Lernkontrolle Lösungen

Algorithmen und Datenstrukturen 2
Prof. Dr. C. Stamm christoph.stamm@fhnw.ch Tel.: 056 462 47 44
Lösungen zu den Lernkontrollen
1.4.1 Grapheneigenschaften
Hier sind einige Graphen abgebildet. Geben Sie für jeden Graphen die Grade der Knoten an. Versuchen
Sie dann so viele Eigenschaften wie möglich zu festzuhalten. Mit Eigenschaften sind hier gemeint:
• Zu welcher Gruppe von Graphen gehört der Graph Z.B. Bäume, Kreise, vollständig bipartite
Graphen, einfacher Graph, etc.
• Ist der Graph zusammenhängend
• Etc.
a)
b) c)
d)
e)
f)
Graphentyp
Einfacher
Graph
Zusammen
hängend
gerichtet planar Speziell
a) C 3 , K 3 Ja Ja Nein Ja
b) C 4 , H 2 Ja Ja Nein Ja
c) - Ja Nein Nein Ja
d) - Nein Ja Nein Ja Schlinge
e) - Nein Ja Nein Ja Mehrfachkante
f) - Nein Ja Ja Ja
1.4.2 Summe der Knotengrade
Im Kapitel über einfache Graphen wurde gesagt, dass es immer eine gerade
Anzahl von Knoten mit ungeradem Grad geben muss. Wie sieht dies für
die Anzahl der Knoten mit geradem Grad aus
Es ist nicht zwingend, dass die Anzahl der Knoten mit geradem Grad eine
gerade Zahl ist. Siehe Beispiel
Dieser Graph hat 3 Knoten mit Grad 2.
1.4.3 Planarität
a) ist planar, heisst auch C 5 , n = m = 5, f = 2, Eulersche Polyederformel: n – m + f = 2 ist erfüllt
b) ist planar, heisst auch Tetraeder, ist also ein Polyeder, n = 4, m = 6, f = 4; n – m + f = 2 ist erfüllt
c) ist planar, heisst auch Oktaeder, n = 6, m = 12, f = 8; n – m + f = 2 ist erfüllt
d) ist planar, heisst auch Würfel, n = 8, m = 12, f = 6; n – m + f = 2 ist erfüllt
1

1.4.4 Kurzaufgaben
a) Wie viele Kanten hat der K 5 10
b) Wie viele Kanten hat der K n n*(n – 1)/2
c) Wie viele Kanten hat der K 3,3 3*3 = 9
d) Wie viele Kanten hat der K a,b a*b
e) Wie viele Kanten hat der C 4 4
f) Wie viele Kanten hat der C n n
g) Zeichnen Sie für die folgende Situation einen Graphen, der die Situation wiedergibt: Sie laden 5
Freunde ein. Jeder Gast kennt zwei andere Gäste. Zeichnen Sie einen zusammenhängenden
Graphen.
h) Kann ein Graph mit 11 Knoten und 30 Kanten planar sein
Eulersche Polyederformel: n – m + f = 2
11 – 30 + f = 2 f = 21
Es muss aber auch gelten: 3f ≤ 2m
3f ≤ 2*30 f ≤ 20
kann nicht planar sein
i) Kann ein Graph mit 5 Knoten und 6 Gebieten planar sein
Eulersche Polyederformel: n – m + f = 2
5 – m + 6 = 2 m = 9
Es muss aber auch gelten: 3f ≤ 2m
3*6 ≤ 2m m ≥ 9
Es muss auch gelten: m ≤ 3n – 6 = 9
Es muss auch gelten: f ≤ 2n – 4 = 6
kann planar sein
j) Kann ein Graph mit 5 Knoten, 10 Kanten und 8 Gebieten planar sein
Eulersche Polyederformel: n – m + f = 2
5 – 10 + 8 = 3
kann nicht planar sein, weil die Eulersche Polyederformel nicht zutrifft
2

2.5.1 Adjazenzmatrix
2.5.2 Inzidenzmatrix
2.5.3 Adjazenzlisten
3.6.1 Topologische Sortierung
a) Kann ein ungerichteter Graph topologisch sortiert werden
Nein, es fehlt die partielle Ordnung.
b) Geben Sie für den folgenden Graphen eine topologische Sortierung an.
1
4
6
2
3 5
7
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
c) Zeichnen Sie noch zwei Kanten ein, welche die topologische Sortierung nicht beeinträchtigen.
Z.B. die Kanten (5, 7) und (3, 6)
3.6.2 Durchlaufen von Graphen
Zeichnen Sie im folgenden Graphen die verschiedenen Schritte einer a) Tiefensuche und b) Breitensuche
ein. Startknoten ist der Knoten 1. Geben Sie auch an, in welcher Reihenfolge die Knoten gefunden
werden.
Annahme: kleinere Knotennummern werden zuerst besucht.
Tiefensuche: 3, 6, 7, 4, 5, 2, 1
Breitensuche: 1, 2, 4, 5, 7, 3, 6
1
4
6
2
3
5 7
3.6.3 Kürzeste Pfade
a) Sie haben gesehen, dass die Laufzeit des Dijkstra-Algorithmus O((n + m) log n) ist. Rechnen Sie
nun aus, wie die Laufzeit wäre, wenn anstatt der Prioritätswarteschlange eine sortierte Liste verwendet
würde.
O(min suchen) = O (n)
O(min extrahieren) = O (1)
O(einfügen) = O (n)
O(update im Array) = O (n)
O ( n + n *((n) + (1)) + n *(n) + m* (n)) = O( n + n² + n² + mn ) = O((n + m) n)
3

) Sie erhalten einen Graphen und sollen nun herausfinden, ob er eine Kante mit negativem Gewicht
enthält. Schreiben Sie in Pseudocode eine entsprechende Testmethode auf. Geben Sie zudem
die Laufzeit Ihres Algorithmus an.
boolean Test(Graph G, Knoten s)
forall v in V do
v.gefunden := false
endforall
Q := {s}
while Q nicht leer do
entferne das vorderste Element u aus Q
u.gefunden := true
forall e inzident zu u
if w(e) < 0
return false
endif
endforall
forall v Nachbarn von u
if !v.gefunden
füge v in Q ein
endif
endforall
endwhile
// alle Knoten unentdeckt
// Alle Knoten die von u aus mit einer Kante
// erreicht werden können
Diese Methode hat dieselbe Laufzeit wie die Breitensuche O(n + m).
c) Bestimmen Sie eine möglichst scharfe untere Grenze der Laufzeit für einen Algorithmus zur
Überprüfung von Kanten mit negativem Gewicht.
Eine Methode, die ganz sicher alle Kanten findet, muss mindestens eine Laufzeit von Ω (m) haben.
4.3.2 Minimaler Spannbaum
a) Zeichnen Sie den Graphen, der zu der nachfolgend gegebenen Adjazenzmatrix (links) gehört.
Erzeugen Sie dann den minimalen Spannbaum für diesen Graphen. Füllen Sie dabei die rechte
Tabelle der Gewichte aus (rechts). Geben Sie in dieser Tabelle in der Spalte ganz links an, welches
der aktuelle Knoten ist (analog zu den vorherigen Beispielen).
s 1 2 3 4 5 6
0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
s 0 1 ∞ 10 ∞ ∞ ∞
1 0 0 2 10 ∞ 7 ∞
2 0 0 0 10 8 5 ∞
5 0 0 0 10 3 0 4
4 0 0 0 2 0 0 4
3 0 0 0 0 0 0 4
4 0 0 0 0 0 0 0
b) Geben Sie die Menge der Kanten an, die im minimalen Spannbaum enthalten sind. Z.B. {s, 3}
Menge der Kanten im Spannbaum: {s,1}, {1,2}, {2,5}, {5,4}, {5,6}, {4,3}
c) Welches Gewicht hat der hier erzeugte minimale Spannbaum.
Gewicht des Spannbaums: 17
4

d) Hätte in einem Schritt auch eine andere Kante (bzw. ein anderer Knoten) in den MST aufgenommen
werden können
es gibt keine Alternativen
5