Prüfung im Fach ,,Grundzüge der Kristallographie” für Studierende ...

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(Druckschrift)
Prüfung im Fach ,,Grundzüge der Kristallographie”
für Studierende der Materialwissenschaften (BSc)
und Leistungsnachweis für Studierende der Mineralogie
20. Februar 2006
Aufgabe 1 - Stereographische Projektion (17/100)
Gegeben sei die Kristallklasse (kristallographische Punktgruppe) mm2.
a) Zu welchem Kristallsystem gehört diese Kristallklasse?
b) Geben Sie die Blickrichtungen an und erläutern Sie das Hermann-Mauguin-Symbol.
c) Besitzt diese Kristallklasse ein Inversionszentrum?
d) Zeichnen Sie die stereographische Projektion des Symmetriegerüstes in alle in Teilauf-
gabe e) angegebenen Hilfskreise. Die c-Achse soll dabei senkrecht zur Projektionsebene
stehen.
e) Zeichnen Sie in die angegebenen Hilfskreise jeweils ein Stereogramm der allgemeinen
Flächenform und der möglichen speziellen Flächenformen. Zeichnen Sie mit einer an-
deren Farbe, sofern vorhanden, die Flächenpole der zugehörigen Grenzformen ein.
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f) Geben Sie die Miller-Indizes für die allgemeine Flächenform, jede spezielle Flächenform
und alle Grenzformen an.
Aufgabe 2 - Raumgruppen (14/100)
Gegeben sei die Raumgruppe P 1211.
a) Zu welchem Kristallsystem gehört diese Raumgruppe?
b) Geben Sie die Blickrichtungen an und erläutern Sie das Hermann-Mauguin-Symbol.
c) Eine 21-Schraubenachse soll durch den Ursprung laufen (0, y, 0). Zeichnen Sie diese
in die vorgegebene Parallelprojektion der Elementarzelle ein und wenden Sie die zu-
gehörige Symmetrieoperation auf einen Punkt allgemeiner Lage an. Geben Sie dabei
die Koordinaten der Punkte an.
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d) Translatieren Sie diese Punkte um �τ1 = 1 · �a, �τ2 = 1 · �c und �τ3 = 1 · �a + 1 · �c und
geben Sie für die generierten Punkte ebenfalls die Koordinaten an.
e) Ergänzen Sie das Symmetriegerüst in der vorgegebenen Parallelprojektion.
f) Bezeichnen Sie die erzeugten Symmetrieelemente. Wo liegen diese in Koordinaten-
schreibweise?
g) Wie lautet die Definition einer speziellen Atomlage?
h) Gibt es in der Raumgruppe P 1211 spezielle Atomlagen? Wenn ja, geben Sie ihre Ko-
ordinaten an.
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Aufgabe 3 - Kugelpackungen, Pauling’sche Regeln (23/100)
Fluorit (CaF2) kristallisiert in der Raumgruppe F 4 ¯3
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. Die Atomlagen in der asymmetri-
m m
schen Einheit sind:
Ca2+ : 0, 0, 0 F− : 1 1 1
4 , 4 , 4
a) Wieviele Formeleinheiten besitzt die Elementarzelle?
b) Beschreiben Sie die Kristallstruktur in der Terminologie der kubisch dichtesten Kugel-
packung.
c) Berechnen Sie mit Hilfe der Ionenradien (nach Goldschmidt) r(Ca 2+ ) = 1.06 ˚A und
r(F − ) = 1.33 ˚A den zu erwartenden Gitterparameter a.
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d) Bestimmen Sie mit dem Gitterparameter a aus Teilaufgabe c) den Ca–F Abstand und
berechnen Sie einen Ca–F–Ca Winkel. Hinweis: Für den Fall, dass Sie c) nicht gelöst
haben, rechnen Sie mit dem gemessenen Gitterparameter a = 5.4630 ˚A.
e) Bestimmen Sie die Raumerfüllung für die Elementarzelle der idealen kubisch dichtesten
Kugelpackung.
f) Vergleichen Sie die Raumerfüllung von kubisch und hexagonal dichtester Kugelpackung
und begründen Sie Ihre Aussage.
g) Welche Lückentypen treten in den dichtesten Kugelpackungen auf und wieviele gibt es
jeweils bezogen auf eine Kugel?
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h) Wie groß sind die Koordinationszahlen von Ca 2+ und F − in CaF2? Geben Sie die zu-
gehörigen Koordinationspolyeder an.
i) Bestimmen Sie den Radienquotienten von Ca 2+ und F − . Welche Koordination erwarten
Sie damit für Ca 2+ und warum?
j) Bestimmen Sie die elektrostatische Valenz der Ca 2+ -Kationen nach Pauling. Prüfen
Sie, ob die Ladung der F − -Anionen durch die unmittelbar benachbarten Kationen ab-
gesättigt wird (2. Pauling’sche Regel).
Aufgabe 4 - Kristallchemie (22/100)
BaTiO3 ist ein wichtiges Material für die Informationstechnik. Die Raumtemperaturphase
kristallisiert in der Raumgruppe P 4mm mit a = 3.9998 ˚A und c = 4.0180 ˚A.
a) In welchem Kristallsystem kristallisiert die Raumtemperaturphase?
b) Geben Sie für dieses Kristallsystem die Blickrichtungen an und erläutern Sie das Hermann-
Mauguin-Symbol.
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c) Besitzt die zugehörige Kristallklasse ein Inversionszentrum?
d) Gegeben ist die Parallelprojektion entlang der c-Achse des Symmetriegerüstes der
Raumgruppe P 4mm. Zeichnen Sie die in der Tabelle angegebenen Atome (asymme-
trische Einheit) in das Symmetriegerüst ein (inklusive der Angabe der z-Koordinate)
und ergänzen Sie die Kristallstruktur für die ganze Elementarzelle.
Atom x y z Punktsymmetrie
Ba 0 0 0
Ti 1/2 1/2 0.482
O1 1/2 1/2 0.016
O2 1/2 0 0.515
e) Tragen Sie die Punktsymmetrie für die Atomlagen der asymmetrischen Einheit in die
Tabelle von Teilaufgabe d) ein.
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f) Berechnen Sie die Ti–O Abstände für das TiO6-Oktaeder.
g) Was versteht man unter Polymorphie?
h) Bei 120 ◦ C durchläuft BaTiO3 einen Phasenübergang zur kubischen Hochtemperaturphase
und kristallisiert in der kubischen Perowskitstruktur (Raumgruppe P 4 ¯3
2
m m ,
a = 4.0060 ˚A). Berechnen Sie hierfür die Ti–O Abstände des TiO6-Oktaeders.
i) Wie ist das TiO6-Oktaeder bei der Raumtemperaturphase verzerrt?
j) Geben Sie für die Symmetrieoperation 4 + c
die Matrix an.
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(vierzählige Drehung parallel zur c-Achse)

k) Zeigen Sie mit Hilfe dieser Matrix, dass 4 + c
das erzeugende Element einer zyklischen
Gruppe ist. Geben Sie diese Kristallklasse an. Welche Ordnung besitzt diese? Aus wel-
chen Symmetrieoperationen besteht sie?
Aufgabe 5 - Physikalische Eigenschaften (11/100)
a) Charakterisieren Sie einen pyroelektrischen Kristall.
b) Wodurch zeichnen sich ferroelektrische Kristalle gegenüber Pyroelektrika aus?
c) Was kennzeichnet eine polare Kristallklasse?
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d) Gehören die nachfolgenden kristallographischen Punktgruppen
mm2, ¯3, 23, ¯42m, m, 32, 3
zu den polaren Kristallklassen? Begründen Sie Ihre Antwort.
e) Geben Sie die polare Richtung für die polaren Kristallklassen aus Teilaufgabe d) an.
Aufgabe 6 - Röntgenbeugung (13/100)
a) Wie lautet die Bragg-Gleichung der Röntgenbeugung? Erläutern Sie alle darin auftre-
tenden Größen.
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) Wie kann man die Pulverdiffraktogramme eines Metalls mit kubisch primitiver Kristall-
struktur von einem Metall mit kubisch innenzentrierter bzw. kubisch flächenzentrierter
Kristallstruktur unterscheiden? Geben Sie die Auslöschungsbedingungen für die einzel-
nen Gittertypen an.
c) Wie lautet die quadratische Form für den kubischen Fall? Erläutern Sie kurz, wie man
diese zum Indizieren von Reflexen benutzt.
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