¨Ubungen zur Vorlesung Mathematische Methoden der Chemie II ...

Hausaufgaben
Aufgabe 1
Gegeben ist die reelle Funktion f(x, y) = x · exp ( −2x 2 − (y − 1) 2) .
(a) Die Funktion f besitzt in der rechten Halbebene einen stationären Punkt x 0 . Bestimmen Sie
dessen Lage und Art.
(b) Geben Sie das Taylorpolynom zweiter Ordnung von f in x 0 explizit an.
(c) Bestimmen Sie die Grenzwerte lim x→±∞ f(x, y) und lim y→±∞ f(x, y) und geben Sie den Wertebereich
von f an. Beachten Sie dabei die Symmetrie der Funktion.
Aufgabe 2
Lösen Sie das Integral aus der Aufgabe P.2, indem Sie als äußeres Integral über y und als inneres
Integral über x (mit |y|-abhängigen Grenzen) integrieren.
Aufgabe 3
Berechnen Sie das Bereichsintegral
∫
√ x − y dV,
B
wobei B der Bereich aus der Aufgabe P.2 sei, d.h. das Dreieck, das durch die Geraden y = x, y = −x
und x = 1 begrenzt wird.
Aufgabe 4
Sei B der Bereich, der von den Parabeln p 1 : y = 2x 2 − 6 und p 2 : y = 6 − x 2 eingeschlossen wird.
(a) Ermitteln Sie die Schnittpunkte s 1 = (x 1 , y 1 ) und s 2 = (x 2 , y 2 ) von p 1 und p 2 .
(b) Skizzieren Sie B und zeichnen Sie s 1 und s 2 ein.
(c) Berechnen Sie das Bereichsintegral
∫
B
(
1 + 2y
x 2 )
dx dy.
Aufgabe 5
Gegeben sei eine zweidimensionale Gaußfunktion ψ 0 (x, y) = e − a 2 (x2 +y 2) . Berechnen Sie eine normierte
Funktion ψ = Nψ 0 . Gehen Sie dabei wie folgt vor:
(a) Berechnen Sie zunächst
in Kreiskoordinaten r, φ.
∫ ∞ ∫ ∞
−∞ −∞
|ψ 0 (x, y)| 2 dxdy
(b) Zeigen Sie, dass die gesuchte Normierungskonstante eins durch die Wurzel des gerade berechneten
Integrals ist. (Hinweis: ∫ ∫ |ψ| 2 = 1).
Abgabe: Mittwoch, 17.07.2013, 12 Uhr, nach der Vorlesung