Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs - 2 Vorlesungen ...

Probestudium
Sommersemester 2010, Theoriekurs
2 Vorlesungen zur Einführung in die spezielle Relativitätstheorie
H. W. Diehl
Fakultät für Physik, U. Duisburg-Essen
26. Juni und 3. Juli 2010
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Einführung
Physik: hat zu tun mit Vorgängen in Raum und Zeit
Ereignis P: Wo und wann geschieht etwas
Fragen:
P ↔ (t, x, y, z) ∈
= Punkt in 4dim. Raum
t = Zeit(koordinate)
x, y, z = 3 Ortskoordinaten
relle Zahlen 3 reelle Ortskoordinaten
{}}{ {}}{
}{{}
R ×
}{{}
R 3
Zeitmenge Ortsraum, Punktmenge
1 Wie t,x, y,z einführen
2 Geometrie: Abstände, Zeitdifferenzen, Abstände () d(P, Q)
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Einführung von Ortskoordinaten
Nehme Maßstab:
1 m
” Urmeter“
y
3
2
1
0
0 1 2 3
x
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Einführung von Ortskoordinaten
Nehme Maßstab:
1 m
” Urmeter“
y
3
2
1
0
0 1 2 3
x
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Einführung von Ortskoordinaten
Nehme Maßstab:
1 m
” Urmeter“
y
3
2
1
gleiche Länge
0
0 1 2 3
x
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Einführung von Ortskoordinaten
Nehme Maßstab:
1 m
” Urmeter“
y
3
2
Q
1
0
P
0 1 2 3
x
euklidischer Abstand:
d(P, Q) = √ (x P − x Q ) 2 + (y P − y Q ) 2 + (z P − z Q ) 2
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Synchronisation von Uhren
6
4
2
0
0 2 4 6
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Synchronisation von Uhren
6
t = d/c
4
2
0
0 2 4 6
t = 0
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Synchronisation von Uhren
6
t = d/c
4
2
0
0 2 4 6
t = 0
Uhr starten!
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Synchronisation von Uhren
6 t = d/c
4
Uhr starten!
2
0
0 2 4 6
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Raumzeitmodelle
I. Aristotelisch-Newtonsche Raumzeit
Raum und Zeit = absolut!
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Raumzeitmodelle
I. Aristotelisch-Newtonsche Raumzeit
Raum und Zeit = absolut!
II. Galilei-Newtonsche Raumzeit
Gleichortigkeit“ relativ!
”
Ruhender“ und gleichförmig-geradlinig bewegter Beobachter
”
stimmen nicht überein!
Galilei-Invarianz
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Raumzeitmodelle
I. Aristotelisch-Newtonsche Raumzeit
Raum und Zeit = absolut!
II. Galilei-Newtonsche Raumzeit
Gleichortigkeit“ relativ!
”
Ruhender“ und gleichförmig-geradlinig bewegter Beobachter
”
stimmen nicht überein!
Galilei-Invarianz
III. Einsteinsche Raumzeit der speziellen RT
Gleichortigkeit und Gleichzeitigkeit relativ!
Lorentz-Invarianz
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Raumzeitmodelle
I. Aristotelisch-Newtonsche Raumzeit
Raum und Zeit = absolut!
II. Galilei-Newtonsche Raumzeit
Gleichortigkeit“ relativ!
”
Ruhender“ und gleichförmig-geradlinig bewegter Beobachter
”
stimmen nicht überein!
Galilei-Invarianz
III. Einsteinsche Raumzeit der speziellen RT
Gleichortigkeit und Gleichzeitigkeit relativ!
Lorentz-Invarianz
IV. Einsteinsche Raumzeit der allgemeinen RT (wird nicht behandelt)
Gravitationsfeld lokal äquivalent zu beschleunigt bewegtem
Bezugssystem
“Space tells matter how to move. Matter tells space how
to curve” (Misner, Thorne & Wheeler, Gravitation)
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Aristotelisch-Newtonsche Raumzeit
Raum & Zeit sind absolut!
Ruhende Systeme ausgezeichnet,
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Aristotelisch-Newtonsche Raumzeit
Raum & Zeit sind absolut!
Ruhende Systeme ausgezeichnet,
aber räumlicher Ursprung, räumliche Achsenorientierung und
Zeitnullpunkt frei wählbar.
Alle Systeme K und K ′ , die durch räumliche Verschiebungen und
Drehungen sowie zeitliche Verschiebungen t ′ = t − τ auseinander
hervorgehen, sind gleichberechtigt hinsichtlich der Naturgesetze!
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Aristotelisch-Newtonsche Raumzeit
Raum & Zeit sind absolut!
Ruhende Systeme ausgezeichnet,
aber räumlicher Ursprung, räumliche Achsenorientierung und
Zeitnullpunkt frei wählbar.
Alle Systeme K und K ′ , die durch räumliche Verschiebungen und
Drehungen sowie zeitliche Verschiebungen t ′ = t − τ auseinander
hervorgehen, sind gleichberechtigt hinsichtlich der Naturgesetze!
Naturgesetze müssen in K und K ′ dieselbe Form haben!
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Absolutheit von Gleichortigkeit und -zeitigkeit in AN-RZ
c t
gleiche Orte
Q ′
ct P
c t ′ x ′
P P ′
gleiche Zeiten
Q
O
O ′
x Q
x
P und P ′ gleichzeitig für K und K ′ !
Q und Q ′ gleichortig für K und K ′ !
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Forminvarianz der Bewegungsgleichungen (AN-RZ)
c t
Betrachten Federschwingung
ct ct ′
O
O ′
c t ′ x ′
x ′ 0 x ′
x 0 x
x
Kevin (K) misst: (x, t) ⇒ x(t); Bewegungsgl.: m d2 x
= −f (x − x0)
dt2 Kathrin (K ′ ) misst: (x ′ ,t ′ ) ⇒ x ′ (t ′ ); Beweggl.: m d2 x ′
Wer hat Recht
dt ′2 = −f (x ′ − x ′ 0)
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Forminvarianz der Bewegungsgleichungen (AN-RZ)
c t
Betrachten Federschwingung
ct ct ′
O
O ′
c t ′ x ′
x ′ 0 x ′
x 0 x
x
Kevin (K) misst: (x, t) ⇒ x(t); Bewegungsgl.: m d2 x
= −f (x − x0)
dt2 Kathrin (K ′ ) misst: (x ′ ,t ′ ) ⇒ x ′ (t ′ ); Beweggl.: m d2 x ′
Wer hat Recht Beide!
dt ′2 = −f (x ′ − x ′ 0)
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Forminvarianz der Bewegungsgleichungen (AN-RZ)
Zusammenhang der kinematische Größen:
Kraftfunktionen:
dx ′
dt ′ =
d(x − a)
|
dt
{z }
=dx/dt
d(t ′ + τ)
dt ′
| {z }
=1
d 2 x ′
dt ′2 = d
dt ′ dx ′
dt ′ =
„ d
dt
dx
dt
= dx
dt
« dt
dt = d2 x
′ dt 2
Kraftfunktion von Kevin (K): −f (x − x 0) ≡ F(x − x 0)
Kraftfunktion von Kathrin (K ′ ): −f (x ′ − x ′ 0) ≡ F ′ (x ′ − x ′ 0)
gleiche Kraftfunktion: F ′ (x) = F(x)
⇒ F ′ (x ′ − x 0) ′ = F ′ [(x − a) − (x 0 − a) ] = F(x − x0)
| {z } F=F ′
x−x 0
m d2 x
dt 2 = −f (x − x0) ⇐⇒ md2 x ′
dt ′2 = −f (x ′ − x ′ 0)
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Fazit: AN-Raumzeit
In AN-RZ: Klasse ”
ruhender“ Bezugssysteme ausgezeichnet.
Alle Bezugssysteme K ′ , die aus einem ”
ruhendem“ Bezugsystem K
durch
1 räumliche Verschiebungen,
2 räumliche Drehungen sowie
3 zeitliche Translationen
hervorgehen, sind gleichberechtigt.
Bewegungsgleichung haben in allen solchen K ′ dieselbe Form.
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Fazit: AN-Raumzeit
In AN-RZ: Klasse ”
ruhender“ Bezugssysteme ausgezeichnet.
Alle Bezugssysteme K ′ , die aus einem ”
ruhendem“ Bezugsystem K
durch
1 räumliche Verschiebungen,
2 räumliche Drehungen sowie
3 zeitliche Translationen
hervorgehen, sind gleichberechtigt.
Bewegungsgleichung haben in allen solchen K ′ dieselbe Form.
Problem: Wie ”
ruhend“ feststellen
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1. Newtonsches Gesetz (Lex prima)
Ein Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der
”
gleichförmig-geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch
einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern.“
Gesetz postuliert Beharrungsvermögen oder die Trägheit von
Körpern.
Ergebnis der Fallversuche von Galilei (1636)
Zustände der Ruhe und gleichförmig-geradlinigen Bewegung als
äquivalent erkannt.
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Kritik an AN-RZ
Newtonsche Gesetze auch für gleichförmig-geradlinig bewegte
Beobachter gültig!
Kein ”
absolut ruhendes“ Bezugssystem ausgezeichnet oder
physikalisch zu ermitteln. Newtonsche Gesetze gelten in der durch
das Lex Prima (Trägheitsgesetz) ausgezeichneten Klasse von
Inertialsystemen.
Daher: Alle solche Inertialsysteme — und damit alle gegeneinander
geradlinig-gleichförmig bewegten Beobachter — sind für die
Formulierung der physikalischen Gesetze (Newtonsche
Bewegungsgleichungen) gleichberechtigt!
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Kritik an AN-RZ
Newtonsche Gesetze auch für gleichförmig-geradlinig bewegte
Beobachter gültig!
Kein ”
absolut ruhendes“ Bezugssystem ausgezeichnet oder
physikalisch zu ermitteln. Newtonsche Gesetze gelten in der durch
das Lex Prima (Trägheitsgesetz) ausgezeichneten Klasse von
Inertialsystemen.
Daher: Alle solche Inertialsysteme — und damit alle gegeneinander
geradlinig-gleichförmig bewegten Beobachter — sind für die
Formulierung der physikalischen Gesetze (Newtonsche
Bewegungsgleichungen) gleichberechtigt!
Forminvarianz bezüglich Galileitransformationen!
zusätzliche Transformationen: x ′ = x − Vt
y ′ = y
z ′ = z
t ′ = t
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Galilei-Newtonsche Raumzeit
IS K ←− K ′ , dann auch K ′ IS
Jetzt: Alle IS für Formulierung der Naturgesetze gleichberechtigt,
Forminvarianz der Naturgesetze bzgl. Galilieitransformationen.
⇒
v ′ = dx ′
dt
v ′ = v − V
=
d(x − Vt)
dt
= dx
dt − V
⇒ b ′ = d2 x ′
dt 2
= d2 x
dt 2 = b
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Galilei-Newtonsche Raumzeit
IS K ←− K ′ , dann auch K ′ IS
Jetzt: Alle IS für Formulierung der Naturgesetze gleichberechtigt,
Forminvarianz der Naturgesetze bzgl. Galilieitransformationen.
⇒
v ′ = dx ′
dt
v ′ = v − V
=
d(x − Vt)
dt
= dx
dt − V
⇒ b ′ = d2 x ′
dt 2
= d2 x
dt 2 = b
Kraft: F( x ′ − x 0
′ ) = F(x − x 0) galileiinvariant!
| {z }
x−Vt−(x 0 −Vt)
m d2 x ′
dt = F(x ′ − x 0) ′ ⇐⇒ m d2 x
= F(x − x0)
′2 dt2 H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Galilei-Newtonsche Raumzeit
IS K ←− K ′ , dann auch K ′ IS
Jetzt: Alle IS für Formulierung der Naturgesetze gleichberechtigt,
Forminvarianz der Naturgesetze bzgl. Galilieitransformationen.
⇒
v ′ = dx ′
dt
v ′ = v − V
=
d(x − Vt)
dt
= dx
dt − V
⇒ b ′ = d2 x ′
dt 2
= d2 x
dt 2 = b
Kraft: F( x ′ − x 0
′ ) = F(x − x 0) galileiinvariant!
| {z }
x−Vt−(x 0 −Vt)
m d2 x ′
dt = F(x ′ − x 0) ′ ⇐⇒ m d2 x
= F(x − x0)
′2 dt2 Konsequenz: Gleichortigkeit wird relativ!
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Relativität der Gleichortigkeit
c t
c t ′
Gleicher Ort für Beobachter B
c t 1
Gleiche Zeiten für B und B ′
x ′ Q z.Z. t1
Gleicher Ort für Beobachter B ′
O
x Q
x
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Relativität der Gleichortigkeit
c t
c t ′ x ′
Gleicher Ort für Beobachter B
Gleicher Ort für Beobachter B ′
O ′
x ′ Q
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Galilei-Invarianz und Addition von Geschwindigkeiten
K ′
v ′
V
K: ”
Laborsystem“
Welle in Medium (Gas, Wasser,...), Ausbreitungsgeschwindigkeit:
v ′ , Medium ruhe in K ′ (Rakete)
Galilei-Invarianz ⇒ Ausbreitungsgeschwindigkeit in K:
Addition der Geschwindigkeiten!
v = v ′ + V
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Galilei-Invarianz und Addition von Geschwindigkeiten
K ′
v ′
V
K: ”
Laborsystem“
Welle in Medium (Gas, Wasser,...), Ausbreitungsgeschwindigkeit:
v ′ , Medium ruhe in K ′ (Rakete)
Galilei-Invarianz ⇒ Ausbreitungsgeschwindigkeit in K:
Addition der Geschwindigkeiten!
Für Licht
c ′
v = v ′ + V
= c + V
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Galilei-Invarianz und Addition von Geschwindigkeiten
K ′
v ′
V
K: ”
Laborsystem“
Welle in Medium (Gas, Wasser,...), Ausbreitungsgeschwindigkeit:
v ′ , Medium ruhe in K ′ (Rakete)
Galilei-Invarianz ⇒ Ausbreitungsgeschwindigkeit in K:
Addition der Geschwindigkeiten!
Für Licht
v = v ′ + V
c ′
= c + V Nein!
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Elektrodynamik, Äther und Invarianz der
Vakuumlichtgeschwindigkeit
In grundlegenden Gleichungen der Elektrodynamik (Maxwell-Gln):
ein Parameter c — in welchem Bezugsystem
Wenn in K & Galilei-Invarianz ⇒ c ′ = c − V in K ′ !
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Elektrodynamik, Äther und Invarianz der
Vakuumlichtgeschwindigkeit
In grundlegenden Gleichungen der Elektrodynamik (Maxwell-Gln):
ein Parameter c — in welchem Bezugsystem
Wenn in K & Galilei-Invarianz ⇒ c ′ = c − V in K ′ !
denkbare Alternativen:
1 Maxwellgln & daher c nur in ausgezeichnetem System K 0 gültig,
indem vermutetes Trägermedium ” Äther“ ruht.
In K ′ : galileitransformierte Maxwellgln (⇒ c ′ = c − V)
2 Maxwellgln in allen Inertialsystemen K ′ gültig: ⇒ c ′ = c,
keine Galilei-Invarianz,
Geschwindigkeiten addieren sich nicht einfach!
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Elektrodynamik, Äther und Invarianz der
Vakuumlichtgeschwindigkeit
In grundlegenden Gleichungen der Elektrodynamik (Maxwell-Gln):
ein Parameter c — in welchem Bezugsystem
Wenn in K & Galilei-Invarianz ⇒ c ′ = c − V in K ′ !
denkbare Alternativen:
1 Maxwellgln & daher c nur in ausgezeichnetem System K 0 gültig,
indem vermutetes Trägermedium ” Äther“ ruht.
In K ′ : galileitransformierte Maxwellgln (⇒ c ′ = c − V)
2 Maxwellgln in allen Inertialsystemen K ′ gültig: ⇒ c ′ = c,
keine Galilei-Invarianz,
Geschwindigkeiten addieren sich nicht einfach!
Michelson-Morley-Experimente (1881, 1887, s. Skript):
Äther nicht nachweisbar! c ′ = c für alle Inertialsysteme!
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Elektrodynamik, Äther und Invarianz der
Vakuumlichtgeschwindigkeit
In grundlegenden Gleichungen der Elektrodynamik (Maxwell-Gln):
ein Parameter c — in welchem Bezugsystem
Wenn in K & Galilei-Invarianz ⇒ c ′ = c − V in K ′ !
denkbare Alternativen:
1 Maxwellgln & daher c nur in ausgezeichnetem System K 0 gültig,
indem vermutetes Trägermedium ” Äther“ ruht.
In K ′ : galileitransformierte Maxwellgln (⇒ c ′ = c − V)
2 Maxwellgln in allen Inertialsystemen K ′ gültig: ⇒ c ′ = c,
keine Galilei-Invarianz,
Geschwindigkeiten addieren sich nicht einfach!
Michelson-Morley-Experimente (1881, 1887, s. Skript):
Äther nicht nachweisbar! c ′ = c für alle Inertialsysteme!
Konsequenzen Einsteinsche SRT!
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Einsteins Postulate
E1: Raum und Zeit sind homogen. Der Raum ist isotrop. (Kein Ort,
Zeitpunkt und Richtung ausgezeichnet.)
E2: a) Es ex. ein Inertialsystem (IS) I (indem sich kräftefreie Körper
gleichförmig-geradlinig bewegen).
b) Jedes Bezugssystem K, welches sich mit ⃗v = −−−→ const bzgl. I
bewegt, ist ebenfalls ein IS.
c) Die Naturgesetze haben in allen IS dieselbe Form.
E3: Die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit hat in allen IS denselben Wert c.
E2 wird auch Einsteinsches Relativitätsprinzip genannt.
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E3 ⇒ Die Relativität der Gleichzeitigkeit
A
Lichtblitz
− ◦ −
l/2 l/2
B
Ereignisse
P: Licht bei A,
Q: Licht bei B.
von K und K ′ (Geschwindigkeit ⃗v
bzgl. K) aus betrachten.
c 2 (t P − t Q) 2 − (x P − x Q) 2 = c 2 (t ′ P − t ′ Q) 2 − (x ′ P − x ′ Q) 2 = 0
A
c t
B
P
c t ′ Q
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x

E3 ⇒ Die Relativität der Gleichzeitigkeit
A
Lichtblitz
− ◦ −
l/2 l/2
B
Ereignisse
P: Licht bei A,
Q: Licht bei B.
von K und K ′ (Geschwindigkeit ⃗v
bzgl. K) aus betrachten.
c 2 (t P − t Q) 2 − (x P − x Q) 2 = c 2 (t ′ P − t ′ Q) 2 − (x ′ P − x ′ Q) 2 = 0
A
c t ′
A
c t
c t ′
B
P
c t
B
P
Q
Q
x
x ′
t ′ P ≠ t′ Q
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Konsequenzen aus den Einsteinschen Postulaten
E1 ⇒ Transformation = linear!
E1 ⇒ K und K ′ können durch Drehungen und Verschiebungen in
Standarkonfigurationen gebracht werden:
ct ′ = Act + B x
y y ′ x ′ = C ct + D x
⃗v = (v, 0, 0)
y ′ = y
z ′ = z
z z ′
A, B, C, D = Funkt’n(V/c)
Beh.: Viererabstandsquadrat
sEF 2 ≡ c2 (t E − t F ) 2 − (x E − x F ) 2
ist invariant für bel. Ereign. E = (ct E , x E , 0, 0) & F = (ct F , x F , 0, 0)!
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Konsequenzen aus den Einsteinschen Postulaten
E1 ⇒ Transformation = linear!
E1 ⇒ K und K ′ können durch Drehungen und Verschiebungen in
Standarkonfigurationen gebracht werden:
ct ′ = Act + B x
y y ′ x ′ = C ct + D x
⃗v = (v, 0, 0)
y ′ = y
z ′ = z
z z ′
A, B, C, D = Funkt’n(V/c)
Beh.: Viererabstandsquadrat
sEF 2 ≡ c2 (t E − t F ) 2 − (x E − x F ) 2 = c 2 (t E ′ − t′ F )2 − (x E ′ − x F ′ )2
ist invariant für bel. Ereign. E = (ct E , x E , 0, 0) & F = (ct F , x F , 0, 0)!
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Beweis der Invarianz von s 2 EF
Notation t ≡ t E − t F, x ≡ x E − x F
s ′2 = c 2 t ′2 − x ′2 = (Act + Bx) 2 − (Cct + Dx) 2
= (A 2 − C 2 )(ct) 2 + 2(AB − CD)ct x + (B 2 − D 2 )x 2
= (A 2 − C 2 ) s 2 + 2(AB − CD) ct x + (A 2 − C 2 + B 2 − D 2 )
| {z } | {z } | {z }
≡g 1
≡g 2
≡g 3
x 2
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Beweis der Invarianz von s 2 EF
Notation t ≡ t E − t F, x ≡ x E − x F
s ′2 = c 2 t ′2 − x ′2 = (Act + Bx) 2 − (Cct + Dx) 2
= (A 2 − C 2 ) s 2 + 2(AB − CD) ct x + (A 2 − C 2 + B 2 − D 2 )
| {z } | {z } | {z }
≡g 1
≡g 2
≡g 3
x 2
Wissen: s ′2 = s 2 = 0 für E = P, F = Q, also ct = ±x.
⇒ 2g 2ct x + g 3x 2 = 0 für bel. ct = ±x
ct = x ⇒(2g 2 + g 3)x 2 = 0
ct = −x ⇒(−2g 2 + g 3)x 2 = 0
Addition: 2g 3 = 0
Subtraktion: 4g 2 = 0
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Beweis der Invarianz von s 2 EF
Notation t ≡ t E − t F, x ≡ x E − x F
s ′2 = c 2 t ′2 − x ′2 = (Act + Bx) 2 − (Cct + Dx) 2
= (A 2 − C 2 ) s 2 + 2(AB − CD) ct x + (A 2 − C 2 + B 2 − D 2 )
| {z } | {z } | {z }
≡g 1
≡g 2
≡g 3
x 2
Wissen: s ′2 = s 2 = 0 für E = P, F = Q, also ct = ±x.
⇒ 2g 2ct x + g 3x 2 = 0 für bel. ct = ±x
ct = x ⇒(2g 2 + g 3)x 2 = 0
ct = −x ⇒(−2g 2 + g 3)x 2 = 0
Addition: 2g 3 = 0
Subtraktion: 4g 2 = 0
⇒ s ′2 = g 1(V/c) s 2 ; wegen E2 ⇒ s 2 = g 1(−V/c) s ′2
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Beweis der Invarianz von s 2 EF
Notation t ≡ t E − t F, x ≡ x E − x F
s ′2 = c 2 t ′2 − x ′2 = (Act + Bx) 2 − (Cct + Dx) 2
= (A 2 − C 2 ) s 2 + 2(AB − CD) ct x + (A 2 − C 2 + B 2 − D 2 )
| {z } | {z } | {z }
≡g 1
≡g 2
≡g 3
x 2
Wissen: s ′2 = s 2 = 0 für E = P, F = Q, also ct = ±x.
⇒ 2g 2ct x + g 3x 2 = 0 für bel. ct = ±x
ct = x ⇒(2g 2 + g 3)x 2 = 0
ct = −x ⇒(−2g 2 + g 3)x 2 = 0
Addition: 2g 3 = 0
Subtraktion: 4g 2 = 0
⇒ s ′2 = g 1(V/c) s 2 ; wegen E2 ⇒ s 2 = g 1(−V/c) s ′2
⇒ g 1(V/c)g 1(−V/c) = 1 Isotropie d. Raumes ⇒ g 1(V/c) = g(−V/c)
⇒ g 1 = ±1; V = 0: ⇒ g 1 = 1. QED
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Vergleich: Rotationen & x-Boost
y ′
y
Invarianz: (Pythagoras)
yP
P
x ′2 + y ′2 = x 2 + y 2
ϕ
x ′
y ′ P
ϕ
)
O
ϕ
ϕ
xP
x ′ P
x
x ′ = x cos ϕ + y sin ϕ
y ′ = −x sin ϕ + y cos ϕ
Setzen y = ict ⇒ Invarianz: x 2 + i 2 (ct) 2 = x 2 − (ct) 2 = −s 2
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Vergleich: Rotationen & x-Boost
y ′
y
Invarianz: (Pythagoras)
yP
P
x ′2 + y ′2 = x 2 + y 2
ϕ
x ′
y ′ P
ϕ
)
O
ϕ
ϕ
xP
x ′ P
x
x ′ = x cos ϕ + y sin ϕ
y ′ = −x sin ϕ + y cos ϕ
Setzen y = ict ⇒ Invarianz: x 2 + i 2 (ct) 2 = x 2 − (ct) 2 = −s 2
x ′ = x cos ϕ + ict sin ϕ = x cosh(ϕ/i) − ct sinh(ϕ/i)
| {z }
−i sin ϕ
ict ′ = −x sin ϕ + ict cos ϕ = i[−x sinh(ϕ/i) + ct cosh(ϕ/i )]
|{z}
≡ω
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Vergleich: Rotationen & x-Boost
y ′
y
Invarianz: (Pythagoras)
yP
P
x ′2 + y ′2 = x 2 + y 2
ϕ
x ′
y ′ P
ϕ
)
O
ϕ
ϕ
xP
x ′ P
x
x ′ = x cos ϕ + y sin ϕ
y ′ = −x sin ϕ + y cos ϕ
Setzen y = ict ⇒ Invarianz: x 2 + i 2 (ct) 2 = x 2 − (ct) 2 = −s 2
x ′ = x cosh
| {z
ω
}
−ct sinh
| {z
ω
}
=A =−B
ct ′ = −x sinh
| {z
ω
}
+ct cosh
| {z
ω
}
=C =D
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Vergleich: Rotationen & x-Boost
y ′
y
Invarianz: (Pythagoras)
yP
P
x ′2 + y ′2 = x 2 + y 2
ϕ
x ′
y ′ P
ϕ
)
O
ϕ
ϕ
xP
x ′ P
x
x ′ = x cos ϕ + y sin ϕ
y ′ = −x sin ϕ + y cos ϕ
Setzen y = ict ⇒ Invarianz: x 2 + i 2 (ct) 2 = x 2 − (ct) 2 = −s 2
x ′ = x cosh
| {z
ω
}
−ct sinh
| {z
ω
}
=A =−B
ct ′ = −x sinh
| {z
ω
}
+ct cosh
| {z
ω
}
=C =D
Bedeutung von ω
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Bedeutung und Bestimmung von ω
Räumlicher Ursprung x ′ = 0 von K ′ : Bahnkurve: x = Vt
0 = Vt coshω − ct sinhω ⇒ tanh ω = V c
Ergebnis: Lorentz-Transformation (x-Boost):
t ′ = γ
(t − V )
c 2 x 1
; γ = √
1 − (V/c)
2
x ′ = γ (x − Vt)
y ′ = y
z ′ = z
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Bedeutung und Bestimmung von ω
Räumlicher Ursprung x ′ = 0 von K ′ : Bahnkurve: x = Vt
0 = Vt coshω − ct sinhω ⇒ tanh ω = V c
Ergebnis: Lorentz-Transformation (x-Boost):
γ
2.5
2.0
1.5
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
V/c
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Bedeutung und Bestimmung von ω
Räumlicher Ursprung x ′ = 0 von K ′ : Bahnkurve: x = Vt
0 = Vt coshω − ct sinhω ⇒ tanh ω = V c
Ergebnis: Lorentz-Transformation (x-Boost):
t ′ = γ
(t − V )
c 2 x 1
; γ = √
1 − (V/c)
2
x ′ = γ (x − Vt)
y ′ = y
z ′ = z
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Addition“ von Geschwindigkeiten
”
dx ′
dt ′ = dx ′
dt
dt γ (v − V)
=
dt
′
dt ′ =
/dt
γ (v − V)
γ (1 − Vv/c 2 )
v ′ = v − V
1 − vV , bzw. v = v ′ + V
c
1 + v ′ V
2 c 2
ω(v/c) = ω(v ′ /c) + ω(V/c)
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Lorentzkontraktion: 1. Version
c t
c t ′
K ′ :
A
L 0
K: △
(t, x) = (0, 0)
(t ′ , x ′ ) = (0, 0)
B
A
⃗v
B
L
v
Stab
Weltlinie des Stabendes
Weltlinie des Stabanfangs
(t, x) = (L/v, 0)
(t ′ , x ′ ) = (L 0/v, −L 0)
△
x
c 2 (L/v) 2 − 0 = c 2 (L 0/v) 2 − L 2 0
⇒ L = L 0
p
1 − (v/c)
2
Bewegter Maßstab erscheint verkürzt!
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Lorentzkontraktion: 2. Version
c t
ct 1
′ O
x A
c t ′
Weltlinie des Stabanfangs
Weltlinie des Beobachters’
Weltlinie des Stabendes
x B
x ′
x
P ′ A = (ct ′ 1,x ′ A): Lichstrahl vom Stabanfang A kommt an
P ′ B = (ct ′ 1,x ′ B = x ′ A + L 0): Lichstrahl vom Stabende B kommt an
P A = (0,x A ): Stabanfang bei x A
P B = (0,x B = x A + L): Stabende bei x B
p
L 0 = x B ′ − x A ′ = γ(v)(x A − x
| {z B −0) ⇒ L = L
}
0/γ(v) = L 0 1 − (v/c)
2
L
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Eichung von Uhren und Maßstäben
c t c t ′ x ′
2
1.5
1
0.5
-2 -1 1 2
x
-0.5
-1
-1.5
-2
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Zeitdilatation
Uhr U ′ gleite an in K ruhenden Uhren vorbei
ct c t ′ x
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
x ′
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
T = γ(v) T ′ 0 =
T ′ 0
p
1 − v2 /c 2
Bewegte Uhren gehen langsamer!
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Raum-, zeit- & lichtartig
Ereignishorizonte
c t
L
Zukunft
Q
R
I
elsewhere
irgendwo
P
irgendwo
elsewhere
x
L ′
II
Vergangenheit
sPQ 2 > 0: zeitartig voneinander getrennt: ∃K ′ so, dass x P ′ = x Q,
′
kausale Verkn¨pfung möglich!
sPR 2 < 0: raumartig voneinander getrennt: ∃K ′ so, dass t P ′ = t R,
′
keine kausale Verknüpfung möglich
sPL 2 = 0: lichtartig: auf dem (Vorwärts- oder Rückwärts-)Lichtkegel von P
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Zwillingsparadoxon
V = 0.6c
γ = 5/4
T daheim geblieben
= 10 Jahre
T gereist = 8 Jahre
Zeichnung:
von
http://de.wikipedia.org/wiki/Zwillingsparadoxon
übernommen
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Zwillingsparadoxon
(Bilder von Klaus Kassner
http://itp.nat.uni-magdeburg.de/ kassner/srt/crashcourse/zwillingsparadoxon.html übernommen.)
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs

Was hier insbesondere nicht behandelt werden konnte
(s. Skript):
Relativistische Mechanik
H. W. Diehl Probestudium Sommersemester 2010, Theoriekurs