Formelsammlung - Standardsicherung NRW

Formelsammlung (1)
Ebene Figuren (A: Flächeninhalt u: Umfang)
Quadrat
Rechteck
A = a 2
a
A = a · b
b
u = 4 · a
a
u = 2 · a + 2 · b
a
Dreieck
Satz des Pythagoras
A=
gh ⋅
2
u = a + b + c
b
h
g=c
a
Im rechtwinkligen
Dreieck gilt:
a 2 + b 2 = c 2
b
c
a
Höhen- und Kathetensatz
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
h 2 = p · q
a 2 = c · p
b 2 = c · q
Trapez
a+
c
A= ⋅ h
2
u = a + b + c + d
b
q
d
h
p
c
c
h
a
a
b
Parallelogramm
A = g · h
u = 2 · a + 2 · b
Kreis
d = 2 · r
2
A = π ⋅ r =π⋅
d
4
u = 2⋅π⋅ r = π⋅ d
2
r
h
g = a
d
b
Kreissektor und Kreisbogen
2
π ⋅r
⋅α
A=
0
360
π ⋅r
⋅α
b=
0
180
r
r
α
Α
b
Kreisring
A = π ⋅r −π
⋅ r
2 2
a i
r a
Α
r i
Zentrische Streckung und Ähnlichkeitsbeziehungen
Wird das Original Δ (ABC) bei einer
zentrischen Streckung mit dem
Streckungszentrum Z und dem
Streckungsfaktor k (k ≠ 0) auf das Bild
Δ (A´B´C´) abgebildet, dann sind beide
Dreiecke zueinander ähnlich.
Das bedeutet:
die Winkelgrößen bleiben erhalten
Beispiel: k ≠ 0
AB A´B´
= usw.
AC A´C´
außerdem gilt:
Z
ZA AB 1
= = usw.
ZA´ A´B´ k
C
A
B
C´
A´
B´

Formelsammlung (2)
Körper (V: Volumen O: Oberfläche G: Grundfläche M: Mantelfläche)
Würfel
V = a 3
a
Quader
c
O = 6 · a 2
a
a
V = a · b · c
a
O = 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
b
Prisma
V = G · h
h
O = 2 · G + M
G
Zylinder
Quadratische Pyramide
V = π · r 2 · h
O = 2 · π · r 2 + 2 · π · r · h
r
h
2
a ⋅ h
V =
3
O = a 2 + 2 · a · h s
a
h
h s
a
Kegel
Kugel
2
π ⋅ r ⋅h
V =
3
O = π · r 2 + π · r · s
h
r
s
4 ⋅ π ⋅ r
V =
3
O = 4 · π · r 2
3
r
Maßeinheiten
Länge
1 km =1 000 m
1 m =10 dm
1 dm =10 cm
1 cm =10 mm
Fläche
1 m² =100 dm²
1 dm² =100 cm²
1 cm² =100 mm²
1 a = 100 m² 1 ha = 10 000 m²
Volumen
Masse
1 m³ =1 000 dm³
1 t =1 000 kg
1 dm³ =1 000 cm³
1 kg =1 000 g
1 cm³ =1 000 mm³
1 g =1 000 mg
Liter (l )
1l = 1 dm 3
1 ml = 1 cm 3

Formelsammlung (3)
Prozentrechnung
G: Grundwert
W: Prozentwert
p %: Prozentsatz
G ⋅ p
W =
100
Zinseszinsen (exponentielles Wachstum)
K 0 : Kapital am Anfang
K n : Kapital nach n Jahren
n: Zeit in Jahren
p %: Zinssatz in Prozent
Binomische Formeln
Zinsfaktor:
100+
p
q = K n = K 0 · q n
100
(a + b) 2 = a 2 + 2 · a · b + b 2 (a – b) 2 = a 2 – 2 · a · b + b 2 (a + b) · (a – b) = a 2 – b 2
Potenzgesetze
Für mn∈ , bei Basen aus
a m · a n = a m + n
a m : a n = a m – n
Wurzelgesetze (… für a, b ≥ 0)
+
bzw. für m,
n∈ bei Basen aus \ { 0 }
a n · b n = (a · b) n
a 0 = 1
a n : b n = (a : b) n (a m ) n = a m · n n
a − =
n
a a
n
a ⋅
n
b =
n
a ⋅ b
n ( 0)
n b
b = b
> n m m n m⋅n
a a a
Lineare Funktionen: y = m · x + n
m: Steigung der Geraden g durch die
Punkte P 1 (x 1 | y 1 ) und P 2 (x 2 | y 2 )
y2−
y1
m= ( x2≠x1)
x2−
x1
n: y-Achsenabschnitt
g
.
y
.
P 2
P
y 2 – y 1
1
n x 2 – x 1
Quadratische Gleichungen
Normalform:
Lösung:
x
1
a n
= = ( ) m n m
Quadratische Funktionen:
n
a
Allgemeine Form: y = a · x 2 + b · x + c (a ≠ 0)
Scheitelpunktform: y = d·(x – e) 2 + f S (e | f)
S (e | f)
y
x
=
a
x 2 + p · x + q = 0
2 2
p ⎛ p ⎞ ⎛ p⎞
x1/2
=− ± q; wenn ⎜ ⎟ q 0, sonst keine Lösung
2
⎜
2
⎟ − − ≥
⎝ ⎠
⎝ 2⎠

Formelsammlung (4)
Trigonometrie (im rechtwinkligen Dreieck)
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
a Gegenkathete von α
sin α = = c Hypotenuse
b
a
b Ankathete von α
cosα
= =
c Hypotenuse
a Gegenkathete von α
tanα
= =
b Ankathete
Beschreibende Statistik / Stochastik
Arithmetisches Mittel (Mittelwert x ) der Datenreihe x 1 , …, x n
x1+ x2 + ... + xn
x =
n
Median (Zentralwert)
In einer der Größe nach geordneten Datenreihe mit einer ungeraden Anzahl von Daten steht der
Median in der Mitte. Bei einer geraden Anzahl von Daten ist der Median nicht eindeutig
bestimmt (man nimmt dann z. B. das arithmetische Mittel der in der Mitte stehenden Werte
oder einen dieser beiden Werte).
Laplace - Versuch
Zufallsversuch, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (z. B. Münzwurf).
Die Wahrscheinlichkeit P für das Eintreten eines Ereignisses E berechnet man wie folgt:
Anzahlder günstigen Ergebnisse
P( E ) =
Anzahlder möglichen Ergebnisse
Mehrstufige Zufallsversuche lassen sich in einem Baumdiagramm darstellen. Dabei kann ein
Ergebnis als Pfad veranschaulicht werden. Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich mithilfe von
Produkt- und Summenregel berechnen.
1. Pfadregel (Produktregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ergibt
sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten
entlang des Pfades.
p
1
...
p
2
P(E) = p 1 · p 2
... ...
E
2. Pfadregel (Summenregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten
Ereignisses ist gleich der Summe
p
2
der Einzelwahrscheinlichkeiten.
p
E
P(E) = P(E 1 ) + P(E 2 )
= p 1 · p 2 + q 1 · q 2
1
q
1
q
2
E
1
2
E