Übung 3 - Geodätisches Institut

Vermessungskunde für 

Bauingenieure und Geodäten 

Übung 3: 

Trigonometrische Höhenbestimmung und Turmhöhenbestimmung 

Milo Hirsch 

Hendrik Hellmers 

Florian Schill 

Institut für Geodäsie 

Fachbereich 13

1 Aufgabenbeschreibung 

Mit der Trigonometrischen Höhenbestimmung lassen sich auf einfache Weise Höhen über Normal 

Null (NN) berechnen. Dazu werden Zenitwinkel sowie Schräg- bzw. Horizontalstrecken zu 

dem höhenmäßig zu bestimmenden Punkt gemessen. Über trigonometrische Zusammenhänge 

kann zunächst der Höhenunterschied und anschließend die Höhe des gesuchten Punktes 

berechnet werden. 

1.1 Trigonometrische Höhenbestimmung 

Gegeben: Höhe Punkt A (H A ) Gesucht: Höhe Punkt E (H E ) 

Gemessen: 

Schrägstrecke d 

(bzw. Horizontalstrecke s) 

Standpunkthöhe i 

Zielpunkthöhe t 

Zenitwinkel z A,E 

s 

t 

Δh 

d 

P E 

z A,E 

H E 

i 

H A 

P A 

NN 

Zusätzliche Formeln: 

Zusammenfassung der Korrekturen aufgrund Erdkrümmung und Refraktion (für s,d > 250m): 

K E+R [m] = 0, 068 · s 2 [km] = 0, 068 · d2 [km] 

WS 2013/2014 Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 1

Lösung: 

∆h = d · cos z A,E 

= s · cot z A,E 

∆H = ∆h + i − t 

∆H = d · cos z A,E + i − t 

= s · cot z A,E + i − t 

H E = H A + d · cos z A,E + i − t + K E+R 

= H A + s · cot z A,E + i − t + K E+R 


1.2 Turmhöhenbestimmung 

Oft ist die Höhe einer Turmspitze, einer Dachkante oder eines anderen Gebäudepunktes entweder 

über einem bestimmten Fußpunkt oder auch über NN zu bestimmen. Da diese Punkte (zum 

Aufstellen eines Reflektors) meist nicht zugänglich sind, kann die Schrägstrecke zum Zielpunkt 

nicht unmittelbar gemessen werden. 

Mit dem Verfahren des Vorwärtseinschneidens in einem horizontalen Hilfsdreieck gelingt es 

aber, die Horizontalstrecken zum Zielpunkt abzuleiten. Mit diesen kann die Höhe unter Verwendung 

der trigonometrischen Höhenbestimmung berechnet werden. 

Einzelheiten zum horizontalen Hilfsdreieck können der nachfolgenden Skizze entnommen werden. 

Für eine erfolgreiche Turmhöhenbestimmung ist insbesondere die präzise Messung der 

Horizontalstrecke s 1,2 (auch Basis genannt) zwischen den beiden Standpunkten P 1 und P 2 wichtig. 

Zur Kontrolle sollte deshalb ebenfalls die Horizontalstrecke s 2,1 gemessen werden. Zusätzlich 

kann mit einem weiteren Standpunkt ein zweites horizontales Hilfsdreieck aufgespannt werden 

(nicht in der Skizze dargestellt!). 

Gegeben: Höhe Punkt 1 (H 1 ) Gesucht: Höhe Punkt 3 (H 3 ) 

Höhe Punkt 2 (H 2 ) 

Gemessen: Horizontalstrecke (Basis) s 1,2 

Instrumentenhöhen i 1 , i 2 

Zielpunkthöhe t 

Richtungen r 1,2 , r 1,3 , r 2,1 und r 2,3 

Zenitwinkel z 1,3 , z 2,3 

t 

P 3 

H 1 

P 1 

z s 1,3 s 2,3 

1,3 

P 3' z 2,3 

α 

β 

s 1,2 

i 1 i 2 

P 2 

NN 

H 2 


Lösung: 

1. Winkel α und β: 

α = r 1,2 − r 1,3 

β = r 2,3 − r 2,1 

2. Strecken zu P 3 : 

s 1,3 = s 1,2 · 

s 2,3 = s 1,2 · 

sin β 

sin(α + β) 

sin α 

sin(α + β) 

3. Höhenunterschied zum Zielpunkt: 

∆H 1,3 = s 1,3 · cot z 1,3 + i 1 − t 

∆H 2,3 = s 2,3 · cot z 2,3 + i 2 − t 

4. Berechnung der Höhe über NN: 

H 3(1) = H 1 + ∆H 1,3 

H 3(2) = H 2 + ∆H 2,3 

H 3 = H 3(1) + H 3(2) 

2 


2 Übungsaufgaben 

Aufgabe G3.1 

Berechnen Sie jeweils die Höhe des Punktes E durch Trigonometrische Höhenbestimmung, für 

die unter a) - d) gegebenen Werte. Beachten Sie ggf. auch die Einflüsse von Erdkrümmung und 

Refraktion. 

s 

t 

Δh 

d 

P E 

z A,E 

H E 

i 

H A 

P A 

NN 

(a) 

H A = 368, 451 m 

s = 387, 562 m 

i = 1, 610 m 

t = 1, 532 m 

z A,E = 92, 2566 gon 

(b) 

H A = 541, 859 m 

d = 57, 308 m 

i = 1, 579 m 

t = 2, 365 m 

z A,E = 107, 4571 gon 

(c) 

H A = 111, 787 m 

s = 20, 265 m 

i = 1, 999 m 

t = 1, 438 m 

z A,E = 101, 6878 gon 

(d) 

H A = 945, 378 m 

d = 357, 192 m 

i = 1, 274 m 

t = 0, 953 m 

z A,E = 89, 6419 gon 


Aufgabe G3.2 

Berechnen Sie die NN-Höhe des Turmes (Punkt P 3 ) mit dem Verfahren der Turmhöhenbestimmung. 

t 

P 3 

s 1,3 s 2,3 

P 3' z 2,3 

z 1,3 

P 2 

α 

s 1,2 

i 1 i 2 

β 

H 1 

P 1 

NN 

H 2 

H 1 = 279, 975 m 

s 1,2 = 75, 498 m 

i 1 = 1, 531 m 

t = 1, 329 m 

r 1,2 = 236, 6923 gon 

r 1,3 = 174, 3436 gon 

z 1,3 = 50, 9473 gon 

H 2 = 276, 759 m 

s 2,1 = 75, 498 m 

i 2 = 1, 502 m 

t = 1, 329 m 

r 2,1 = 0, 0000 gon 

r 2,3 = 58, 7009 gon 

z 2,3 = 50, 6206 gon

Übung 3 - Geodätisches Institut

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