.56)<br />
2π 2 e β~ω k − 1<br />
0<br />
Dann ist die spezifische Wärme für N Teilchen<br />
C V = ∂ T U. (2.57)<br />
Da bei niedrigen Temperaturen nur der Photonen- <strong>und</strong> Rotonenanteil zum Integral <strong>in</strong> der<br />
Gleichung für die <strong>in</strong>nere Energie beitragen, kann die spezifische Wärme näherungsweise<br />
aus diesen beiden Anteilen zusammengesetzt werden, <strong>in</strong>dem man für ~ω den entsprechenden<br />
Teil aus (2.54) <strong>in</strong> (2.56) e<strong>in</strong>setzt <strong>und</strong> jeweils partiell nach der Temperatur T differenziert.<br />
Während Landau das Problem auf phänomenologische Weise löst, <strong>in</strong>dem er se<strong>in</strong> Energiespektrum<br />
über experimentell zu bestimmende Konstanten anpaßt, bedient Feynman<br />
[41–44, 88] sich der Quantenmechanik.<br />
Er beschreibt die Wellenfunktion des Zustandes, <strong>in</strong> dem e<strong>in</strong>e Elementaranregung vorhanden<br />
ist, näherungsweise durch<br />
ψ k ∼<br />
N∑<br />
e ikr j<br />
ψ 0 , (2.58)<br />
j=1<br />
wobei ~k der Impuls der Elementaranregung <strong>und</strong> ψ 0 die Gr<strong>und</strong>zustandswellenfunktion<br />
s<strong>in</strong>d [70]. Laut Feynman beschreibt ψ k für k → 0 e<strong>in</strong>e Dichteschwankung <strong>in</strong> der Flüssigkeit,<br />
also e<strong>in</strong>e Schallwelle. Das bedeutet, daß es sich bei den Phononen um quantisierte<br />
Schallwellen handelt. Ist k endlich, s<strong>in</strong>d die durch ψ k beschriebenen Bewegungen komplizierter<br />
<strong>und</strong> wenn k ungefähr k 0 entspricht, ist ψ k näherungsweise noch im Roton-Gebiet<br />
gültig.<br />
Die Beschreibung durch ψ k funktioniert bei sehr niedrigen Energien gut, andere Anregungstypen<br />
müssen jedoch vom Gr<strong>und</strong>zustand durch e<strong>in</strong>e endliche Energielücke getrennt<br />
se<strong>in</strong>.<br />
2.3.2 3 He<br />
Wie bereits erwähnt, tritt 3 He <strong>in</strong> der Natur extrem seltener auf als 4 He <strong>und</strong> wird auch für<br />
die Betrachtungen <strong>in</strong> späteren Kapiteln dieser Arbeit nicht benutzt. Allerd<strong>in</strong>gs sorgte dieses<br />
Isotop <strong>in</strong> den letzten Jahren für große Aufmerksamkeit <strong>und</strong> soll daher an dieser Stelle kurz<br />
behandelt werden.<br />
Aufgr<strong>und</strong> se<strong>in</strong>es halbzahligen Sp<strong>in</strong>s folgen 3 He Atome der Fermi-Dirac-Statistik <strong>und</strong> sollten<br />
daher nicht im Gr<strong>und</strong>zustand kondensieren.<br />
1971 gelang es den Amerikanern David M. Lee, Douglas D. Osheroff <strong>und</strong> Robert C. Richardson<br />
von der Cornell-Universität zwei suprafluide Phasen von 3 He zu f<strong>in</strong>den [97]. Zur
18 Kapitel 2. E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> die <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> (BEC)<br />
Zeit dieser Entdeckung war ihnen aber nicht klar, was wirklich vorg<strong>in</strong>g. Daher nahmen<br />
sie an, daß sie es geschafft hätten, zwei verschiedene magnetische Phasen von festem 3 He<br />
bei Temperaturen von 1,8mK <strong>und</strong> 2,7mK zu f<strong>in</strong>den. E<strong>in</strong>ige Monate später klärten sie diesen<br />
Irrtum <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em zweiten Artikel auf [96] <strong>und</strong> erhielten 1996 für ihre Entdeckung den<br />
Nobelpreis [98].<br />
Kurze Zeit nach diesen Entdeckungen wurde e<strong>in</strong>e dritte suprafluide Phase entdeckt. Erst<br />
durch Anlegen e<strong>in</strong>es Magnetfeldes werden jedoch alle Phasen stabil. Ohne Feld s<strong>in</strong>d nur<br />
die beiden ersten Phasen, die A <strong>und</strong> B genannt werden, stabil. Genauer gesagt existiert A <strong>in</strong><br />
e<strong>in</strong>em endlichen Temperaturbereich über e<strong>in</strong>em kritischen Druck von 21 Bar (siehe Abbildung<br />
2.5). Phase B beansprucht e<strong>in</strong>en großen Teil des Phasendiagramms <strong>und</strong> existiert bis<br />
zu den tiefsten bisher erreichten Temperaturen. Durch Anlegen e<strong>in</strong>es Magnetfeldes wird A<br />
bis zum absoluten Nullpunkt stabil, <strong>und</strong> die dritte Phase, genannt A 1 , belegt e<strong>in</strong>en schmalen<br />
Streifen zwischen A <strong>und</strong> B, der so schmal ist, daß er <strong>in</strong> Abbildung 2.5 nicht mehr aufgelöst<br />
werden kann.<br />
33bar<br />
P<br />
fest<br />
A-Phase<br />
B-<br />
Phase<br />
normal-flüssig<br />
Gas<br />
10 −3 K<br />
log T<br />
Abbildung 2.5: P ,T -Phasendiagramm von 3 He. Die A 1 -Phase ist nicht e<strong>in</strong>gezeichnet, da sie nur<br />
e<strong>in</strong>en sehr kle<strong>in</strong>en Streifen zwischen A <strong>und</strong> B e<strong>in</strong>nimmt, der <strong>in</strong> diesem Diagramm nicht zu erkennen<br />
wäre. Zur Hervorhebung der tiefen Temperaturen ist die Temperatur im Gegensatz zu Abbildung<br />
2.3 logarithmisch aufgetragen.<br />
Theorien zur Beschreibung dieses Phänomens lehnen sich an der BCS-Theorie zur Beschreibung<br />
von Supraleitung <strong>in</strong> Metallen an. Bardeen, Cooper <strong>und</strong> Schrieffer zeigten 1957,<br />
daß Fermionen unter bestimmten Bed<strong>in</strong>gungen sogenannte Cooper-Paare bilden können,<br />
die sich dann wie Bosonen verhalten. Diese Paare können <strong>in</strong> den Gr<strong>und</strong>zustand kondensieren<br />
[21].<br />
Die Eigenschaften der Paare s<strong>in</strong>d allerd<strong>in</strong>gs <strong>in</strong> Supraleitern sehr unterschiedlich zu den<br />
3 He-Paaren. Während <strong>in</strong> supraleitenden Metallen das positiv geladene Ionengitter die Paarung<br />
zweier Elektronen mit entgegengesetztem Drehimpuls <strong>und</strong> Sp<strong>in</strong> zu e<strong>in</strong>em Cooper-<br />
Paar mit Gesamtsp<strong>in</strong> <strong>und</strong> Gesamtdrehimpuls Null (L = S =0) ermöglicht (Sp<strong>in</strong>-S<strong>in</strong>glet<br />
s-Wellen-Paarung), ist dieses <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Flüssigkeit wie 3 He nicht möglich [120]. Dort entsteht<br />
die Paarung durch magnetische Wechselwirkungen, <strong>und</strong> die beiden Atome rotieren<br />
ume<strong>in</strong>ander. Dadurch ergibt sich e<strong>in</strong> Drehimpuls von L =1. Weiterh<strong>in</strong> stellen sich die<br />
Sp<strong>in</strong>s <strong>in</strong> allen drei Phasen parallel <strong>und</strong> ergeben S = 1 (Sp<strong>in</strong>-Triplet p-wave Paarung).<br />
E<strong>in</strong>e Triplet Konfiguration hat drei mögliche Zustände mit verschiedenen Projektionen <strong>in</strong>
2.4 Wechselwirkende Quantengase <strong>in</strong> harmonischen <strong>Fallen</strong> 19<br />
z-Richtung:<br />
S z =1 =⇒ ψ =|↑↑〉<br />
S z =0 =⇒ ψ = 1 √<br />
2<br />
(|↑↓〉+ |↓↑〉)<br />
S z = −1 =⇒ ψ =|↓↓〉<br />
Die Wellenfunktion des Paares ist dann e<strong>in</strong>e Überlagerung der drei Zustände<br />
ψ(p) =ψ 1,1 (p) |↑↑〉 + ψ 1,0 (p)(|↑↓〉+ |↓↑〉)+ψ 1,−1 (p) |↓↓〉, (2.59)<br />
wobei ψ 1,1 (p), ψ 1,0 (p) <strong>und</strong> ψ 1,−1 (p) die e<strong>in</strong>zelnen Amplituden s<strong>in</strong>d.<br />
Die oben angegebene Entartung der Sp<strong>in</strong>s von 3 He gilt natürlich auch für den Drehimpuls<br />
L. Damit würden sich 2(2L + 1)(2S +1)=18Komponenten im Gegensatz zu den zwei<br />
Komponenten bei Supraleitern ergeben. Obwohl e<strong>in</strong>ige von ihnen gekoppelt s<strong>in</strong>d, ist die<br />
Wellenfunktion kompliziert, wodurch erheblich mehr Freiheitsgrade entstehen.<br />
Die Kopplung der e<strong>in</strong>zelnen Cooper-Paare <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Kondensat bewirkt, daß e<strong>in</strong>e bestimmte<br />
Energie nötig ist, um den kondensierten Zustand zu zerstören. E<strong>in</strong>e weitere Konsequenz<br />
ist e<strong>in</strong>e kritische Rotationsgeschw<strong>in</strong>digkeit der Flüssigkeit. Oberhalb dieser ist ke<strong>in</strong>e freie<br />
Rotation möglich <strong>und</strong> es bilden sich Wirbel mit quantisierter Drehfrequenz (Vortizes). Aus<br />
der Supraleitung bekannte Josephson-Effekte, also r<strong>in</strong>gförmige Wirbel, die bei Anlegen<br />
e<strong>in</strong>es externen <strong>magnetischen</strong> Feldes entstehen, treten ebenfalls auf.<br />
2.4 Wechselwirkende Quantengase <strong>in</strong> harmonischen<br />
<strong>Fallen</strong><br />
Als Albert <strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong> 1924 den heute als <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> bekannten Effekt vorhersagte<br />
[39], glaubte niemand an e<strong>in</strong>e mögliche experimentelle Realisierung dieses Phänomens,<br />
da die Theorie für e<strong>in</strong> ideales Gas aufgestellt wurde. Bei realen Gasen allerd<strong>in</strong>gs<br />
dürfen <strong>in</strong>teratomare Wechselwirkungen, die zu e<strong>in</strong>er Verschiebung der Übergangstemperatur<br />
<strong>in</strong> die Nähe des absoluten Nullpunktes führen, nicht vernachlässigt werden. Die dadurch<br />
benötigten sehr niedrigen Temperaturen waren damals weit entfernt von den experimentellen<br />
Möglichkeiten.<br />
Um die Wechselwirkungen möglichst kle<strong>in</strong> zu halten, benutzen die <strong>in</strong> Abschnitt 4.7 beschriebenen<br />
Experimente sehr ger<strong>in</strong>ge Teilchendichten. Wie gut die Näherung als ideales<br />
Teilchengas ist, soll <strong>in</strong> Abschnitt 5 überprüft werden.<br />
Wechselwirkungen können sowohl abstoßend als auch anziehend se<strong>in</strong>. Während <strong>in</strong> Gasen<br />
aus 87 Rb- oder 23 Na- Atomen hauptsächlich Zwei-Teilchen-Stöße für e<strong>in</strong>e abstoßende Kraft<br />
sorgen,ziehensich 7 Li- Atome an. E<strong>in</strong> Theorem von Bogoliubov besagt, daß <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em<br />
freien, sich anziehenden Gas ke<strong>in</strong>e <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> stattf<strong>in</strong>den kann [13], <strong>und</strong><br />
lange g<strong>in</strong>g man davon aus, daß diese Beschränkung auch für gefangene Atome gilt. Die<br />
Experimente der Gruppe um Randal L. Hulet widerlegten diese These e<strong>in</strong>deutig [18], denn<br />
Bogoliubov zog nur Zwei-Teilchen-Wechselwirkungen <strong>in</strong> Betracht. E<strong>in</strong>e E<strong>in</strong>schränkung
20 Kapitel 2. E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> die <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> (BEC)<br />
gegenüber anderen Atomen gibt es dennoch, denn durch die anziehende Wechselwirkung<br />
ist die maximale Anzahl von Teilchen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Falle auf etwa 1400 begrenzt [17,35,83,90].<br />
Sehr wichtig bei der Betrachtung der Wechselwirkungen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Atomwolke ist die Tatsache,<br />
daß es sich um <strong>in</strong>homogene Systeme endlicher Größe handelt. Die Zahl der Atome<br />
<strong>in</strong> den <strong>Fallen</strong>, deren Potential sich <strong>in</strong> der Regel gut durch e<strong>in</strong> anisotropes harmonisches<br />
Oszillatorpotential,<br />
V ext (x, y, z) = m 2<br />
(<br />
ω<br />
2<br />
x x 2 + ω 2 yy 2 + ω 2 zz 2) , (2.60)<br />
annähern läßt, variiert typischerweise von e<strong>in</strong>igen Tausenden bis zu mehreren Millionen.<br />
Vernachlässigt man die Wechselwirkungen, ist der Viel-Teilchen-Hamilton-Operator die<br />
Summe der E<strong>in</strong>-Teilchen-Operatoren, <strong>und</strong> die Eigenwerte haben die <strong>in</strong> Anhang A.1 angegebene<br />
Form. In e<strong>in</strong>em Kondensat bef<strong>in</strong>den sich nahezu alle Teilchen im Gr<strong>und</strong>zustand,<br />
dessen Wellenfunktion dann durch<br />
( mωho<br />
) 3/4 (<br />
ψ 0 (x, y, z) =<br />
exp − m (<br />
ωx x 2 + ω y y 2 + ω z z 2)) (2.61)<br />
π~<br />
2~<br />
gegeben ist. In dieser Gleichung wird das geometrische Mittel der Oszillatorfrequenzen<br />
ω ho =(ω x ω y ω z ) 1/3 (2.62)<br />
e<strong>in</strong>geführt, das <strong>in</strong> den meisten Artikeln verwendet wird. Die Dichteverteilung ist folglich<br />
(mit r =(x, y, z))<br />
ρ(r) =N|ψ 0 (r)| 2 (2.63)<br />
<strong>und</strong> schwankt, wenn die Wechselwirkungen e<strong>in</strong>bezogen werden, <strong>in</strong>nerhalb der Wolken <strong>in</strong><br />
der räumlichen Größenordnung des harmonischen Potentials<br />
a ho =<br />
√<br />
~<br />
mω ho<br />
, (2.64)<br />
die e<strong>in</strong>igen Mikrometern entspricht. Da Rubidium- <strong>und</strong> Natrium-Atome sich abstoßen,<br />
wird dieser Effekt sogar noch vergrößert. Die Größe a ho bestimmt ebenfalls den Durchmesser<br />
der kondensierten Wolke <strong>und</strong> ist unabhängig von der Teilchenzahl. In der Praxis<br />
bef<strong>in</strong>den sich allerd<strong>in</strong>gs immer e<strong>in</strong>ige Teilchen <strong>in</strong> höher angeregten Zuständen <strong>und</strong> verursachen<br />
damit e<strong>in</strong>e Vergrößerung der Ortsverteilung.<br />
Aufgr<strong>und</strong> der ger<strong>in</strong>gen Dichte der Gase s<strong>in</strong>d Zwei-Körper-Stöße die e<strong>in</strong>zigen nennenswerten<br />
Stoßprozesse. Diese können allerd<strong>in</strong>gs die Anzahl der Teilchen, die sich unterhalb der<br />
kritischen Temperatur im Zentrum der Falle bef<strong>in</strong>den, um bis zu zwei Größenordnungen<br />
verr<strong>in</strong>gern [30].<br />
Der am häufigsten verwendete Ansatz zur Beschreibung e<strong>in</strong>es schwach wechselwirkenden<br />
Bosonengases ist die Gross-Pitaevskii Theorie [53, 54, 106], die im folgenden Abschnitt<br />
e<strong>in</strong>geführt werden soll. Oberhalb der kritischen Temperatur kann e<strong>in</strong> reales <strong>Bose</strong>-Gas gut<br />
durch die <strong>in</strong> den vorherigen Kapiteln angegebenen quantenstatistischen Ensembles genähert<br />
werden [9,59], da die Dichte im Zentrum der Falle erst bei der <strong>Kondensation</strong> ansteigt.
2.4 Die Gross-Pitaevskii-Theorie 21<br />
2.4.1 Die Gross-Pitaevskii-Theorie<br />
1947 formulierte Bogoliubov als erster e<strong>in</strong>e Theorie zur Beschreibung dünner <strong>Bose</strong>-Gase<br />
[13], deren Gr<strong>und</strong>idee hier dargelegt werden soll.<br />
Der Viel-Teilchen-Hamilton-Operator für N wechselwirkende Bosonen lautet<br />
∫ (<br />
Ĥ = dr ˆΨ + (r) − ~<br />
)<br />
2m ∆+V ext(r) ˆΨ(r)<br />
+ 1 ∫<br />
dr dr ′<br />
2<br />
ˆΨ+ (r) ˆΨ + (r ′ ) V (r − r ′ ) ˆΨ(r ′ ) ˆΨ(r). (2.65)<br />
Bei ˆΨ + (r) <strong>und</strong> ˆΨ(r) handelt es sich um Boson-Feldoperatoren, die e<strong>in</strong> Teilchen am Ort r<br />
erzeugen oder vernichten, <strong>und</strong> V (r − r ′ ) beschreibt das Zwei-Teilchen-Potential. Mit den<br />
E<strong>in</strong>-Teilchen-Wellenfunktionen ψ α (r) <strong>und</strong> den dazugehörigen Vernichtungsoperatoren â α<br />
kann der Feldoperator als Summe ausgedrückt werden:<br />
ˆΨ(r) = ∑ α<br />
ψ α (r)â α (2.66)<br />
Die E<strong>in</strong>-Teilchen Erzeugungs- <strong>und</strong> Vernichtungs-Operatoren s<strong>in</strong>d mit den Eigenwerten n α<br />
des Teilchenzahl-Operators ˆN α =â + α âα durch die Relationen<br />
<strong>und</strong><br />
gegeben.<br />
â + α | n 0 ,n 1 , ..., n α , ...〉 = √ n α +1| n 0 ,n 1 , ..., n α +1, ...〉 (2.67)<br />
â α | n 0 ,n 1 , ..., n α , ...〉 = √ n α | n 0 ,n 1 , ..., n α − 1, ...〉 (2.68)<br />
E<strong>in</strong>e <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> f<strong>in</strong>det statt, wenn die Anzahl Atome n 0 <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em bestimmten<br />
E<strong>in</strong>-Teilchen-Zustand sehr groß wird. Dann gilt n 0 = 〈η 0 〉, <strong>und</strong> es ergibt sich<br />
â 0 =â + 0 = √ 〈η 0 〉. (2.69)<br />
Bei e<strong>in</strong>em gleichmäßigen Gas mit Volumen V, <strong>in</strong> dem die <strong>Kondensation</strong> im E<strong>in</strong>-Teilchen-<br />
Zustand ψ 0 =1/ √ V stattf<strong>in</strong>det, kann der Feldoperator durch<br />
ˆΨ(r) = √ 〈η 0 〉 /V + ˆΨ ′ (r) (2.70)<br />
ausgedrückt werden, wenn man e<strong>in</strong>e kle<strong>in</strong>e Störung ˆΨ ′ (r) e<strong>in</strong>führt.<br />
Bogoliubovs Beschreibung läßt sich dann auf ungleichmäßige <strong>und</strong> zeitabhängige Konfigurationen<br />
verallgeme<strong>in</strong>ern:<br />
ˆΨ(r,t)=φ(r,t)+ ˆΨ ′ (r,t), (2.71)
22 Kapitel 2. E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> die <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> (BEC)<br />
wobei φ(r,t) der Erwartungswert des Feldoperators ist <strong>und</strong> die Bedeutung e<strong>in</strong>es Ordnungsparameters<br />
trägt. Die Funktion wird oft auch als Wellenfunktion des Kondensats, die e<strong>in</strong>em<br />
klassischen Feld mit gegebener Amplitude <strong>und</strong> Phase entspricht, bezeichnet.<br />
Soll e<strong>in</strong>e Gleichung für diese Wellenfunktion gef<strong>und</strong>en werden, muß mit Hilfe des<br />
Hamilton-Operators (2.65) die Zeitentwicklung des Feldoperators<br />
i~ ∂ t ˆΨ(r,t)=<br />
〈<br />
[ ˆΨ(r,t), Ĥ] 〉<br />
=<br />
(− ~2<br />
2m ∆+V ext(r)+<br />
∫<br />
)<br />
dr ′ ˆΨ+ (r ′ ,t) V (r ′ − r) ˆΨ(r ′ ,t) ˆΨ(r,t) (2.72)<br />
ermittelt werden. Nimmt man weiterh<strong>in</strong> an, daß es sich bei den Atomen um klassische<br />
Feldquellen handelt (Born-Näherung), darf der Feldoperator ˆΨ(r,t) durch das klassische<br />
Feld φ(r,t) ersetzt <strong>und</strong> die Kopplungskonstante<br />
∫<br />
g = dr V (r) (2.73)<br />
e<strong>in</strong>geführt werden. Diese wird dann durch die s-Wellen-Streulänge a ausgedrückt, so daß<br />
man<br />
g = 4π~2 a<br />
(2.74)<br />
m<br />
erhält. Die s-Wellen-Streulänge ist für abstoßende Teilchen positiv <strong>und</strong> für anziehende<br />
Kräfte negativ. Nimmt man weiter an, daß die Änderung der Wellenfunktion <strong>in</strong> der Größenordnung<br />
der Reichweite des Potentials liegt, erhält man folgende Gleichung:<br />
)<br />
i~ ∂ t φ(r,t)=<br />
(− ~2<br />
2m ∆+V ext(r)+g|φ(r,t)| 2 φ(r,t). (2.75)<br />
Da es möglich ist, die Kopplungskonstante g durch die s-Wellen-Streulänge auszudrücken,<br />
gilt Gleichung (2.75) auch außerhalb der Born-Näherung. Der Gr<strong>und</strong> dafür ist, daß die<br />
durchschnittliche Streulänge <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em dünnen Gas viel kle<strong>in</strong>er als der mittlere Abstand der<br />
Atome ist. Somit können alle Wechselwirkungsprozesse, unabhängig von der Form des<br />
Zwei-Teilchen Potentials, mit Hilfe von a beschrieben werden. E.P. Gross <strong>und</strong> L.P. Pitaevskii<br />
entwickelten die nichtl<strong>in</strong>eare Schröd<strong>in</strong>ger-Gleichung (2.75), die daher heute unter dem<br />
Namen Gross-Pitaevskii-Gleichung bekannt ist, unabhängig vone<strong>in</strong>ander [53, 54, 106].<br />
Aufgr<strong>und</strong> der Annahme, daß die Störung ˆΨ ′ (r,t) verschw<strong>in</strong>det, gilt die hier aufgezeigte<br />
Beschreibung streng genommen nur für den Fall T = 0, wenn sich also alle Teilchen<br />
im Gr<strong>und</strong>zustand bef<strong>in</strong>den. Da allerd<strong>in</strong>gs unterhalb der kritischen Temperatur T c nahezu<br />
alle Teilchen kondensiert s<strong>in</strong>d, bietet die Gross-Pitaevskii-Gleichung e<strong>in</strong>e gut geeignete<br />
Näherung e<strong>in</strong>es realen Systems <strong>und</strong> liefert Ergebnisse, die gut mit den experimentellen<br />
Daten übere<strong>in</strong>stimmen.<br />
Numerische Lösungen der Gross-Pitaevskii-Gleichung können relativ leicht gef<strong>und</strong>en werden,<br />
so daß es nicht verw<strong>und</strong>ert, daß bereits verschiedene Veröffentlichungen mit unterschiedlichen<br />
Ansätzen existieren [31, 38, 68]. Die Ergebnisse dieser Arbeiten stimmen<br />
ebenfalls mit Monte-Carlo-Simulationen, die von dem oben angegebenen Viel-Teilchen-<br />
Hamilton-Operator (2.65) ausgehen, übere<strong>in</strong> [80].
2.4 Auswirkungen auf thermodynamische Eigenschaften 23<br />
Bei anziehenden Wechselwirkungen oder hohen Dichten <strong>in</strong> der Atomwolke können Viel-<br />
Körper-Stöße oder Rekomb<strong>in</strong>ationsprozesse unter Umständen nicht mehr vernachlässigt<br />
werden. Es existieren verschiedene Ideen, dieses Problem <strong>in</strong> die Gross-Pitaevskii-Theorie<br />
zu <strong>in</strong>tegrieren, wobei e<strong>in</strong>e Möglichkeit dar<strong>in</strong> besteht, e<strong>in</strong>e modifizierte Gleichung, die zusätzliche<br />
Wechselwirkungsterme enthält, e<strong>in</strong>zuführen [3].<br />
2.4.2 Auswirkungen auf thermodynamische Eigenschaften<br />
Mit der großkanonischen Näherung erhält man für die Übergangstemperatur e<strong>in</strong>es idealen<br />
<strong>Bose</strong>-Gases <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er harmonischen Falle die Gleichung (<strong>in</strong> E<strong>in</strong>heiten von k B )<br />
( ) N 1/3<br />
T c = ~ω ho . (2.76)<br />
ζ(3)<br />
Dabei stellt ζ(3) = 1, 202 die Riemansche Zetafunktion dar. Die Anwesenheit abstoßender<br />
Kräfte bewirkt e<strong>in</strong>e Vergrößerung der Wolke <strong>und</strong> damit e<strong>in</strong>e ger<strong>in</strong>gere Dichte, wodurch die<br />
Übergangstemperatur nach unten verschoben wird.<br />
Mit Hilfe der Hartree-Fock Näherung ist es möglich, die Verschiebung der kritischen Temperatur<br />
abzuschätzen. Dazu nimmt man an, daß die Atome sich wie nicht wechselwirkende<br />
Teilchen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em effektiven Potential V eff (r) verhalten. Dieses Potential setzt sich aus dem<br />
externen Potential V ext (r) <strong>und</strong> e<strong>in</strong>em Wechselwirkungsterm zusammen, der die Dichte ρ(r)<br />
<strong>und</strong> die Kopplungskonstante g enthält. Für den effektiven Hamilton-Operator ergibt sich also<br />
Ĥ HF = − ~2<br />
2m ∆+V ext(r)+2gρ(r). (2.77)<br />
Diese Methode wurde erstmals 1981 von Goldman, Silvera <strong>und</strong> Leggett angewandt [49]<br />
<strong>und</strong> später auf die aktuellen Experimente erweitert [48, 113].<br />
Nach [48] verschiebt sich die kritische Temperatur l<strong>in</strong>ear mit der s-Wellen-Streulänge<br />
δT c<br />
T c<br />
= −1.3 a<br />
a ho<br />
N 1/6 , (2.78)<br />
<strong>und</strong> für e<strong>in</strong>e typische Konfiguration liegt diese Verschiebung bei etwa vier Prozent.<br />
Für die Gr<strong>und</strong>zustandsbesetzungszahl gilt <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em idealen Gas nach [69]<br />
( ) 3<br />
〈η 0 〉 T<br />
N =1− , (2.79)<br />
T c<br />
<strong>und</strong> führt man auch hier die Wechselwirkung e<strong>in</strong>, ergibt sich nach [30] mit dem chemischen<br />
Potential µ<br />
〈η 0 〉<br />
N<br />
( ) 3 T =1− − µ ζ(2)<br />
T c ζ(3)<br />
T 2<br />
Tc<br />
3<br />
( ( ) ) 3 2/5<br />
T<br />
1 − . (2.80)<br />
T c<br />
Die Herleitung dieser Formel soll an dieser Stelle nicht angegeben werden, allerd<strong>in</strong>gs ist<br />
der zu Gleichung (2.79) zusätzliche Term von großer Bedeutung, denn für abstoßende Teilchen<br />
kann er dazu führen, daß sich die Anzahl der Atome im Gr<strong>und</strong>zustand um e<strong>in</strong> fünftel<br />
verr<strong>in</strong>gert.
3<br />
Rekursionsformeln<br />
zur Berechnung<br />
der Zustandssumme<br />
Sowohl <strong>in</strong> den meisten Lehrbüchern als auch <strong>in</strong> Abschnitt 2.2 wird das Phänomen der <strong>Bose</strong>-<br />
<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> mit dem großkanonischen Ensemble beschrieben (siehe 2.1.3). Wie<br />
bereits erklärt, unterscheidet sich die experimentelle Situation <strong>in</strong> vielerlei H<strong>in</strong>sicht von den<br />
Voraussetzungen e<strong>in</strong>es mit der großkanonischen Gesamtheit beschriebenen idealen Gases,<br />
da die Anzahl der Teilchen <strong>in</strong> der Atomwolke endlich <strong>und</strong> konstant ist.<br />
Weiterh<strong>in</strong> bee<strong>in</strong>flussen die <strong>Fallen</strong>potentiale die Eigenschaften der Kondensate. Obwohl die<br />
Gaswolken sehr dünn s<strong>in</strong>d, muß überprüft werden, ob die Beschreibung als ideales Gas<br />
richtig ist.<br />
Aus diesen Gründen bietet sich e<strong>in</strong>e mikrokanonische oder kanonische Beschreibung an.<br />
E<strong>in</strong>e der wichtigen Fragen, die e<strong>in</strong>e Theorie zur Beschreibung e<strong>in</strong>es idealen <strong>Bose</strong>-Gases<br />
zu beantworten hat, ist die nach dem Verhalten der Fluktuation der Besetzungszahl des<br />
Gr<strong>und</strong>zustandes δη 0 (N,β), da diese Fluktuationen e<strong>in</strong>e große Rolle <strong>in</strong> den aktuellen Experimenten,<br />
das heißt bei endlichen Temperaturen, spielen. In der großkanonischen Beschreibung,<br />
also wenn das System <strong>in</strong> der Lage ist, Energie <strong>und</strong> Teilchen mit e<strong>in</strong>em Reservoir<br />
auszutauschen, ergibt sich für die durchschnittlich erwartete Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuation<br />
δη 0 = √ η 0 (η 0 +1), (3.1)<br />
die allerd<strong>in</strong>gs gegen N strebt, wenn die Temperatur gegen Null geht. Offensichtlich kann<br />
e<strong>in</strong> reales <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensat <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Falle aber ke<strong>in</strong>e Energie oder Teilchen mit<br />
e<strong>in</strong>em Reservoir austauschen, so daß die Fluktuationen <strong>in</strong> der Nähe von T = 0 <strong>in</strong> der mikrokanonischen<br />
oder kanonischen Beschreibung verschw<strong>in</strong>den müssen.<br />
Es existieren bereits Ansätze e<strong>in</strong>er mikrokanonischen Erklärung für isotrope harmonische<br />
<strong>Fallen</strong> von Gajda [47] <strong>und</strong> Grossmann [55], die dieses Verhalten bestätigen. In diesem<br />
Kapitel soll gezeigt werden, daß äquivalente Ergebnisse auch mit Hilfe der kanonischen<br />
Gesamtheit erreicht werden können.<br />
3.1 E<strong>in</strong> älterer Ansatz<br />
Sämtliche thermodynamischen Eigenschaften e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-Gases aus N Teilchen s<strong>in</strong>d nach<br />
[14] durch die Zustandssumme<br />
Z N (β) = 1 N<br />
N∑<br />
Q k (β) Z N−k (β) (3.2)<br />
k=1<br />
25
26 Kapitel 3. Rekursionsformeln zur Berechnung der kanonischen Zustandssumme<br />
(mit Z 0 (β) =1) gegeben, wobei<br />
Q k (β) = ∑ i<br />
e −kβɛ i<br />
(3.3)<br />
die E<strong>in</strong>-Teilchen-Zustandssumme bei der Temperatur kβ ist. Bei den ɛ i handelt es sich um<br />
die E<strong>in</strong>-Teilchen-Energien. Durch Berechnung der <strong>in</strong>versen Laplace-Transformation von<br />
(3.2) erhält man das mikrokanonische Phasenvolumen<br />
Γ N (E) = 1 N<br />
= 1 N<br />
N∑ 1<br />
2πi<br />
k=1<br />
∫ E<br />
N∑<br />
k=1<br />
0<br />
∫ c+i∞<br />
c−i∞<br />
dβe βE Q k (β)Z N−k (β) (3.4)<br />
dE ′ Γ k 1 (E′ )Γ N−k (E − E ′ ), (3.5)<br />
wobei Γ k 1(E) die <strong>in</strong>verse Laplace-Transformation von Q k (β) <strong>und</strong> Γ 0 (E) =δ(E) ist.<br />
Die Rekursionsformel wird beispielsweise <strong>in</strong> [12] erfolgreich angewendet, hat aber den<br />
Nachteil, daß der Rechenaufwand mit N 2 steigt. Um nämlich thermodynamische Größen<br />
mit ihr zu berechnen, tritt jedesmal der Normalisierungsfaktor Z N (β) auf <strong>und</strong> muß explizit<br />
ermittelt werden. Weiterh<strong>in</strong> steigt Z N (β) exponentiell mit der Teilchenzahl, so daß mit<br />
e<strong>in</strong>er hohen Rechengenauigkeit gearbeitet werden muß. Bei numerischen Rechnungen ist<br />
daher die maximale Anzahl Teilchen auf etwa 2000 beschränkt.<br />
3.2 Die neue Rekursionsformel<br />
E<strong>in</strong> neuerer Ansatz verwendet (3.2), um e<strong>in</strong>e Rekursion zu erhalten, deren Rechenaufwand<br />
nur mit N steigt <strong>und</strong> ist <strong>in</strong> [15] beschrieben. Die Herleitung der Rekursionsformel soll an<br />
dieser Stelle skizziert werden, da sie <strong>in</strong> späteren Kapiteln benutzt wird <strong>und</strong> e<strong>in</strong>ige Rechnungen<br />
aus dieser Arbeit verwendet werden, um die Nützlichkeit des Verfahrens <strong>in</strong> [15] zu<br />
veranschaulichen.<br />
Zur Vere<strong>in</strong>fachung wird Z N (β) mit der sogenannten Z-Transformation neu geschrieben:<br />
∞∑ Z k (β)<br />
Z(Z) =F (x) =<br />
(3.6)<br />
x k<br />
Z(Q) =G(x) =<br />
(mit Q 0 (β) =0). Gleichung 3.2 wird damit zu<br />
k=0<br />
∞∑<br />
k=0<br />
Q k (β)<br />
x k (3.7)<br />
<strong>und</strong> es ergibt sich<br />
−x d F (x) =F (x) G(x), (3.8)<br />
dx<br />
(<br />
∑ ∞<br />
F (x) =exp<br />
k=1<br />
)<br />
Q k (β)<br />
x −k . (3.9)<br />
k
3.2 Die neue Rekursionsformel 27<br />
Wendet man die <strong>in</strong>verse Z-Transformation an <strong>und</strong> def<strong>in</strong>iert C := {x ∈ C :| x |= r}, so<br />
läßt sich die Zustandssumme schreiben als<br />
Z N (β) = 1 ∫<br />
F (x)x N−1 dx , (3.10)<br />
2πi<br />
wobei r die Beziehung | Z N (β) |≤ exp(rN) erfüllen muß. Alternativ kann man<br />
C<br />
d N<br />
Z N (β) = 1 ∣<br />
∣∣∣x=0<br />
N! dx F (1/x) (3.11)<br />
N<br />
angeben. Damit wird die Zahl der Teilchen mit Energie ɛ i berechenbar:<br />
η i (N,β) =− 1 β ∂ɛ i ln Z N (β) (3.12)<br />
( (<br />
= − 1 1 d N<br />
∞<br />
∣<br />
βZ N (β) N! dx ∂ ∑ x l ∑ ∣∣∣∣x=0 N ɛ i<br />
exp<br />
e j)) −βlɛ (3.13)<br />
l<br />
l=1 j<br />
[(<br />
= − 1 1 d N ∞<br />
)( (<br />
∑<br />
∞<br />
))]<br />
∑<br />
(−β)x l e −βlɛ Q<br />
βZ N (β) N! dx N j<br />
l (β)<br />
exp<br />
x l .<br />
l<br />
l=1<br />
l=1<br />
x=0<br />
(3.14)<br />
Mit der Produktregel für N-fache Ableitungen<br />
d N<br />
( N<br />
dx (uv) = N 0<br />
<strong>und</strong><br />
)<br />
u dN<br />
dx N v + ( N<br />
1<br />
(<br />
d k ∑ ∞<br />
dx k l=1<br />
) d<br />
dx u dN−1<br />
dx N−1 v + ... + v ( N<br />
N<br />
) d<br />
N<br />
dx N u (3.15)<br />
(−β)x l e −βlɛ i) ∣ ∣∣∣∣x=0<br />
=(−β)k! e −βkɛ i<br />
(3.16)<br />
folgt<br />
η i (N,β) = 1 1<br />
∞∑<br />
( ) (<br />
N d<br />
k ∞<br />
)<br />
∣<br />
∑<br />
x l e −βlɛ d N−k ∣∣∣∣x=0<br />
Z N (β) N! k dx k i<br />
dx F (1/x) (3.17)<br />
N−k<br />
k=0<br />
l=1<br />
∣<br />
x=0<br />
= 1 ∞∑ 1 d N−k ∣∣∣∣x=0<br />
Z N (β) (N − k)! dx F (1/x) e −βɛ i<br />
(3.18)<br />
N−k<br />
k=1<br />
= 1 N∑<br />
e −βkɛ i<br />
Z N−k (β) (3.19)<br />
Z N (β)<br />
η i (N +1,β)=<br />
k=1<br />
N+1<br />
1 ∑<br />
e −βkɛ i<br />
Z N+1−k (β) (3.20)<br />
Z N+1 (β)<br />
k=1<br />
= Z N(β)<br />
Z N+1 (β) e−βɛ i<br />
(η i (N,β)+1) (3.21)
28 Kapitel 3. Rekursionsformeln zur Berechnung der kanonischen Zustandssumme<br />
Da N im kanonischen Ensemble fest ist, erhält man den Normalisierungsfaktor direkt durch<br />
die Beziehung<br />
Z N (β)<br />
Z N+1 (β) = N +1<br />
∑ ∞<br />
i=0 e−βɛ i (ηi (N,β)+1) . (3.22)<br />
In Fermi-Systemen ändert sich nur der letzte Faktor zu (1 − η i (N,β)).<br />
In der Praxis muß nur e<strong>in</strong>e begrenzte Zahl von Energien betrachtet werden, da die Besetzungswahrsche<strong>in</strong>lichkeit<br />
für größere Eigenwerte schnell abnimmt. Berechnet man sie mit<br />
diesem Verfahren, so folgt für den Erwartungswert der Energie<br />
E(N,β) =<br />
∞∑<br />
ɛ i η i (N,β). (3.23)<br />
i=0<br />
Die Fluktuation der Besetzungswahrsche<strong>in</strong>lichkeiten δη i (N,β) ist etwas komplizierter <strong>und</strong><br />
enthält e<strong>in</strong>e weitere Rekursion:<br />
(δη i (N +1,β)) 2 = 1 β 2 ∂2 ɛ i<br />
ln Z N+1 (β) (3.24)<br />
= − 1 β ∂ ɛ i<br />
η i (N +1,β) (3.25)<br />
= Z (<br />
N(β)<br />
Z N+1 (β) e−βɛ i<br />
δ 2 η i (N,β)<br />
+ ( η i (N +1,β)+1 )( η i (N,β) − η i (N +1,β)+1 )) (3.26)<br />
3.2.1 Andere Ansätze<br />
Seit der Erzeugung des ersten <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensates ist von vielen Forschungsgruppen<br />
Arbeit <strong>in</strong> die theoretische Beschreibung der Kondensate <strong>in</strong>vestiert worden. Daher<br />
ist es nicht verw<strong>und</strong>erlich, daß auch andere Gruppen Rekursionsformeln hervorbrachten.<br />
K.C. Chase et al. entwickelten beispielsweise aufgr<strong>und</strong> von älteren Arbeiten zur Kernphysik<br />
e<strong>in</strong>e zu Gleichung (3.2) analoge Rekursionsformel für die Zustandssumme des kanonischen<br />
Ensembles, <strong>in</strong>dem sie sie aus der großkanonischen Gesamtheit ableiteten [24].<br />
E<strong>in</strong> Quantenstatistisches Ensemble, welches nur Teilchenaustausch, aber e<strong>in</strong>e konstante<br />
Energie voraussetzt, stammt von Patrick Navez et al. <strong>und</strong> wurde 1997 veröffentlicht [93].<br />
Das sogenannte “Maxwell’s Dämon Ensemble” 1 erlaubt e<strong>in</strong>en Teilchenaustausch nur zwischen<br />
dem als Reservoir dienenden Gr<strong>und</strong>zustand <strong>und</strong> den angeregten Zuständen. Diese<br />
Methode ist bereits mehrmals angewendet worden, um Atome <strong>in</strong> <strong>Fallen</strong> zu beschreiben<br />
(siehe beispielsweise [56]).<br />
1 Der Name dieses Ensembles kommt aus der Geschichte über Maxwells Dämon, e<strong>in</strong>em hypothetischen<br />
genialen Geist, der <strong>in</strong> der Lage se<strong>in</strong> sollte, langsame Teilchen von schnellen zu trennen ohne Energie auszutauschen.
3.3 Anwendung auf Helium 29<br />
3.3 Anwendung auf Helium<br />
Die bisher erzeugten <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensate entstanden <strong>in</strong> magneto-<strong>optischen</strong> <strong>Fallen</strong>,<br />
den sogenannten MOTs (siehe Abschnitt 4.7). Wie bereits erwähnt, lassen sie sich gut mit<br />
e<strong>in</strong>em dreidimensionalen, anisotropen harmonischen Oszillatorpotential nähern, da sich<br />
die Teilchen <strong>in</strong> der Regel <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Magnetfeld bef<strong>in</strong>den, dessen Feldstärke im Zentrum<br />
sehr kle<strong>in</strong> ist <strong>und</strong> nach außen h<strong>in</strong> quadratisch anwächst. Es ist aber auch denkbar, daß e<strong>in</strong>e<br />
Atomfalle e<strong>in</strong>e andere Form hat, die feste Randbed<strong>in</strong>gungen voraussetzt.<br />
In diesem Kapitel soll das <strong>in</strong> Abschnitt 3 e<strong>in</strong>geführte Rekursionspr<strong>in</strong>zip für das kanonische<br />
Ensemble benutzt werden, um thermodynamische Eigenschaften von idealen <strong>Bose</strong>-Gasen<br />
<strong>in</strong> verschiedenen <strong>Fallen</strong>potentialen zu berechnen. Dazu werden die Energieeigenwerte <strong>in</strong><br />
den e<strong>in</strong>zelnen Potentialen berechnet <strong>und</strong> dann daraus mit Hilfe der Rekursion (3.21) für die<br />
Besetzungszahl η i (N,β) der Erwartungswert der Energie (3.23) bei verschiedenen Temperaturen<br />
bestimmt. Die Ableitung der Energie nach der Temperatur liefert dann die spezifische<br />
Wärme C V , deren Maximum die kritische Temperatur T c angibt, bei der die <strong>Kondensation</strong><br />
des Systems <strong>in</strong> den Gr<strong>und</strong>zustand beg<strong>in</strong>nt. Da sich das als ideal angenommene 4 He<br />
Gas <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Potential bef<strong>in</strong>det, strebt die spezifische Wärme am Phasenübergangspunkt<br />
nicht gegen unendlich, sondern hat lediglich e<strong>in</strong> Maximum.<br />
Im Anschluß soll dann e<strong>in</strong>e Betrachtung der Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuationen δη 0 (N,β) folgen,<br />
um genauer auf die Unterschiede der e<strong>in</strong>zelnen <strong>Fallen</strong> e<strong>in</strong>zugehen.<br />
Bei den betrachteten Potentialen handelt es sich um verschiedene harte Kugeln, Boxen <strong>und</strong><br />
Zyl<strong>in</strong>der, wobei die Herleitung der zugehörigen Energieeigenwerte <strong>in</strong> Anhang A nachvollzogen<br />
werden kann. Das Potential, <strong>in</strong> dem sich e<strong>in</strong> Teilchen mit der Masse m bewegt,<br />
verschw<strong>in</strong>det jeweils <strong>in</strong>nerhalb des Körpers <strong>und</strong> ist außerhalb unendlich.<br />
In den hypothetischen <strong>Fallen</strong> bef<strong>in</strong>det sich flüssiges 4 He mit e<strong>in</strong>er Masse von m = 4u <strong>und</strong><br />
der Dichte ρ = 0,0216Å −3 . Das Volumen V e<strong>in</strong>es hier berechneten Körpers ist durch die<br />
Dichte <strong>und</strong> die Teilchenzahl N festgelegt, so daß daraus <strong>in</strong> Abhängigkeit von der Form der<br />
Potentiale die Durchmesser d, Höhen L oder Kantenlängen a bestimmt werden können.<br />
Für die Box <strong>und</strong> die Zyl<strong>in</strong>der werden die Rechnungen jeweils für verschiedene geometrische<br />
Verhältnisse durchgeführt. Bei der Box wird gr<strong>und</strong>sätzlich von e<strong>in</strong>er quadratischen<br />
Gr<strong>und</strong>fläche mit Kantenlänge L x = L y = a <strong>und</strong> Höhe L z = L ausgegangen. Ähnliches gilt<br />
für den Zyl<strong>in</strong>der, dem statt e<strong>in</strong>er Kantenlänge e<strong>in</strong> Durchmesser d zugewiesen wird. Die<br />
Hohlkugel <strong>und</strong> der Hohlzyl<strong>in</strong>der erhalten den zusätzlichen Parameter λ, der das Verhältnis<br />
aus Außen- <strong>und</strong> Innenradius angibt.<br />
Berechnet werden also die thermodynamischen Eigenschaften e<strong>in</strong>es idealen <strong>Bose</strong>-Gases<br />
<strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Kugel, e<strong>in</strong>em Würfel, e<strong>in</strong>em Quader mit e<strong>in</strong>em Verhältnis der Kantenlänge a zur<br />
Höhe L von 1:4 <strong>und</strong> 4:1 <strong>und</strong> Zyl<strong>in</strong>dern mit entsprechenden Verhältnissen für Durchmesser<br />
d <strong>und</strong> Höhe L. Weiterh<strong>in</strong> werden drei Zyl<strong>in</strong>der mit periodischen Randbed<strong>in</strong>gungen<br />
<strong>und</strong> zu den anderen Zyl<strong>in</strong>dern identischen Abmessungen betrachtet. Periodische Randbed<strong>in</strong>gungen<br />
bedeuten, daß die Wellenfunktionen an den Enden des Zyl<strong>in</strong>ders <strong>in</strong>e<strong>in</strong>ander<br />
übergehen, <strong>und</strong> es muß überprüft werden, ob beispielsweise e<strong>in</strong>e torusförmige Falle oder<br />
e<strong>in</strong>e Falle mit “Optical Plug” (siehe Kapitel 4) besser durch e<strong>in</strong> solches Potential als durch<br />
e<strong>in</strong>en Hohlkörper genähert werden kann. Weiterh<strong>in</strong> werden Hohlkugeln <strong>und</strong> Hohlzyl<strong>in</strong>der<br />
mit Verhältnissen von Innen- zu Außenradius λ von 0,75 <strong>und</strong> 0,9 angenommen. Zur Ver-
30 Kapitel 3. Rekursionsformeln zur Berechnung der kanonischen Zustandssumme<br />
anschaulichung dieser Körper dient Abbildung 3.1, die die verschiedenen Potentiale mit<br />
ihren Längenbezeichnungen zeigt.<br />
L<br />
L<br />
r<br />
a<br />
a<br />
d<br />
r 2<br />
d 2<br />
Abbildung 3.1: Zu den betrachteten Potentialen gehören Kugeln, Boxen <strong>und</strong> Zyl<strong>in</strong>der <strong>und</strong> für die<br />
zugehörigen Hohlkörper gilt λ = r/r 2 (Kugel) <strong>und</strong> λ = d/d 2 (Zyl<strong>in</strong>der).<br />
Die jeweils fünf niedrigsten Energieniveaus, sowie deren Entartung σ n für verschiedene<br />
Teilchenzahlen <strong>und</strong> Größenverhältnisse s<strong>in</strong>d <strong>in</strong> den Tabellen <strong>in</strong> Anhang A angegeben <strong>und</strong><br />
sollen daher an dieser Stelle nicht wiederholt werden.<br />
Bei der Berechnung der Energieeigenwerte ist zu beachten, daß für exakte Ergebnisse der<br />
anschließend anzuwendenden Rekursion alle, das bedeutet unendlich viele Werte e<strong>in</strong>bezogen<br />
werden müssen. Dieses ist natürlich aufgr<strong>und</strong> endlicher Rechnerleistung unmöglich.<br />
Es genügt allerd<strong>in</strong>gs, e<strong>in</strong>e sehr große Zahl Niveaus zu beachten, da sehr hohe Zustände<br />
bei den <strong>in</strong>teressanten, niedrigen Temperaturen kaum besetzt s<strong>in</strong>d. Trotzdem darf die Ermittlung<br />
der Eigenwerte nicht zu früh abgebrochen werden, da das e<strong>in</strong>e Verfälschung der<br />
Ergebnisse zur Folge hätte.<br />
Die e<strong>in</strong>fachste Lösung dieses Problems besteht dar<strong>in</strong>, die <strong>in</strong> Bezug auf Speicher- <strong>und</strong> Zeitaufwand<br />
größte vertretbare Anzahl Zustände e<strong>in</strong>zubeziehen. Nachteilig ist allerd<strong>in</strong>gs, daß<br />
die im vorigen Abschnitt e<strong>in</strong>geführte Rekursion die Berechnung der Besetzungszahl für jeden<br />
dieser Zustände erfordert <strong>und</strong> deren Rechenaufwand l<strong>in</strong>ear mit der Teilchenzahl steigt.<br />
E<strong>in</strong>en guten Kompromiß ermöglicht folgender Weg: Das Energiespektrum wird <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e<br />
begrenzte Zahl α gleich großer Bereiche aufgeteilt. Fällt nun e<strong>in</strong> Energieeigenwert E n <strong>in</strong><br />
e<strong>in</strong>en dieser Bereiche mit der mittleren Energie E α , wird die Entartung dieses Niveaus<br />
σ α um den Wert E<strong>in</strong>s erhöht. Sehr dicht beie<strong>in</strong>ander liegende Eigenenergien werden also<br />
zusammengefaßt zu e<strong>in</strong>em Wert mit entsprechend großer Entartung. Die Rekursion muß<br />
dann nur noch für diesen e<strong>in</strong>en Wert durchgeführt werden, <strong>und</strong> die ermittelte Besetzungszahl<br />
wird anschließend mit der Entartung multipliziert. Natürlich ist e<strong>in</strong>e e<strong>in</strong>zelne Multiplikation<br />
wesentlich weniger zeitaufwendig als e<strong>in</strong> vielfaches Lösen der Gleichung 3.21.<br />
Am Beispiel der Eigenwerte des Zyl<strong>in</strong>ders mit 10000 Teilchen ist dies <strong>in</strong> Abbildung 3.2<br />
gezeigt. Dort ist die Entartung e<strong>in</strong>es Zustandes über die Energie aufgetragen. Man sieht<br />
deutlich, daß σ für hohe Energien Werte von über e<strong>in</strong>tausend annimmt <strong>und</strong> entsprechend<br />
groß s<strong>in</strong>d somit auch die E<strong>in</strong>sparungen <strong>in</strong> der Rechenzeit.<br />
Bei geschickter Wahl der Energiebereiche ist es möglich, die Zahl der <strong>in</strong> die Berechnungen<br />
e<strong>in</strong>fließenden Eigenwerte zwar stark zu verr<strong>in</strong>gern, die Ergebnisse aber nur unwesentlich
3.3 Anwendung auf Helium 31<br />
1000<br />
σ<br />
500<br />
0<br />
0 50 100<br />
E<br />
Abbildung 3.2: Die Entartung σ der Energieeigenwerte e<strong>in</strong>es Zyl<strong>in</strong>ders mit 10000 Teilchen.<br />
zu verfälschen. Im Gegensatz zu e<strong>in</strong>er Begrenzung der Energie auf e<strong>in</strong>en Bereich unterhalb<br />
e<strong>in</strong>er festen oberen Grenze ist es mit diesem Verfahren möglich, weitaus genauere Resultate<br />
mit viel ger<strong>in</strong>gerem Rechenaufwand zu gew<strong>in</strong>nen. Wichtig ist nur, daß die e<strong>in</strong>zelnen<br />
Energiebereiche so kle<strong>in</strong> s<strong>in</strong>d, daß die untersten Niveaus noch getrennt werden können.<br />
E<strong>in</strong>e klare Unterscheidbarkeit der untersten Zustände bedeutet, daß zwischen den e<strong>in</strong>zelnen<br />
Energien e<strong>in</strong>ige Energiebereiche E α unbesetzt se<strong>in</strong> müssen, denn für die Berechnungen<br />
wird jeweils der Mittelwert e<strong>in</strong>es Bereichs verwendet. Liegt also der Zustand ɛ ijk beispielsweise<br />
am unteren Ende e<strong>in</strong>es Bereichs, wird er <strong>in</strong> den Berechnungen zu (E α − E α−1 )/2<br />
verschoben. Da die untersten Zustände vergleichsweise weit ause<strong>in</strong>ander liegen, verursachen<br />
Energiebereiche <strong>in</strong> der Größenordnung dieses Abstands e<strong>in</strong>e nicht vernachlässigbare<br />
Verfälschung der Ergebnisse.<br />
E<strong>in</strong>e E<strong>in</strong>schränkung auf Energien unterhalb e<strong>in</strong>es festgelegten Wertes kann durch dieses<br />
Verfahren zwar immer noch nicht verh<strong>in</strong>dert, jedoch kann diese Grenze weit nach oben<br />
verschoben werden, so daß eventuell vergleichsweise stark besetzte hohe Niveaus e<strong>in</strong>en<br />
E<strong>in</strong>fluß ausüben können.<br />
Für alle <strong>in</strong> dieser Arbeit vorgestellten Berechnungen der Energieeigenwerte hat sich gezeigt,<br />
daß für bis zu 100000 Teilchen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em dreidimensionalen anisotropen Potential<br />
die ersten 500 Werte für jede Quantenzahl, <strong>in</strong>sgesamt also 500 3 = 1,25·10 8 Energien, berechnet<br />
werden müssen. Teilt man diese große Zahl <strong>in</strong> α ges = 20000 Energiebereiche mit<br />
entsprechender Entartung auf, s<strong>in</strong>d die untersten Niveaus noch gut zu unterscheiden <strong>und</strong><br />
die Rechenzeit s<strong>in</strong>kt etwa um e<strong>in</strong>en Faktor 6000. Für kle<strong>in</strong>ere Teilchenzahlen könnten die<br />
Eigenwerte für weniger Quantenzahlen ermittelt werden, allerd<strong>in</strong>gs ist die zu erwartende<br />
E<strong>in</strong>sparung von Rechenzeit aufgr<strong>und</strong> der hohen bereits erreichten Geschw<strong>in</strong>digkeit ger<strong>in</strong>g.<br />
Im Anschluß an die Bestimmung der Energieeigenwerte erfolgt die Berechnung der Energien,<br />
Besetzungszahlen η i (N,β) sowie ihrer Fluktuationen für feste Teilchenzahlen N <strong>und</strong><br />
e<strong>in</strong>en Temperaturbereich von null bis zehn Kelv<strong>in</strong> mit Hilfe der Rekursionsformel.<br />
Bei der Umsetzung der Rekursionsformel <strong>in</strong> e<strong>in</strong> Programm treten ebenfalls Schwierigkeiten<br />
auf, wenn zu niedrige Temperaturen oder sehr große Teilchenzahlen verwendet werden.<br />
Während große Teilchenzahlen hauptsächlich zu langen Rechenzeiten führen, verursachen
32 Kapitel 3. Rekursionsformeln zur Berechnung der kanonischen Zustandssumme<br />
kle<strong>in</strong>e Temperaturen numerische Ungenauigkeiten, da sie zusammen mit den Energieeigenwerten<br />
im Exponenten von Gleichung 3.21 stehen. Die numerische Genauigkeit e<strong>in</strong>es<br />
Compilers reicht dann ohne Zuhilfenahme e<strong>in</strong>es “Multiple Precision Packages” nicht mehr<br />
aus, wodurch jedoch die Rechenzeit stark ansteigt.<br />
Die an dieser Stelle angewendete Formel hat allerd<strong>in</strong>gs große Vorteile gegenüber dem älteren<br />
Ansatz (siehe Abschnitt 3.1), da sowohl viel größere Teilchenzahlen als auch niedrigere<br />
Temperaturen erreicht werden können. E<strong>in</strong>e Simulation e<strong>in</strong>er realen Atomfalle, wie sie zur<br />
Herstellung e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensates aus Alkali-Atomen benutzt wird, ist also mit<br />
der alten Formel nahezu unmöglich, weil dort mit Temperaturen im Bereich e<strong>in</strong>iger Nanokelv<strong>in</strong><br />
gearbeitet wird. H<strong>in</strong>zu kommt, daß <strong>Fallen</strong> der neuen Generation mit um zwei bis<br />
drei Größenordnungen höheren Teilchenzahlen (10 5 bis 10 6 ) arbeiten.<br />
In den folgenden Abschnitten werden die Ergebnisse der Simulationen e<strong>in</strong>es idealen 4 He-<br />
Gases <strong>in</strong> harten Potentialen dargestellt <strong>und</strong> ausgewertet.<br />
3.3.1 Die spezifische Wärme C V (T )<br />
Durch Differenzieren der <strong>in</strong>neren Energie nach der Temperatur T erhält man die spezifische<br />
Wärme C V , die <strong>in</strong> den folgenden Grafiken für verschiedene Komb<strong>in</strong>ationen aus<br />
Teilchenzahlen <strong>und</strong> Potentialen dargestellt ist. Abbildung 3.3 zeigt drei Diagramme für<br />
unterschiedliche Teilchenzahlen.<br />
N =100<br />
N =1000<br />
N =10000<br />
CV<br />
N [k B]<br />
2<br />
1<br />
Box a:L=1:1<br />
Zyl. d:L=1:1<br />
Kugel<br />
Box a:L=1:4<br />
Box a:L=4:1<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6<br />
T [K]<br />
T [K]<br />
T [K]<br />
Abbildung 3.3: Die spezifische Wärme pro Teilchen für verschiedene Körper <strong>und</strong> N=100, 1000<br />
<strong>und</strong> 10000 Teilchen.<br />
Man sieht deutlich, daß die Kurven für größer werdende N immer ähnlicher werden, <strong>und</strong><br />
das Maximum, das die kritische Temperatur angibt, tritt immer schärfer hervor. Während<br />
sich die Werte für die deformierten Boxen mit e<strong>in</strong>em Längenverhältnis von a:L=1:4 <strong>und</strong> 4:1<br />
im ersten Graphen noch stark von den Ergebnissen der anderen Potentiale unterscheiden,<br />
s<strong>in</strong>d die Kurven für N=10000 Teilchen kaum noch zu trennen.<br />
Dieses Ergebnis zeigt, daß die Randbed<strong>in</strong>gungen für große Systeme erwartungsgemäß immer<br />
mehr den E<strong>in</strong>fluß auf das ideale Gas verlieren.
3.3 Die spezifische Wärme C V (T ) 33<br />
Führt man allerd<strong>in</strong>gs andere Potentiale wie beispielsweise e<strong>in</strong>en Hohlkörper oder e<strong>in</strong>en<br />
Zyl<strong>in</strong>der mit periodischen Randbed<strong>in</strong>gungen e<strong>in</strong>, so fällt das Resultat anders aus. Bei gleichem<br />
Volumen <strong>und</strong> identischer Teilchenzahl s<strong>in</strong>d die Maxima der Kurven nicht identisch,<br />
wie Abbildung 3.4 für 10000 4 He Atome zeigt.<br />
CV<br />
N [k B]<br />
2<br />
1<br />
Zyl<strong>in</strong>der d:L=1:1<br />
Periodischer Zyl<strong>in</strong>der d:L=1:1<br />
Hohlzyl<strong>in</strong>der λ=0,75, d:L=1:1<br />
Hohlzyl<strong>in</strong>der λ=0,9, d:L=1:1<br />
Hohlkugel λ=0,75<br />
Hohlkugel λ=0,9<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10<br />
T [K]<br />
Abbildung 3.4: Die spezifische Wärme für verschiedene Zyl<strong>in</strong>der, Hohlzyl<strong>in</strong>der <strong>und</strong> Hohlkugeln<br />
mit N=10000 Teilchen.<br />
Für den periodischen Zyl<strong>in</strong>der ist die kritische Temperatur um etwa e<strong>in</strong> Kelv<strong>in</strong> nach oben<br />
verschoben, <strong>und</strong> weitere Rechnungen, deren Ergebnisse hier nicht dargestellt s<strong>in</strong>d, haben<br />
gezeigt, daß das Verhalten e<strong>in</strong>es Gases <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em solchen Potential sehr viel Ähnlichkeit mit<br />
dem Verhalten <strong>in</strong> herkömmlichen Zyl<strong>in</strong>dern aufweist. Den e<strong>in</strong>zigen Unterschied stellt die<br />
Verschiebung zu e<strong>in</strong>er höheren Temperatur dar.<br />
In Abbildung 3.4 s<strong>in</strong>d zusätzlich die Ergebnisse zweier weiterer Potentiale, dem Hohlzyl<strong>in</strong>der<br />
<strong>und</strong> der Hohlkugel, dargestellt. Man sieht deutlich, daß diese Kurven flacher verlaufen<br />
als die oben beschriebenen. Beide Hohlkörper besitzen e<strong>in</strong>en Parameter λ, der das Verhältnis<br />
aus Innen- <strong>und</strong> Außenradius angibt. Diesem Wert wird hier entweder 0,75 oder 0,9<br />
zugewiesen. Es handelt sich also um Körper, deren Wände so dicht beie<strong>in</strong>ander liegen, daß<br />
ihr E<strong>in</strong>fluß auch <strong>in</strong> vergleichsweise großen Systemen nicht zu vernachlässigen ist.<br />
Während die Form des Behälters, also ob es sich um e<strong>in</strong>e Hohlkugel oder e<strong>in</strong>en Hohlzyl<strong>in</strong>der<br />
handelt, nur e<strong>in</strong>e untergeordnete Rolle spielt, verändert der Parameter λ den Verlauf der<br />
spezifischen Wärme erheblich. Für λ=0,9 verschw<strong>in</strong>det das Maximum der Kurven bereits<br />
aus dem betrachteten Temperaturbereich.<br />
Der E<strong>in</strong>fluß der Deformation e<strong>in</strong>es Hohlzyl<strong>in</strong>ders wird <strong>in</strong> Abbildung 3.5 gezeigt. Für 10000<br />
Teilchen ist das Maximum noch nicht so gut ausgeprägt wie beispielsweise bei der Box<br />
oder der Kugel. Weiterh<strong>in</strong> sieht man deutlich, daß sich dieser Effekt vergrößert, je höher<br />
der betrachtete Hohlzyl<strong>in</strong>der ist, das heißt je kle<strong>in</strong>er das Verhältnis aus dem Durchmesser<br />
d <strong>und</strong> der Höhe L ist. 2<br />
2 E<strong>in</strong> anderer Ansatz zur Beschreibung idealer <strong>Bose</strong>-Gase <strong>in</strong> harten Potentialen erfolgt beispielsweise<br />
<strong>in</strong> [64]. Hier werden thermodynamische Größen oberhalb der kritischen Temperatur berechnet. Vorausset-
34 Kapitel 3. Rekursionsformeln zur Berechnung der kanonischen Zustandssumme<br />
2<br />
Hohlzyl<strong>in</strong>der λ=0,75, d:L=1:1<br />
Hohlzyl<strong>in</strong>der λ=0,75, d:L=1:4<br />
Hohlzyl<strong>in</strong>der λ=0,75, d:L=4:1<br />
CV<br />
N [k B]<br />
1<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10<br />
T [K]<br />
Abbildung 3.5: Die spezifische Wärme für unterschiedlich deformierte Hohlzyl<strong>in</strong>der <strong>und</strong> N=10000<br />
Teilchen.<br />
3.3.2 Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuationen<br />
Die Fluktuation der Besetzungszahl des Gr<strong>und</strong>zustands δη 0 (N,β) berechnet sich nach<br />
Gleichung (3.26), <strong>und</strong> die <strong>in</strong> diesem Abschnitt gezeigten Grafiken entsprechen den oben<br />
behandelten Systemen, wobei allerd<strong>in</strong>gs das Verhalten der Fluktuationen gr<strong>und</strong>sätzlich anders<br />
ist als das der spezifischen Wärme.<br />
δη0<br />
N<br />
0.20<br />
0.15<br />
0.10<br />
N =100<br />
N =1000<br />
N =10000<br />
Box a:L=1:1<br />
Zyl. d:L=1:1<br />
Kugel<br />
Box a:L=1:4<br />
Box a:L=4:1<br />
0.05<br />
0.00<br />
0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6<br />
T [K]<br />
T [K]<br />
T [K]<br />
Abbildung 3.6: Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuation pro Teilchen für verschiedene Körper <strong>und</strong> N=100, 1000<br />
<strong>und</strong> 10000 Teilchen.<br />
Abbildung 3.6 zeigt die Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuation pro Teilchenzahl δη 0 (N,β)/N für die<br />
bereits im vorigen Abschnitt gewählten N <strong>und</strong> Temperaturbereiche. Während die Fluktuationen<br />
für den Zyl<strong>in</strong>der mit identischem Durchmesser <strong>und</strong> Höhe, den Würfel <strong>und</strong> die<br />
zungen für den dort gegebenen großkanonischen Ansatz s<strong>in</strong>d allerd<strong>in</strong>gs e<strong>in</strong>e große Teilchenzahl N <strong>und</strong> e<strong>in</strong>e<br />
ger<strong>in</strong>ge Besetzungszahldichte.
3.3 Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuationen 35<br />
Kugel schon für N=100 sehr dicht beie<strong>in</strong>ander liegen, ist das Ergebnis für gestreckte oder<br />
gestauchte Körper anders. Unterhalb der kritischen Temperatur weisen sie e<strong>in</strong>e größere<br />
Fluktuation auf.<br />
δη0<br />
N<br />
0.20<br />
0.15<br />
0.10<br />
Zyl<strong>in</strong>der d:L=1:1<br />
Periodischer Zyl<strong>in</strong>der d:L=1:1<br />
Hohlzyl<strong>in</strong>der λ=0,75, d:L=1:1<br />
Hohlzyl<strong>in</strong>der λ=0,9, d:L=1:1<br />
Hohlkugel λ=0,75<br />
Hohlkugel λ=0,9<br />
0.05<br />
0.00<br />
0 2 4 6 8 10<br />
T [K]<br />
Abbildung 3.7: Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuation für verschiedene Zyl<strong>in</strong>der, Hohlzyl<strong>in</strong>der <strong>und</strong> Hohlkugeln<br />
mit N=10000 Teilchen.<br />
Weiterh<strong>in</strong> ändert sich diese Differenz zwischen den e<strong>in</strong>zelnen Potentialen nur ger<strong>in</strong>g<br />
mit wachsender Teilchenzahl. E<strong>in</strong>e Approximation ergibt jedoch, daß die Fluktuation<br />
δη 0 (N,β)/N proportional zu N −1/3 ist <strong>und</strong> somit erwartungsgemäß bei e<strong>in</strong>em Übergang<br />
zu unendlichen Teilchenzahlen verschw<strong>in</strong>det.<br />
0.20<br />
0.15<br />
Hohlzyl<strong>in</strong>der λ=0,75, d:L=1:1<br />
Hohlzyl<strong>in</strong>der λ=0,75, d:L=1:4<br />
Hohlzyl<strong>in</strong>der λ=0,75, d:L=4:1<br />
δη0<br />
N<br />
0.10<br />
0.05<br />
0.00<br />
0 2 4 6 8 10<br />
T [K]<br />
Abbildung 3.8: Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuationen für unterschiedlich deformierte Hohlzyl<strong>in</strong>der <strong>und</strong><br />
N=10000 Teilchen.<br />
In Abbildung 3.7 bietet der Graph für den symmetrischen Zyl<strong>in</strong>der (d:L = 1:1) e<strong>in</strong>en guten<br />
Vergleich mit den Ergebnissen des vorherigen Diagramms, da er die bei weitem kle<strong>in</strong>ste<br />
Fluktuation aufweist <strong>und</strong> somit zeigt, daß auch für die Hohlkörper gilt, was bereits
36 Kapitel 3. Rekursionsformeln zur Berechnung der kanonischen Zustandssumme<br />
zu erwarten war: Ihre Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuation wächst mit steigendem Parameter λ. Die<br />
Kurven für e<strong>in</strong>en Zyl<strong>in</strong>der mit periodischen Randbed<strong>in</strong>gungen entsprechen wie bei der spezifischen<br />
Wärme e<strong>in</strong>em herkömmlichen Zyl<strong>in</strong>der, dessen kritische Temperatur nach oben<br />
verschoben ist.<br />
Die Berechnungen für den Hohlzyl<strong>in</strong>der (Abbildung 3.8) bestätigen die aus den vorherigen<br />
Betrachtungen abgeleitete Erwartung, daß die Fluktuationen <strong>in</strong> gestauchten <strong>Fallen</strong> größer<br />
s<strong>in</strong>d als <strong>in</strong> gestreckten.<br />
E<strong>in</strong>e gute Möglichkeit des Vergleichs mit den bereits von Gajda [47] <strong>und</strong> Grossmann [55]<br />
veröffentlichten Ergebnissen bietet die oben angewandte Art der Darstellung der Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuation.<br />
Allerd<strong>in</strong>gs verschw<strong>in</strong>det die hier dargestellte Größe δη 0 (N,β)/N für<br />
große Teilchenzahlen. Daher ist sie ke<strong>in</strong> guter Indikator für Phasenübergänge, <strong>und</strong> Abbildung<br />
3.9 zeigt e<strong>in</strong>e mögliche Alternative, denn hier ist die relative Fluktuation der Gr<strong>und</strong>zustandsbesetzungszahl<br />
δη 0 (N,β)/η 0 (N,β) für verschiedene Quader aufgetragen.<br />
1.5<br />
1.0<br />
Box a:L=1:1, N =1000<br />
Box a:L=1:4, N =1000<br />
Box a:L=1:1, N =10000<br />
Box a:L=1:4, N =10000<br />
δη0<br />
η0<br />
0.5<br />
0.0<br />
0 2 4 6 8 10<br />
T [K]<br />
Abbildung 3.9: Relative Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuationen für unterschiedlich deformierte Quader <strong>und</strong><br />
N=1000, beziehungsweise N=10000 Teilchen.<br />
Diese Grafik zeigt e<strong>in</strong>en Effekt, der von anderen Systemen bereits bekannt ist: Der Phasenübergang<br />
f<strong>in</strong>det nicht bei e<strong>in</strong>er wohldef<strong>in</strong>ierten Temperatur, sondern <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em kritischen<br />
Gebiet statt, das durch e<strong>in</strong>en starken Anstieg der Kurve für δη 0 (N,β)/η 0 (N,β) gekennzeichnet<br />
ist. Selbst für 10000 Teilchen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Würfel überspannt es noch e<strong>in</strong>en Bereich<br />
von etwa e<strong>in</strong>em halben Kelv<strong>in</strong>, <strong>und</strong> für deformierte Körper ist das kritische Gebiet entsprechend<br />
größer. Der Gr<strong>und</strong> dafür ist, daß f<strong>in</strong>ite Systeme ke<strong>in</strong>e scharfen Phasenübergänge<br />
aufweisen sondern höchstens den Ansatz e<strong>in</strong>es Übergangs.<br />
Die Begründung für das <strong>in</strong> diesem Abschnitt gezeigte Verhalten liegt <strong>in</strong> den unterschiedlichen<br />
Differenzen zwischen den Energien des Gr<strong>und</strong>zustandes <strong>und</strong> des ersten angeregten<br />
Zustandes <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Potential, sowie der Entartung der e<strong>in</strong>zelnen Niveaus. Ob die Auswirkungen<br />
der Differenz der Eigenwerte oder der Entartung stärker s<strong>in</strong>d, sollte <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er<br />
zukünftigen Arbeit studiert werden.<br />
Da <strong>in</strong> den Tabellen <strong>in</strong> Anhang A nicht nur die jeweiligen Energieeigenwerte, sondern auch
3.3 Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuationen 37<br />
die Differenzen zum jeweils vorherigen Wert angegeben s<strong>in</strong>d, können deren Auswirkungen<br />
dort überprüft werden. In Tabelle 3.1 s<strong>in</strong>d noch e<strong>in</strong>mal die Differenzen ∆E = E 1 −E 0 nach<br />
Größe sortiert, stellvertretend für e<strong>in</strong>ige ausgewählte Potentiale zusammengefaßt, wobei<br />
die Teilchenzahl hier auf N=10000 festgesetzt ist.<br />
Potential ∆E [eV] Potential ∆E [eV]<br />
Kugel 0,027211 Box a:L=1:1 0,030041<br />
Box a:L=4:1 0,011922<br />
Box a:L=1:4 0,004731<br />
Zyl<strong>in</strong>der d:L=1:1 0,025573 Hohlzyl<strong>in</strong>der λ=0,75, d:L=1:1 0,004549<br />
Zyl<strong>in</strong>der d:L=4:1 0,012201 Hohlzyl<strong>in</strong>der λ=0,75, d:L=1:4 0,004027<br />
Zyl<strong>in</strong>der d:L=1:4 0,004028 Hohlzyl<strong>in</strong>der λ=0,75, d:L=4:1 0,001805<br />
Tabelle 3.1: Differenzen zwischen der Gr<strong>und</strong>zustandsenergie <strong>und</strong> der Energie des ersten angeregten<br />
Zustandes für verschiedene Potentiale.<br />
Die Energiedifferenzen s<strong>in</strong>d für die symmetrischen Zyl<strong>in</strong>der <strong>und</strong> Quader größer als für die<br />
deformierten Körper, wobei die gestreckten die kle<strong>in</strong>ste Differenz aufweisen. Anders ist<br />
es bei den Hohlzyl<strong>in</strong>dern, da dort das Verhältnis aus Innen- <strong>und</strong> Außenradius e<strong>in</strong>e Rolle<br />
spielt.<br />
Unter experimentellen Bed<strong>in</strong>gungen ergibt sich, daß e<strong>in</strong> kondensiertes ideales <strong>Bose</strong>-Gas <strong>in</strong><br />
e<strong>in</strong>er anisotropen Falle weniger stabil se<strong>in</strong> wird als <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er isotropen.
4<br />
Kühlung<br />
von atomaren Gasen <strong>und</strong><br />
<strong>Fallen</strong> für neutrale Teilchen<br />
4.1 Doppler - Kühlung<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lich war Johannes Kepler 1619 der erste, der den Vorschlag vorbrachte, daß<br />
Licht e<strong>in</strong>e mechanische Kraft ausüben könnte. Damit versuchte er zu erklären, warum der<br />
Schweif e<strong>in</strong>es Kometen immer entgegengesetzt zur Sonne ausgerichtet ist. Er glaubte, das<br />
Phänomen sei durch e<strong>in</strong>en Druck beschreibbar, der vom Licht der Sonne hervorgerufen<br />
wird. Genauere Studien zu diesem Thema kamen beispielsweise 1873 von James C. Maxwell,<br />
der se<strong>in</strong>e Gleichungen dazu verwendete, e<strong>in</strong>en Druck herzuleiten, der von e<strong>in</strong>er elektro<strong>magnetischen</strong><br />
Welle herrührt. Se<strong>in</strong>e Ergebnisse wurden zur Jahrh<strong>und</strong>ertwende von Lebedev,<br />
Nicols <strong>und</strong> Hull experimentell verifiziert [2].<br />
Albert <strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong> veröffentlichte 1917 e<strong>in</strong>en Artikel, <strong>in</strong> dem er zeigte, daß e<strong>in</strong> molekulares<br />
Gas, das der Maxwell-Boltzmann Statistik gehorcht, <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em thermischen Lichtfeld (weißes<br />
Licht) dessen Temperatur annimmt. Der Gr<strong>und</strong> dafür ist, daß die e<strong>in</strong>zelnen Photonen<br />
mit der Wellenlänge λ beim Auftreffen auf e<strong>in</strong> Molekül nicht nur Energie E = hν, sondern<br />
auch e<strong>in</strong>en Impuls p = h/λ übertragen <strong>und</strong> durch diesen Strahlungsdruck die Geschw<strong>in</strong>digkeit<br />
des Kollisionspartners ändern. Der Photonenimpuls <strong>in</strong> Ausbreitungsrichtung des<br />
Lichts wird mit dem Wellenvektor k zu p = ~k. 1 Thermisches Licht ist allerd<strong>in</strong>gs aufgr<strong>und</strong><br />
se<strong>in</strong>er hohen Temperatur von e<strong>in</strong>igen tausend Kelv<strong>in</strong> unbrauchbar zum Kühlen. Erst<br />
mit der Erf<strong>in</strong>dung des Lasers änderte sich die Situation. Es ist jedoch möglich, auch mit<br />
anderen Lichtquellen e<strong>in</strong>en Atomstrahl sichtbar abzulenken, was bereits 1933 von Frisch<br />
demonstriert wurde, der e<strong>in</strong>en Natriumstrahl mit dem Licht e<strong>in</strong>er Natriumlampe von se<strong>in</strong>er<br />
Bahn abzubr<strong>in</strong>gen vermochte. Nach der Erf<strong>in</strong>dung des Lasers mit variabler Wellenlänge<br />
<strong>und</strong> hoher Intensität entwickelten Arthur L. Schawlow von der Universität Stanford (Nobelpreis<br />
1981) <strong>und</strong> Theodor W. Hänsch (heute Universität München <strong>und</strong> MPI für Quantenoptik<br />
[67]) 1975 e<strong>in</strong> äußerst wirksames Kühlverfahren für neutrale Atome. Die sogenannte<br />
Laser- oder Doppler-Kühlung soll deshalb <strong>in</strong> diesem Kapitel erläutert werden.<br />
Seit Mitte der 80er Jahre hat die Laserkühlung e<strong>in</strong>e explosionsartige Entwicklung erfahren.<br />
Das Ergebnis ist, daß heute hocheffektive <strong>Fallen</strong> zur Verfügung stehen, <strong>in</strong> denen man kalte<br />
Atome mit e<strong>in</strong>er Dichte von bis zu 10 14 Atomen pro Kubikzentimeter e<strong>in</strong>fangen <strong>und</strong> auf<br />
Temperaturen im Nanokelv<strong>in</strong>bereich herunterkühlen kann [62]. Dieser Wert liegt um mehrere<br />
Größenordnungen unterhalb der <strong>in</strong> der Festkörperphysik durch magnetisches Kühlen<br />
erzeugten Temperaturen.<br />
1 Die erste Demonstration der Energie- <strong>und</strong> Impulserhaltung bei Stößen von Photonen <strong>und</strong> Elektronen war<br />
der Compton-Effekt. Die Wellenlänge der gestreuten Röntgenstrahlung vergrößert sich um die Compton-<br />
Wellenlänge λ c = h/m e c, wobei m e die Masse des Elektrons <strong>und</strong> c die Lichtgeschw<strong>in</strong>digkeit s<strong>in</strong>d. Die<br />
entsprechende Energie wird auf das rückstoßende Elektron übertragen.<br />
39
40 Kapitel 4. Kühlung von atomaren Gasen <strong>und</strong> <strong>Fallen</strong> für neutrale Teilchen<br />
Laserkühlung ist die Verr<strong>in</strong>gerung der atomaren Geschw<strong>in</strong>digkeitsverteilung durch Strahlungskräfte,<br />
die dazu geschw<strong>in</strong>digkeitsabhängig se<strong>in</strong> müssen. Bei Doppler-Kühlung ist diese<br />
Abhängigkeit dadurch gegeben, daß die Verstimmung der Frequenz des Lasers gegenüber<br />
der Resonanzfrequenz e<strong>in</strong>es sich bewegenden Atoms durch den Doppler-Effekt verändert<br />
wird. Bewegt sich das Atom <strong>in</strong> entgegengesetzter Richtung des Laserstrahls, ersche<strong>in</strong>t<br />
die Frequenz des Lichts größer als die tatsächliche <strong>und</strong> kommt dadurch der Resonanzfrequenz<br />
des Atoms näher. Die Photonenabsorptionsrate wird somit vergrößert <strong>und</strong> die<br />
Energie der Photonen versetzt das Atom <strong>in</strong> e<strong>in</strong>en angeregten Zustand. Da die Richtung des<br />
Impulses des absorbierten Photons dem des Atoms entgegengesetzt ist, verr<strong>in</strong>gert sich die<br />
Geschw<strong>in</strong>digkeit des Atoms um ~k/m. Anschließend kehrt es <strong>in</strong> den Gr<strong>und</strong>zustand zurück<br />
<strong>und</strong> gibt durch spontane Emission e<strong>in</strong> Photon ab. Die Impulserhaltung bewirkt e<strong>in</strong>en<br />
weiteren Rückstoß <strong>in</strong> entgegengesetzter Richtung des emittierten Photons. Allerd<strong>in</strong>gs ist<br />
die Richtung, <strong>in</strong> die sich das emittierte Photon bewegt, zufällig, das heißt die übertragenen<br />
Impulse heben sich nach Mittellung über viele Absorptions- <strong>und</strong> Emissionsprozesse<br />
gegenseitig auf. Dieser Vorgang ist für e<strong>in</strong> Atom mit zwei Zuständen <strong>in</strong> Abbildung 4.1<br />
dargestellt.<br />
p = ~k<br />
v 0<br />
v = v 0 − ~k/m<br />
v = v 0 − ~k/m<br />
Abbildung 4.1: Die Absorption e<strong>in</strong>es Photons mit dem Impuls p = ~k (oben) regt e<strong>in</strong> Atom mit<br />
der Geschw<strong>in</strong>digkeit v 0 an <strong>und</strong> bewirkt e<strong>in</strong>e Abbremsung um ~k/m auf v = v 0 − ~k/m (rechts).<br />
Durch den Übergang <strong>in</strong> den Gr<strong>und</strong>zustand wird die aufgenommene Energie <strong>in</strong> Form e<strong>in</strong>es spontan<br />
emittierten Photons abgegeben (l<strong>in</strong>ks).<br />
Im Vergleich zu unbewegten Atomen muß die Laserfrequenz um den Faktor δ Dop = kv<br />
vergrößert werden, damit sie die Resonanzfrequenz e<strong>in</strong>es Atoms mit der Geschw<strong>in</strong>digkeit<br />
v <strong>und</strong> dem Wellenvektor k trifft.<br />
Mit der Laserfrequenz ω L <strong>und</strong> der Absorptionsfrequenz ω A für e<strong>in</strong> unbewegtes Atom gilt<br />
für die Verstimmung der Frequenzen δ = ω A − ω L , <strong>und</strong> durch die Doppler-Verschiebung<br />
ergibt sich für die effektive Verstimmung δ eff = δ − kv. Auf e<strong>in</strong> Atom mit zwei möglichen<br />
Zuständen, das mit e<strong>in</strong>er ebenen Welle bestrahlt wird, wirkt nach [105] die Kraft<br />
F = ~k Γ I/I 0<br />
2 1+I/I 0 + [ 2δ eff<br />
] 2<br />
(4.1)<br />
Γ<br />
<strong>in</strong> Richtung der Beschleunigung. Dabei s<strong>in</strong>d Γ die natürliche L<strong>in</strong>ienbreite, I die Laser<strong>in</strong>tensität<br />
<strong>und</strong> I 0 die Sättigungs<strong>in</strong>tensität. Der Faktor I/I 0 wird als normalisierte Intensität
4.1 Doppler - Kühlung 41<br />
bezeichnet. Die Kraft F ist das Produkt aus dem Impuls des Photons ~k <strong>und</strong> der Streurate<br />
für die Photonen, also die Zahl der Photonenabsorptionen gefolgt von spontaner Emission.<br />
Da die spontane Emission räumlich symmetrisch verteilt ist, wird pro Absorptions<strong>und</strong><br />
Emissionsvorgang durchschnittlich der Impuls e<strong>in</strong>es Photons an das Atom übergeben.<br />
Stimulierte Absorptions- <strong>und</strong> Emissionsprozesse tragen nicht zu dieser Kraft bei, da die<br />
stimulierte Emission <strong>in</strong> dieselbe Richtung verläuft wie das Laserlicht. Daher trägt F oft<br />
den Namen “spontane Kraft”, die die Doppler-Kühlung durch ihren Geschw<strong>in</strong>digkeitsanteil<br />
möglich macht. Für hohe Intensitäten ist die Zahl der maximal möglichen spontanen<br />
Emissionen erreicht <strong>und</strong> F geht gegen ~kΓ/2. Die Beschleunigung e<strong>in</strong>es Atoms mit Masse<br />
M durch den gesättigten Strahlungsdruck ist<br />
a max = ~k Γ<br />
2M . (4.2)<br />
Für Natrium bedeutet dieses a max =10 6 m/s 2 , was dem 10 5 -fachen der Beschleunigung<br />
durch die Gravitation entspricht. Für Wasserstoff ergibt sich sogar 10 9 m/s 2 .<br />
Für das Verständnis der Verfahren zur Kühlung von Atomen ist es s<strong>in</strong>nvoll, zu erklären,<br />
wie Atomstrahlen mit e<strong>in</strong>em Laser abgelenkt werden können. Dazu werden die Atome<br />
senkrecht zu ihrer Flugrichtung mit dem Laser bestrahlt. Die Verstimmung δ soll <strong>in</strong> diesem<br />
Fall Null se<strong>in</strong>. Durch die e<strong>in</strong>fallenden Photonen werden die Atome abgelenkt <strong>und</strong><br />
erfahren e<strong>in</strong>e Beschleunigung, wodurch sich die relative Geschw<strong>in</strong>digkeit der Teilchen zu<br />
den Photonen ändert bis kv zu groß wird, das bedeutet die Verstimmung δ wird groß <strong>und</strong><br />
die Photonenabsorptionswahrsche<strong>in</strong>lichkeit s<strong>in</strong>kt rapide. Die Ablenkung e<strong>in</strong>es Atomstrahls<br />
mit Licht fester Wellenlänge ist also nur begrenzt möglich. Atome mit verschiedenen Geschw<strong>in</strong>digkeiten<br />
werden allerd<strong>in</strong>gs auch verschieden stark abgelenkt. Nehmen wir an, die<br />
Geschw<strong>in</strong>digkeitskomponente e<strong>in</strong>es Atoms zeigt etwas mehr <strong>in</strong> Richtung des Lasers als<br />
die durchschnittliche Geschw<strong>in</strong>digkeit aller Atome (kv < 0). Dann wird es so lange beschleunigt,<br />
bis die Resonanzfrequenz mit der Frequenz des Lasers übere<strong>in</strong>stimmt (kv =0).<br />
E<strong>in</strong>e weitere Beschleunigung (kv > 0) geht soweit, bis ke<strong>in</strong>e Absorption mehr stattf<strong>in</strong>den<br />
kann. Atome, deren relative Anfangsgeschw<strong>in</strong>digkeit bereits zu groß ist (kv > 0), können<br />
dementsprechend weniger Photonen absorbieren <strong>und</strong> werden weniger beschleunigt oder<br />
abgelenkt.<br />
Abbildung 4.2: Ablenkung e<strong>in</strong>es Atomstrahls mit Laserlicht.<br />
Durch diesen Effekt verlassen alle Atome die Wechselwirkungszone des Lasers mit fast<br />
gleicher Geschw<strong>in</strong>digkeit v. Diese Angleichung der Geschw<strong>in</strong>digkeiten wird “transversale<br />
Doppler-Kühlung” oder “Kollimierung” genannt <strong>und</strong> <strong>in</strong> Abbildung 4.2 veranschaulicht.
42 Kapitel 4. Kühlung von atomaren Gasen <strong>und</strong> <strong>Fallen</strong> für neutrale Teilchen<br />
E<strong>in</strong> Atom kann weiter von se<strong>in</strong>er ursprünglichen Bahn abgelenkt werden, wenn der W<strong>in</strong>kel,<br />
<strong>in</strong> dem der Laserstrahl zur Bahn des Atoms steht, konstant gehalten wird. Es können<br />
also beispielsweise mehrere Laser nebene<strong>in</strong>ander angeordnet werden, die jeweils um e<strong>in</strong>en<br />
bestimmten W<strong>in</strong>kel gedreht s<strong>in</strong>d. E<strong>in</strong>e weitere Möglichkeit ist die Benutzung e<strong>in</strong>es konvergenten<br />
Strahls (siehe Abbildung 4.3). Dadurch wird die Richtungsänderung der Geschw<strong>in</strong>digkeit<br />
kompensiert.<br />
Abbildung 4.3: Ablenkung e<strong>in</strong>es Atomstrahls mit konvergentem Laserlicht.<br />
Nehmen wir an, wir hätten e<strong>in</strong>en Atomstrahl, der e<strong>in</strong>er ebenen Laserwelle entgegenläuft.<br />
Die Geschw<strong>in</strong>digkeiten der e<strong>in</strong>zelnen Atome seien auf beliebige Weise um die Geschw<strong>in</strong>digkeit<br />
V ′ herum verteilt. Die Verstimmung des Lasers sei so gewählt, daß sie <strong>in</strong> der Nähe<br />
der durch V ′ bestimmten Resonanzfrequenz der Atome liegt. E<strong>in</strong> Atom mit der Geschw<strong>in</strong>digkeit<br />
V ′ wird so lange abgebremst bis die Verstimmung δ zu groß wird. Andere Atome,<br />
deren Geschw<strong>in</strong>digkeit <strong>in</strong> der Nähe von V ′ liegt, werden ebenfalls abgebremst, also die<br />
mit größerer Geschw<strong>in</strong>digkeit erst <strong>in</strong> den Resonanzbereich, dann zu ger<strong>in</strong>geren Geschw<strong>in</strong>digkeiten,<br />
bis die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit e<strong>in</strong>er Wechselwirkung mit den Photonen sehr ger<strong>in</strong>g<br />
wird. Langsamere Atome werden ebenfalls noch zu etwas ger<strong>in</strong>geren Geschw<strong>in</strong>digkeiten<br />
gebremst. Durch diese Vorgänge werden die Atome sich bei e<strong>in</strong>er etwas ger<strong>in</strong>geren Geschw<strong>in</strong>digkeit<br />
als V ′ anhäufen (siehe Abbildung 4.4).<br />
Anzahl Atome<br />
V’<br />
v<br />
Abbildung 4.4: Geschw<strong>in</strong>digkeitsverteilung e<strong>in</strong>es Atomstrahls vor <strong>und</strong> nach der Wechselwirkung<br />
mit Laserlicht e<strong>in</strong>er festen Frequenz.<br />
Leider läßt sich mit diesem Verfahren nur e<strong>in</strong>e ger<strong>in</strong>ge Zahl der Atome um e<strong>in</strong>en kle<strong>in</strong>en<br />
Betrag abbremsen. E<strong>in</strong>e Möglichkeit, dieses Problem zu überw<strong>in</strong>den, ist, die Frequenz
4.2 “Optischer Sirup” 43<br />
des Lasers kont<strong>in</strong>uierlich zu verändern. Dann werden Atome mit höheren Geschw<strong>in</strong>digkeiten<br />
abgebremst, <strong>und</strong> da die Frequenz des Lasers ebenfalls verr<strong>in</strong>gert wird, verlassen<br />
sie den Resonanzbereich nicht, sondern können weiterh<strong>in</strong> Photonen absorbieren <strong>und</strong> dadurch<br />
abgebremst werden. Atome, die zu Beg<strong>in</strong>n zu langsam waren, um mit dem Laser <strong>in</strong><br />
Wechselwirkung zu treten, können bei niedrigeren Frequenzen ebenfalls abgebremst werden,<br />
wodurch sich e<strong>in</strong>e Geschw<strong>in</strong>digkeitsverteilung wie <strong>in</strong> Abbildung 4.5 ergibt. Ändert<br />
Anzahl Atome<br />
V’<br />
v<br />
Abbildung 4.5: Geschw<strong>in</strong>digkeitsverteilung e<strong>in</strong>es Atomstrahls vor <strong>und</strong> nach der Wechselwirkung<br />
mit Laserlicht e<strong>in</strong>er kont<strong>in</strong>uierlich kle<strong>in</strong>er werdenden Frequenz.<br />
sich die Intensität des Lasers, f<strong>in</strong>det weiterh<strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Abbremsung statt, allerd<strong>in</strong>gs fällt die<br />
effektive Verstimmung δ eff dann ger<strong>in</strong>ger aus.<br />
4.2 “Optischer Sirup”<br />
Die Gruppe von Steven Chu an den Bell-Laboratorien <strong>in</strong> New Jersey entwickelte <strong>in</strong> der<br />
Zeit um 1985 e<strong>in</strong>e sehr wirkungsvolle Methode, um atomare Gase zu kühlen [26]. 1997<br />
erhielt Chu zusammen mit Claude Cohen-Tannoudji von der “École Normale Supérieure”<br />
<strong>in</strong> Paris <strong>und</strong> William D. Phillips vom “National Institute of Standards and Technology” den<br />
Nobelpreis für diese Entwicklung [25].<br />
Abbildung 4.6: Anordnung der Laser zur Erzeugung e<strong>in</strong>es “<strong>optischen</strong> Sirups”: Sechs Laser werden<br />
aus verschiedenen Richtungen auf e<strong>in</strong>e Wolke aus Atomen gerichtet.<br />
Der Begriff “optischer Sirup” wird benutzt, wenn e<strong>in</strong> Gas aus Atomen aus allen drei Raumrichtungen<br />
mit Laserlicht bestrahlt <strong>und</strong> jedem Laser e<strong>in</strong> weiterer entgegengerichtet wird,
44 Kapitel 4. Kühlung von atomaren Gasen <strong>und</strong> <strong>Fallen</strong> für neutrale Teilchen<br />
was <strong>in</strong> Abbildung 4.6 dargestellt ist. Die Atome bewegen sich <strong>in</strong> der Wechselwirkungsregion<br />
wie <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em viskosen Medium, wodurch der Name dieses Verfahrens entstand.<br />
Würde man e<strong>in</strong> atomares Gas nur aus e<strong>in</strong>er Richtung mit Laserlicht bestrahlen, würden<br />
auch nur die Atome abgebremst, die <strong>in</strong> die entsprechende Richtung fliegen. Daher bestrahlt<br />
man das Gas auch aus den anderen Richtungen, um die Atome <strong>in</strong> e<strong>in</strong>en stationären Zustand<br />
zu br<strong>in</strong>gen. Die Kraft, die dann auf jedes e<strong>in</strong>zelne Atom wirkt, setzt sich dann aus den durch<br />
(4.1) gegebenen Komponenten für jeden e<strong>in</strong>zelnen Laser zusammen. In e<strong>in</strong>er Dimension,<br />
das heißt mit zwei gegenüberliegenden Lasern, ergibt sich also<br />
F = ~k Γ I/I 0<br />
[ ]<br />
2<br />
2<br />
1+I/I 0 + 2(δ−kv)<br />
− ~k Γ I/I 0<br />
2<br />
1+I/I 0 +<br />
Γ<br />
[<br />
2(δ+kv)<br />
Γ<br />
] 2<br />
. (4.3)<br />
In Abbildung 4.7 s<strong>in</strong>d die e<strong>in</strong>zelnen Kräfte <strong>und</strong> die daraus resultierende geplottet. Man<br />
sieht deutlich, daß der Betrag von F für v =0m<strong>in</strong>imal wird.<br />
F/(~kΓ)<br />
-1<br />
1<br />
kv/Γ<br />
Abbildung 4.7: Zwei gegene<strong>in</strong>ander ausgerichtete Laser üben e<strong>in</strong>e geschw<strong>in</strong>digkeitsabhängige<br />
Kraft auf e<strong>in</strong> sich mit der Geschw<strong>in</strong>digkeit v bewegendes Teilchen aus. Die dicke Kurve zeigt die<br />
resultierende Kraft aus den von jedem e<strong>in</strong>zelnen Laser ausgeübten Kräften (dünn).<br />
Bisher wurde nur der durchschnittliche Energieübertrag betrachtet. Natürlich können die<br />
Atome aber nur gequantelt Energie absorbieren, weswegen auch der übertragene Impuls als<br />
e<strong>in</strong>e Zusammensetzung aus vielen e<strong>in</strong>zelnen Impulsen angesehen werden muß. Es ist nicht<br />
vorhersagbar, zu welchem Zeitpunkt e<strong>in</strong> Impulsübertrag stattf<strong>in</strong>det, da spontane Emission<br />
<strong>und</strong> Absorption zufällig stattf<strong>in</strong>den.<br />
Selbst wenn sich diese Effekte im Mittel aufheben, ist die resultierende Kraft nach Bildung<br />
e<strong>in</strong>es zeitlichen Mittelwertes nicht Null, sondern fluktuiert um e<strong>in</strong>en Durchschnittswert.<br />
Man erhält e<strong>in</strong>e Brownsche Bewegung im Phasenraum, es führen also die Rückstöße<br />
der Photonenabsorptionen zu e<strong>in</strong>er Verbreiterung der Geschw<strong>in</strong>digkeitsverteilung. Dies ist<br />
gleichbedeutend mit e<strong>in</strong>er Erhöhung der k<strong>in</strong>etischen Energie. Die tiefste erreichbare Temperatur<br />
entspricht e<strong>in</strong>em Gleichgewicht aus diesem Heizeffekt <strong>und</strong> der Doppler-Kühlung.<br />
In e<strong>in</strong>em e<strong>in</strong>dimensionalen System führt dies nach [2, 105] zu<br />
k B T Dop = ~Γ 2 . (4.4)
4.3 Sisyphuskühlung 45<br />
Dabei s<strong>in</strong>d T Dop die m<strong>in</strong>imale erreichbare Temperatur <strong>und</strong> Γ wieder die natürliche L<strong>in</strong>ienbreite,<br />
die auch als Lebenszeit des angeregten Zustandes bezeichnet werden kann.<br />
Die mit diesem Verfahren erreichbare M<strong>in</strong>imaltemperatur liegt bei e<strong>in</strong>igen h<strong>und</strong>ert Mikrokelv<strong>in</strong>,<br />
was Teilchengeschw<strong>in</strong>digkeiten von etwa e<strong>in</strong>em Kilometer pro St<strong>und</strong>e entspricht.<br />
Für Natrium gilt beispielsweise e<strong>in</strong>e M<strong>in</strong>imaltemperatur von 240µK.<br />
Die ersten Experimente mit neutralen Atomen schienen dieses Limit zu bestätigen, obwohl<br />
die Ergebnisse noch nicht verstanden <strong>und</strong> die Fehler bei der Temperaturmessung sehr groß<br />
waren. Zusätzlich kam h<strong>in</strong>zu, daß die Abhängigkeit der Temperatur von der Laser<strong>in</strong>tensität<br />
nicht den Erwartungen entsprach. Dennoch war man der Me<strong>in</strong>ung, daß das Doppler-Limit<br />
die niedrigste mit diesem Verfahren erreichbare Temperatur sei. Diese Auffassung änderte<br />
sich erst mit Entwicklung der Sisyphuskühlung, auf die im folgenden e<strong>in</strong>gegangen wird.<br />
4.3 Sisyphuskühlung<br />
W.D. Phillips <strong>und</strong> se<strong>in</strong>e Mitarbeiter entwickelten 1987 genauere Methoden zur Bestimmung<br />
der Temperatur e<strong>in</strong>es gekühlten Gases. Zur allgeme<strong>in</strong>en Überraschung maßen sie<br />
Werte, die weit unter der Doppler-Grenze lagen <strong>und</strong> die Theoretiker begannen sofort damit,<br />
den unerwarteten Bef<strong>und</strong> zu erklären. E<strong>in</strong> Jahr später veröffentlichten Jean Dalibard 2 ,<br />
Claude Cohen-Tannoudji <strong>und</strong> Steven Chu unabhängig vone<strong>in</strong>ander e<strong>in</strong>e mögliche Lösung<br />
des Problems [25, 27, 62, 75, 94]. Der Begründung des Doppler-Limits liegt e<strong>in</strong> vere<strong>in</strong>fachtes<br />
Atommodell zugr<strong>und</strong>e, das die Entartung des elektronischen Gr<strong>und</strong>zustandes der<br />
verwendeten Alkaliatome vernachlässigt.<br />
Die griechische Mythologie stand der Namensgebung für dieses Verfahren zur Seite, denn<br />
Cohen-Tannoudji <strong>und</strong> se<strong>in</strong>e Mitarbeiter benannten es nach dem griechischen Helden Sisyphus.<br />
3<br />
Die e<strong>in</strong>zelnen Energieniveaus werden bei Wechselwirkung mit Licht unterschiedlich stark<br />
verschoben. Dabei s<strong>in</strong>d die Verschiebung <strong>und</strong> die Besetzungszahl abhängig von der Polarisation.<br />
Das e<strong>in</strong>fachste Niveauschema besteht aus e<strong>in</strong>em Gr<strong>und</strong>zustand mit zwei <strong>und</strong><br />
e<strong>in</strong>em angeregten Zustand mit vier entarteten Niveaus. Diese unterscheiden sich <strong>in</strong> ihrer<br />
<strong>magnetischen</strong> Quantenzahl m F (Zeeman-Komponenten). Durch die Auswahlregeln regt<br />
l<strong>in</strong>kszirkular polarisiertes Licht nur entlang der nach l<strong>in</strong>ks gerichteten Pfeile <strong>in</strong> Abbildung<br />
4.8a an. Rechtszirkular polarisiertes Licht wirkt entsprechend nur <strong>in</strong> Richtung der rechts<br />
gerichteten Pfeile.<br />
Jede Anregung bewirkt e<strong>in</strong>e sogenannte Lichtverschiebung der Niveaus, deren Größe von<br />
der Polarisationsrichtung abhängt <strong>und</strong> proportional zur Anregungswahrsche<strong>in</strong>lichkeit sowie<br />
zur Amplitude des elektrischen Feldes ist, das heißt für rechtszirkulare Polarisation ist<br />
das Niveau mit m F =1/2 stärker verschoben als das l<strong>in</strong>ke.<br />
2 Jean Dalibard ist wie Claude Cohen-Tannoudji Mitglied der École Normale Supérieure <strong>in</strong> Paris.<br />
3 Sisyphus, Sohn des thessalonischen Königs Ailos, gilt als Gründer <strong>und</strong> König der Stadt Kor<strong>in</strong>th. Er<br />
erblickte zufällig Zeus bei der Entführung der Jungfrau Aig<strong>in</strong>a <strong>und</strong> erzählte se<strong>in</strong>em Vater von diesem Vorfall.<br />
Zornig über Sisyphus Verrat, verbannte ihn Zeus nach se<strong>in</strong>em Tod <strong>in</strong> den Tartarus, der tiefsten Region der<br />
Unterwelt. Dort wurde er gezwungen, unablässig e<strong>in</strong>en Felsblock e<strong>in</strong>en Hügel h<strong>in</strong>aufzuwälzen. Bevor er<br />
jedoch den Gipfel erreichte, rollte der Felsen den Berg wieder h<strong>in</strong>unter <strong>und</strong> die Arbeit begann erneut.
46 Kapitel 4. Kühlung von atomaren Gasen <strong>und</strong> <strong>Fallen</strong> für neutrale Teilchen<br />
Durch spontane Emission e<strong>in</strong>es Photons nach e<strong>in</strong>em Absorptionsprozeß kann e<strong>in</strong> Atom das<br />
Gr<strong>und</strong>zustandsniveau wechseln. Nach e<strong>in</strong>igen Zyklen ist die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit, daß sich<br />
e<strong>in</strong> mit rechtszirkular polarisiertem Licht bestrahltes Atom im rechten Gr<strong>und</strong>zustandsniveau<br />
(m F =1/2) bef<strong>in</strong>det, groß. Von dort kann es dann durch ke<strong>in</strong>en Absorptionsprozeß<br />
mehr entkommen. Dieses Verfahren wird “optisches Pumpen” genannt <strong>und</strong> ist <strong>in</strong> Abbildung<br />
4.8b veranschaulicht.<br />
a) b)<br />
-3/2<br />
-1/2<br />
1/2<br />
3/2<br />
-3/2<br />
-1/2<br />
1/2<br />
3/2<br />
-1/2 1/2<br />
Abbildung 4.8: E<strong>in</strong>fachstes mögliches Niveauschema für Sisyphus-Kühlung (a). Die Dicke der<br />
Pfeile gibt die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit e<strong>in</strong>es Übergangs an. Durch Absorptions- <strong>und</strong> Emissionsvorgänge<br />
ist der Wechsel <strong>in</strong> e<strong>in</strong> anderes Gr<strong>und</strong>zustandsniveau möglich (b).<br />
Durch die beschriebenen Vorgänge gelangen die Atome für jeden Polarisationstyp <strong>in</strong> das jeweils<br />
energetisch günstigste Zeeman-Niveau. Verständlich wird dieser Kühlmechanismus,<br />
wenn man e<strong>in</strong>e stehende Lichtwelle betrachtet, deren Polarisation zwischen rechts- <strong>und</strong><br />
l<strong>in</strong>kszirkular wechselt. Man erhält e<strong>in</strong>e solche Welle, <strong>in</strong>dem man zwei l<strong>in</strong>ear polarisierte<br />
Wellen mit um π/2 verdrehter Polarisationsebene gegene<strong>in</strong>ander richtet. Hieraus entsteht<br />
e<strong>in</strong>e s<strong>in</strong>usförmige Variation der Verschiebung der Gr<strong>und</strong>zustandsniveaus längs der stehenden<br />
Welle. Die Kurven der beiden Zeeman-Komponenten haben e<strong>in</strong>e Phasenverschiebung<br />
von π.<br />
E<strong>in</strong> Atom, das sich zum Beispiel im rechten Zeeman-Niveau (m F =1/2) bef<strong>in</strong>det <strong>und</strong> nach<br />
l<strong>in</strong>ks bewegt, muß sich gegen e<strong>in</strong> Potential bewegen <strong>und</strong> verliert dabei an Geschw<strong>in</strong>digkeit.<br />
Je höher es den Potentialberg “erklimmt”, desto größer ist die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit, daß es<br />
<strong>in</strong> das andere Gr<strong>und</strong>zustandsniveau (m F = −1/2) gelangt. Dabei wird die aufgenommene<br />
potentielle Energie an das Lichtfeld abgegeben, da die Frequenz des emittierten Photons<br />
größer ist als die des absorbierten. Bewegt sich das Atom weiter, läuft es gegen das nächste<br />
Potential an <strong>und</strong> der Vorgang beg<strong>in</strong>nt erneut. Nach e<strong>in</strong>iger Zeit hat das Atom soviel Energie<br />
verloren, daß es das nächste Maximum des Potentials nicht mehr erreichen kann <strong>und</strong> <strong>in</strong><br />
e<strong>in</strong>em M<strong>in</strong>imum bleibt. Dieser Prozeß ist <strong>in</strong> Abbildung 4.9 dargestellt.<br />
Auch wenn e<strong>in</strong> Atom nicht mehr genügend Energie besitzt, um e<strong>in</strong>en Potentialberg zu<br />
überw<strong>in</strong>den, kann es Photonen absorbieren <strong>und</strong> emittieren. Daher behält es e<strong>in</strong>e mittlere<br />
Geschw<strong>in</strong>digkeit, die dem Rückstoß e<strong>in</strong>es solchen Prozesses entspricht <strong>und</strong> als “Rückstoßlimit”<br />
bezeichnet wird.<br />
Bestimmte Niveauschemata besitzen sogenannte “Dunkelzustände”. Das s<strong>in</strong>d Gr<strong>und</strong>zustandsniveaus,<br />
<strong>in</strong> denen e<strong>in</strong> Atom ke<strong>in</strong>e Photonen absorbieren kann. Sie existieren für<br />
jede Lichtpolarisation, <strong>und</strong> es zeigt sich, daß <strong>in</strong> Lichtfeldern mit sich räumlich ändernder<br />
Polarisation nur die langsamsten Atome <strong>in</strong> solche Zustände gelangen können. Durch<br />
-1/2<br />
1/2
4.4 Optische <strong>Fallen</strong> 47<br />
Überführung von Atomen <strong>in</strong> Dunkelzustände lassen sich Temperaturen weit unter dem<br />
Rückstoßlimit erreichen.<br />
Gesamtenergie des Atoms<br />
1/2<br />
Abbildung 4.9: Durch die Verschiebung der Gr<strong>und</strong>zustandsniveaus s<strong>in</strong>kt die potentielle Energie<br />
der Atome durch Absorptions- <strong>und</strong> Emissionsprozesse, da die Energie des emittierten Photons<br />
größer ist als die des absorbierten.<br />
-1/2<br />
4.4 Optische <strong>Fallen</strong><br />
Für das E<strong>in</strong>fangen neutraler Atome ist e<strong>in</strong>e ortsabhängige Kraft nötig, für die Kühlung wird<br />
h<strong>in</strong>gegen e<strong>in</strong> geschw<strong>in</strong>digkeitsabhängiger Druck benutzt.<br />
Mit den oben beschriebenen Methoden lassen sich daher zwar Atome kühlen, aber nicht<br />
fangen. Der E<strong>in</strong>fluß der Gravitation läßt die Teilchen <strong>in</strong>nerhalb etwa e<strong>in</strong>er Sek<strong>und</strong>e aus dem<br />
<strong>optischen</strong> Sirup entweichen, weshalb zusätzliche Mechanismen nötig s<strong>in</strong>d, damit weitere<br />
Experimente mit den kühlen Gasen durchgeführt werden können.<br />
Die auf die Teilchen wirkende Kraft soll an e<strong>in</strong>em bestimmten Punkt im Raum m<strong>in</strong>imal<br />
werden <strong>und</strong> an allen anderen Orten die Teilchen zum M<strong>in</strong>imum zurückdrängen.<br />
Das E<strong>in</strong>fangen von Ionen mit elektro<strong>magnetischen</strong> Kräften wird seit längerem erfolgreich<br />
durchgeführt (z.B. Penn<strong>in</strong>g-Falle, siehe Abschnitt 4.7.1). Neutrale Atome s<strong>in</strong>d schwerer<br />
zu handhaben, da auf sie ke<strong>in</strong>e Lorentz-Kraft wirkt, sie also unempf<strong>in</strong>dlich gegen E<strong>in</strong>wirkungen<br />
von Ladungen s<strong>in</strong>d. Daher müssen die wirkenden Kräfte auf anderen Wechselwirkungen<br />
beruhen. In der Regel handelt es sich dabei um Dipolmomente, die sehr schwach<br />
s<strong>in</strong>d, denn sie entstehen nur durch Fluktuaktion der Ladungsverteilung im Atom. Trotzdem<br />
wurden auch verschiedene <strong>Fallen</strong>typen realisiert, die auf <strong>optischen</strong>, <strong>magnetischen</strong> <strong>und</strong><br />
elektrischen Feldern, sowohl <strong>in</strong> statischen, als auch dynamischen Konfigurationen bestanden.<br />
Bereits <strong>in</strong> den fünfziger Jahren schlug Wolfgang Paul vor, neutrale Teilchen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em <strong>in</strong>homogenen<br />
Magnetfeld e<strong>in</strong>zufangen. Die erste Atomfalle wurde aber erst 1985 von Phillips
48 Kapitel 4. Kühlung von atomaren Gasen <strong>und</strong> <strong>Fallen</strong> für neutrale Teilchen<br />
konstruiert, denn die Realisierung war mit den damaligen Mitteln noch nicht möglich. Phillips<br />
f<strong>in</strong>g mit se<strong>in</strong>er Falle gekühlte Natriumatome e<strong>in</strong>.<br />
Wie bereits erklärt, werden für e<strong>in</strong>e funktionierende Falle ortsabhängige Kräfte benötigt.<br />
Man kann solche beispielsweise erzeugen, <strong>in</strong>dem man die Intensität e<strong>in</strong>es Laserstrahls ortsabhängig<br />
variiert. E<strong>in</strong>e mögliche e<strong>in</strong>dimensionale Anordnung besteht aus zwei gegenüberliegenden<br />
divergenten Lasern, wie <strong>in</strong> Abbildung 4.10 dargestellt. Die Foci der beiden blauverstimmten<br />
Laser fallen nicht zusammen, liegen e<strong>in</strong>ander aber sehr nahe. Im Zentrum<br />
wirkt auf e<strong>in</strong> Teilchen e<strong>in</strong>e Kraft, die von beiden Seiten gleich groß ist. Bewegt es sich aber<br />
weiter nach rechts oder l<strong>in</strong>ks, steigt der Strahlungsdruck aus dieser Richtung an <strong>und</strong> der<br />
Gegendruck aus der gegenüberliegenden Richtung wird aufgr<strong>und</strong> der ger<strong>in</strong>geren Intensität<br />
kle<strong>in</strong>er. Das Teilchen wird also <strong>in</strong>s Zentrum der Falle gedrückt. Der Vorschlag für diesen<br />
<strong>Fallen</strong>typ kam 1970 von Ashk<strong>in</strong> [5].<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
Abbildung 4.10: E<strong>in</strong>dimensionale Strahlungsdruckfalle aus zwei gegenüberliegenden divergenten<br />
Lasern.<br />
Diese e<strong>in</strong>dimensionale Falle kann auch als L<strong>in</strong>se für e<strong>in</strong>en Atomstrahl benutzt werden, <strong>in</strong>dem<br />
man die Atome nicht <strong>in</strong> Richtung der Laser, sondern senkrecht dazu fliegen läßt. Dann<br />
halten sie sich nur für kurze Zeit im beleuchteten Gebiet auf <strong>und</strong> erhalten e<strong>in</strong>e Geschw<strong>in</strong>digkeitskomponente<br />
<strong>in</strong> Richtung des <strong>Fallen</strong>zentrums. Da der Strahlungsdruck nur <strong>in</strong> der<br />
Mitte der Wechselwirkungszone von beiden Seiten gleich ist, werden die äußeren Atome<br />
des Strahls stärker abgelenkt als die <strong>in</strong>neren.<br />
Da die e<strong>in</strong>dimensionale Falle auch als L<strong>in</strong>se benutzt werden kann, ist klar, daß sie nicht <strong>in</strong><br />
alle Richtungen wirken kann. Auf Teilchen, die sich abseits von der <strong>optischen</strong> Achse bef<strong>in</strong>den,<br />
wirkt sogar e<strong>in</strong>e abstoßende Kraft. E<strong>in</strong>e dreidimensionale Falle läßt sich realisieren,<br />
<strong>in</strong>dem die Anordnung aus Abbildung 4.10 auch für die anderen beiden Raumrichtungen<br />
benutzt wird. Die Laser werden also wie <strong>in</strong> Abbildung 4.6 angeordnet, wobei die Zentren<br />
am selben Ort s<strong>in</strong>d. Aus allen Richtungen wirkt so die betragsmäßig gleiche Kraft auf e<strong>in</strong><br />
Teilchen, daß sich im Zentrum der Falle bef<strong>in</strong>det.<br />
Bei e<strong>in</strong>er solchen Falle treten e<strong>in</strong>ige Probleme auf, <strong>und</strong> für e<strong>in</strong>e hohe Effektivität müssen<br />
die Laser<strong>in</strong>tensitäten relativ groß se<strong>in</strong>, wodurch es zu e<strong>in</strong>er Erwärmung <strong>und</strong> Diffusion<br />
senkrecht zum Laserstrahl kommt.<br />
Das “optische Earnshaw Theorem” [105] ist e<strong>in</strong> Analogon zu e<strong>in</strong>em Theorem der Elektrodynamik,<br />
das e<strong>in</strong>en stabilen Zustand für e<strong>in</strong> gefangenes geladenes Teilchen verbietet. Es
4.4 Optische <strong>Fallen</strong> 49<br />
besagt, daß e<strong>in</strong>e dreidimensionale optische Falle wie die oben beschriebene nicht funktionieren<br />
kann. Da die Divergenz e<strong>in</strong>es elektrischen Feldes im Vakuum Null ist (Maxwellgleichungen),<br />
also<br />
div E = ρ ε 0<br />
=0, (4.5)<br />
gibt es ke<strong>in</strong> Volumenelement, <strong>in</strong> das alle Feldl<strong>in</strong>ien h<strong>in</strong>e<strong>in</strong>zeigen. Ashk<strong>in</strong> <strong>und</strong> Gordon zeigten<br />
1983 die Gültigkeit dieses Theorems für optische <strong>Fallen</strong> [6]. Weiterh<strong>in</strong> ist es nicht möglich,<br />
e<strong>in</strong>e stabile dreidimensionale Falle zu bauen, <strong>in</strong> der die Kraft auf die Atome l<strong>in</strong>ear zur<br />
Intensität des Laserlichts <strong>und</strong> das optische Feld statisch ist. Dieses Problem kann unter anderem<br />
durch die Benutzung zeitabhängiger optischer Felder oder externer zeitabhängiger<br />
Felder gelöst werden. E<strong>in</strong> weiteres Problem ist die Doppler-Kühlung, denn durch die ger<strong>in</strong>ger<br />
werdende Bewegung der Atome wird auch ihr Dipolmoment kle<strong>in</strong>er <strong>und</strong> damit die<br />
Möglichkeit e<strong>in</strong>e stabile Konfiguration zu erhalten.<br />
Das optische Earnshaw Theorem gilt allerd<strong>in</strong>gs nur für den Strahlungsdruck <strong>und</strong> nicht für<br />
Dipolkräfte. Daher ist es möglich, sogenannte Dipolfallen zu bauen. E<strong>in</strong> Atom erhält dar<strong>in</strong><br />
e<strong>in</strong> Dipolmoment, sobald es <strong>in</strong> die Nähe der Resonanz mit e<strong>in</strong>em Lichtfeld kommt. Dieses<br />
vom Lichtfeld <strong>in</strong>duzierte Dipolmoment bewirkt e<strong>in</strong>e negative Verschiebung der Energie<br />
des Atoms um<br />
∆U = − ~ (√ )<br />
ωR 2 2<br />
+ δ2 − δ . (4.6)<br />
Es handelt sich bei ω R = E ·d/~ um die Rabi-Frequenz, die sich aus der elektrischen Feldstärke<br />
des Lichtfeldes E <strong>und</strong> dem elektrischen Dipolmoment des Atoms d zusammensetzt.<br />
Das Potential, <strong>in</strong> dem sich die Teilchen bewegen, kann nach [27] durch<br />
(<br />
)<br />
U = ~δ<br />
2 log 1+ I/I 0<br />
1+ ( )<br />
2δ 2<br />
. (4.7)<br />
Γ<br />
beschrieben werden. Ob die Teilchen zu höheren Intensitäten streben oder zu ger<strong>in</strong>geren,<br />
ist dabei abhängig vom Vorzeichen der Verstimmung δ. Fürδ0 (Blauverstimmung) zu<br />
Gebieten ger<strong>in</strong>gerer Intensität. E<strong>in</strong>e Falle erhält man etwa mit e<strong>in</strong>em fokussierten rotverstimmten<br />
Laser, wobei die Teilchen <strong>in</strong> Richtung des Brennpunktes gezogen werden.<br />
Die Anwendung e<strong>in</strong>es fokussierten Lasers zum E<strong>in</strong>fangen von Atomen bewirkt allerd<strong>in</strong>gs<br />
auch e<strong>in</strong>en Strahlungsdruck, der der e<strong>in</strong>fangenden Kraft entgegenwirkt. Weiterh<strong>in</strong> verursacht<br />
die spontane Emission e<strong>in</strong>e starke, unerwünschte Aufheizung des Gases. Diesen Problemen<br />
tritt man mit e<strong>in</strong>er starken Verstimmung des Lasers entgegen <strong>und</strong> das Ergebnis<br />
ist e<strong>in</strong>e “seichte” Falle, die niedrige Temperaturen voraussetzt, um überhaupt wirken zu<br />
können.<br />
1968 schlug Letokhov zum ersten Mal e<strong>in</strong>e Dipolfalle für neutrale Atome vor, aber es war<br />
wiederum Chu, der diese Idee 1986 realisieren konnte. Möglich geworden war e<strong>in</strong>e solche<br />
Falle durch die <strong>in</strong> se<strong>in</strong>er Gruppe erstmals erreichten niedrigen Temperaturen.
50 Kapitel 4. Kühlung von atomaren Gasen <strong>und</strong> <strong>Fallen</strong> für neutrale Teilchen<br />
4.5 Magnetische <strong>Fallen</strong><br />
In <strong>magnetischen</strong> <strong>Fallen</strong> wird, wie <strong>in</strong> [78], [4], [119], [104] <strong>und</strong> [28] beschrieben, das magnetische<br />
Moment (antiparallel zum Sp<strong>in</strong>) des Valenzelektrons des Alkaliatoms benutzt,<br />
um es <strong>in</strong> Magnetfeldern e<strong>in</strong>zufangen. Das Verfahren ist äquivalent zum Stern-Gerlach-<br />
Effekt, denn es wird mit Hilfe e<strong>in</strong>es Magnetfeldes e<strong>in</strong>e Kraft auf e<strong>in</strong>en <strong>magnetischen</strong> Dipol<br />
ausgeübt. E<strong>in</strong> Atom mit magnetischem Moment µ hat <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Magnetfeld B die potentielle<br />
Energie U = µB. In e<strong>in</strong>em <strong>in</strong>homogenen Magnetfeld wirkt e<strong>in</strong>e Kraft F = µ∇B auf<br />
das Atom. Da µ antiparallel zum Sp<strong>in</strong> ist, wirkt F <strong>in</strong> Richtung des Feldm<strong>in</strong>imums, wenn B<br />
parallel zum Sp<strong>in</strong> ist. Dadurch ist es möglich, die Atome <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er “Falle” festzuhalten. In<br />
der Regel werden mit Hilfe von Laserpulsen alle Atome <strong>in</strong> denselben Sp<strong>in</strong>zustand gebracht,<br />
damit möglichst viele für das Experiment zur Verfügung stehen.<br />
Es werden Felder angeordnet, deren Stärke abhängig vom Abstand zum Zentrum der Falle<br />
ist, das heißt die Feldstärke ist im Zentrum m<strong>in</strong>imal. Wenn das Feld an diesem Ort verschw<strong>in</strong>det,<br />
kann es zu e<strong>in</strong>em Verlust der Atome durch Sp<strong>in</strong>umklappen kommen (Majorana-<br />
Flops). Dieser ungewollte Vorgang muß vermieden werden, <strong>in</strong>dem entweder e<strong>in</strong>e Konfiguration<br />
der Felder benutzt wird, die dafür sorgt, daß die Felder nicht verschw<strong>in</strong>den oder<br />
andere Maßnahmen ergriffen werden (Zum Beispiel “Optical Plugs”, siehe Abschnitt 4.7).<br />
4.6 Verdampfungskühlung<br />
Verdampfungskühlung <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er <strong>magnetischen</strong> Falle wurde zum erstmals 1995 realisiert [1]<br />
<strong>und</strong> stellt e<strong>in</strong>en wichtigen Schritt zur Erzeugung e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensates dar.<br />
Die Verdampfungskühlung f<strong>in</strong>det <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er <strong>magnetischen</strong> Falle (siehe vorherigen Abschnitt)<br />
statt: Dazu wird das Magnetfeld e<strong>in</strong>geschaltet, sodaß sich die Atome im Potential des umgebenden<br />
Feldes bef<strong>in</strong>den. Die höherenergetischen Atome werden sich weniger häufig im<br />
M<strong>in</strong>imum des Potentials sammeln als die niederenergetischen. Mit e<strong>in</strong>em Radiofrequenz-<br />
Feld (RF-Feld) werden nun die Sp<strong>in</strong>s der Atome mit höherer Energie umgeklappt, sodaß<br />
sie nicht mehr durch die Magnetfelder gehalten werden <strong>und</strong> die Falle verlassen. Das Verfahren<br />
ist energieabhängig, da die Resonanzfrequenz proportional zum Magnetfeld <strong>und</strong><br />
damit auch proportional zur potentiellen Energie des Atoms ist. Bei Übergängen zwischen<br />
<strong>magnetischen</strong> Zuständen m F ist die Resonanzbed<strong>in</strong>gung für die magnetische Feldstärke B<br />
gµ B B = ~ω rf . (4.8)<br />
Hierbei s<strong>in</strong>d g der g-Faktor, µ B das Bohrsche Kernmagneton <strong>und</strong> ω rf die Frequenz des<br />
RF-Feldes [78]. Da das Potential e<strong>in</strong>es Teilchens <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em externen Magnetfeld durch<br />
V = m F gµ B (B(r) − B(0)) (4.9)<br />
gegeben ist, werden also nur Atome die Falle verlassen können, für deren Gesamtenergie<br />
E>~m F (ω rf − ω 0 ) (4.10)
4.7 Magneto-optische <strong>Fallen</strong> (MOT) 51<br />
gilt. ω 0 ist die Frequenz, die benötigt wird, um die Sp<strong>in</strong>s am M<strong>in</strong>imum des Potentials<br />
umzuklappen.<br />
Da die entfernten Atome den größten Teil der im Gas vorhandenen Energie tragen, ist<br />
der entstehende Temperaturverlust um e<strong>in</strong>e Größenordnung höher als die Zahl der entfernten<br />
Teilchen. Weiterh<strong>in</strong> ist e<strong>in</strong>e Dichteerhöhung nur durch e<strong>in</strong>e um e<strong>in</strong>e Größenordnung<br />
stärkere Temperaturverr<strong>in</strong>gerung möglich. E<strong>in</strong>e Temperaturveränderung um zwei Größenordnungen<br />
bedeutet also e<strong>in</strong>e Änderung der Phasenraumdichte um vier Größenordnungen.<br />
Durch Stöße werden die höherenergetischen Zustände wieder besetzt <strong>und</strong> es können weitere<br />
Atome mit diesem Verfahren entfernt werden. Verr<strong>in</strong>gert man langsam die Frequenz, so<br />
werden immer weniger Atome <strong>in</strong> der Falle gehalten <strong>und</strong> das übrige Gas kühlt ab. Auf diese<br />
Weise lassen sich Temperaturen von e<strong>in</strong>igen Nanokelv<strong>in</strong> erreichen. Mit ke<strong>in</strong>em anderen<br />
Verfahren ist es bis heute gelungen, zu noch niedrigeren Temperaturen zu gelangen.<br />
4.7 Magneto-optische <strong>Fallen</strong> (MOT)<br />
In den letzten Jahren wurden große Fortschritte auf dem Gebiet der Atomfallen erzielt. Zum<br />
besseren Verständnis der <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensate war es nötig, immer dichtere Atomwolken<br />
mit e<strong>in</strong>er immer größeren Teilchenzahl <strong>und</strong> Lebensdauer zu erzeugen. Die Früchte<br />
dieser Entwicklungsarbeit kommen auch anderen Gebieten, beispielsweise der hochauflösenden<br />
Spektroskopie, zugute.<br />
Die bekannten Experimente (siehe z.B. [4, 18, 28, 33, 78, 79, 90]) verlaufen nach ähnlichen<br />
Schemata <strong>und</strong> verwenden nahezu gleiche Versuchsaufbauten.<br />
E<strong>in</strong> Atomstrahl, dessen Temperatur <strong>in</strong> der Größenordnung e<strong>in</strong>iger h<strong>und</strong>ert Kelv<strong>in</strong> liegt,<br />
wird <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e magneto-optische Falle geleitet. <strong>Fallen</strong> dieses Typs wurden zum ersten Mal<br />
1987 von Jean Dalibard vorgeschlagen <strong>und</strong> kurze Zeit später von David Pritchard unter<br />
Mithilfe von Steven Chu am MIT realisiert. Bevor die Atome allerd<strong>in</strong>gs gefangen werden<br />
können, werden sie durch den Strahlungsdruck e<strong>in</strong>es entgegenlaufenden Lasers auf etwa<br />
e<strong>in</strong> Kelv<strong>in</strong> abgekühlt (Zeeman-Slower). Dabei ist es problematisch, daß sich die Absorptionsfrequenz<br />
mit ger<strong>in</strong>ger werdender Geschw<strong>in</strong>digkeit durch den Doppler-Effekt ändert.<br />
Abhilfe liefert der Zeeman-Effekt: E<strong>in</strong> <strong>in</strong>homogenes Magnetfeld verschiebt die Hyperfe<strong>in</strong>niveaus<br />
der Atome <strong>und</strong> hält sie damit <strong>in</strong> Resonanz mit dem Laserlicht.<br />
Nun s<strong>in</strong>d sie kalt genug, um <strong>in</strong> die Falle geladen zu werden, wo sie zuerst mit Laserkühlung<br />
auf etwa e<strong>in</strong> Millikelv<strong>in</strong> abgekühlt werden. Anschließend werden die Laser abgeschaltet,<br />
<strong>und</strong> mit Hilfe der Verdampfungskühlung wird das Gas - nur von e<strong>in</strong>em Magnetfeld gehalten<br />
- weiter abgekühlt. Am Ende kann man Atomwolken von etwa zwei Millimeter<br />
Durchmesser erhalten, die Temperaturen von e<strong>in</strong>igen Nanokelv<strong>in</strong> <strong>und</strong> Dichten von mehr<br />
als 10 14 cm −3 erreichen.<br />
E<strong>in</strong>e magneto-optische Falle beruht auf Strahlungsdruck <strong>und</strong> muß daher das optische<br />
Earnshaw Theorem umgehen. Dies wird durch Nutzung e<strong>in</strong>es <strong>in</strong>homogenen Magnetfeldes<br />
möglich, da das Theorem nur gilt, wenn die auf e<strong>in</strong> Atom wirkende Kraft proportional<br />
zur Laser<strong>in</strong>tensität ist.<br />
E<strong>in</strong>e e<strong>in</strong>dimensionale MOT besteht aus zwei zirkular polarisierten Laserstrahlen mit gleicher<br />
Intensität, die aus entgegengesetzten Richtungen auf das Atom gerichtet s<strong>in</strong>d. Der
52 Kapitel 4. Kühlung von atomaren Gasen <strong>und</strong> <strong>Fallen</strong> für neutrale Teilchen<br />
e<strong>in</strong>e Laser ist rechtszirkular- (σ − ) <strong>und</strong> der andere l<strong>in</strong>kszirkular polarisiert (σ + ). E<strong>in</strong> Atom<br />
im Gr<strong>und</strong>zustand hat e<strong>in</strong>en Gesamtdrehimpuls J =0, ist also nicht entartet. Der erste angeregte<br />
Zustand hat J =1<strong>und</strong> ist damit dreifach entartet (m F = −1, 0, +1). Dadurch<br />
regt der rechtspolarisierte Strahl nur <strong>in</strong> den Zustand m F =1im oberen Triplett-Zustand<br />
an. Entsprechend regt der andere Laserstrahl Übergänge nach m F = −1 an. Das Magnetfeld<br />
ist nützlich, da die Zeemann-Verschiebung für die beiden Zustände unterschiedlich ist.<br />
Daher heben sich im Nullpunkt des Feldes die von beiden Seiten ausgeübten Kräfte auf,<br />
<strong>und</strong> <strong>in</strong> weiter äußeren Bereichen ist der Strahlungsdruck des jeweils entgegenkommenden<br />
Lasers durch die Rotverschiebung <strong>und</strong> die unterschiedliche Zeemann-Verschiebung größer.<br />
Es wirkt also immer e<strong>in</strong>e ortsabhängige Kraft <strong>in</strong> Richtung des Feldm<strong>in</strong>imums. Weiterh<strong>in</strong><br />
bewirken die beiden entgegengesetzten verstimmten Laser Doppler-Kühlung.<br />
In drei Dimensionen wird für die Erzeugung des Feldes <strong>in</strong> vielen Fällen e<strong>in</strong>e sogenannte<br />
Anti-Helmholtz-Konfiguration verwendet, das heißt zwei Spulen mit entgegengesetzter<br />
Stromrichtung. Die Laser werden wie <strong>in</strong> Abbildung 4.6 mit abwechselnder Polarisation<br />
angeordnet.<br />
Pritchard konnte bereits beim ersten Versuch erfolgreich Atome mit e<strong>in</strong>er MOT e<strong>in</strong>fangen.<br />
<strong>Fallen</strong> dieser Art haben sich als robust <strong>und</strong> leicht bedienbar erwiesen. Weiterh<strong>in</strong> lassen sich<br />
mit ihnen hohe Atomdichten erreichen. Selbst Atome mit hoher Anfangsgeschw<strong>in</strong>digkeit<br />
können e<strong>in</strong>gefangen werden, sodaß es pr<strong>in</strong>zipiell möglich ist, auf den Zeemann-Slower zu<br />
verzichten. Allerd<strong>in</strong>gs ist der Wirkungsgrad der Falle dann ger<strong>in</strong>ger [75].<br />
Zwar ist das Pr<strong>in</strong>zip immer ähnlich, <strong>in</strong> ihren Details unterscheiden sich die e<strong>in</strong>zelnen MOTs<br />
allerd<strong>in</strong>gs sehr. Mittlerweile hat fast jede Gruppe, die sich experimentell mit der <strong>Bose</strong>-<br />
<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> beschäftigt, e<strong>in</strong>en eigenen <strong>Fallen</strong>typ entwickelt. Daher sollen e<strong>in</strong>ige<br />
im folgenden kurz beschreiben werden.<br />
4.7.1 Exkurs: Penn<strong>in</strong>g- <strong>und</strong> Paul-Trap<br />
Im Gegensatz zu den <strong>in</strong> den nachfolgenden Abschnitten beschriebenen <strong>Fallen</strong> ist die Paul-<br />
Falle für geladene Teilchen entwickelt worden. Auch wenn dieser <strong>Fallen</strong>typ für Experimente<br />
zur <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> nicht benutzt werden kann, soll an dieser Stelle e<strong>in</strong>e<br />
kurze Beschreibung erfolgen, da er e<strong>in</strong>en großen E<strong>in</strong>fluß auf die Entwicklung der <strong>Fallen</strong><br />
für neutrale Teilchen hatte.<br />
Der Entwicklung der heute benutzten <strong>Fallen</strong> g<strong>in</strong>g die Isolierung e<strong>in</strong>es e<strong>in</strong>zelnen Elektrons<br />
<strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Penn<strong>in</strong>g-Falle voraus. Hans Dehmelt, der 1989 zusammen mit Wolfgang Paul den<br />
Nobelpreis erhielt, gelang es 1973, unter Mitarbeit von David J. W<strong>in</strong>eland <strong>und</strong> Philipp<br />
Ekstrom am “National Institute of Standards and Technology (NIST)” erstmals e<strong>in</strong> Elektron<br />
e<strong>in</strong>zufangen. Sie vermochten es sogar, e<strong>in</strong> Elektron zehn Monate gefangen zu halten,<br />
bevor es versehentlich mit e<strong>in</strong>er Wand der Falle kollidierte [8].<br />
Die nach ihm benannte Falle entwickelte der holländische Physiker Frans Michel Penn<strong>in</strong>g,<br />
um elektrische Ströme für Radioröhren e<strong>in</strong>zuschließen [101]. In ihr wird e<strong>in</strong> Elektron zwischen<br />
zwei negativ geladenen Platten gehalten. E<strong>in</strong> umgebendes starkes Magnetfeld lenkt<br />
das Elektron auf e<strong>in</strong>e Kreisbahn ab, damit es weder mit der Wand kollidieren noch an den<br />
Seiten entweichen kann.
4.7 Exkurs: Penn<strong>in</strong>g- <strong>und</strong> Paul-Trap 53<br />
E<strong>in</strong>e moderne Penn<strong>in</strong>g-Falle besteht aus zwei hyperbelförmigen Deckelelektroden <strong>und</strong> e<strong>in</strong>er<br />
R<strong>in</strong>gelektrode [123]. Soll e<strong>in</strong> positives Ion e<strong>in</strong>geschlossen werden, legt man an die<br />
Deckelelektroden e<strong>in</strong>e positive Spannung U 0 gegenüber der R<strong>in</strong>gelektrode an. Dadurch erfahren<br />
die Ionen e<strong>in</strong>e Kraft <strong>in</strong> Richtung der x-y-Ebene <strong>und</strong> können sich <strong>in</strong> z-Richtung nur<br />
noch sehr e<strong>in</strong>geschränkt bewegen. Der radialen Kraft, die die Ionen zur R<strong>in</strong>gelektrode h<strong>in</strong><br />
beschleunigt, wirkt e<strong>in</strong> parallel zur z-Richtung angelegtes Magnetfeld entgegen. Zusammen<br />
mit dem radialen elektrischen Feld bewirkt das axiale magnetische Feld e<strong>in</strong>e Kreisbewegung<br />
des Ions um die z-Achse. Die übliche Elektrodenanordnung zeigt Abbildung 4.11.<br />
Deckelelektrode<br />
00000000000000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111111111111<br />
00000000000000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111111111111<br />
00000000000000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111111111111<br />
00000000000000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111111111111<br />
00000000000000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111111111111<br />
00000000000000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111111111111<br />
-<br />
R<strong>in</strong>gelektrode<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
z<br />
0<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
Deckelelektrode<br />
x y<br />
Abbildung 4.11: Schematische Darstellung der Penn<strong>in</strong>g-Falle (nach [123]).<br />
r<br />
0<br />
+<br />
-<br />
B<br />
z<br />
Das elektrische Potential ist <strong>in</strong> kartesischen Koord<strong>in</strong>aten gegeben durch<br />
das heißt die elektrische Feldstärke ist <strong>in</strong> z-Richtung<br />
2z 2 − x 2 − y 2<br />
ϕ = U 0 , (4.11)<br />
r0 2 +2z0<br />
2<br />
E z = − dϕ<br />
dz = −U 4z<br />
0 , (4.12)<br />
r0 2 +2z0<br />
2<br />
<strong>und</strong> damit wirkt die resultierende Kraft stets <strong>in</strong> Richtung der x-y-Ebene <strong>und</strong> ist proportional<br />
zum Abstand davon. Daher bewegt sich das Ion auf e<strong>in</strong>er harmonisch schw<strong>in</strong>genden Bahn<br />
<strong>in</strong> z-Richtung. Das Magnetfeld B bewirkt für Teilchen mit der Ladung q <strong>und</strong> der Masse M<br />
e<strong>in</strong>e Kreisbewegung mit der Zyklotronfrequenz ν c = qB/(2πM), die senkrecht zur durch<br />
das elektrische Feld entstehenden Bewegung verläuft. Da das elektrische Feld senkrecht<br />
auf dem <strong>magnetischen</strong> steht, verschiebt sich das Zentrum der Zyklotron-Bahn senkrecht zu<br />
beiden Feldern, was bei zyl<strong>in</strong>drischer Feldanordnung e<strong>in</strong>e Kreisbewegung <strong>in</strong> z-Richtung<br />
(Magnetronbewegung) bedeutet. Die resultierende Gesamtbewegung e<strong>in</strong>es Ions ist also e<strong>in</strong>e<br />
Überlagerung aus der Rotation <strong>und</strong> der Magnetronbewegung. 4<br />
4 E<strong>in</strong> Paket zur Berechnung <strong>und</strong> Darstellung der Teilchenbahnen sowie des effektiven Potentials mit Mathematica<br />
wird <strong>in</strong> [10] vorgestellt.
54 Kapitel 4. Kühlung von atomaren Gasen <strong>und</strong> <strong>Fallen</strong> für neutrale Teilchen<br />
Die von Wolfgang Paul <strong>in</strong> den frühen fünfziger Jahren vorgeschlagene Falle, unterscheidet<br />
sich von der Penn<strong>in</strong>g-Falle durch die Verwendung von elektrischen Wechselfeldern<br />
zwischen den Deckelelektroden <strong>und</strong> der R<strong>in</strong>gelektrode. Dadurch kann auf das Magnetfeld<br />
verzichtet werden [100].<br />
Für die Experimente nötige Laserstrahlen können durch die Spalte zwischen den Deckel<strong>und</strong><br />
der R<strong>in</strong>gelektrode auf das Zentrum der Falle gerichtet werden.<br />
Penn<strong>in</strong>g- <strong>und</strong> Paul-<strong>Fallen</strong> werden heute bei vielen Experimenten e<strong>in</strong>gesetzt. E<strong>in</strong> Beispiel<br />
ist ISOLTRAP am CERN, wo e<strong>in</strong>e Komb<strong>in</strong>ation aus zwei h<strong>in</strong>tere<strong>in</strong>ander geschalteten<br />
Penn<strong>in</strong>g-<strong>Fallen</strong> zur genauen Bestimmung der Massen <strong>in</strong>stabiler Isotope genutzt wird [7].<br />
Während die erste Falle nur zur Kühlung der von der Quelle kommenden Ionen dient, werden<br />
<strong>in</strong> der zweiten Zyklotron- <strong>und</strong> Magnetronfrequenz gemessen <strong>und</strong> daraus die Masse<br />
bestimmt. Die Ergebnisse s<strong>in</strong>d weitaus präziser als es mit den meisten anderen Methoden<br />
möglich wäre.<br />
4.7.2 TOP Trap<br />
Die erste Gruppe, die e<strong>in</strong> <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensat erzeugen konnte, war die Gruppe um<br />
Eric A. Cornell am Jo<strong>in</strong>t Institute for Laboratory Astrophysics (JILA), dem National Institute<br />
for Standards and Technology (NIST) sowie der University of Colorado [4]. Dieser<br />
Schritt war durch e<strong>in</strong>e Weiterentwicklung der bis dah<strong>in</strong> üblichen Quadrupolfallen möglich<br />
geworden, die durch ihr verschw<strong>in</strong>dendes Feld im Zentrum <strong>und</strong> dadurch entstehende<br />
Majorana-Flops ke<strong>in</strong>e ausreichenden Teilchendichten ermöglichte. Die TOP-Falle (“timeaveraged,<br />
orbit<strong>in</strong>g potential trap”) [104] besteht aus e<strong>in</strong>em Quadrupolfeld, das mit Hilfe der<br />
bereits oben beschriebenen Anti-Helmholtz-Konfiguration erzeugt wird <strong>und</strong> e<strong>in</strong>em schwachen<br />
Feld, das mit e<strong>in</strong>er Frequenz von e<strong>in</strong>igen Kilohertz um die Symmetrieachse rotiert.<br />
Würde dieses Feld konstant se<strong>in</strong>, wäre der Ort, an dem die Felder verschw<strong>in</strong>den, nur verschoben<br />
<strong>und</strong> die Atome (hier Rubidium 87) würden sich dort sammeln <strong>und</strong> könnten aus<br />
der Falle entkommen. In der TOP-Falle wird dagegen e<strong>in</strong> harmonisches Potential erzeugt.<br />
Die Rotationsfrequenz muß viel größer se<strong>in</strong> als die Frequenz mit der die Atome schw<strong>in</strong>gen<br />
(e<strong>in</strong>ige h<strong>und</strong>ert Hertz), da das entstehende effektive Potential erst dadurch für die gefangenen<br />
Teilchen konstant zu se<strong>in</strong> sche<strong>in</strong>t. Der Ort, an dem die Atome die Falle verlassen<br />
könnten, wird also schneller bewegt als die Teilchen reagieren können. Durch das rotierende<br />
Feld werden die Sp<strong>in</strong>s ständig polarisiert, wodurch noch mehr Atome <strong>in</strong> der Falle<br />
gehalten werden.<br />
In e<strong>in</strong>er Quadrupolfalle entweichen die Atome aus e<strong>in</strong>em ellipsoidförmigen Bereich im<br />
Zentrum des Feldes. In der TOP-Falle müssen ebenfalls Verluste <strong>in</strong> Kauf genommen werden.<br />
Allerd<strong>in</strong>gs ist der hier <strong>in</strong>teressante Bereich e<strong>in</strong> R<strong>in</strong>g um das Zentrum, da das M<strong>in</strong>imum<br />
rotiert. Dadurch werden hauptsächlich höherenergetische Atome entfernt - Verdampfungskühlung<br />
ist somit gewissermaßen bereits e<strong>in</strong>gebaut. Verr<strong>in</strong>gert man weiterh<strong>in</strong> die Stärke<br />
des rotierenden Feldes, verschiebt sich das M<strong>in</strong>imum <strong>in</strong> Richtung des Zentrums <strong>und</strong> weitere<br />
Atome können entfernt werden. Die maximale Größe e<strong>in</strong>er gefangenen Atomwolke ist<br />
bei der TOP-Trap durch den Radius der Trajektorie des M<strong>in</strong>imums um das Zentrum gegeben.<br />
Werden größere Atomwolken <strong>in</strong> die Falle geladen, so werden sie b<strong>in</strong>nen kürzester Zeit<br />
auf diese Größe zusammenschrumpfen, so daß alle weiter außen liegenden Teilchen ent-
4.7 Permanent Magnet Trap 55<br />
weichen können. E<strong>in</strong> weiterer Nachteil dieses <strong>Fallen</strong>typs s<strong>in</strong>d die im Vergleich zu den im<br />
Folgenden beschriebenen <strong>Fallen</strong> beschränkteren Möglichkeiten, das Gas mit Laserstrahlen<br />
oder RF-Wellen zu erreichen. Die Anordnung der Spulen läßt weniger Freiraum zur Verfügung<br />
als zum Beispiel bei der Cloverleaf-Trap. Der Aufbau der TOP-Falle ist <strong>in</strong> Abbildung<br />
4.12 zu sehen.<br />
Abbildung 4.12: Schematische Darstellung der TOP-Falle (nach [4]). Die großen horizontal angebrachten<br />
Spulen erzeugen das Anti-Helmholtz-Feld <strong>und</strong> die kle<strong>in</strong>en vertikal <strong>in</strong>stallierten s<strong>in</strong>d für<br />
das rotierende Feld verantwortlich.<br />
In Kapitel 5 soll das Verhalten e<strong>in</strong>er Atomwolke <strong>in</strong> dieser Falle simuliert werden. Aus<br />
diesem Gr<strong>und</strong> werden dort weitere E<strong>in</strong>zelheiten des Experiments <strong>und</strong> Eigenschaften dieses<br />
<strong>Fallen</strong>typs erklärt.<br />
4.7.3 Permanent Magnet Trap<br />
Die zweite Gruppe, die es geschafft hat, e<strong>in</strong> <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensat zu erzeugen, ist die<br />
um Randal G. Hulet an der Rice-University <strong>in</strong> Houston, Texas. Sie benutzen e<strong>in</strong>e Falle<br />
mit Permanentmagneten <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er sogenannten Ioffe-Pritchard-Konfiguration [119], um<br />
Lithium-Atome e<strong>in</strong>zufangen.<br />
Permanentmagnete haben den Vorteil, daß sie relativ leicht herstellbar s<strong>in</strong>d <strong>und</strong> e<strong>in</strong>en guten<br />
Zugang für die <strong>optischen</strong> Verfahren ermöglichen, weil die e<strong>in</strong>zelnen Magneten im Vergleich<br />
zu supraleitenden weniger Platz benötigen. Nachteilig wirkt sich allerd<strong>in</strong>gs aus, daß<br />
die Felder nur schwer an andere Experimente angepaßt werden können, da die Permanentmagnete<br />
e<strong>in</strong> festes Feld besitzen.<br />
Die Falle besteht aus sechs symmetrisch angeordneten Magneten, von denen vier e<strong>in</strong> Quadrupolfeld<br />
<strong>in</strong> der x-y-Ebene erzeugen. Die <strong>in</strong> Richtung der z-Achse angeordneten Magneten<br />
produzieren e<strong>in</strong> Dipolfeld. Das effektive Potential hat dadurch e<strong>in</strong> M<strong>in</strong>imum im<br />
Zentrum der Falle (siehe Abbildung 4.13). In der benutzten Falle hat jeder Magnet e<strong>in</strong>e<br />
Oberflächenmagnetisierung von 0,5 Tesla. Wollte man dieses Feld mit e<strong>in</strong>er Spule erzeugen,<br />
würde sie die für diese Experimente nutzbaren Abmessungen übersteigen. Mit su-
56 Kapitel 4. Kühlung von atomaren Gasen <strong>und</strong> <strong>Fallen</strong> für neutrale Teilchen<br />
praleitenden Spulen ist es leicht, noch größere Felder zu erhalten, allerd<strong>in</strong>gs s<strong>in</strong>d diese<br />
Magnete größer, teurer <strong>und</strong> komplexer. Die Laser verlaufen jeweils diagonal zu den durch<br />
die Magnete def<strong>in</strong>ierten Würfelseiten.<br />
S<br />
S<br />
N<br />
N<br />
N<br />
S<br />
X<br />
Y<br />
Z<br />
Abbildung 4.13: Atomfalle mit Permanentmagneten <strong>in</strong> Ioffe-Pritchard-Konfiguration (aus [119]).<br />
4.7.4 Cloverleaf Trap<br />
Die Gruppe von Wolfgang Ketterle am MIT lag bis kurz vor dem Erreichen des Ziels vor<br />
den anderen Gruppen. Es gelang ihnen vier Monate nach Eric Cornells Gruppe, e<strong>in</strong> <strong>Bose</strong>-<br />
<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensat zu erzeugen [33]. Dazu benutzten sie Natrium-Atome <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Falle<br />
mit e<strong>in</strong>em Quadrupolfeld. Um Majorana Flops im Zentrum der Falle zu verh<strong>in</strong>dern, bedienten<br />
sie sich e<strong>in</strong>es sogenannten “Optical Plugs”, also e<strong>in</strong>es blauverstimmten Lasers,<br />
durch den auf die Atome e<strong>in</strong>e Kraft wirkt, die sie aus der Mitte der Falle herausdrückt<br />
<strong>und</strong> damit von dem Ort, an dem das magnetische Feld verschw<strong>in</strong>det, fernhält. Zur Vermeidung<br />
von Strahlungsdruck <strong>und</strong> spontaner Emission ist die Verstimmung gegenüber der<br />
Absorptionsfrequenz der Atome sehr stark - man benutzt grünes Licht (514nm) bei e<strong>in</strong>er<br />
Resonanzfrequenz im gelben Bereich (589nm). Ketterles Methode ist aufwendiger als die<br />
TOP-Falle, ermöglicht aber e<strong>in</strong>e tiefere Falle, <strong>in</strong> der größere Kondensatdichten erreicht<br />
werden können.<br />
Krümmungsspule<br />
Quadrupolspule<br />
Dipolspule<br />
Atomwolke<br />
Abbildung 4.14: Schematische Darstellung der Kleeblatt-Falle.
4.8 Dichtebestimmung <strong>in</strong> der Atomwolke 57<br />
Nach der Erzeugung der ersten Kondensate befaßte sich die Gruppe mit der Entwicklung<br />
e<strong>in</strong>er neuen Anordnung der Magnetfelder [90]. Die Cloverleaf (“Kleeblatt”)-Falle ist <strong>in</strong><br />
Abbildung 4.14 dargestellt. Sie stellt e<strong>in</strong>e Verbesserung der bis dah<strong>in</strong> benutzten <strong>Fallen</strong> dar,<br />
denn sie ist flexibler als e<strong>in</strong>e mit Permanentmagneten, erzeugt e<strong>in</strong> zeitunabhängiges Feld<br />
(im Gegensatz zur TOP Trap), benötigt ke<strong>in</strong>en “Optical Plug” <strong>und</strong> auch ke<strong>in</strong>e Versorgung<br />
mit flüssigem Helium, um die Spulen supraleitend zu machen. Die Konfiguration der Felder<br />
entspricht – wie bei der Permanent Magnet Trap – dem Ioffe-Pritchard-Typ. In diesem Fall<br />
werden allerd<strong>in</strong>gs acht normalleitende Elektromagneten benutzt, um das Quadrupolfeld zu<br />
erzeugen. Dieses ist symmetrisch zur <strong>optischen</strong> Achse <strong>und</strong> die Anordnung der Magneten <strong>in</strong><br />
Kleeblattform gibt der Falle ihren Namen. Die äußeren Spulen erzeugen wie bei der Permanent<br />
Magnet Trap e<strong>in</strong> Dipolfeld. Zusätzlich verfügt diese Falle über zwei weitere Spulen,<br />
die das effektive Feld im Zentrum der Falle verr<strong>in</strong>gern, um den radialen Feldgradienten zu<br />
vergrößern (Krümmungsspulen). Da die Spulen wie Helmholtz-Spulen angeordnet s<strong>in</strong>d, ist<br />
die Atomwolke für die Laser <strong>und</strong> den RF-Sender gut erreichbar.<br />
4.8 Dichtebestimmung <strong>in</strong> der Atomwolke<br />
Zur Messung der Temperatur <strong>und</strong> der Dichteverteilung <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em gekühlten Gas benutzt<br />
man häufig e<strong>in</strong>e Bestimmung der Fallzeit [4, 33]. Dazu wird das Magnetfeld abgeschaltet,<br />
<strong>und</strong> die Wolke kann sich ungeh<strong>in</strong>dert ausdehnen. E<strong>in</strong> schwacher vertikaler Feldgradient<br />
wird angelegt, um der Gravitation entgegenzuwirken <strong>und</strong> nach weniger als 100ms wird das<br />
Gas mit e<strong>in</strong>em Laser beleuchtet, dessen Wellenlänge e<strong>in</strong>er Absorptionfrequenz der Atome<br />
entspricht. Der Strahldurchmesser ist dabei größer als die Abmessungen der Gaswolke, <strong>und</strong><br />
mit Hilfe Absorption des Lichtes durch die Atome ensteht auf e<strong>in</strong>em CCD-Detektor h<strong>in</strong>ter<br />
dem Gas e<strong>in</strong> Schatten. Dieser liefert Aussagen über die Größe der Wolke nach der Expansion<br />
<strong>und</strong> erlaubt die Berechnung der ursprünglichen Geschw<strong>in</strong>digkeitsverteilung. Die<br />
Geschw<strong>in</strong>digkeitsverteilung wird mit e<strong>in</strong>er zweidimensionalen “Time of Flight”-Messung<br />
bestimmt. An jedem Punkt des Bildes ist die optische Dichte proportional zur Dichte der<br />
Atome. Daher lassen sich aus e<strong>in</strong>em e<strong>in</strong>zigen Bild die Geschw<strong>in</strong>digkeit <strong>und</strong> die Phasenraumdichte<br />
<strong>und</strong> damit die Temperatur bestimmen.<br />
Für e<strong>in</strong>e Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Expansion werden mehrere Aufnahmen<br />
von verschiedenen Kühlprozessen, bei denen die Verdampfungskühlung zu unterschiedlichen<br />
Zeitpunkten abgebrochen wird, gemacht. Man geht dabei davon aus, daß der Ablauf<br />
des Versuchs immer gleich ist. Reiht man die erhaltenen Bilder zeitlich h<strong>in</strong>tere<strong>in</strong>ander auf,<br />
erkennt man zuerst e<strong>in</strong>e thermische Verteilung. Ab e<strong>in</strong>em bestimmten Zeitpunkt aber beg<strong>in</strong>nt<br />
sich e<strong>in</strong> starker Peak über der Verteilung zu bilden, <strong>und</strong> nach noch weiterer Kühlung<br />
s<strong>in</strong>d nahezu alle Atome kondensiert.<br />
Die Gruppe um R.G. Hulet benutzte e<strong>in</strong>e Falle mit Permanentmagneten (Abschnitt 4.7.3),<br />
die den Nachteil hat, daß die Felder nicht e<strong>in</strong>fach abgeschaltet werden können. Daher ist<br />
es nicht möglich die oben beschriebene Fallzeitmethode zur Bestimmung der Temperatur<br />
zu verwenden. Die RICE-Gruppe beleuchtet ihre Atome daher mit e<strong>in</strong>em Laser <strong>und</strong> bildet<br />
sie mit e<strong>in</strong>em L<strong>in</strong>sensystem <strong>und</strong> e<strong>in</strong>er CCD-Kamera ab [17, 110, 119]. Da das Kondensat<br />
nur etwa viermal so groß ist wie die Wellenlänge des benutzten Lasers, muß sehr darauf<br />
geachtet werden, daß auch tatsächlich die Atomwolke abgebildet wird. Man benutzt aus
58 Kapitel 4. Kühlung von atomaren Gasen <strong>und</strong> <strong>Fallen</strong> für neutrale Teilchen<br />
diesem Gr<strong>und</strong> möglichst gute L<strong>in</strong>sen <strong>und</strong> verstimmt den Abbildungslaser stark gegen die<br />
Absorptionsfrequenz der Atome. Dann wird die Wolke zwar für den Laser nahezu transparent,<br />
aber Beugungseffekte bewirken Phasenverschiebungen, die mit e<strong>in</strong>er speziellen Abbildungstechnik<br />
sichtbar gemacht werden können (Phase-Contrast Imag<strong>in</strong>g), das heißt die<br />
Streuung des Lichts durch die Atome bewirkt e<strong>in</strong>e Änderung der Laserpolarisation. Läßt<br />
man dieses Licht mit dem ursprünglichen Strahl <strong>in</strong>terferieren, erhält man e<strong>in</strong> Beugungsbild,<br />
welches e<strong>in</strong>e e<strong>in</strong>deutige Abbildung der Verteilung der Atome zeigt.<br />
4.9 Neueste experimentelle Ergebnisse<br />
Nach den bisher genannten Gruppen haben es auch e<strong>in</strong>ige andere geschafft, <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong><br />
Kondensate mit Alkalimetallen herzustellen <strong>und</strong> mittlerweile existieren weltweit fast zwanzig<br />
Labore, die dazu <strong>in</strong> der Lage s<strong>in</strong>d.<br />
Quantenstatistisch gesehen sollte es mit molekularem Wasserstoff aufgr<strong>und</strong> der ger<strong>in</strong>geren<br />
Masse allerd<strong>in</strong>gs bereits bei höheren Temperaturen möglich se<strong>in</strong>, die <strong>Kondensation</strong> zu<br />
erreichen. E<strong>in</strong>e Gruppe am MIT hatte bereits e<strong>in</strong>ige Jahre zuvor e<strong>in</strong>e eigens entwickelte<br />
Methode der Verdampfungskühlung angewendet, war aber nicht zum Ziel gelangt. Es fehlten<br />
UV-Laser, deren Frequenzen für diese Atome geeignet s<strong>in</strong>d. E<strong>in</strong>e Weiterentwicklung<br />
der Verdampfungskühlung ermöglichte Tom Greytak <strong>und</strong> Daniel Kleppner vom MIT im<br />
Juni 1998 die Erzeugung des ersten <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong> Kondensates aus Wasserstoff [46].<br />
Für Moleküle s<strong>in</strong>d die Probleme immer noch groß. Das liegt an der komplizierten Niveaustruktur,<br />
die schnelle Absorption <strong>und</strong> Emission von Photonen verh<strong>in</strong>dert. John Doyle<br />
<strong>und</strong> Mitarbeitern von der Harvard Universität ist es erstmals 1998 gelungen, e<strong>in</strong>e CaH-<br />
Wolke <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Magnetfalle auf etwa 400mK abzukühlen [121]. Ihr Verfahren verwendet<br />
3 He als Puffergas, an das die CaH-Moleküle e<strong>in</strong>en Teil ihrer Energie durch elastische Stöße<br />
abgeben. Das Helium thermalisiert wiederum mit der kryogenen Vakuumapparatur. Die<br />
gemessene Temperatur ist allerd<strong>in</strong>gs noch weit von der theoretischen Übergangstemperatur<br />
zum <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong> Kondensat entfernt.<br />
4.10 Anwendungen neben der <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong><br />
Es hat sich gezeigt, daß die Laserkühlung nicht nur zur Erzeugung von <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<br />
Kondensaten, sondern auch auf anderen Gebieten sehr nützlich se<strong>in</strong> kann. Im folgenden<br />
sollen e<strong>in</strong>ige ausgewählte Beispiele dargestellt werden [25,75,77,92]. Zu den nicht dargestellten,<br />
aber nicht weniger wichtigen Gebieten zählen sowohl Anwendungen <strong>in</strong> der Atomlithografie<br />
als auch <strong>in</strong> der Meterologie, Quantenoptik, Festkörperphysik, Biologie <strong>und</strong> Genetik.<br />
4.10.1 Atomoptik<br />
Die De-Broglie-Wellenlänge e<strong>in</strong>es Atoms ist für ger<strong>in</strong>ge Geschw<strong>in</strong>digkeiten derart groß,<br />
daß die Welleneigenschaften der Atome <strong>in</strong> den Vordergr<strong>und</strong> treten. Dadurch können opti-
4.10 Hochauflösende Spektroskopie 59<br />
sche Phänomene mit Atomen studiert werden.<br />
Da neutrale Atome nach außen ke<strong>in</strong>e Ladung besitzen <strong>und</strong> sie im Gegensatz zu Neutronen<br />
Materie nicht durchdr<strong>in</strong>gen, mußten Komponenten wie L<strong>in</strong>sen, Spiegel oder Strahlteiler<br />
neu erf<strong>und</strong>en werden.<br />
Atoml<strong>in</strong>sen können zum Beispiel aus statischen elektrischen <strong>und</strong> <strong>magnetischen</strong> Feldern<br />
bestehen oder auf Strahlungsdruck (siehe Abschnitt 4.4) beruhen. Atomspiegel basieren<br />
meistens auf Effekten, die bei der Totalreflexion e<strong>in</strong>es Lasers an e<strong>in</strong>em Prisma entstehen.<br />
Die ersten atomaren Interferometer wurden 1991 gebaut [22, 76]. In ihnen wird e<strong>in</strong> Atom<br />
<strong>in</strong> zwei räumlich getrennte Wellenzüge aufgeteilt, deren Interferenz nach anschließender<br />
Zusammenführung beobachtet wird. Solche Interferometer können unter anderem benutzt<br />
werden, um sehr genaue Messungen der Gravitation zu ermöglichen [73].<br />
4.10.2 Hochauflösende Spektroskopie<br />
Bei niedrigeren Temperaturen erhält man schmalere Spektrall<strong>in</strong>ien <strong>und</strong> daher e<strong>in</strong>e bessere<br />
Auflösung, denn unerwünschte Effekte, wie zum Beispiel Doppler-Verbreiterung, s<strong>in</strong>d<br />
weniger stark. Dies war die ursprüngliche Motivation, e<strong>in</strong> Verfahren zur Laserkühlung zu<br />
entwickeln, denn dadurch kann e<strong>in</strong>e höhere Genauigkeit bei der Spektroskopie erzielt werden.<br />
4.10.3 Atomuhren<br />
Die genauesten Atomuhren existieren derzeit bei der Physikalisch Technischen B<strong>und</strong>esanstalt<br />
(PTB) <strong>in</strong> Braunschweig <strong>und</strong> dem NIST <strong>in</strong> Boulder. Uhren dieser Art werden hauptsächlich<br />
bei der Navigation von Satelliten <strong>und</strong> Raumsonden genutzt <strong>und</strong> bestehen aus e<strong>in</strong>em<br />
thermischen Caesiumatomstrahl, der zwei Mikrowellenfelder passiert. Diese s<strong>in</strong>d resonant<br />
zur Hyperfe<strong>in</strong>aufspaltung des Gr<strong>und</strong>zustandes. 5 Die Genauigkeit solcher Uhren ist<br />
hauptsächlich durch die kurze Vorbeiflugzeit der Atome beschränkt, so daß mit um e<strong>in</strong>ige<br />
Größenordnungen langsamer fliegenden Atomen e<strong>in</strong>e höhere Genauigkeit erreicht werden<br />
kann. Da Caesium zu den für die Laserkühlung effektivsten Atomen zählt, drängt sich dieses<br />
Verfahren förmlich auf [58].<br />
Beschleunigt man e<strong>in</strong>e Ansammlung lasergekühlter Atome langsam senkrecht nach oben,<br />
so werden sie nach e<strong>in</strong>iger Zeit von der Gravitation soweit abgebremst, daß sie ihren Weg<br />
umkehren. Läßt man sie sowohl auf ihrem Weg nach oben, als auch auf dem Rückweg<br />
e<strong>in</strong> Mikrowellenfeld passieren, kann man die Dauer ihres Weges messen. Auf diese Weise<br />
bilden die Atome e<strong>in</strong>e Art “Spr<strong>in</strong>gbrunnen”. Sogenannte “Atomspr<strong>in</strong>gbrunnen” oder “Zachariasspr<strong>in</strong>gbrunnen”<br />
wurden bereits 1953 von Zacharias vorgeschlagen [126]. Er führte<br />
auch e<strong>in</strong>ige Versuche durch, war aber mit den damaligen Mitteln nicht <strong>in</strong> der Lage, se<strong>in</strong>e<br />
Ideen zu verwirklichen. Steven Chu präsentierte 1989 e<strong>in</strong>en solchen Brunnen <strong>und</strong> nutzte<br />
ihn später ebenfalls für die Realisierung e<strong>in</strong>es atomaren Interferometers [74]. Die ersten<br />
Uhren dieser Art s<strong>in</strong>d nun <strong>in</strong> der Entwicklung <strong>und</strong> werden voraussichtlich um zwei Größenordnungen<br />
genauer als die zur Zeit genutzten se<strong>in</strong>.<br />
5 Für weitere Informationen siehe “Ramseys Methode getrennter Felder” [108].
60 Kapitel 4. Kühlung von atomaren Gasen <strong>und</strong> <strong>Fallen</strong> für neutrale Teilchen<br />
4.10.4 Ultrakalte Kollisionen<br />
Das Studium von Kollisionen kalter Atome ist wichtig, da solche Stöße die Lebensdauer<br />
gekühlter Gase <strong>in</strong> <strong>Fallen</strong> verkürzen <strong>und</strong> ihre Eigenschaften verändern. Weiterh<strong>in</strong> entstehen<br />
bei ultrakalten Kollisionen neue <strong>und</strong> unerklärte Effekte, die bisher noch nicht oder nur sehr<br />
schlecht verstanden s<strong>in</strong>d. Diese Phänomene werden untersucht, <strong>in</strong>dem man e<strong>in</strong>ige Atome<br />
<strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Falle e<strong>in</strong>führt <strong>und</strong> dann beobachtet, wie sie durch Kollisionen wieder entweichen.<br />
E<strong>in</strong>e andere Methode geht von der Untersuchung von Kollisionspunkten aus, an denen<br />
dadurch zum Beispiel Ionen entstehen können.<br />
4.10.5 Optische P<strong>in</strong>zetten<br />
Chu <strong>und</strong> Ashk<strong>in</strong> gelang es, 1989 neutrale Teilchen mit Größen von 0,02 bis 10 Mikrometern<br />
<strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Dipolfalle e<strong>in</strong>zufangen [32]. Da solche <strong>Fallen</strong> nur aus e<strong>in</strong>em stark fokussierten<br />
Laser bestehen, können e<strong>in</strong>gefangene Teilchen dadurch leicht verschoben werden, <strong>in</strong>dem<br />
die Richtung des Laserstrahls verändert wird.<br />
Solche “optische P<strong>in</strong>zetten” s<strong>in</strong>d s<strong>in</strong>nvoll mit <strong>optischen</strong> Mikroskopen komb<strong>in</strong>ierbar, da dadurch<br />
beispielsweise lebende Bakterien gefangen <strong>und</strong> manipuliert werden können, ohne sie<br />
zu zerstören. Es ist sogar gelungen, Bestandteile <strong>in</strong>nerhalb der Zellen zu bewegen, ohne die<br />
Zellwand zu zerstören.<br />
Diese Anwendungen s<strong>in</strong>d besonders für die biologische Forschung <strong>in</strong>teressant. Es wurden<br />
bereits die Flimmerhaare von Bakterien, Chromosomen <strong>in</strong> Zellen oder DNS-Moleküle manipuliert.<br />
Die Gruppe von Chu heftete mikroskopische Plastikkugeln an die Enden der DNS<br />
<strong>und</strong> hielt sie mit zwei Lasern fest. Es gelang ihnen, die elastischen Eigenschaften der DNS<br />
zu erforschen <strong>und</strong> e<strong>in</strong> Ende e<strong>in</strong>es DNS-Moleküls an e<strong>in</strong>em Objektträger festzuheften.
5<br />
Simulation<br />
e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-Gases <strong>in</strong> der<br />
TOP-Falle<br />
Wie bereits erklärt ist es die Gruppe um Eric A. Cornell am Jo<strong>in</strong>t Institute for Laboratory<br />
Astrophysics (JILA), dem National Institute for Standards and Technology (NIST) sowie<br />
der University of Colorado gewesen, die das erste <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong> Kondensat erzeugen konnte<br />
[4].<br />
In diesem Kapitel soll das Verhalten e<strong>in</strong>es idealen Gases <strong>in</strong> der von ihnen benutzten TOP-<br />
Falle (siehe Abschnitt 4.7.2) simuliert werden. Dazu werden mit Hilfe der <strong>in</strong> Kapitel 3.2<br />
e<strong>in</strong>geführten Rekursionsformel (3.21) die Besetzungszahlen der e<strong>in</strong>zelnen Zustände im Potential<br />
der Falle berechnet <strong>und</strong> daraus die orts- <strong>und</strong> temperaturabhängige Teilchendichte<br />
bestimmt.<br />
Die experimentelle Dichtebestimmung f<strong>in</strong>det statt, <strong>in</strong>dem das <strong>Fallen</strong>potential nahezu abgeschaltet<br />
wird <strong>und</strong> sich die Wolke frei ausbreiten kann. Nach e<strong>in</strong>er festgelegten Zeit von<br />
e<strong>in</strong>igen Millisek<strong>und</strong>en wird mit Hilfe e<strong>in</strong>er Absorptionsmessung die neue Dichte ermittelt<br />
<strong>und</strong> es können Rückschlüsse auf die ursprüngliche Form der Wolke getroffen werden.<br />
Dieses Verfahren wird <strong>in</strong> Abschnitt 5.4 simuliert, <strong>in</strong>dem die Zeitentwicklung der Wellenfunktion<br />
für freie Teilchen durchgeführt <strong>und</strong> wiederum die Dichte berechnet wird.<br />
Natürlich handelt es sich bei der Annahme e<strong>in</strong>es idealen Gases nur um e<strong>in</strong>e Näherung, da<br />
die Atome mite<strong>in</strong>ander wechselwirken (siehe Abschnitt 2.4). Ziel dieses Kapitels ist e<strong>in</strong>e<br />
Abschätzung des dadurch entstehenden Fehlers, <strong>in</strong>dem mit den Ergebnissen des Experiments<br />
verglichen wird.<br />
5.1 Eigenschaften der Falle<br />
Die von der JILA-Gruppe benutzte sogenannte TOP- Falle, <strong>in</strong> der e<strong>in</strong> effektives Potential<br />
auf 87 Rb Atome mit der Masse m = 0,891·10 −26 eV s 2 /Å 2 wirkt, läßt sich gut durch e<strong>in</strong>en<br />
anisotropen harmonischen Oszillator<br />
V (x, y, z) = 1 2 m ( ω 2 xx 2 + ω 2 yy 2 + ω 2 zz 2) (5.1)<br />
nähern, dessen Energieeigenwerte <strong>und</strong> Wellenfunktionen <strong>in</strong> Abschnitt 2.4 <strong>und</strong> Anhang A.1<br />
angegeben s<strong>in</strong>d.<br />
Das Potential <strong>in</strong> der TOP-Trap ist durch die Frequenzen der drei Raumrichtungen ω x , ω y<br />
<strong>und</strong> ω z bestimmt. Weiterh<strong>in</strong> bewirkt die Anordnung der Feldspulen <strong>in</strong> diesem <strong>Fallen</strong>typ<br />
e<strong>in</strong>e Zyl<strong>in</strong>dersymmetrie, so daß<br />
ω y = ω z (5.2)<br />
61
62 Kapitel 5. Simulation e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-Gases <strong>in</strong> der TOP-Falle<br />
gilt <strong>und</strong> aus experimentellen Beobachtungen ist bekannt, daß die x-Komponente zu<br />
ω x = √ 1 ω y (5.3)<br />
8<br />
skaliert. Während der ersten Messungen mit dieser Falle g<strong>in</strong>g man von<br />
aus [104], doch dieser Wert wurde später durch<br />
ω x =2π · 120Hz (5.4)<br />
ω x =2π · 208Hz (5.5)<br />
korrigiert [11]. 1 Die hier dargestellten Simulationen verwenden bereits den korrigierten<br />
Wert.<br />
In den Experimenten kann unterhalb der Übergangstemperatur von etwa 170nK e<strong>in</strong> starkes<br />
Ansteigen der Dichte im Zentrum der Falle festgestellt werden, was gleichbedeutend ist<br />
mit dem Beg<strong>in</strong>n der <strong>Kondensation</strong>. Verr<strong>in</strong>gert man die Temperatur weiter, steigt die Dichte<br />
solange an, bis alle Teilchen im Gr<strong>und</strong>zustand s<strong>in</strong>d. Weiteres Abkühlen der Atome bewirkt<br />
dann also ke<strong>in</strong>e zusätzliche Dichteerhöhung.<br />
Durch den Kühlprozeß ist die Teilchenzahl N nicht konstant, sondern s<strong>in</strong>kt von etwa 10 7<br />
auf 2000 Teilchen ab. Daher werden sämtliche Simulationen <strong>in</strong> diesem Kapitel für N=2000,<br />
10000, 20000 <strong>und</strong> 100000 durchgeführt.<br />
Es werden gerade diese Werte ausgewählt, da sich zu Beg<strong>in</strong>n des Kühlprozesses zwar etwa<br />
10 7 Teilchen <strong>in</strong> der Falle bef<strong>in</strong>den, der Rechenaufwand mit der Rekursionsformel aber<br />
l<strong>in</strong>ear zu N ansteigt <strong>und</strong> für mehr als 100000 Teilchen nicht mehr <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em akzeptablen<br />
Zeitrahmen durchführbar ist, denn es müßten auch entsprechend mehr Energieeigenwerte<br />
<strong>in</strong> die Berechnungen e<strong>in</strong>bezogen werden. Über die auftretenden Probleme bei den numerischen<br />
Rechnungen mit der Rekursionsformel wurde bereits ausführlich <strong>in</strong> Kapitel 3 berichtet<br />
<strong>und</strong> somit soll darauf an dieser Stelle nicht weiter e<strong>in</strong>gegangen werden. Es sei nur<br />
angemerkt, daß die erwähnten Schwierigkeiten hier sogar verstärkt auftreten, da es sich um<br />
e<strong>in</strong> anisotropes Potential handelt. Hier müssen nämlich die Eneergieeigenwerte E nxn yn z<br />
<strong>in</strong> Abhängigkeit von allen drei Quantenzahlen bestimmt werden, so daß bereits bei viel<br />
ger<strong>in</strong>geren Energien e<strong>in</strong>e größere Anzahl Werte existiert. Aus diesem Gr<strong>und</strong> ermöglicht<br />
das Programm ho_levels_3d.b<strong>in</strong>.f wiederum die Ausnutzung der Vorteile der Methode der<br />
Energiebereiche E α des letzten Kapitels.<br />
Aufgr<strong>und</strong> starker Verluste durch den Kühlprozeß bef<strong>in</strong>den sich nach vollständiger <strong>Kondensation</strong><br />
nur noch 2000 Teilchen <strong>in</strong> der Atomwolke, so daß dieser Wert besonders gut<br />
mit dem Experiment verglichen werden kann, da hier die genauesten Daten existieren. Die<br />
Zwischenwerte N=10000 <strong>und</strong> N=20000 werden gewählt, da die meisten Teilchen bereits<br />
kurz nach dem E<strong>in</strong>füllen aus der Falle entweichen <strong>und</strong> somit kle<strong>in</strong>ere Teilchenzahlen besser<br />
den für die Experimente tatsächlich <strong>in</strong>teressanten Bereich repräsentieren. Weiterh<strong>in</strong><br />
war man nach den ersten Experimenten mit der TOP-Falle der Me<strong>in</strong>ung, daß sich nach der<br />
<strong>Kondensation</strong> 20000 Teilchen <strong>in</strong> der Falle befänden [59].<br />
Trotz des hohen Vakuums von 4·10 −14 bar, entspricht die Lebensdauer e<strong>in</strong>es Kondensats nur<br />
ungefähr e<strong>in</strong>er M<strong>in</strong>ute, da Stöße mit Atomen der Luft stattf<strong>in</strong>den <strong>und</strong> die Wolke aufheizen.<br />
1 Zur Notation: In vielen Artikeln wird ω x = ω y <strong>und</strong> ω z =1/ √ 8 ω x def<strong>in</strong>iert.
5.2 Bestimmung der kritischen Temperatur T c 63<br />
5.2 Bestimmung der kritischen Temperatur T c<br />
Analog zu den Rechnungen für harte Potentiale <strong>in</strong> Kapitel 3.2 wird hier mit den Energieeigenwerten<br />
des Potentials der TOP-Falle die spezifische Wärme C V (T )/N für verschiedene<br />
Teilchenzahlen berechnet. Die Ergebnisse für N=2000, 10000, 20000 <strong>und</strong> 100000 s<strong>in</strong>d <strong>in</strong><br />
Grafik 5.1 dargestellt. Wie bei den Berechnungen für Helium werden hier die Energie <strong>und</strong><br />
damit die spezifische Wärme C V (T )/N <strong>in</strong> E<strong>in</strong>heiten der Boltzmannkonstante k B angegeben.<br />
12.0<br />
8.0<br />
N = 2000<br />
N = 10000<br />
N = 20000<br />
N = 100000<br />
CV<br />
[k N B]<br />
4.0<br />
0.0<br />
0.0e+00 1.0e−07 2.0e−07 3.0e−07<br />
T [K]<br />
Abbildung 5.1: Die spezifische Wärme <strong>in</strong> der TOP-Falle für 2000, 10000, 20000 <strong>und</strong> 100000<br />
Teilchen.<br />
Aus der Abbildung können die kritischen Temperaturen für die verschiedenen Teilchenzahlen<br />
abgelesen werden, also der Punkt, an dem die spezifische Wärme maximal ist. Durch<br />
die etwa zwanzigmal größere Masse des Rubidiums gegenüber Helium liegen diese Temperaturen<br />
näher am absoluten Nullpunkt, das heißt im Bereich von e<strong>in</strong>igen 10 −8 bis 10 −7<br />
Kelv<strong>in</strong>. Tabelle 5.2 zeigt die entsprechenden Werte.<br />
Teilchenzahl<br />
Kritische Temperatur T c<br />
2000 5,74·10 −8 K<br />
10000 9,87·10 −8 K<br />
20000 1,24·10 −7 K<br />
100000 2,13·10 −7 K<br />
Tabelle 5.1: Kritische Temperaturen <strong>in</strong> der TOP-Trap für verschiedene Teilchenzahlen.
64 Kapitel 5. Simulation e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-Gases <strong>in</strong> der TOP-Falle<br />
5.3 Berechnung der Dichteverteilung <strong>in</strong> der Falle<br />
Unterhalb der kritischen Temperatur T c sammeln sich die Atome im Gr<strong>und</strong>zustand, wodurch<br />
die Dichte im Zentrum der Falle sehr stark ansteigt. Im folgenden soll die Dichte<br />
<strong>in</strong> Abhängigkeit des Ortes <strong>und</strong> der Temperatur mit Hilfe der Quantenmechanik ermittelt<br />
werden. Dazu geht man von der Wellenfunktion e<strong>in</strong>es Teilchens im harmonischen Oszillatorpotential<br />
der TOP- Trap (5.1)<br />
ψ nxn yn z<br />
(x, y, z) =X nx (x)Y ny (y)Z nz (z) (5.6)<br />
(siehe (A.11)) aus, wobei<br />
X nx (x) =<br />
( mωx<br />
~π<br />
) 1/4 exp ( − mωx x2) (√ )<br />
2~ mωx<br />
√ H 2<br />
n nx xnx !<br />
~ x<br />
(5.7)<br />
ist <strong>und</strong> Y ny (y) <strong>und</strong> Z nz (z) analog folgen. Bei H nx ((mω x /~) 1/2 x) handelt es sich um die<br />
Hermite-Polynome.<br />
Die quantenmechanische Aufenthaltswahrsche<strong>in</strong>lichkeit e<strong>in</strong>es Teilchens an e<strong>in</strong>em bestimmten<br />
Ort für e<strong>in</strong>en gegebenen Zustand ergibt sich durch Quadrierung des Betrages<br />
von (5.6). Durch Multiplikation mit der durch die Rekursionsformel (3.21) bestimmten<br />
Besetzungszahl e<strong>in</strong>es Zustandes η(n x ,n y ,n z ) erhält man die Anzahl Atome, die sich an e<strong>in</strong>em<br />
Ort im jeweiligen Zustand bef<strong>in</strong>den. Nun muß nur noch über alle Zustände summiert<br />
werden, um zur absoluten Dichte am Ort (x,y,z) zu gelangen:<br />
ρ abs (x, y, z) =<br />
∑<br />
η(n x ,n y ,n z ) |ψ nxn yn z<br />
(x, y, z)| 2 (5.8)<br />
n x,n y,n z<br />
Führt man die relative Besetzungszahl<br />
η rel (n x ,n y ,n z )=η(n x ,n y ,n z )/N (5.9)<br />
e<strong>in</strong> <strong>und</strong> setzt den konstanten Vorfaktor<br />
( mωx<br />
) 1/4<br />
(5.10)<br />
~π<br />
<strong>in</strong> Gleichung (5.7) auf den Wert E<strong>in</strong>s, so ergibt sich mit dem geometrischen Mittel der<br />
Oszillatorfrequenzen ω ho für die Dichte<br />
ρ(x, y, z) =<br />
∑<br />
η rel (n x ,n y ,n z ) exp ( − mω ho<br />
(x 2 + y 2 + z 2 ) )<br />
~<br />
2 nx+ny+nz n<br />
n x ! n y ! n z !<br />
x,n y,n z<br />
(√ ) (√ ) (√ )<br />
·Hn 2 mωx<br />
x<br />
~ x Hn 2 mωy<br />
y<br />
~ y Hn 2 mωz<br />
z<br />
~ z , (5.11)<br />
<strong>und</strong> das Maximum ist ebenfalls auf e<strong>in</strong>s normiert. Tatsächlich ermöglicht diese Umformung<br />
e<strong>in</strong>en direkten Vergleich der Resultate <strong>in</strong> Abhängigkeit von der Teilchenzahl, wie es <strong>in</strong><br />
dieser Arbeit geschehen soll.<br />
Auf diese Weise berechnet das Programm howave.f die Dichteverteilung für e<strong>in</strong>e gegebene<br />
Temperatur T . Zur besseren Darstellung der Daten wird die z-Koord<strong>in</strong>ate auf den Wert
5.3 Berechnung der Dichteverteilung <strong>in</strong> der Falle 65<br />
Null gesetzt, man erhält also e<strong>in</strong>en Schnitt durch das Zentrum der Wolke. Dieses Verfahren<br />
ist s<strong>in</strong>nvoll, weil die Verteilung zyl<strong>in</strong>dersymmetrisch um die x-Achse ist <strong>und</strong> es bleibt die<br />
Gleichung<br />
ρ(x, y, 0) =<br />
∑<br />
η rel (n x ,n y ,n z ) exp ( − mω ho<br />
(x 2 + y 2 ) )<br />
~<br />
2 nx+ny+nz n<br />
n x ! n y ! n z !<br />
x,n y,n z<br />
(√ ) (√ )<br />
·Hn 2 mωx<br />
x<br />
~ x Hn 2 mωy<br />
y<br />
~ y (5.12)<br />
zu berechnen. Die Hermite-Polynome H ni können mit der Vere<strong>in</strong>fachung<br />
ζ =<br />
(√ mωx<br />
~ x )<br />
(5.13)<br />
durch Zuhilfenahme e<strong>in</strong>er Rekursion bestimmt werden:<br />
H 1 (ζ) =1<br />
H 2 (ζ) =2ζ<br />
H n (ζ) =2ζ H n−1 (ζ) − 2(n − 1) H n−2 (ζ). (5.14)<br />
Bei großen Quantenzahlen tritt durch den Vorfaktor<br />
1<br />
2 nx+ny+nz n x ! n y ! n z !<br />
(5.15)<br />
e<strong>in</strong> zusätzliches Problemauf, da dieser schon für relativ kle<strong>in</strong>e Quantenzahlen sehr groß<br />
wird. Die maximale Anzahl der Zustände <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Richtung ist dadurch hier auf 100 beschränkt.<br />
Da allerd<strong>in</strong>gs <strong>in</strong> die Berechnungen der Besetzungszahlen e<strong>in</strong>e weitaus größere<br />
Anzahl Zustände e<strong>in</strong>bezogen wurde <strong>und</strong> die hohen Niveaus im <strong>in</strong>teressanten Temperaturbereich<br />
nur noch schwach besetzt s<strong>in</strong>d, sollte diese Begrenzung zu ke<strong>in</strong>er wesentlichen<br />
Verfälschung der Ergebnisse führen.<br />
Wie man sieht, werden für die Wellenfunktion <strong>und</strong> damit für die Dichte (5.12) alle drei<br />
Quantenzahlen benötigt. Zur Beschleunigung der Rekursion für die Besetzungszahlen wird<br />
dort aber nur <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Dimension gerechnet, <strong>in</strong>dem die Energieeigenwerte zwar für alle<br />
Quantenzahlen ermittelt, anschließend allerd<strong>in</strong>gs durch Anwendung der Methode der Energiebereiche<br />
auf e<strong>in</strong>e l<strong>in</strong>eare Energieskala mit entsprechender Entartung aufgeteilt werden.<br />
Diese Energien werden von dem Programm recur98occup.f verwendet, um jedem Bereich<br />
e<strong>in</strong>e Besetzungszahl zuzuordnen, die daher wiederum nur <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Dimension vorliegt <strong>und</strong><br />
anschließend auf die drei Quantenzahlen n x , n y <strong>und</strong> n z aufgeteilt werden muß, was folgendermaßen<br />
geschieht: Bereits bei der Berechnung der Energieeigenwerte E nxn yn z<br />
werden<br />
die Quantenzahlen <strong>und</strong> der Index α des zugeordneten Energiebereichs E α <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Datei<br />
geschrieben, die später e<strong>in</strong>gelesen werden kann, um die Besetzungszahlen den entsprechenden<br />
Quantenzahlen zuzuordnen.<br />
Die numerische Instabilität der Rekursion zur Berechnung der Besetzungszahlen beschränkt<br />
die niedrigste mögliche Temperatur auf 2,5·10 −9 K, denn unterhalb dieser Temperatur<br />
treten Werte auf, die außerhalb des nutzbaren Zahlenbereichs liegen.
66 Kapitel 5. Simulation e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-Gases <strong>in</strong> der TOP-Falle<br />
Der Ursprung wird <strong>in</strong> das Zentrum der Falle gelegt, <strong>und</strong> die Berechnungen der Dichte werden<br />
für e<strong>in</strong>en Abstand von 5µm<strong>in</strong>x- <strong>und</strong> y-Richtung durchgeführt. Für die oben angegebenen<br />
Teilchenzahlen s<strong>in</strong>d die Ergebnisse <strong>in</strong> Abbildung 5.2 bis 5.5 zu sehen. Die Darstellung<br />
der Dichte erfolgt sowohl l<strong>in</strong>ear als auch logarithmisch, denn während die l<strong>in</strong>earen Grafiken<br />
die Ausbildung e<strong>in</strong>es Peaks im Zentrum besser zeigen, wird durch die logarithmischen<br />
Diagramme klar, daß das Integral über die Verteilungen immer gleich bleiben muß, da die<br />
Teilchenzahl N konstant ist.<br />
Aufgr<strong>und</strong> der Symmetrie um den Ursprung ist es ausreichend, die Dichte ρ(x, y, 0) nur für<br />
e<strong>in</strong>en Quadranten zu ermitteln <strong>und</strong> die entsprechenden Werte <strong>in</strong> die übrigen Raumbereiche<br />
zu übertragen. Die berechneten Stützpunkte der Grafiken haben e<strong>in</strong>en Abstand von jeweils<br />
0,025µm, so daß <strong>in</strong>sgesamt 160000 Punkte pro Bild ermittelt werden.<br />
Leider können <strong>in</strong> der Papierversion dieser Arbeit bei weitem nicht alle Bilder, sondern<br />
nur e<strong>in</strong>e begrenzte Auswahl gezeigt werden. Auf der beiliegenden CD-Rom bef<strong>in</strong>den sich<br />
allerd<strong>in</strong>gs zum e<strong>in</strong>en die übrigen Diagramme <strong>und</strong> zum anderen e<strong>in</strong>ige Animationen, die<br />
die Änderung der Dichte <strong>in</strong> Abhängigkeit von der Temperatur zeigen. Die große Zahl der<br />
auf der CD-Rom bef<strong>in</strong>dlichen Bilder ergibt sich aus der für die Erstellung dieser “Filme”<br />
nötigen Menge, um e<strong>in</strong>en flüssigen Verlauf zu erhalten. 2<br />
Die Ergebnisse zeigen sehr deutlich, daß die Dichte <strong>in</strong>nerhalb des harmonischen Potentials<br />
oberhalb der <strong>in</strong> Tabelle 5.2 angegebenen kritischen Temperaturen gleichförmig ist,<br />
also e<strong>in</strong>er thermischen Verteilung entspricht. Für angeregte Zustände s<strong>in</strong>d die Hermite-<br />
Polynome nicht konstant, sondern entwickeln an den Rändern des Potentials e<strong>in</strong>en Peak<br />
<strong>und</strong> schw<strong>in</strong>gen <strong>in</strong> der Nähe des Ursprungs nur mit ger<strong>in</strong>ger Amplitude. Die Maxima dieser<br />
Wellenfunktionen bef<strong>in</strong>den sich für hohe Quantenzahlen weiter außen als für niedrige. Daher<br />
ergibt sich für Temperaturen oberhalb von T c e<strong>in</strong>e gleichförmige räumliche Verteilung,<br />
denn auch höhere Zustände s<strong>in</strong>d besetzt.<br />
Bei E<strong>in</strong>tritt der <strong>Kondensation</strong> bildet sich im Zentrum der Falle e<strong>in</strong> Peak <strong>in</strong> der Dichteverteilung<br />
aus, der die Form e<strong>in</strong>er Gaußschen Glockenfunktion hat. Die Ursache dafür liegt <strong>in</strong><br />
der Form der Wellenfunktion des Gr<strong>und</strong>zustandes des harmonischen Oszillators, die eben<br />
genau dieser Funktion entspricht. Da dieser Zustand der e<strong>in</strong>zige makroskopisch besetzte<br />
ist, heben sich die Auswirkungen dieses Niveaus von den anderen ab.<br />
Aufgr<strong>und</strong> der nötigen Beschränkung der Anzahl dargestellter Bilder werden die Dichteverteilungen<br />
nur für jeweils vier unterschiedliche Temperaturen pro Teilchenzahl abgedruckt.<br />
Jede Serie enthält e<strong>in</strong> Bild für e<strong>in</strong>e Temperatur von 1,0·10 −8 K, um e<strong>in</strong>en direkten Vergleich<br />
zu ermöglichen. Die l<strong>in</strong>earen Darstellungen lassen sich kaum unterscheiden, denn<br />
es sche<strong>in</strong>t als seien bereits alle Teilchen kondensiert. Anders sieht es aus, wenn man die<br />
logarithmischen Grafiken betrachtet. Hier ist deutlich zu erkennen, daß sich bei größeren<br />
Teilchenzahlen bereits e<strong>in</strong> höherer Anteil der Atome im Kondensat bef<strong>in</strong>det als bei kle<strong>in</strong>eren.<br />
Die Erklärung hierfür ist <strong>in</strong> der kritischen Temperatur zu f<strong>in</strong>den, welche für größere<br />
Teilchenzahlen höher liegt <strong>und</strong> damit für e<strong>in</strong> früheres E<strong>in</strong>setzen der <strong>Kondensation</strong> sorgt.<br />
Hieraus resultiert die Wahl der übrigen Bilder, denn es werden jeweils e<strong>in</strong> Wert aus der<br />
Nähe der kritischen Temperatur <strong>und</strong> unterschiedlich verteilte Zwischenwerte gewählt.<br />
Für 2000 Teilchen zeigt Abbildung 5.2 e<strong>in</strong>e Grafik für e<strong>in</strong>e Temperatur, die bereits am<br />
2 Siehe auch Anhang E.
5.3 Berechnung der Dichteverteilung <strong>in</strong> der Falle 67<br />
Limit der numerischen Berechenbarkeit liegt. Bei 3,0·10 −9 K bef<strong>in</strong>den sich tatsächlich nahezu<br />
alle Teilchen im Gr<strong>und</strong>zustand. Dieses ist zu erkennen, weil die logarithmische Dichteverteilung<br />
besonders steil abfällt <strong>und</strong> nicht e<strong>in</strong>mal mehr die ellipsenförmige Form der<br />
Rubidiumwolke zeigt.<br />
Abbildung 5.3 <strong>und</strong> 5.4 zeigen die Ergebnisse für 10000 <strong>und</strong> 20000 Teilchen. Die Temperaturen<br />
s<strong>in</strong>d hier identisch gewählt, um e<strong>in</strong>en Vergleich für zwei unterschiedliche Teilchenzahlen<br />
über den gesamten Temperaturbereich zu ermöglichen. Erwartungsgemäß ähneln<br />
sich die Bilder für 1,0·10 −8 K sehr, doch für anwachsende Temperaturen fällt die Dichte im<br />
Zentrum e<strong>in</strong>er Falle mit 10000 Teilchen schneller ab.<br />
Durch die E<strong>in</strong>führung der <strong>in</strong> diesem Kapitel genutzten Normierung der Dichte muß hier<br />
noch e<strong>in</strong>mal betont werden, daß die Anzahl der Teilchen, die sich tatsächlich im Zentrum<br />
der Falle bef<strong>in</strong>den, natürlich von der Gesamtteilchenzahl abhängig ist.
68 Kapitel 5. Simulation e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-Gases <strong>in</strong> der TOP-Falle<br />
Abbildung 5.2: L<strong>in</strong>eare <strong>und</strong> logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen bei<br />
T =3,0·10 −9 ,1,0·10 −8 ,4,0·10 −8 <strong>und</strong> 5,5·10 −8 Kelv<strong>in</strong>.
5.3 Berechnung der Dichteverteilung <strong>in</strong> der Falle 69<br />
Abbildung 5.3: L<strong>in</strong>eare <strong>und</strong> logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 10000 Teilchen<br />
bei T =1,0·10 −8 ,4,0·10 −8 ,8,0·10 −8 <strong>und</strong> 1,0·10 −7 Kelv<strong>in</strong>.
70 Kapitel 5. Simulation e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-Gases <strong>in</strong> der TOP-Falle<br />
Abbildung 5.4: L<strong>in</strong>eare <strong>und</strong> logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 20000 Teilchen<br />
bei T =1,0·10 −8 ,4,0·10 −8 ,8,0·10 −8 <strong>und</strong> 1,0·10 −7 Kelv<strong>in</strong>.
5.3 Berechnung der Dichteverteilung <strong>in</strong> der Falle 71<br />
Abbildung 5.5: L<strong>in</strong>eare <strong>und</strong> logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 100000 Teilchen<br />
bei T =1,0·10 −8 ,8,0·10 −8 ,1,6·10 −7 <strong>und</strong> 2,1·10 −7 Kelv<strong>in</strong>.
72 Kapitel 5. Simulation e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-Gases <strong>in</strong> der TOP-Falle<br />
5.4 Zeitliche Entwicklung e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong> Kondensats<br />
bei abgeschaltetem externen Potential<br />
Die Teilchendichte <strong>in</strong>nerhalb der Falle wird gemessen, <strong>in</strong>dem das <strong>Fallen</strong>potential nach dem<br />
Kühlungsprozeß abgeschaltet wird. Dadurch kann sich die Atomwolke frei ausdehnen, das<br />
heißt, jedes Teilchen für sich kann, wenn man Wechselwirkungen ausschließt, als freies<br />
Teilchen betrachtet werden. Die Annahme e<strong>in</strong>es freien Teilchens wird dadurch unterstützt,<br />
daß e<strong>in</strong> Feld von ger<strong>in</strong>ger Größe angelegt ist, daß der Gravitation entgegen wirkt, um eventuelle<br />
Störungen zu verm<strong>in</strong>dern. Nach e<strong>in</strong>er festgelegten Zeit wird mit e<strong>in</strong>em Laserstrahl<br />
<strong>und</strong> e<strong>in</strong>er h<strong>in</strong>ter dem Kondensat angebrachten CCD-Kamera die Absorption der Wolke<br />
<strong>und</strong> damit die ortsabhängige Dichte bestimmt. Durch die hohe Energie, die dadurch auf die<br />
Atomwolke übertragen wird, wird das <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensat zerstört. Es kann also nur<br />
e<strong>in</strong> Bild pro Kühlungsprozeß aufgenommen werden. Um trotzdem e<strong>in</strong>e Folge von Bildern<br />
zu erhalten, werden die Aufnahmen jeweils nach unterschiedlich langer Ausdehnungszeit<br />
aufgenommen. Das ist möglich, da die Anzahl Teilchen <strong>in</strong> der Falle <strong>und</strong> die genaue Größe<br />
des Potentials sehr gut reproduziert werden können. Weiterh<strong>in</strong> kann das Potential nach<br />
unterschiedlich weit fortgeschrittenem Kühlungsprozeß abgeschaltet werden.<br />
Genau dieses Verfahren soll im folgenden simuliert werden. Dazu wird die <strong>in</strong> der vorangegangenen<br />
Berechnung der Dichte benutzte Wellenfunktion (5.6) zeitentwickelt, wofür die<br />
ortsabhängige Wellenfunktion mit Hilfe e<strong>in</strong>er Fouriertransformation <strong>in</strong> den Impulsraum<br />
überführt wird. Die Fouriertransformation ist mit r =(x, y, z) <strong>und</strong> p =(p x ,p y ,p z ) folgendermaßen<br />
def<strong>in</strong>iert:<br />
∫ ∞<br />
ψ nxn yn z<br />
(p) =(2π~) −3/2 dr ψ nxn yn z<br />
(r)e − ~ i pr (5.16)<br />
−∞<br />
Mit dem Hamilton-Operator e<strong>in</strong>es freien Teilchens,<br />
Ĥ = p2<br />
2m , (5.17)<br />
f<strong>in</strong>det die Zeitentwicklung statt, <strong>und</strong> für die Wellenfunktion im Impulsraum zum Zeitpunkt<br />
t ergibt sich mit<br />
ψ nxn yn z<br />
(p, 0) = ψ nxn yn z<br />
(p), (5.18)<br />
ψ nxn yn z<br />
(p,t)=ψ nxn yn z<br />
(p, 0)e − i ~ Ĥt . (5.19)<br />
Anschließend wird ψ nxn yn z<br />
(p,t) mit Hilfe der <strong>in</strong>versen Fouriertransformation<br />
∫ ∞<br />
ψ nxn yn z<br />
(r,t)=(2π~) −3/2 dp ψ nxn yn z<br />
(p,t)e ~ i pr (5.20)<br />
wieder <strong>in</strong> den Ortsraum transformiert. Daraus können dann analog zum vorherigen Abschnitt<br />
die Aufenthaltswahrsche<strong>in</strong>lichkeit <strong>und</strong> die Dichte berechnet werden, so daß die zu<br />
lösende Gleichung<br />
ρ(r,t)=<br />
∑<br />
η rel (n x ,n y ,n z ) |ψ nxn yn z<br />
(r,t)| 2 (5.21)<br />
n x,n y,n z<br />
−∞
5.4 Zeitentwicklung e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong> Kondensats 73<br />
lautet. Dieses Verfahren kann <strong>in</strong> nahezu jedem Buch zur Quantenmechanik nachgelesen<br />
werden (siehe beispielsweise [51,89,111]), <strong>und</strong> man erhält e<strong>in</strong> quantenmechanisch ause<strong>in</strong>anderfließendes<br />
Wellenpaket.<br />
Auf die Eigenschaften der Fouriertransformation soll an dieser Stelle nicht e<strong>in</strong>gegangen,<br />
sondern nur auf die dazugehörige Literatur verwiesen werden. Wie bereits erklärt wird die<br />
Wellenfunktion nur für e<strong>in</strong>e begrenzte Anzahl von Funktionswerten berechnet. Es liegen<br />
also diskrete Daten vor. Das am weitesten verbreitete Verfahren zur Transformation solcher<br />
Werte ist die sogenannte “Fast Fourier Transformation” (FFT), die auch <strong>in</strong> dieser Arbeit<br />
angewendet wird. Der besonders schnelle Algorithmus setzt voraus, daß die Anzahl der<br />
Stützpunkte, an denen die Wellenfunktion berechnet werden soll, e<strong>in</strong>e Zweierpotenz ist. In<br />
diesem Fall wird der Wert 8192 gewählt, der e<strong>in</strong>en Kompromiß zwischen Genauigkeit <strong>und</strong><br />
Rechenaufwand darstellt. 3<br />
Aufgr<strong>und</strong> der Begrenzung der Stützstellenzahl ist die Transformation nicht exakt <strong>und</strong> man<br />
erhält Störeffekte, die die zeitentwickelte Wellenfunktion <strong>und</strong> damit die Darstellung der<br />
Dichteverteilung verfälschen. Zu solchen Artefakten zählen bei den <strong>in</strong> Abbildung 5.6 <strong>und</strong><br />
5.7 dargestellten Ergebnissen zum e<strong>in</strong>en die “Ausfransung” der eigentlich glatten Plots <strong>und</strong><br />
zum anderen die bei größeren Zeiten sehr stark werdenden Randeffekte.<br />
Verstärkend kommt h<strong>in</strong>zu, daß e<strong>in</strong>e Transformation eigentlich nur dann durchgeführt werden<br />
kann, wenn die Funktion an den Rändern verschw<strong>in</strong>det. Da allerd<strong>in</strong>gs nur e<strong>in</strong> begrenzter<br />
Raumbereich berechnet werden kann, ist nicht gegeben, daß die Wellenfunktionen<br />
rechtzeitig gegen Null konvergieren, denn die Hermite-Polynome können am Rand des<br />
Oszillatorpotentials für höhere Zustände sehr groß werden.<br />
E<strong>in</strong>e begrenzte Verr<strong>in</strong>gerung dieser Effekte kann erzielt werden, <strong>in</strong>dem e<strong>in</strong> weit größerer<br />
Raumbereich als der grafisch dargestellte fouriertransformiert wird. In dem hier vorgestellten<br />
Fall werden nur etwa 80% des berechneten Bereichs für die Auswertung übernommen.<br />
Das vorgestellte Verfahren zur Zeitentwicklung bedient sich e<strong>in</strong>er weiteren Näherung, denn<br />
für e<strong>in</strong>e exakte Rechnung muß die symmetrisierte Viel-Teilchen-Wellenfunktion propagiert<br />
werden. Für zwei Bosonen <strong>und</strong> zwei Zustände bedeutet das aber bereits, daß die Wellenfunktion<br />
zu<br />
Ψ(p 1 , p 2 )= 1 √<br />
2<br />
(ψ 0 (p 1 ) ψ 1 (p 2 )+ψ 0 (p 2 ) ψ 1 (p 1 )) (5.22)<br />
wird <strong>und</strong> ebenfalls mit dem Hamilton-Operator für freie Teilchen zeitentwickelt werden<br />
muß. Da sich jedoch die Anfangswellenfunktion aus den Eigenfunktionen des harmonischen<br />
Oszillators zusammensetzt, ist diese Zeitentwicklung, <strong>in</strong>sbesondere für viele Teilchen,<br />
äußerst zeitaufwendig <strong>und</strong> kompliziert.<br />
Tatsächlich zeigt sich, daß dieses exakte Verfahren nur für sehr kle<strong>in</strong>e Teilchenzahlen<br />
durchführbar ist. Versuche dieser Art f<strong>in</strong>den sich beispielsweise <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Artikel von<br />
Papenbrock <strong>und</strong> Bertsch [99], die ebenfalls Simulationen für e<strong>in</strong> harmonisches Potential<br />
durchgeführt haben. In ihrem Ansatz ist die maximale Teilchenzahl N = 40, also weit unter<br />
dem tatsächlich <strong>in</strong> der TOP-Falle auftretenden Wert.<br />
3 E<strong>in</strong>e E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> die Programmierung <strong>und</strong> Funktionsweise der FFT kann [107] oder [61] entnommen<br />
werden. Genauer gehen jedoch Bücher über digitale Signalverarbeitung auf dieses Thema e<strong>in</strong> [40].
74 Kapitel 5. Simulation e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-Gases <strong>in</strong> der TOP-Falle<br />
In Abbildung 5.6 <strong>und</strong> 5.7 ist die zeitliche Entwicklung e<strong>in</strong>es freien Gases mit 2000 Teilchen<br />
bei 1,0·10 −8 <strong>und</strong> 4,0·10 −8 Kelv<strong>in</strong> dargestellt. Wie auch bei den vorherigen Bilderserien<br />
kann nur e<strong>in</strong>e kle<strong>in</strong>e Auswahl der tatsächlich erstellten Bilder abgedruckt werden,<br />
<strong>und</strong> für weitere Grafiken sei wiederum auf die CD-Rom, beziehungsweise die zugehörigen<br />
Animationen <strong>und</strong> den Anhang verwiesen. Die Zeit läuft von 1,0·10 −11 bis 1,0·10 −3 Sek<strong>und</strong>en,<br />
<strong>und</strong> die ausgewählten Bilder zeigen Momentaufnahmen bei t = 1,0·10 −11 , 2,0·10 −10 ,<br />
9,0·10 −5 <strong>und</strong> 1,0·10 −3 Sek<strong>und</strong>en.<br />
Aufgr<strong>und</strong> der Annahme freier Teilchen <strong>und</strong> der Normierung der Dichte ist die zeitliche<br />
Entwicklung unabhängig von der Teilchenzahl, so daß die Ergebnisse für N=10000, 20000<br />
<strong>und</strong> 100000 äquivalent s<strong>in</strong>d. Weiterh<strong>in</strong> unterscheiden sich die Serien für die beiden Temperaturen<br />
nur dadurch, daß sie durch die unterschiedlich hohen Startwerte für die Dichte im<br />
Zentrum auch entsprechend skalierte Zeitentwicklungen besitzen. Da die Höhe der Maxima<br />
allerd<strong>in</strong>gs nur von den Besetzungszahlen abhängt <strong>und</strong> die zeitentwickelten Wellenfunktionen<br />
identisch s<strong>in</strong>d, muß sich auch die Zahl der Atome an e<strong>in</strong>em bestimmten Ort gleichartig<br />
ändern.<br />
Die Grafiken zeigen deutlich, daß nach 1,0·10 −11 s noch ke<strong>in</strong>e Änderungen im Vergleich<br />
zu den Ergebnisse für t = 0 auszumachen s<strong>in</strong>d. Erst ab etwa 1,0·10 −10 s beg<strong>in</strong>nt der Peak<br />
abzus<strong>in</strong>ken, <strong>und</strong> bereits nach 5,0·10 −10 s treten die ersten durch die Fouriertransformation<br />
verursachten Störungen <strong>in</strong> Form von Verfälschungen am Rand der betrachteten Ebene auf.<br />
Nach etwa 1,0·10 −5 s beg<strong>in</strong>nt die “Ausfransung” der Funktionen stark zuzunehmen, <strong>und</strong> die<br />
Größe der Dichte im Zentrum kann nur noch qualitativ bestimmt werden. E<strong>in</strong>e Millisek<strong>und</strong>e<br />
nach dem Abschalten des Potentials ist die ursprüngliche Wolke nicht mehr erkennbar,<br />
denn die Grafiken zeigen nur noch numerisches Rauschen.
5.4 Zeitentwicklung e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong> Kondensats 75<br />
Abbildung 5.6: L<strong>in</strong>eare <strong>und</strong> logarithmische Darstellung der zeitabhängigen Dichteverteilung für<br />
2000 Teilchen bei T =1,0·10 −8 Kelv<strong>in</strong> <strong>und</strong> t=1,0·10 −11 ,2,0·10 −10 ,9,0·10 −5 <strong>und</strong> 1,0·10 −3 Sek<strong>und</strong>en.
76 Kapitel 5. Simulation e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-Gases <strong>in</strong> der TOP-Falle<br />
Abbildung 5.7: L<strong>in</strong>eare <strong>und</strong> logarithmische Darstellung der zeitabhängigen Dichteverteilung für<br />
2000 Teilchen bei T =4,5·10 −8 Kelv<strong>in</strong> <strong>und</strong> t=1,0·10 −11 ,2,0·10 −10 ,9,0·10 −5 <strong>und</strong> 1,0·10 −3 Sek<strong>und</strong>en.
5.5 Vergleich mit dem Experiment 77<br />
5.5 Vergleich mit dem Experiment<br />
Nach Haugerud [59] <strong>und</strong> Balazs [9] läßt sich e<strong>in</strong> sehr dünnes Gas aus Alkaliatomen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er<br />
harmonischen Falle oberhalb der kritischen Temperatur T c gut als ideales Gas nähern.<br />
Dementsprechend können die thermodynamischen Eigenschaften mit Hilfe e<strong>in</strong>er quantenstatistischen<br />
Gesamtheit beschrieben werden. Die Simulation <strong>in</strong> diesem Kapitel zeigt <strong>in</strong><br />
diesem Bereich e<strong>in</strong>e zu erwartende gleichmäßige thermische Verteilung der Atome <strong>in</strong> der<br />
Falle, so daß die gute Vergleichsmöglichkeit mit dem Experiment bestätigt wird.<br />
Haugerud erklärt weiter, daß sich für die ursprünglich verwendete Frequenz des harmonischen<br />
Oszillatorpotentials von ω x = 2π · 120Hz nach Gleichung (2.76) e<strong>in</strong>e Übergangstemperatur<br />
von 73,2nK ergibt, wenn man von 20000 Teilchen ausgeht. Für ω x = 2π · 208Hz<br />
steigt dieser Wert auf T c = 124,4nK, was zwar näher an der experimentell gemessenen<br />
Übergangstemperatur von 170nK liegt, allerd<strong>in</strong>gs immer noch e<strong>in</strong>en großen Fehler aufweist.<br />
Bis heute existiert ke<strong>in</strong>e Theorie, die den experimentellen Wert genau vorhersagt.<br />
Für 20000 Teilchen entspricht das <strong>in</strong> Tabelle 5.2 angegebene Ergebnis der nach (2.76)<br />
vorhergesagten Temperatur. Der Versuch, die Differenz zwischen Theorie <strong>und</strong> Experiment<br />
durch e<strong>in</strong>e Änderung der <strong>in</strong> die Berechnungen e<strong>in</strong>bezogenen Teilchenzahl zu korrigieren,<br />
scheitert, da die nach Gleichung (2.76) nötige, tatsächliche Anzahl an Rubidiumatomen<br />
<strong>in</strong> der Falle bei etwa N = 50000 liegen müßte. Aufgr<strong>und</strong> der hochpräzisen Meßdaten, die<br />
von der TOP-Trap vorliegen, ist e<strong>in</strong> Fehler dieser Größenordnung jedoch nicht zu erwarten.<br />
Die Näherung e<strong>in</strong>es idealen Gases ist also bereits an dieser Stelle nicht mehr gültig, da<br />
Wechselwirkungsprozesse zwischen den e<strong>in</strong>zelnen Atomen e<strong>in</strong>e Rolle zu spielen beg<strong>in</strong>nen.<br />
Genaueres zur Beschreibung dieser Effekte kann Abschnitt 2.4 entnommen werden.<br />
Die Größe e<strong>in</strong>er voll kondensierten Wolke wird durch die Reichweite des harmonischen<br />
Oszillatorpotentials (2.64)<br />
√<br />
~<br />
a ho =<br />
(5.23)<br />
mω ho<br />
bestimmt. Mit der Masse von 87 Rb <strong>und</strong> dem harmonischen Mittel der Frequenzen des <strong>Fallen</strong>potentials<br />
ergibt sich e<strong>in</strong> Wert von 1,1µm, der unabhängig von der Teilchenzahl ist <strong>und</strong><br />
gut mit der mittleren Breite der Dichtepeaks <strong>in</strong> den erstellten Bildern übere<strong>in</strong>stimmt.<br />
Tatsächlich ist e<strong>in</strong>e experimentelle Wolke jedoch größer, da es immer zu Mehr-Körper-<br />
Stößen kommt <strong>und</strong> sich daher niemals alle Teilchen im Gr<strong>und</strong>zustand bef<strong>in</strong>den können.<br />
Weiterh<strong>in</strong> wirkt zwischen 87 Rb-Atomen e<strong>in</strong>e abstoßende Kraft, die das Kondensat zusätzlich<br />
verbreitert. Diese Effekte können die Gr<strong>und</strong>zustandsbesetzungszahl um e<strong>in</strong> Fünftel<br />
verr<strong>in</strong>gern <strong>und</strong> werden <strong>in</strong> den hier vorgestellten Simulationen nicht e<strong>in</strong>bezogen (siehe Abschnitt<br />
2.4).<br />
Zusätzlich kommt h<strong>in</strong>zu, daß die Näherung e<strong>in</strong>es 87 Rb-Atoms als e<strong>in</strong> aus Fermionen zusammengesetztes<br />
Boson nur für ger<strong>in</strong>ge Dichten gilt. Bei den hohen Dichten, die <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em<br />
Kondensat im Vergleich zu e<strong>in</strong>er thermischen Verteilung e<strong>in</strong>es dünnen Gases auftreten,<br />
muß diese Näherung überprüft werden. Sicher ist jedoch, daß die Viel-Teilchen-<br />
Wechselwirkungen hierdurch vergrößert werden.<br />
E<strong>in</strong>e Vergrößerung der Wolke bedeutet wiederum e<strong>in</strong>e ger<strong>in</strong>gere Dichte im Zentrum der<br />
Falle <strong>und</strong> damit auch e<strong>in</strong>e ger<strong>in</strong>gere kritische Temperatur T c . Die Dichte ρ kann nach [30]
78 Kapitel 5. Simulation e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-Gases <strong>in</strong> der TOP-Falle<br />
um bis zu zwei Größenordnungen kle<strong>in</strong>er se<strong>in</strong>. Aufgr<strong>und</strong> der durch die Verdampfungskühlung<br />
ständig kle<strong>in</strong>er werdenden Teilchenzahl N bedeutet dies, daß sich zu Beg<strong>in</strong>n der<br />
<strong>Kondensation</strong> weit mehr Teilchen <strong>in</strong> der Falle bef<strong>in</strong>den als nach Beendigung des Kühlverfahrens,<br />
denn die gemessene kritische Temperatur liegt etwa 50nK über der für e<strong>in</strong>e<br />
konstante Anzahl von Atomen berechneten. Um e<strong>in</strong>en genauen Vergleich zwischen den<br />
berechneten <strong>und</strong> den gemessenen Werten anstellen zu können, muß also die Teilchenzahl<br />
für jede <strong>in</strong> die Rekursionsformel e<strong>in</strong>gesetzte Temperatur entsprechend angepaßt werden.<br />
Aufgr<strong>und</strong> der Meßverfahren für die Teilchendichte existieren ke<strong>in</strong>e direkten Bilder e<strong>in</strong>es<br />
Kondensats. Zwischen dem Abschalten des Magnetfeldes <strong>und</strong> der Absorptionsmessung<br />
mit dem Laserstrahl bleibt den Atomen e<strong>in</strong>e bestimmte Zeit t,<strong>in</strong>dersiesichfreiausbreiten<br />
können. Daher s<strong>in</strong>d auch ke<strong>in</strong>e direkten Vergleiche der hier erstellten Diagramme für die<br />
Dichte im Zentrum e<strong>in</strong>er Falle mit veröffentlichten Absorptionsbildern möglich.<br />
Diese Bilder zeigen e<strong>in</strong>e Verteilung, die sich aus den ursprünglichen Geschw<strong>in</strong>digkeiten<br />
der e<strong>in</strong>zelnen Atome ergibt. E<strong>in</strong> sehr langsames Atom, daß sich vor dem Abschalten der<br />
Falle <strong>in</strong> deren Zentrum bef<strong>in</strong>det, wird sich <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er festgelegten Zeit weniger weit von se<strong>in</strong>em<br />
ursprünglichen Ort entfernen als e<strong>in</strong> energiereiches, schnelles Teilchen. Aus diesem<br />
Gr<strong>und</strong> werden die experimentellen Absorptionsbilder auch Geschw<strong>in</strong>digkeitsverteilung genannt.<br />
Ihre Äquivalenz zu Darstellungen der Dichte rührt daher, daß sich energiearme Teilchen<br />
im Vergleich zu energiereichen bevorzugt <strong>in</strong> der Mitte der Wolke aufhalten. Allerd<strong>in</strong>gs<br />
bedeutet e<strong>in</strong>e höhere Dichte auch e<strong>in</strong>e größere Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit für Stöße mit anderen<br />
Atomen. Dadurch erhält e<strong>in</strong>e bestimmte Zahl der Atome aus dem kondensierten Teil der<br />
Wolke die Energie anderer Teilchen, wodurch sich ihre Geschw<strong>in</strong>digkeit erhöht <strong>und</strong> sie<br />
nach genügend großer Zeit die äußeren, ursprünglich schnelleren Atome überholen. Das<br />
Kondensat muß durch diesen Effekt nicht zerstört werden, es bildet sich jedoch e<strong>in</strong>e r<strong>in</strong>gförmige<br />
Verteilung um das Zentrum der Falle [90].<br />
Die Geschw<strong>in</strong>digkeit, die die Atome nach dem Abschalten des Potentials haben, hängt stark<br />
von der ursprünglichen Größe der Wolke ab. Nach [68] <strong>und</strong> [30] gilt, daß der Wolkendurchmesser<br />
umgekehrt proportional zur mittleren Initialgeschw<strong>in</strong>digkeit der freien Teilchen ist.<br />
E<strong>in</strong>e reale Wolke, die durch ihre <strong>in</strong>teratomaren Wechselwirkungen vergrößert wird, fließt<br />
also langsamer ause<strong>in</strong>ander als e<strong>in</strong> ideales Kondensat.<br />
Dieser Effekt zeigt sich auch bei der <strong>in</strong> diesem Kapitel durchgeführten Zeitentwicklung,<br />
denn sowohl die Position der Teilchen vor dem Abschalten des Potentials als auch die<br />
damit verb<strong>und</strong>ene Energie bestimmt die zu zeitentwickelnde Wellenfunktion ψ nxn yn z<br />
(r,t).<br />
S<strong>in</strong>d nämlich die Besetzungszahlen für angeregte Zustände durch die oben beschriebenen<br />
Effekte größer, so haben die zu ihnen gehörenden Wellenfunktionen e<strong>in</strong>en entsprechend<br />
höheren E<strong>in</strong>fluß auf die Dichteverteilung. Dadurch kommt es zu e<strong>in</strong>er Vergrößerung der<br />
Atomwolke, <strong>und</strong> weiterh<strong>in</strong> ist der E<strong>in</strong>fluß der angeregten Zustände bei der Zeitentwicklung<br />
erhöht.<br />
Da dadurch die an den Rändern des Potentials liegenden Maxima der Hermite-Polynome<br />
höherer Ordnung ke<strong>in</strong>en vernachlässigbar kle<strong>in</strong>en Effekt mehr ausüben, s<strong>in</strong>d sie ebenfalls<br />
für die Dauer des vollständigen Ause<strong>in</strong>anderfließens des Gesamtwellenpakets <strong>in</strong>teressant.<br />
Tatsächlich s<strong>in</strong>kt die Teilchendichte hierdurch um e<strong>in</strong>ige Größenordnungen langsamer als<br />
wenn nur das Gr<strong>und</strong>zustandsniveau besetzt ist.<br />
Die bekannte Abbildung auf Seite 1 dieser Arbeit zeigt die Dichte <strong>in</strong> der TOP-Falle 200ms
5.5 Vergleich mit dem Experiment 79<br />
nach dem Abschalten des Magnetfeldes. Die räumliche Auflösung beträgt 200x270µm.<br />
Nach vollständiger <strong>Kondensation</strong> hat die Wolke hier noch e<strong>in</strong>en Durchmesser <strong>in</strong> y-<br />
Richtung von etwas weniger als 100µm. Dieser Wert ist zwanzigmal größer als das <strong>in</strong><br />
dieser Arbeit errechnete Ergebnis ohne Zeitentwicklung.<br />
Laut [68] entspricht die Breite 60ms nach der Abschaltung jedoch nur 15µm. Diese Zahl<br />
liegt bereits weitaus näher an den <strong>in</strong> dieser Arbeit simulierten Dichteverteilungen. Geht<br />
man weiterh<strong>in</strong> davon aus, daß die Ausdehnung der Wolke zu Beg<strong>in</strong>n des Prozesses schneller<br />
ist als nach e<strong>in</strong>er längeren Zeitspanne, zeigt sich, daß die <strong>in</strong> Abbildung 5.2 bis 5.5 gezeigten<br />
Bilder den experimentellen Ergebnissen ähnlicher s<strong>in</strong>d als man bei e<strong>in</strong>em direkten<br />
Vergleich der erstellten Bilder mit den aus den Experimenten bekannten Absorptionsaufnahmen<br />
erwarten könnte.<br />
Anders ist es bei der durchgeführten Zeitentwicklung. E<strong>in</strong> deutliches Abs<strong>in</strong>ken der zentralen<br />
Dichte f<strong>in</strong>det für den Zeitraum zwischen 1,0·10 −10 s <strong>und</strong> 1,0·10 −4 s statt, <strong>und</strong> nach e<strong>in</strong>igen<br />
Millisek<strong>und</strong>en zeigen die Grafiken nur noch e<strong>in</strong>e thermische Verteilung. Anzumerken<br />
ist, daß der berechnete Raumbereich um den Faktor zwanzig kle<strong>in</strong>er ist als der auf den Absorptionsbildern<br />
erkennbare. Es ist aber nicht zu erwarten, daß die Dichte bei Betrachtung<br />
e<strong>in</strong>es größeren Bereichs e<strong>in</strong>e wesentliche Änderung aufweist, denn die erzeugten Daten<br />
enthalten nach dieser Zeit nur noch numerisches Rauschen. Der Gr<strong>und</strong> hierfür ist sicherlich<br />
zu e<strong>in</strong>em ger<strong>in</strong>gen Teil <strong>in</strong> der nicht ausreichend genau durchgeführten Fouriertransformation<br />
zu f<strong>in</strong>den. Die Störungen s<strong>in</strong>d aber nicht so groß, daß eventuell noch vorhandene<br />
Schwankungen nicht mehr qualitativ zugeordnet werden könnten. Vielmehr entsprechen<br />
die errechneten Größen den Dichten, die zum Zeitpunkt t = 0 bei Temperaturen oberhalb<br />
von T c vorliegen.<br />
Der wichtigste Gr<strong>und</strong> für diesen Effekt ist die Nichtbeachtung der Wechselwirkungen, denn<br />
für den Fall e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensats aus Alkali-Atomen darf nicht die Zeitentwicklung<br />
der E<strong>in</strong>-Teilchen-Wellenfunktionen durchgeführt werden. Vielmehr muß die symmetrisierte<br />
Gesamtwellenfunktion des Kondensats propagiert werden, die durch die benannten<br />
Wechselwirkungen nicht separiert.<br />
Abschließend soll noch bemerkt werden, daß e<strong>in</strong>e e<strong>in</strong>fache Abschätzung der Stoßwahrsche<strong>in</strong>lichkeit<br />
über die durchschnittliche Dichte ρ avg <strong>und</strong> der Näherung e<strong>in</strong>es Atoms als<br />
Kugel mit e<strong>in</strong>em Durchmesser, der der s-Wellen-Streulänge a entspricht 4 , nicht ausreicht,<br />
um die Approximation e<strong>in</strong>es realen <strong>Bose</strong>-Gases als ideales Gas zu überprüfen. Vielmehr<br />
müssen die k<strong>in</strong>etische- <strong>und</strong> die Wechselwirkungsenergie der Teilchen, die stark von den expliziten<br />
Eigenschaften des Experiments abhängen, betrachtet werden [30]. Da dafür die <strong>in</strong><br />
Abschnitt 2.4 vorgestellten Verfahren angewendet werden müssen, soll diese Betrachtung<br />
<strong>in</strong> dieser Arbeit nicht stattf<strong>in</strong>den.<br />
4 Für 87 Rb wurde experimentell a = 5,77nm gef<strong>und</strong>en.
6 Zusammenfassung <strong>und</strong> Ausblick<br />
In dieser Arbeit wurde versucht, e<strong>in</strong>en E<strong>in</strong>blick <strong>in</strong> das zur Zeit hochaktuelle Forschungsgebiet<br />
der <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-<strong>Kondensation</strong> <strong>in</strong> sehr dünnen Gasen aus Alkali-Atomen zu geben.<br />
Dazu wurden e<strong>in</strong>ige verbreitete theoretische Verfahren zur Beschreibung e<strong>in</strong>es Systems aus<br />
nicht wechselwirkenden Bosonen erklärt <strong>und</strong> darauf aufbauend e<strong>in</strong>e E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> die Besonderheiten<br />
realer <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensate gegeben. Für jedes dieser Kondensate muß<br />
überprüft werden, ob die <strong>in</strong>teratomaren Wechselwirkungen tatsächlich vernachlässigt werden<br />
können oder e<strong>in</strong>en entscheidenden E<strong>in</strong>fluß auf die thermodynamischen Eigenschaften<br />
ausüben.<br />
Im Anschluß erfolgte e<strong>in</strong>e Erklärung e<strong>in</strong>er neuen Formel zur rekursiven Berechnung der<br />
kanonischen Besetzungszahlen. Mit Hilfe dieser Formel können sämtliche thermodynamischen<br />
Größen idealer <strong>Bose</strong>-Gase <strong>in</strong>nerhalb des kanonischen Ensembles bestimmt werden.<br />
Am Beispiel von flüssigem Helium <strong>in</strong> verschiedenen harten Potentialen wurde die Gültigkeit<br />
der Rekursion verdeutlicht, <strong>und</strong> die Ergebnisse ermöglichen es, Rückschlüsse auf für<br />
Atomfallen besonders gut geeignete Formen zu ziehen.<br />
E<strong>in</strong>e ausführliche Darstellung der aktuellen experimentellen Situation dieses Themas hat<br />
es schwer, mit der Geschw<strong>in</strong>digkeit der Weiterentwicklungen <strong>und</strong> ständig steigenden Zahl<br />
der Veröffentlichungen Schritt zu halten. 1 Aus diesem Gr<strong>und</strong> beschränkte sich Kapitel 4<br />
hauptsächlich auf die ersten drei erfolgreichen Experimente zur Erzeugung e<strong>in</strong>es <strong>Bose</strong>-<br />
<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensats <strong>und</strong> die dazu notwendigen experimentellen Gr<strong>und</strong>lagen. Da sich bei<br />
den neuesten Erfolgen an den gr<strong>und</strong>sätzlichen Techniken nichts geändert hat, sondern nur<br />
Verbesserungen im Detail stattfanden, um die Anzahl der Teilchen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Kondensat <strong>und</strong><br />
se<strong>in</strong>e Lebensdauer zu erhöhen, können die hier vorgestellten Gr<strong>und</strong>lagen leicht übertragen<br />
werden.<br />
Da es sich bei der TOP-Falle um die bekannteste <strong>und</strong> am meisten studierte Atomfalle handelt,<br />
bietet sie sich für e<strong>in</strong>e Simulation an, denn aufgr<strong>und</strong> der genauen Daten ist es am<br />
besten möglich, die Ergebnisse mit dem Experiment zu vergleichen. Daher wurden ihre<br />
Eigenschaften genutzt, um die Gültigkeit <strong>und</strong> Anwendbarkeit der Rekursionsformel für e<strong>in</strong><br />
reales System aus wechselwirkenden 87 Rb-Atomen zu überprüfen.<br />
Das Ergebnis dieser Simulation ist, daß die Dichte im Zentrum der Falle zur Zeit der vollständigen<br />
<strong>Kondensation</strong> sehr gut ermittelt werden kann. Aufgr<strong>und</strong> <strong>in</strong>direkter Meßmethoden<br />
zur Bestimmung der Dichte e<strong>in</strong>er experimentell hergestellten Wolke, konnten diese<br />
Betrachtungen ebenfalls nur <strong>in</strong>direkt angestellt werden. Trotzdem ist e<strong>in</strong>e gute Übere<strong>in</strong>stimmung<br />
festzustellen gewesen.<br />
1 Die aktuellste Artikel-Sammlung f<strong>in</strong>det sich im World Wide Web unter<br />
http://amo.phy.gasou.edu/bec.html/bibliography.html.<br />
81
82 Kapitel 6. Zusammenfassung <strong>und</strong> Ausblick<br />
Die ermittelte kritische Temperatur lag unterhalb des experimentellen Wertes. Allerd<strong>in</strong>gs<br />
verw<strong>und</strong>ert dieses Ergebnis nicht, da e<strong>in</strong>e kanonische Beschreibung die Eigenschaften der<br />
Atome <strong>in</strong> der TOP-Falle zwar besser trifft als e<strong>in</strong>e großkanonische, bisher aber ke<strong>in</strong>e Theorie<br />
existiert, die den Übergangspunkt genau vorhersagt.<br />
Die Zeitentwicklung e<strong>in</strong>es freien <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong>-Kondensats mit Hilfe e<strong>in</strong>er Beschreibung<br />
als quantenmechanisch ause<strong>in</strong>anderfließendes Wellenpaket verdeutlichte die Wichtigkeit<br />
der vorhandenen Wechselwirkungen, denn die Näherung als ideales Gas ermöglichte die<br />
Separation der Gesamtwellenfunktion <strong>in</strong> E<strong>in</strong>-Teilchen-Wellenfunktionen. Diese Vere<strong>in</strong>fachung<br />
verursachte e<strong>in</strong> weitaus schnelleres Ause<strong>in</strong>anderdriften e<strong>in</strong>er kondensierten Atomwolke<br />
als es der Realität entspricht.<br />
Zusammengefaßt läßt sich aus den hier vorgestellten Ergebnissen der Schluß ziehen, daß<br />
die Rekursionsformel gut geeignet ist, um ideale Gase <strong>in</strong> unterschiedlichen Potentialen<br />
zu beschreiben, um hieraus beispielsweise Optimierungen zukünftiger <strong>Fallen</strong>typen zu entwickeln,<br />
da das gr<strong>und</strong>sätzliche Verhalten von Atomen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Falle gut beschrieben werden<br />
kann.<br />
Die nicht <strong>in</strong> die Betrachtungen mit e<strong>in</strong>bezogenen Wechselwirkungen verursachten jedoch<br />
e<strong>in</strong>e Verschiebung der explizit berechneten Größen, also beispielsweise der kritischen Temperatur<br />
T c , der spezifischen Wärme C V oder der ortsabhängigen Teilchendichte ρ(r).<br />
Zur genaueren Bestimmung dieser Werte sollte dementsprechend e<strong>in</strong> zusätzlicher Wechselwirkungsterm<br />
<strong>in</strong> die Rekursionsformel e<strong>in</strong>gefügt werden, der abhängig von der Temperatur,<br />
der Energie e<strong>in</strong>es Zustands <strong>und</strong> den Eigenschaften der betrachteten Atome ist. Es muß<br />
also e<strong>in</strong> Faktor e<strong>in</strong>geführt werden, der beschreibt, ob es sich um anziehende oder abstoßende<br />
Teilchen handelt. Weiterh<strong>in</strong> sollte der E<strong>in</strong>fluß dieser Korrekturfunktion davon abhängig<br />
se<strong>in</strong>, ob sich bereits Teilchen <strong>in</strong> dem jeweiligen Zustand bef<strong>in</strong>den.<br />
Für e<strong>in</strong>e weitere Verbesserung des Verfahrens wäre es vorteilhaft, daß die Rekursion die<br />
Besetzungszahlen für e<strong>in</strong>e feste Temperatur β liefert. Dadurch ist es möglich durch den<br />
Kühlprozeß verursachte Veränderungen der Teilchenzahl N mit experimentellen Daten anzupassen,<br />
also e<strong>in</strong>e Funktion N(β) anzusetzen.<br />
E<strong>in</strong>e mögliche neue Rekursionsformel würde also mit e<strong>in</strong>em Wechselwirkungsterm f <strong>und</strong><br />
der Kopplungskonstante g wie folgt aussehen:<br />
η i (N(β)+1,β)=<br />
Z N(β)(β)<br />
Z N(β)+1 (β) e−βɛ i<br />
(η i (N(β),β)+1)f (η i (N(β),β),ɛ i ,g) (6.1)<br />
Die Wechselwirkungsterme sollten auch <strong>in</strong> die Berechnung der Wellenfunktionen e<strong>in</strong>geb<strong>und</strong>en<br />
werden. Das heißt, daß nicht mehr die Schröd<strong>in</strong>ger-, sondern die <strong>in</strong> Abschnitt 2.4<br />
vorgestellte Gross-Pitaevskii-Gleichung (2.75) gelöst werden muß. Hierzu existieren bereits<br />
erfolgreich umgesetzte numerische Lösungsverfahren [35]. Da der nötige numerische<br />
Aufwand jedoch bereits relativ groß ist, könnte als erster Schritt auch überprüft werden,<br />
wie gut sich die tatsächlichen Eigenschaften e<strong>in</strong>es kondensierenden Gases mit e<strong>in</strong>er modifizierten<br />
Rekursionsformel nähern lassen.<br />
Die Simulation der Wolke nach dem Abschalten des <strong>Fallen</strong>potentials ist aufwendiger,<br />
da hier sicherlich die Viel-Teilchen-Wellenfunktion als Lösung der Gross-Pitaevskii-<br />
Gleichung verwendet werden muß. Allerd<strong>in</strong>gs ist die Berechnung der Zeitentwicklung
83<br />
nach dem Abschalten der Falle sehr wichtig für e<strong>in</strong>en direkten Vergleich mit den experimentellen<br />
Daten.<br />
Sollte es möglich se<strong>in</strong>, die angegebenen Vorschläge umzusetzen, wäre das Ergebnis e<strong>in</strong><br />
Verfahren, mit dem neue Experimente bereits vor dem Aufbau überprüft <strong>und</strong> somit optimiert<br />
werden könnten. Durch Variation der Form des als Gr<strong>und</strong>lage der Simulation dienenden<br />
angesetzten Potentials könnte dann e<strong>in</strong>e Falle entwickelt werden, die genau spezifizierte<br />
Eigenschaften besäße. Dadurch könnten Zeit <strong>und</strong> Kosten bei der bisher größtenteils<br />
empirisch durchgeführten Weiterentwicklung der Atomfallen e<strong>in</strong>gespart werden.
Anhang
A<br />
Lösung<br />
der Schröd<strong>in</strong>ger-Gleichung<br />
für verschiedene Potentiale<br />
Im folgenden wird die dreidimensionale Schröd<strong>in</strong>ger-Gleichung für verschiedene Potentiale<br />
<strong>in</strong> jeweils angepaßten Koord<strong>in</strong>aten gelöst. Die hier erhaltenen Energieeigenwerte wurden<br />
für die Berechnungen <strong>in</strong> Abschnitt 3.2 benutzt. Es werden jeweils die Wellenfunktion<br />
ψ <strong>und</strong> die Energieeigenwerte E für e<strong>in</strong> Teilchen mit der Masse m angegeben. Soll tiefer<br />
<strong>in</strong> die Details e<strong>in</strong>gestiegen werden, so sei auf die Standardliteratur der Quantenmechanik<br />
verwiesen (z.B. [19, 89, 111]).<br />
Während der Ansatzpunkt dieser Arbeit das Verhalten e<strong>in</strong>es Teilchengases <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Falle,<br />
beziehungsweise e<strong>in</strong>em dreidimensionalen Potential ist, wurden ähnliche Ansätze bereits<br />
<strong>in</strong> der Kernphysik gemacht, um beispielsweise die Form e<strong>in</strong>es Atomkerns als hartes Kugelpotential<br />
zu nähern [63].<br />
Im Anschluß an die analytische Berechnung der Eigenwerte s<strong>in</strong>d die niedrigsten fünf Energien,<br />
sowie deren Entartung, für flüssiges Helium mit der Masse m = 4u <strong>und</strong> der Dichte<br />
ρ = 0, 0216Å −3 angegeben.<br />
Das Volumen V e<strong>in</strong>es hier berechneten Körpers ist e<strong>in</strong>deutig durch die Dichte <strong>und</strong> die Teilchenzahl<br />
N bestimmt, so daß daraus <strong>in</strong> Abhängigkeit der Form der Potentiale Durchmesser,<br />
Höhen oder Kantenlängen bestimmt werden können.<br />
Für die Box <strong>und</strong> die Zyl<strong>in</strong>der werden die Rechnungen jeweils für verschiedene geometrische<br />
Verhältnisse durchgeführt. Bei der Box wird gr<strong>und</strong>sätzlich von e<strong>in</strong>er quadratischen<br />
Gr<strong>und</strong>fläche (L x = L y ) mit Kantenlänge a <strong>und</strong> Höhe L ausgegangen. Ähnliches gilt für<br />
den Zyl<strong>in</strong>der, dem statt e<strong>in</strong>er Kantenlänge e<strong>in</strong> Durchmesser d zugewiesen wird. Der Hohlzyl<strong>in</strong>der<br />
<strong>und</strong> die Hohlkugel erhalten den zusätzlichen Parameter λ, der das Verhältnis aus<br />
Außen- <strong>und</strong> Innenradius angibt.<br />
Die Berechnungen wurden für verschiedene Teilchenzahlen <strong>und</strong> Größenverhältnisse durchgeführt<br />
<strong>und</strong> da die Entartung unabhängig von der Teilchenzahl ist, wird sie nur e<strong>in</strong>mal pro<br />
Tabelle abgedruckt.<br />
Weiterh<strong>in</strong> entsprechen die Parameter für die <strong>in</strong> den Tabellen angegebenen Werte denen aus<br />
Kapitel 3.3.<br />
A.1 Harmonischer Oszillator<br />
Das Potential des dreidimensionalen harmonischen Oszillators ist wohl das <strong>in</strong> der Praxis am<br />
häufigsten vorkommende, da es ke<strong>in</strong>e harten, sondern elastische Randbed<strong>in</strong>gungen bietet.<br />
Die Lösung des Problems verläuft analog zum e<strong>in</strong>dimensionalen Oszillator <strong>und</strong> soll hier<br />
nur kurz skizziert werden.<br />
87
88 Anhang A. Dreidimensionale Potentiale<br />
Wir betrachten die Bewegung e<strong>in</strong>es Teilchens mit der Masse m <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Potential, das <strong>in</strong><br />
kartesischen Koord<strong>in</strong>aten die Form<br />
V (x, y, z) = 1 2 m ( ω 2 x x2 + ω 2 y y2 + ω 2 z z2)<br />
(A.1)<br />
hat. Der Hamilton-Operator setzt sich aus drei Teilen zusammen, die jeweils e<strong>in</strong>en e<strong>in</strong>dimensionalen<br />
Oszillator beschreiben:<br />
H = p2 x + p2 y + p2 z<br />
+ V (x, y, z) (A.2)<br />
2m<br />
Zur Lösung der Eigenwertgleichung<br />
Hψ(x, y, z) =Eψ(x, y, z)<br />
(A.3)<br />
wird e<strong>in</strong> Separationsansatz verwendet, so daß sich für die Wellenfunktion<br />
ψ(x, y, z) =X(x)Y (y)Z(z)<br />
(A.4)<br />
ergibt. Durch E<strong>in</strong>setzen <strong>in</strong> die Eigenwertgleichung <strong>und</strong> Division durch ψ(x, y, z) erhält<br />
man<br />
1<br />
X(x) H xX(x)+ 1<br />
Y (y) H yY (y)+ 1<br />
Z(z) H zZ(z) =E.<br />
(A.5)<br />
Diese Gleichung besteht aus drei Teilen, die jeweils nur von e<strong>in</strong>er Variablen abhängen.<br />
Daher kann sie nur erfüllt werden, wenn jeder Term für sich konstant ist. Es bleiben also<br />
drei unabhängige Teile der Eigenwertgleichung übrig,<br />
H x X(x) =ε x X(x)<br />
(A.6)<br />
H y Y (y) =ε y Y (y)<br />
(A.7)<br />
H z Z(z) =(E − ε x − ε y )Z(z),<br />
(A.8)<br />
deren Lösungen zu den gesuchten Eigenfunktionen führen.<br />
( mωx<br />
) 1/4 exp ( − mωx<br />
X nx (x) =<br />
x2) (√ )<br />
2~ mωx<br />
√ H<br />
~π 2<br />
n nx xnx !<br />
~ x (A.9)<br />
Bei H nx (γ) handelt es sich um die Hermite-Polynome, die folgendermaßen def<strong>in</strong>iert s<strong>in</strong>d:<br />
H nx (γ) =(−1) nx exp(γ 2 ) dnx<br />
dγ nx exp(−γ2 )<br />
(A.10)<br />
Die Eigenfunktionen <strong>und</strong> Hermite-Polynome für den y- <strong>und</strong> z-Anteil folgen analog. Damit<br />
erhält man für die Gesamtwellenfunktion<br />
ψ nxn yn z<br />
(x, y, z) =X nx (x)Y ny (y)Z nz (z)<br />
(A.11)<br />
<strong>und</strong> die Energieeigenwerte ergeben sich zu<br />
(<br />
E nxn yn z<br />
= ~<br />
(ω x n x + 1 ) (<br />
+ ω y n y + 1 ) (<br />
+ ω z n z + 1 ))<br />
. (A.12)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
Von nur e<strong>in</strong>er Quantenzahl N hängen dagegen die Eigenwerte des isotropen, dreidimensionalen<br />
Oszillators ab. Für diesen gilt ω = ω x = ω y = ω z <strong>und</strong> man erhält mit<br />
N = n x + n y + n z<br />
(<br />
E N = ~ω N + 3 )<br />
. (A.13)<br />
2<br />
Die Entartung der Energieeigenwerte ist σ N =(N +1)(N +2)/2.
A.2 Box 89<br />
A.2 Box<br />
Das Potential hat die Form e<strong>in</strong>er Box mit den Kantenlängen L x , L y , L z , verschw<strong>in</strong>det <strong>in</strong>nerhalb<br />
dieses Bereichs <strong>und</strong> ist außerhalb unendlich. Der Ursprung des Koord<strong>in</strong>atensystems<br />
bef<strong>in</strong>det sich <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Ecke des Kastens.<br />
Die zeitunabhängige Schröd<strong>in</strong>ger-Gleichung <strong>in</strong> kartesischen Koord<strong>in</strong>aten lautet<br />
( )<br />
− ~2 ∂<br />
2<br />
2m ∂x + ∂2<br />
2 ∂y + ∂2<br />
ψ(x, y, z) =Eψ(x, y, z). (A.14)<br />
2 ∂z 2<br />
Die Wellenfunktion muß an den Wänden <strong>und</strong> dah<strong>in</strong>ter verschw<strong>in</strong>den.<br />
ψ(x, y, z) =X(x)Y (y)Z(z)<br />
(A.15)<br />
Für den Anteil <strong>in</strong> x-Richtung f<strong>in</strong>det man für 0 ≤ x ≤ L x<br />
− ~ d 2 X(x)<br />
= E<br />
2m dx 2 x X(x). (A.16)<br />
Durch die Randbed<strong>in</strong>gungen ist X(x) Null für x ≤ 0,x≥ L x . Aus dem e<strong>in</strong>dimensionalen<br />
Problem ist bekannt, daß die erlaubten Werte der x-Komponente von E durch<br />
E nx = ~2<br />
2m<br />
π 2 n 2 x<br />
, n<br />
L 2 x =1, 2, 3,... (A.17)<br />
x<br />
gegeben s<strong>in</strong>d. Die normalisierte Eigenfunktion wird durch stehende Wellen dargestellt:<br />
( )<br />
2 nx π<br />
X nx (x) =√<br />
s<strong>in</strong> x<br />
(A.18)<br />
L x L x<br />
Für den Y (y)- <strong>und</strong> den Z(z) - Anteil s<strong>in</strong>d die Lösungen analog. Die Gesamtwellenfunktion<br />
ist also das Produkt der E<strong>in</strong>zellösungen <strong>und</strong> lautet mit V = L x L y L z<br />
√ ( ) ( ) ( )<br />
8<br />
ψ nxn yn z<br />
(x, y, z) =<br />
V s<strong>in</strong> nx π ny π nz π<br />
x s<strong>in</strong> y s<strong>in</strong> z . (A.19)<br />
L x L y L z<br />
Für die Energieeigenwerte müssen die e<strong>in</strong>zelnen Funktionen addiert werden, so daß<br />
gilt.<br />
E = E x + E y + E z<br />
(<br />
E nxn yn z<br />
= ~2 π 2 n<br />
2<br />
x<br />
+ n2 y<br />
2m L 2 x L 2 y<br />
)<br />
+ n2 z<br />
L 2 z<br />
a : L =1:4<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
1,121243 1,121243 0,241564 0,241564 0,052043 0,052043 1<br />
1,223174 0,101931 0,263525 0,021961 0,056774 0,004731 1<br />
1,393060 0,169886 0,300125 0,036600 0,064660 0,007885 1<br />
1,630899 0,237839 0,351366 0,051241 0,075699 0,011039 1<br />
1,936693 0,305794 0,417247 0,065881 0,089893 0,014194 1<br />
(A.20)
90 Anhang A. Dreidimensionale Potentiale<br />
a : L =4:1<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
1,541103 1,541103 0,332020 0,332020 0,071531 0,071531 1<br />
1,797954 0,256851 0,387357 0,055337 0,083453 0,011922 2<br />
2,054804 0,256850 0,442694 0,055337 0,095375 0,011922 1<br />
2,226038 0,171234 0,479585 0,036891 0,103323 0,007948 2<br />
2,482889 0,256851 0,534922 0,055337 0,115245 0,011922 2<br />
A.2.1<br />
Spezialfall Würfel<br />
Für den Spezialfall e<strong>in</strong>es Kastens mit gleichen Kantenlängen lauten die Energieeigenwerte<br />
π 2<br />
E n = ~2<br />
2m L 2 n2 , n 2 = n 2 x + n2 y + n2 z . (A.21)<br />
Im Gr<strong>und</strong>zustand gelten n x = n y = n z =1<strong>und</strong> n 2 =3.Darausergibtsichfürdenersten<br />
Eigenwert<br />
E 0 = 3~2 π 2<br />
2m L . 2<br />
(A.22)<br />
Für den ersten angeregten Zustand gilt bereits E =2E 0 .Esistn 2 =6<strong>und</strong> der Zustand<br />
ist bereits dreifach entartet. Es ist möglich, über drei verschiedene Komb<strong>in</strong>ationen der<br />
n x ,n y ,n z zu diesem Wert zu gelangen.<br />
a : L =1:1<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
0,647222 0,647222 0,139439 0,139440 0,030041 0,030041 1<br />
1,294445 0,647223 0,278879 0,139440 0,060082 0,030041 3<br />
1,941668 0,647223 0,418319 0,139440 0,090124 0,030042 3<br />
2,373150 0,431482 0,511279 0,092960 0,110151 0,020027 3<br />
2,588891 0,215741 0,557759 0,046480 0,120165 0,010014 1<br />
A.3 Harte Kugel<br />
Das Potential soll <strong>in</strong>nerhalb e<strong>in</strong>er Kugel mit Radius a verschw<strong>in</strong>den <strong>und</strong> außerhalb unendlich<br />
groß se<strong>in</strong>. Für die Lösung des Problems ist es vorteilhaft, die Schröd<strong>in</strong>ger-Gleichung
A.3 Harte Kugel 91<br />
<strong>in</strong> Kugelkoord<strong>in</strong>aten zu lösen.<br />
Hψ(r, ϑ, ϕ) =<br />
(− ~2<br />
2m ∆+V (r) )<br />
ψ(r, ϑ, ϕ) =Eψ(r, ϑ, ϕ)<br />
(A.23)<br />
∆ψ(r, ϑ, ϕ) = 1 r ∂ r(r 2 ∂ 2 r ψ(r, ϑ, ϕ))<br />
+ 1<br />
r 2 s<strong>in</strong> ϑ ∂ 1<br />
ϑ(s<strong>in</strong> ϑ∂ ϑ ψ(r, ϑ, ϕ)) +<br />
r 2 s<strong>in</strong> 2 ϑ ∂ ϑϑψ(r, ϑ, ϕ) (A.24)<br />
Die Separation der Differentialgleichung führt zu e<strong>in</strong>em Radial- <strong>und</strong> e<strong>in</strong>em W<strong>in</strong>kelanteil.<br />
ψ(r, ϑ, ϕ) =R(r)Θ(ϑ)Φ(ϕ) =R(r)Y m<br />
l (ϑ, ϕ) (A.25)<br />
Daher ergibt sich mit ε =2mE/~ 2 <strong>und</strong> u(r) =rR für den Radialanteil<br />
(<br />
− ε − 1 ( ( )))<br />
1 1<br />
r 2 s<strong>in</strong> ϑ Θ(ϑ) ∂ 1<br />
ϑ(s<strong>in</strong> ϑ∂ ϑ Θ(ϑ)) +<br />
Φ(ϕ)s<strong>in</strong>ϑ ∂ ϑϑΦ(ϕ) u(r) =∂ rr u(r)<br />
(A.26)<br />
Mit l(l +1)für den von r unabhängigen Teil ergibt sich<br />
( )<br />
l(l +1)<br />
− ε − u(r) =∂<br />
r 2 rr u(r).<br />
(A.27)<br />
Die Lösung des Radialanteils lautet dann nach [50]<br />
√<br />
u(r) =c 1 rJl+ 1 (r √ √<br />
ε)+c 2 rNl+ 1 (r √ ε), (A.28)<br />
2<br />
2<br />
wobei J l+<br />
1 <strong>und</strong> N<br />
2 l+<br />
1 die halbzahligen Besselfunktionen der ersten <strong>und</strong> zweiten Art s<strong>in</strong>d.<br />
2<br />
E<strong>in</strong>setzen der Nebenbed<strong>in</strong>gung u(0) = 0 erzw<strong>in</strong>gt, daß c 2 verschw<strong>in</strong>den muß, da N l+<br />
1 (0)<br />
2<br />
gegen unendlich strebt, <strong>und</strong> wir erhalten<br />
Die Normierung für den Radialanteil lautet<br />
√<br />
u(r) =c 1 rJl+ 1 (r √ ε). (A.29)<br />
2<br />
∫ a<br />
0<br />
dr r 2 |R| 2 =1<br />
(A.30)<br />
<strong>und</strong> wird mit der obigen Def<strong>in</strong>ition von u(r) zu<br />
∫ a<br />
0<br />
dr |u(r)| 2 =1.<br />
(A.31)<br />
Auflösen nach c 1 ,<br />
∫ a<br />
dr rJ 2 (r √ ε)= 1 (A.32)<br />
l+ 1 2<br />
0<br />
c 2 1<br />
√<br />
2<br />
c 1 =<br />
(a √ ε) , (A.33)<br />
aJ l+<br />
3<br />
2
92 Anhang A. Dreidimensionale Potentiale<br />
liefert die Lösung für den Radialanteil:<br />
√<br />
2r<br />
u(r) =<br />
aJ l+<br />
3 (a √ ε) J l+ 1 (r √ ε) (A.34)<br />
2<br />
2<br />
Damit die Randbed<strong>in</strong>gung u(a) =0erfüllt ist, muß also der Faktor a √ ε den Nullstellen der<br />
Besselfunktionen Z (l+<br />
1<br />
)n entsprechen. Die Energieeigenwerte berechnen sich daher nach<br />
2<br />
Z (l+<br />
1<br />
2 )n = a√ ε<br />
(<br />
Z(l+ 1<br />
2<br />
ε =<br />
)n<br />
a<br />
E nl = ~2<br />
2ma 2 Z2 (l+ 1 )n.<br />
(A.35)<br />
2<br />
Die Entartung ist σ nl =2n +1. Der W<strong>in</strong>kelanteil (nach [111]) ergibt sich zu<br />
( 1<br />
−<br />
s<strong>in</strong>ϑ ∂ ϑ(s<strong>in</strong> ϑ∂ ϑ )+ 1 )<br />
s<strong>in</strong> 2 ϑ ∂ ϕϕ Yl<br />
m = l(l +1)Yl m , (A.36)<br />
mit l =0, 1,..., m = −l,... ,l<strong>und</strong> −i∂ ϕ Y m<br />
l<br />
) 2<br />
= mYl<br />
m . Man erhält damit<br />
√<br />
Yl<br />
m (ϑ, ϕ) =(−1) n 2l +1(l − m)!<br />
4 (l + m)! P l m (cos ϑ)e imϕ , (A.37)<br />
wobei es sich bei Pl<br />
m um die Legendre-Polynome handelt. Die Wellenfunktion wird durch<br />
E<strong>in</strong>setzen der e<strong>in</strong>zelnen Anteile<br />
√<br />
ψ nlm (r, ϑ, ϕ) =r<br />
2r<br />
aJ l+<br />
3 (a √ ε) J l+ 1 2<br />
2<br />
(r √ ε)(−1) n √<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
2l +1(l − m)!<br />
4 (l + m)! P l m (cos ϑ)e imϕ .<br />
(A.38)<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
0,560606 0,560606 0,120779 0,120779 0,026021 0,026021 1<br />
1,146860 0,586253 0,247083 0,126305 0,053232 0,027211 3<br />
1,886796 0,739936 0,406498 0,159415 0,087577 0,034345 5<br />
2,242427 0,355631 0,483116 0,076618 0,104084 0,016507 1<br />
2,773677 0,531250 0,597570 0,114454 0,128742 0,024658 7<br />
A.4 Harte Hohlkugel<br />
Das Potential e<strong>in</strong>er Hohlkugel soll nur für Radien zwischen a 1 <strong>und</strong> a 2 , mit a 1
A.4 Harte Hohlkugel 93<br />
u(a 1 )=0<strong>und</strong> u(a 2 )=0gelten. Der W<strong>in</strong>kelanteil lautet wie im vorherigen Abschnitt <strong>und</strong><br />
die Lösung des Radialanteils ist gegeben durch (A.28). Durch die veränderte erste Randbed<strong>in</strong>gung<br />
muß der zweite Teil dieser Gleichung bei der Hohlkugel nicht verschw<strong>in</strong>den,<br />
sodaß sich durch E<strong>in</strong>setzen von u(a 1 )=0<br />
ergibt. Für u(r) folgt damit<br />
u(r) =c 1<br />
√ r<br />
(J l+<br />
1<br />
2<br />
√<br />
J l+<br />
1 (a 1 ε)<br />
2<br />
c 2 = −c 1<br />
N l+<br />
1<br />
2<br />
(r √ ε) − J √<br />
l+ 1 (a 1 ε)<br />
2<br />
(a 1<br />
√ ε)<br />
(A.39)<br />
N l+<br />
1<br />
2<br />
(a 1<br />
√ ε)<br />
N l+<br />
1<br />
2<br />
)<br />
(r √ ε) . (A.40)<br />
Die zweite Randbed<strong>in</strong>gung u(a 2 )=0führt zu e<strong>in</strong>er transzendenten Gleichung, die sich<br />
numerisch lösen läßt:<br />
J l+<br />
1<br />
2<br />
(a 2<br />
√ ε)Nl+ 1<br />
2<br />
(a 1<br />
√ ε) − Jl+ 1<br />
2<br />
E<strong>in</strong>e Vere<strong>in</strong>fachung stellt die Substitution λ = a 1 /a 2 dar, wenn<br />
√ √<br />
(a 1 ε)Nl+ 1 (a 2 ε)=0 (A.41)<br />
2<br />
X (l+<br />
1<br />
2 )n = a √<br />
2 ε<br />
die Lösungen der transzendenten Gleichung s<strong>in</strong>d, die damit wie folgt aussieht:<br />
(A.42)<br />
J l+<br />
1 (X<br />
2 (l+<br />
1<br />
)n)N l+ 1 (λX<br />
2 2 (l+<br />
1<br />
)n) − J l+ 1 (λX<br />
2 2 (l+<br />
1<br />
)n)N l+ 1 (X<br />
2 2 (l+<br />
1<br />
)n) =0 (A.43)<br />
2<br />
Die Energieeigenwerte ergeben sich analog zu (A.35) zu<br />
E nl = ~2<br />
X 2<br />
2ma 2 (l+ 1 )n. 2<br />
2<br />
(A.44)<br />
Für die Wellenfunktion ist es nötig, c 1 zu f<strong>in</strong>den, <strong>in</strong>dem u(r) normiert wird. Dazu ist die<br />
Gleichung<br />
c 2 2<br />
∫ a 2<br />
a 1<br />
dr r<br />
⎛<br />
⎝J l+<br />
1<br />
2<br />
(<br />
r X )<br />
(l+ 1 2 )n<br />
−<br />
a 2<br />
J l+<br />
1<br />
2<br />
N l+<br />
1<br />
2<br />
(<br />
)<br />
λX (l+<br />
1<br />
2 )n<br />
( )N l+<br />
1<br />
2<br />
λX (l+<br />
1<br />
2 )n<br />
(<br />
r X (l+ 1 2 )n<br />
a 2<br />
zu lösen. Dieses wird erschwert, da sie von der Variablen λ abhängt.<br />
) ⎞ ⎠<br />
2<br />
=1 (A.45)<br />
λ = 0,75<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
8,969709 8,969709 1.932465 1,932465 0,416337 0,416337 1<br />
9,119279 0,149570 1.964689 0,032224 0,423279 0,006942 3<br />
9,418366 0,299087 2.029125 0,064436 0,437161 0,013882 5<br />
9,866863 0,448497 2.125751 0,096626 0,457979 0,020818 7<br />
10,464609 0,597746 2.254531 0,128780 0,485724 0,027745 9
94 Anhang A. Dreidimensionale Potentiale<br />
λ = 0,9<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
56,060683 56,060683 12,077908 12,077908 2.602106 2,602106 1<br />
56,186696 0,126013 12,105056 0,027148 2.607955 0,005849 3<br />
56,438719 0,252023 12,159353 0,054296 2.619653 0,011698 5<br />
56,816753 0,378034 12,240798 0,081445 2.637200 0,017547 7<br />
57,320794 0,504041 12,349391 0.010859 2.660595 0,023395 9<br />
A.5 Zyl<strong>in</strong>der<br />
E<strong>in</strong> Zyl<strong>in</strong>der mit der Länge L <strong>und</strong> dem Radius a soll <strong>in</strong> diesem Abschnitt betrachtet werden.<br />
Das Potential V (r, ϕ, z) soll Null se<strong>in</strong> für r
A.5 Zyl<strong>in</strong>der 95<br />
Damit das Potential e<strong>in</strong>deutig wird (nach [72]), muß l =0, 1, 2,... ganzzahlig se<strong>in</strong>.<br />
Der Radialanteil sieht folgendermaßen aus:<br />
1<br />
r ∂ rr∂ r u(r)+u(r)<br />
Nach [50] wird diese Differentialgleichung gelöst durch<br />
(c 1 − l2<br />
r 2 )<br />
=0 (A.57)<br />
u(r) =C 1 J l ( √ c 1 r)+C 2 N l ( √ c 1 r).<br />
(A.58)<br />
Bei J l <strong>und</strong> N l handelt es sich wie bei der Kugel um die Besselfunktionen erster Art <strong>und</strong> die<br />
von-Neumann Funktionen. Da die von-Neumann Funktionen an der Stelle Null divergieren,<br />
muß C 2 =0se<strong>in</strong>, wenn u(r) endlich se<strong>in</strong> soll. Weiterh<strong>in</strong> muß u(a) =0als Randbed<strong>in</strong>gung<br />
gelten. Also ist<br />
J l ( √ c 1 a)=0<br />
(A.59)<br />
<strong>und</strong> die n Nullstellen der Besselfunktionen s<strong>in</strong>d gegeben durch<br />
Die Konstante C 1 wird durch die Normierung bestimmt:<br />
Z ln = √ c 1 a n =1, 2, 3,... . (A.60)<br />
C 1 =<br />
C 2 1<br />
∫ a<br />
0<br />
dr rJ 2 l ( √ c 1 r)=1<br />
√<br />
2<br />
aJ l+1 (a √ c 1 ) = √<br />
2<br />
aJ l+1 (Z ln )<br />
(A.61)<br />
(A.62)<br />
Damit ergibt sich die Lösung für u(r) zu<br />
Wir wissen, daß<br />
u(r) =<br />
√<br />
2<br />
(<br />
aJ l+1 (Z ln ) J l<br />
Z ln<br />
r<br />
a<br />
)<br />
. (A.63)<br />
kπ<br />
L = √<br />
2mE<br />
~ 2 − c 1 (A.64)<br />
ist <strong>und</strong> erhalten durch Auflösen nach der Energie <strong>und</strong> E<strong>in</strong>setzen der Beziehung (A.60) die<br />
gesuchten Eigenwerte<br />
( ( ) )<br />
E nlk = ~2 Zln<br />
2 2 kπ<br />
2m a + , (A.65)<br />
2 L<br />
mit n =1, 2, 3, ..., l =1, 2, 3, ..., k = ..., −1, 0, 1, .... Die Wellenfunktion ψ(r, ϑ, z) setzt<br />
sich aus den e<strong>in</strong>zelnen berechneten Anteilen zusammen zu<br />
2<br />
(<br />
ψ nlk (r, ϑ, z) =<br />
a √ LJ l+1 (Z ln ) J r<br />
)<br />
l Z ln e ±ilϕ s<strong>in</strong> kπ a<br />
L z. (A.66)
96 Anhang A. Dreidimensionale Potentiale<br />
d : L =1:1<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
0,614097 0,614097 0,132303 0,132303 0,028503 0,028503 1<br />
1,165050 0,550953 0,251002 0,118699 0,054076 0,025573 1<br />
1,276441 0,111391 0,275001 0,023999 0,059247 0,005171 2<br />
1,827393 0,550952 0,393700 0,118699 0,084820 0,025573 2<br />
2,083303 0,255909 0,448834 0,055134 0,096698 0,011878 1<br />
d : L =1:4<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
1,113582 1,113582 0,239914 0,239914 0,051687 0,051687 1<br />
1,200351 0,086769 0,258607 0,018693 0,055715 0,004028 1<br />
1,344967 0,144616 0,289764 0,031157 0,062427 0,006712 1<br />
1,547429 0,202462 0,333383 0,043619 0,071825 0,009398 1<br />
1,807738 0,260309 0,389465 0,056082 0,083907 0,012082 1<br />
d : L =4:1<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
1,336932 1,336932 0,288033 0,288033 0,062054 0,062054 1<br />
1,599783 0,262851 0,344662 0,056629 0,074255 0,012201 2<br />
1,945159 0,345376 0,419071 0,074409 0,090286 0,016030 2<br />
2,066166 0,121007 0,445141 0,026070 0,095902 0,005616 1<br />
2,368492 0,302326 0,510276 0,065135 0,109935 0,014033 2<br />
A.6 Zyl<strong>in</strong>der mit periodischen Randbed<strong>in</strong>gungen<br />
Bei diesem Zyl<strong>in</strong>der strebt das Potential für zLnicht gegen unendlich, sondern<br />
geht <strong>in</strong>e<strong>in</strong>ander über, das heißt die z-Komponente der Wellenfunktion ist bei w(z) =0<br />
identisch mit w(z) =L. Die Lösung der Schröd<strong>in</strong>ger-Gleichung erfolgt analog zu Abschnitt<br />
A.5 <strong>und</strong> ändert sich nur für den z-Anteil. Gesucht ist also e<strong>in</strong>e Lösung für (A.48)<br />
mit den neuen Randbed<strong>in</strong>gungen. Da nur noch e<strong>in</strong>e Randbed<strong>in</strong>gung zur Verfügung steht,<br />
lautet e<strong>in</strong>e mögliche Lösung<br />
w(z) =Ae ±√ ε−c 1 z .<br />
(A.67)
A.6 Zyl<strong>in</strong>der mit periodischen Randbed<strong>in</strong>gungen 97<br />
E<strong>in</strong>setzen von z =0<strong>und</strong> z = L ergibt<br />
w(0) = A<br />
w(L) =Ae ±√ ε−c 1 L<br />
(A.68)<br />
(A.69)<br />
Die Ergebnisse für w(0) <strong>und</strong> w(L) können nur gleich se<strong>in</strong>, wenn die Exponentialfunktion<br />
<strong>in</strong> Gleichung (A.69) e<strong>in</strong>s wird. Dies ist der Fall, wenn der Exponent e<strong>in</strong> ganzzahliges<br />
Vielfaches von 2πi ist. Das bedeutet, daß die Wurzel mit k =0, 1, 2,... durch 2πk/L<br />
ausgedrückt werden kann. Man erhält also<br />
<strong>und</strong> aus der Normierungsbed<strong>in</strong>gung folgt<br />
2πk<br />
±i<br />
w(z) =Ae L z (A.70)<br />
w(z) = √ 1 2πk<br />
±i<br />
e L z (A.71)<br />
L<br />
Analog zu den Rechnungen zum e<strong>in</strong>fachen Zyl<strong>in</strong>der wissen wir, daß<br />
2πk<br />
L<br />
= √<br />
2mE<br />
~ 2 − c 1 (A.72)<br />
ist. Durch Auflösen nach der Energie <strong>und</strong> e<strong>in</strong>setzen der Beziehung (A.60) ergeben sich die<br />
Energieeigenwerte des Zyl<strong>in</strong>ders mit periodischen Randbed<strong>in</strong>gungen zu<br />
<strong>und</strong> man erhält für die Wellenfunktion<br />
ψ nlk (r, ϑ, z) =<br />
( ( ) )<br />
E nlk = ~2 Zln<br />
2 2 2πk<br />
2m a + 2 L<br />
1<br />
(<br />
a √ LJ l+1 (Z ln ) J r<br />
)<br />
l Z ln<br />
a<br />
(A.73)<br />
e ±ilϕ e ± i2πk<br />
L z . (A.74)<br />
d : L =1:1<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
0,797748 0,797748 0,171869 0,171869 0,037028 0,037028 1<br />
1,460092 0,662344 0,314567 0,142698 0,067771 0,030743 2<br />
1,899652 0,439560 0,409267 0,094700 0,088174 0,020403 1<br />
2,330385 0,430733 0,502066 0,092799 0,108166 0,019992 2<br />
2,561996 0,231611 0,551965 0,049899 0,118917 0,010751 2
98 Anhang A. Dreidimensionale Potentiale<br />
d : L =1:4<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
1,142505 1,142505 0,246145 0,246145 0,053030 0,053030 1<br />
1,316044 0,173539 0,283533 0,037388 0,061085 0,008055 1<br />
1,605276 0,289232 0,345846 0,062313 0,074510 0,013425 1<br />
2,010200 0,404924 0,433084 0,087238 0,093305 0,018795 1<br />
2,530817 0,520617 0,545248 0,112163 0,117470 0,024165 1<br />
d : L =4:1<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
2,503041 2,503041 0,539263 0,539263 0,116180 0,116180 1<br />
2,765892 0,262851 0,595893 0,056630 0,128381 0,012201 2<br />
3,111268 0,345376 0,670302 0,074409 0,144412 0,016031 2<br />
3,232275 0,121007 0,696372 0,026070 0,150028 0,005616 1<br />
3,534601 0,302326 0,761506 0,065134 0,164061 0,014033 2<br />
A.7 Hohlzyl<strong>in</strong>der<br />
Der Hohlzyl<strong>in</strong>der stellt e<strong>in</strong> Potential dar, das sich von dem des e<strong>in</strong>fachen Zyl<strong>in</strong>ders nur<br />
dadurch unterscheidet, daß es nur für Radien, die nicht kle<strong>in</strong>er als der <strong>in</strong>nere Radius a 1<br />
oder größer als der äußere Radius a 2 s<strong>in</strong>d, nicht unendlich ist. Die z− <strong>und</strong> ϕ−Anteile<br />
der Wellenfunktion können aus dem vorherigen Abschnitt übernommen werden, sodaß nur<br />
noch der Radialanteil betrachtet werden muß, dessen Lösung <strong>in</strong> (A.58) gegeben ist. Wie<br />
bei der Hohlkugel darf auch hier der zweite Teil der Gleichung nicht verschw<strong>in</strong>den, sodaß<br />
sich<br />
u(r) =C 1 J l (r √ c 1 )+C 2 N l (r √ c 1 )<br />
(A.75)<br />
ergibt. E<strong>in</strong>setzen der Randbed<strong>in</strong>gung u(a 1 )=0liefert<br />
C 2 = −C 1<br />
J l (a 1<br />
√<br />
c1 )<br />
N l (a 1<br />
√<br />
c1 )<br />
(A.76)<br />
<strong>und</strong> es gilt für den Radialanteil<br />
(<br />
u(r) =C 1 J l (r √ c 1 ) − J √ )<br />
l(a 1 c1 )<br />
√<br />
N l (a 1 c1 ) N √<br />
l(a 2 c1 ) . (A.77)<br />
Mit der zweiten Randbed<strong>in</strong>gung u(a 2 )=0folgt die transzendente Gleichung<br />
J l (a 2<br />
√<br />
c1 )N l (a 1<br />
√<br />
c1 ) − J l (a 1<br />
√<br />
c1 )N l (a 2<br />
√<br />
c1 )=0.<br />
(A.78)
A.7 Hohlzyl<strong>in</strong>der 99<br />
Es sei X ln = a 2<br />
√<br />
c1 <strong>und</strong> λ = a 1 /a 2 , sodaß die zu lösende Gleichung<br />
J l (X ln )N l (λX ln ) − J l (λX ln )N l (X ln )=0<br />
(A.79)<br />
wird. Die Energieeigenwerte ergeben sich dann analog zu (A.65) zu<br />
E nlk = ~2<br />
2m<br />
( ( ) )<br />
Xln<br />
2 2 kπ<br />
+ . (A.80)<br />
a 2 2 L<br />
Die Normierung des Radialanteils der Wellenfunktion gestaltet sich ähnlich aufwendig wie<br />
für die Hohlkugel<br />
C 2 2<br />
∫ a 2<br />
a 1<br />
dr<br />
( ( )<br />
Xln<br />
J l r − J ( )) 2<br />
l(λX ln )<br />
a 2 N l (λX ln ) N Xln<br />
l r =1 (A.81)<br />
a 2<br />
<strong>und</strong> ist ebenfalls nur numerisch mit vorheriger Festlegung des Verhältnisses λ = a 1 /a 2<br />
lösbar.<br />
d : L =1:1,λ=0,75<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
11,912794 11,912794 2,566533 2,566533 0,552942 0,552942 1<br />
12,010794 0,098000 2,587647 0,021114 0,557491 0,004549 2<br />
12,304761 0,293967 2,650980 0,063333 0,571136 0,013645 2<br />
12,463746 0,158985 2,685232 0,034252 0,578515 0,007379 1<br />
12,561747 0,098001 2,706346 0,021114 0,583064 0,004549 2<br />
d : L =1:4,λ=0,75<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
29,584513 29,584513 6,373790 6,373790 1,373191 1,373191 1<br />
29,671282 0,086769 6,392484 0,018693 1,377218 0,004027 1<br />
29,815898 0,144615 6,423640 0,031156 1,383931 0,006713 3<br />
29,918228 0,102330 6,445686 0,022046 1,388681 0,004750 2<br />
30,018360 0,100132 6,467259 0,021572 1,393328 0,004647 1<br />
d : L =4:1,λ = 0,75<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
5,820822 5,820822 1,254058 1,254058 0,270178 0,270178 1<br />
5,859714 0,038892 1,262437 0,008379 0,271983 0,001805 2<br />
5,976375 0,116661 1,287571 0,025134 0,277398 0,005415 2<br />
6,170763 0,194388 1,329450 0,041879 0,286421 0,009023 2<br />
6,442809 0,272046 1,388061 0,058611 0,299048 0,012627 2
100 Anhang A. Dreidimensionale Potentiale<br />
d : L =1:1,λ = 0,9<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
73,623287 73,623287 15,861656 15,861656 3,417290 3,417290 1<br />
73.705849 0,082562 15,879443 0,017787 3,421122 0,003832 2<br />
73.953533 0,247684 15,932805 0,053362 3,432618 0,011496 2<br />
74.174239 0,220706 15,980355 0,047550 3,442863 0,010245 1<br />
74.256801 0,082562 15,998142 0,017787 3,446695 0,003832 2<br />
d : L =1:4,λ = 0,9<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
185,085211 185,085211 39,875400 39,875400 8,590894 8.590894 2<br />
185,293253 0,208042 39,920221 0,044821 8,600550 0,009656 5<br />
185,519059 0,225806 39,968869 0,048648 8,611031 0,010481 3<br />
185,727101 0,208042 40,013691 0,044822 8,620688 0,009657 3<br />
185,917378 0,190277 40,054684 0,040993 8,629520 0,008832 7<br />
d : L =4:1,λ = 0,9<br />
N=100 N=1000 N=10000<br />
E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n<br />
30,310648 30,310648 6,530231 6,530231 1,406895 1,406895 1<br />
30,343412 0,032764 6,537290 0,007059 1,408416 0,001521 2<br />
30,441706 0,098294 6,558466 0,021176 1,412978 0,004562 2<br />
30,605528 0,163822 6,593761 0,035295 1,420582 0,007604 2<br />
30,834877 0,229349 6,643172 0,049411 1,431228 0,010646 2
B<br />
Beschreibung<br />
der verwendeten<br />
Programme<br />
Es wurden verschiedene Fortran-Programme <strong>und</strong> Shell-Skripte erstellt, um die <strong>in</strong> dieser<br />
Arbeit dargestellten Rechnungen durchzuführen. Die Quelltexte bef<strong>in</strong>den sich auf der beiliegenden<br />
CD-Rom.<br />
Die Erklärungen <strong>in</strong> diesem Kapitel s<strong>in</strong>d unterteilt <strong>in</strong> Beschreibungen der Programme für<br />
die eigentliche Rechenarbeit <strong>und</strong> Hilfsskripte, die dazu dienen, sowohl den Rechenprozeß,<br />
als auch die anschließende Visualisierung der Daten zu automatisieren.<br />
B.1 Hauptprogramme<br />
B.1.1<br />
recur98occup.f<br />
Dieses Fortran-Programm baut auf e<strong>in</strong>er Version des von Peter Borrmann entwickelten<br />
recur98.f auf, welches für die Berechnungen <strong>in</strong> Abschnitt 3.2 <strong>und</strong> [15] benutzt wurde.<br />
Aus e<strong>in</strong>em E<strong>in</strong>gabefile werden die Energieeigenwerte <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em bestimmten Potential e<strong>in</strong>gelesen<br />
<strong>und</strong> dann mit Hilfe von dem <strong>in</strong> Abschnitt 3.2 vorgestellten Verfahren der Erwartungswert<br />
der Energie, die Besetzungszahl bei e<strong>in</strong>er festen Temperatur sowie die Gr<strong>und</strong>zustandsfluktuationen<br />
berechnet. Diese Rechnungen können für e<strong>in</strong>en anzugebenden Temperaturbereich<br />
durchgeführt werden. Die Eigenwerte für <strong>in</strong> Anhang A gerechnete dreidimensionale<br />
Potentiale können mit den entsprechenden Programmen aus dem nächsten<br />
Abschnitt ermittelt werden.<br />
Im Gegensatz zur ursprünglichen Version unterstützt dieses Programm anisotrope Potentiale.<br />
Daher reicht es nicht aus, daß nur die Energieeigenwerte <strong>und</strong> ihre Entartungen <strong>in</strong><br />
e<strong>in</strong>er Datei, wie sie beispielsweise von den im folgenden Abschnitt beschriebenen Programm<br />
ho_levels_3d.b<strong>in</strong>.f erstellt werden kann, vorliegen. Es ist zusätzlich e<strong>in</strong>e sogenannte<br />
Index-Datei nötig, die die Nummer des Energiebereichs <strong>und</strong> die dazugehörigen tatsächlichen<br />
Quantenzahlen enthält. Mit diesen Daten werden die durch die Rekursion erhaltenen<br />
Besetzungszahlen η i (N,β) ihren Entartungen entsprechend auf die ursprünglichen Quantenzahlen<br />
verteilt <strong>und</strong> <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Datei geschrieben. Anschließend können die so ermittelten<br />
η nxn yn z<br />
(N,β) mit den Programmen howave.f <strong>und</strong> howavet.f weiterverarbeitet werden.<br />
B.1.2<br />
Potentiale <strong>und</strong> Energieeigenwerte<br />
Für das im vorigen Abschnitt beschriebene recur98occup.f,bzw.recur98.f liefern folgende<br />
Programme die nötigen Energieeigenwerte:<br />
101
102 Anhang B. Beschreibung der verwendeten Programme<br />
box_levels.f erstellt e<strong>in</strong>e Datei mit den Eigenwerten im Kastenpotential.<br />
kugel_levels.f ist für das Kugelpotential geschrieben worden. Die Nullstellen der benötigten<br />
halbzahligen Besselfunktionen wurden vorher mit Mathematica berechnet <strong>und</strong><br />
<strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Datei bessel_half gespeichert.<br />
hohlkugel_levels.f berechnet die Eigenwerte im Potential der Hohlkugel.<br />
zyl<strong>in</strong>der_levels.f benötigt die Nullstellen der ganzzahligen Besselfunktionen, die sich <strong>in</strong><br />
der Datei bessel_full bef<strong>in</strong>den.<br />
zyl<strong>in</strong>der_levels_period.f berechnet die Energieeigenwerte, wenn der Zyl<strong>in</strong>der periodische<br />
Randbed<strong>in</strong>gungen besitzt.<br />
hohlzyl<strong>in</strong>der_levels.f ermittelt die Werte für den Hohlzyl<strong>in</strong>der.<br />
ho_levels_3d.b<strong>in</strong>.f ist entscheidend für die Simulation der TOP-Falle, da es hier möglich<br />
ist e<strong>in</strong> anisotropes harmonisches Oszillatorpotential anzugeben.<br />
Die Sortierung der Ergebnisse erfolgt mit sort_zeros.f, <strong>in</strong> dem die Funktion dsortx der<br />
ESSL Bibliothek von IBM entstammt. Siehe dazu [71].<br />
B.1.3<br />
howave.f <strong>und</strong> howavet.f<br />
Sowohl die Wellenfunktion des harmonischen Oszillators, als auch die Teilchendichte <strong>in</strong><br />
der TOP-Falle berechnet das Programm howave.f. Erzeugt wird e<strong>in</strong>e Ausgabedatei, die<br />
die Dichte <strong>und</strong> die zugehörigen Raumkoord<strong>in</strong>aten enthält. Es unterscheidet sich von howavet.f<br />
nur dadurch, daß dieses zusätzlich e<strong>in</strong>e Zeitentwicklung wie sie <strong>in</strong> Abschnitt 5.4<br />
benötigt wird, erlaubt. Die hierzu notwendige Fouriertransformation entstammt der ESSL-<br />
Bibliothek von IBM [71].<br />
B.2 Hilfsskripte <strong>und</strong> -programme<br />
B.2.1<br />
Sortierprogramme<br />
Die Ausgabe von howave.f <strong>und</strong> howavet.f wurde mit der Visualisierungssoftware Gsharp<br />
<strong>in</strong> anschauliche Bilder umgewandelt. Da dieses Softwarepaket e<strong>in</strong> ganz bestimmtes Format<br />
der Datenfiles voraussetzt, existieren e<strong>in</strong>ige Shellskripte <strong>und</strong> Fortran-Programme, um<br />
die Daten zu sortieren <strong>und</strong> zu konvertieren. denssort.f liest e<strong>in</strong>e Datei mit Daten für e<strong>in</strong>en<br />
Raumquadranten <strong>und</strong> kopiert die entsprechenden E<strong>in</strong>träge <strong>in</strong> die anderen Quadranten. Dieses<br />
ist möglich, da die betrachteten Potentiale symmetrisch s<strong>in</strong>d. Anschließend werden<br />
die ausgegebenen Daten mit dem UNIX sort Kommando aufsteigend sortiert. denszaxis.f<br />
extrahiert die letzte Spalte der nun vorhandenen Ausgabedatei, deren Werte der Teilchendichte<br />
an e<strong>in</strong>em Ort entsprechen.
B.2 Shell-Skripte 103<br />
B.2.2<br />
Shell-Skripte<br />
Die Rechnungen für die Dichteverteilung <strong>in</strong> der JILA-Falle können mit dem Korn-Shell-<br />
Skript ho.bat automatisiert werden. Das Skript berechnet, wenn sie nicht bereits vorliegen,<br />
die Besetzungszahlen mit Hilfe von recur98occup, startet anschließend howave <strong>und</strong> dann<br />
das Skript sortit. Dieses erstellt die E<strong>in</strong>gabefiles für Gsharp mit Hilfe der oben beschriebenen<br />
Programme denssort <strong>und</strong> denszaxis. Weiterh<strong>in</strong> werden automatisch Batchdateien<br />
für Gsharp produziert <strong>und</strong> das Visualisierungsprogramm auf Wunsch mit diesen gestartet.<br />
E<strong>in</strong>e Batchdatei ist für die l<strong>in</strong>eare Darstellung der Dichte <strong>und</strong> e<strong>in</strong>e für die logarithmischen<br />
Version der Grafiken. Die produzierten TIFF-Dateien werden mit picconv <strong>in</strong> verschieden<br />
große GIF-Bilder umgewandelt, aus denen später Animationen erstellt werden können. Die<br />
Shell-Skripte sorgen außerdem für e<strong>in</strong>e Komprimierung der teilweise relativ großen Dateien.<br />
Die Skripte hot.bat <strong>und</strong> sortitt entsprechen von der Funktionalität her ihren im vorigen<br />
Absatz beschriebenen Pendants, bieten allerd<strong>in</strong>gs zusätzlich die Möglichkeit e<strong>in</strong>en Zeitwert<br />
als Parameter anzugeben, der dann an howavet.f <strong>und</strong> Gsharp übergeben wird.<br />
Alle Skripte s<strong>in</strong>d auf die Rechner- <strong>und</strong> dortige Verzeichnisstruktur der Arbeitsgruppe Theorie<br />
3 an der Carl von Ossietzky Universität Oldenburg zugeschnitten, sollten sich aber leicht<br />
auf andere Workstation-Cluster anpassen lassen.<br />
Zur Erklärung sei weiterh<strong>in</strong> angeführt, daß die Verteilung der Aufgaben auf die verschiedenen<br />
Rechner der Arbeitsgruppe davon abhängig gemacht wird, welches Betriebssystem<br />
<strong>in</strong>stalliert ist, wo die größte Rechenleistung zur Verfügung steht <strong>und</strong> wie die ger<strong>in</strong>gste Belastung<br />
des Netzwerks möglich ist.
C Artikel<br />
Die von Peter Borrmann entwickelte <strong>und</strong> <strong>in</strong> Kapitel 3 vorgestellte Rekursionsformel für die<br />
Besetzungszahl η i (N,β) wurde <strong>in</strong> dem Artikel “Effective calculation of thermodynamic<br />
properties of f<strong>in</strong>ite <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong> systems” <strong>in</strong> der Zeitschrift Physical Review A veröffentlicht.<br />
Weiterh<strong>in</strong> bef<strong>in</strong>den sich <strong>in</strong> diesem Text Teile der Ergebnisse aus Abschnitt 3.3.<br />
105
106 Anhang C. Artikel
107
108 Anhang C. Artikel
109
D<br />
Erklärung<br />
des Inhalts der<br />
CD-Rom<br />
Auf der zu dieser Arbeit gehörenden CD-Rom bef<strong>in</strong>den sich folgende Dateien:<br />
• Sämtliche für die Berechnungen nötigen Fortran-Programme als Source- <strong>und</strong> B<strong>in</strong>ärversionen<br />
für IBM AIX 4.2 (siehe Anhang B),<br />
• Korn-Shell-Skripte zur vollständigen Automatisierung der Simulationen der JILA-<br />
Falle auf e<strong>in</strong>em Workstation-Cluster,<br />
• der komplette Text als<br />
– L A TEX,<br />
– Portable Document Format (PDF) <strong>und</strong><br />
– PostScript - Version,<br />
• alle für die Simulationen <strong>in</strong> Kapitel 5 erstellten Grafiken im GIF-Format,<br />
• Animationen für temperaturabhängige Dichteverteilungen,<br />
• Animationen für zeitabhängige Dichteverteilungen, sowie<br />
• e<strong>in</strong>e Auswahl von Artikeln zur <strong>Bose</strong>-<strong>E<strong>in</strong>ste<strong>in</strong></strong> <strong>Kondensation</strong> (soweit als Datei vorhanden).<br />
Zusätzlich bef<strong>in</strong>det sich auf der CD-Rom e<strong>in</strong> Java-Programm, das nach E<strong>in</strong>gabe von Energieeigenwerten<br />
mit Hilfe der Rekursion aus Abschnitt 3.1 die spezifische Wärme <strong>und</strong> die<br />
<strong>in</strong>nere Energie berechnet. Dieses Programm wurde fre<strong>und</strong>licherweise von Peter Borrmann<br />
zur Verfügung gestellt.<br />
Die Verzeichnisstruktur auf der CD ist weitgehend selbsterklärend, es sei hier nur vermerkt,<br />
daß sowohl die Grafiken als auch die Animationen auf komfortable Weise mit e<strong>in</strong>em<br />
WWW-Browser angeschaut werden können, da sie mit <strong>in</strong> HTML-Seiten <strong>in</strong>tegrierten<br />
Index-Dateien versehen s<strong>in</strong>d, durch die leicht auf jede Datei zugegriffen werden kann.<br />
Für die Artikelsammlung existiert ebenfalls e<strong>in</strong>e HTML-Datei, <strong>in</strong> der nicht nur der Date<strong>in</strong>ame,<br />
sondern auch Autor <strong>und</strong> Titel angegeben s<strong>in</strong>d.<br />
111
E<br />
Vollständige<br />
Serien der Bilder aus<br />
den Simulationen der JILA-Falle<br />
Auf den folgenden Seiten ist e<strong>in</strong> großer Teil der Bilder, die sich auf der beiliegenden CD-<br />
Rom bef<strong>in</strong>den, abgedruckt, da es gerade durch die Schnellebigkeit der technischen Standards<br />
möglich ist, daß eventuelle Leser <strong>in</strong> e<strong>in</strong>igen Jahren weder auf die CD-Rom, noch auf<br />
die erstellten Seiten im World Wide Web zugreifen können.<br />
Aufgr<strong>und</strong> der großen Anzahl Bilder (be<strong>in</strong>ahe 1000), die für die Erstellung der Animationen<br />
nötig war, f<strong>in</strong>det zum e<strong>in</strong>en die Darstellung <strong>in</strong> starker Verkle<strong>in</strong>erung statt <strong>und</strong> zum anderen<br />
s<strong>in</strong>d bei der Zeitentwicklung nur stellvertretend die Serien für 2000 Teilchen bei 1,0·10 −9<br />
<strong>und</strong> 1,0·10 −9 Kelv<strong>in</strong> abgedruckt.<br />
Auf der CD-Rom bef<strong>in</strong>den sich jeweils zwei Dateien unterschiedlicher Größe im GIF-<br />
Format. E<strong>in</strong>e mit ger<strong>in</strong>ger Auflösung (604x483 Pixel) <strong>und</strong> e<strong>in</strong>e mit höherer Auflösung<br />
(2524x2017 Pixel). Das GIF-Format der Firma Compuserve wurde verwendet, da es im<br />
Gegensatz zu verschiedenen anderen Formaten kle<strong>in</strong>e Dateien mit hoher Qualität bietet<br />
<strong>und</strong> sich leicht <strong>in</strong> Animationen, die auch mit WWW-Browsern betrachtet werden können,<br />
konvertieren läßt (sogenannte “Animated GIFs”).<br />
113
114 Anhang E. Vollständige Serien der Bilder aus den Simulationen der JILA-Falle<br />
E.1 Temperaturabhängige Sequenzen<br />
Abbildung E.1: L<strong>in</strong>eare Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen.
E.1 Temperaturabhängige Sequenzen 115<br />
Abbildung E.2: Logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen.
116 Anhang E. Vollständige Serien der Bilder aus den Simulationen der JILA-Falle<br />
Abbildung E.3: L<strong>in</strong>eare Darstellung der Dichteverteilung für 10000 Teilchen.
E.1 Temperaturabhängige Sequenzen 117<br />
Abbildung E.4: Logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 10000 Teilchen.
118 Anhang E. Vollständige Serien der Bilder aus den Simulationen der JILA-Falle<br />
Abbildung E.5: L<strong>in</strong>eare Darstellung der Dichteverteilung für 20000 Teilchen.
E.1 Temperaturabhängige Sequenzen 119<br />
Abbildung E.6: Logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 20000 Teilchen.
120 Anhang E. Vollständige Serien der Bilder aus den Simulationen der JILA-Falle<br />
Abbildung E.7: L<strong>in</strong>eare Darstellung der Dichteverteilung für 100000 Teilchen.
E.1 Temperaturabhängige Sequenzen 121<br />
Abbildung E.8: Logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 100000 Teilchen.
122 Anhang E. Vollständige Serien der Bilder aus den Simulationen der JILA-Falle<br />
E.2 Zeitabhängige Sequenzen<br />
Abbildung E.9: L<strong>in</strong>eare zeitabhängige Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen bei 1.0e-<br />
8 Kelv<strong>in</strong>.
E.2 Zeitabhängige Sequenzen 123<br />
Abbildung E.10: L<strong>in</strong>eare zeitabhängige Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen bei<br />
1.0e-8 Kelv<strong>in</strong>.
124 Anhang E. Vollständige Serien der Bilder aus den Simulationen der JILA-Falle<br />
Abbildung E.11: Logarithmische zeitabhängige Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen<br />
bei 1.0e-8 Kelv<strong>in</strong>.
E.2 Zeitabhängige Sequenzen 125<br />
Abbildung E.12: Logarithmische zeitabhängige Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen<br />
bei 1.0e-8 Kelv<strong>in</strong>.
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Danksagung<br />
Ich möchte mich bei Peter Borrmann <strong>und</strong> Eberhard Hilf für ihre Unterstützung, ihre ermutigenden<br />
Kommentare <strong>und</strong> so manche St<strong>und</strong>e, die sie mir im Laufe des letzten Jahres für<br />
Diskussionen <strong>und</strong> Erläuterungen zur Verfügung gestellt haben, bedanken.<br />
Weiterh<strong>in</strong> danke ich allen Mitgliedern der Arbeitsgruppe für die allzeit vorhanden gewesene<br />
Hilfsbereitschaft, <strong>in</strong>sbesondere Oliver Mülken, der mir durch Tips <strong>und</strong> Anregungen<br />
oftmals weitergeholfen hat.<br />
E<strong>in</strong> weiterer Dank gilt Birke Sbresny, die mir durch ihre Ratschläge geholfen hat, sprachliche<br />
Wogen <strong>in</strong> dieser Arbeit zu glätten <strong>und</strong> Tippfehler zu beseitigen.<br />
Ohne die Unterstützung me<strong>in</strong>er Eltern wäre mir dieses Studium nicht möglich gewesen.<br />
Dafür danke ich ihnen herzlich.
Hiermit versichere ich, daß ich diese Arbeit selbständig verfaßt <strong>und</strong> ke<strong>in</strong>e anderen als die<br />
angegebenen Quellen <strong>und</strong> Hilfsmittel benutzt habe.<br />
Oldenburg, 10. Februar 1999