¨Ubungen zur Vorlesung Mathematische Methoden der Chemie II ...

PD Dr. S. Grebenschikov
R. Maurer
SoSe 2013
Blatt Nr. 13
10.07.2013
Präsenzübungen
Übungen zur Vorlesung
Mathematische Methoden der Chemie II
Aufgabe 1
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des 1s-Elektrons des Wasserstoffatoms am Ort (x, y, z) ist bestimmt
durch die Funktion
f(x, y, z) = e−2r/a
πa 3
mit r = √ x 2 + y 2 + z 2 . Dabei befindet sich das Proton im Ursprung und a ist der Bohrsche Radius.
Berechnen Sie unter Benutzung von Kugelkoordinaten den mittleren Abstand des Elektrons vom
Proton. Dieser ist gegeben durch
∫ ∫
〈r〉 = r · f(x, y, z)dxdydz
R 3 ∫
Aufgabe 2
Berechnen Sie das Bereichsintegral
∫
B
(1 + xy 2 )dxdy
für den Bereich B ⊆ R 2 , der von den drei Geraden x = y, x = −y und x = 1 eingeschlossen wird,
indem Sie als äußeres Integral über x und als inneres Integral über y (mit x-abhängigen Grenzen)
integrieren. Skizzieren Sie den Bereich B.
Aufgabe 3
Gegeben sei ein gerader Kreiskegel, der so im Raum orientiert ist, dass die Grundfläche in der xy-
Ebene liegt und die Kegelspitze bei S(0,0,1). Die Grundfläche hat den Radius R 0 = 1.
(a) Fertigen Sie eine einfache Skizze eines Schnittes durch den Kegel entlang der yz-Ebene an und
drücken Sie den Kegelradius R(z) als Funktion von z aus.
(b) Berechnen Sie die Funktionaldeterminante für die Transformation in Zylinderkoordinaten ρ, φ, ζ.
Hinweis: Berechnen Sie zunächst die Jacobi-Matrix J f für f : (x, y, z) ↦→ (ρ, φ, ζ).
(c) Berechnen Sie das Bereichsintegral
∫
Θ =
V
(
x 2 + y 2) dxdy dz ,
über das Kegelvolumen V = {0 ≤ √ x 2 + y 2 ≤ R(z), 0 ≤ z ≤ 1}. Transformieren Sie dazu die
Variablen x, y und z in Zylinderkoordinaten:
x = ρ cos(φ), y = ρ sin(φ), z = ζ .

Hausaufgaben
Aufgabe 1
Gegeben ist die reelle Funktion f(x, y) = x · exp ( −2x 2 − (y − 1) 2) .
(a) Die Funktion f besitzt in der rechten Halbebene einen stationären Punkt x 0 . Bestimmen Sie
dessen Lage und Art.
(b) Geben Sie das Taylorpolynom zweiter Ordnung von f in x 0 explizit an.
(c) Bestimmen Sie die Grenzwerte lim x→±∞ f(x, y) und lim y→±∞ f(x, y) und geben Sie den Wertebereich
von f an. Beachten Sie dabei die Symmetrie der Funktion.
Aufgabe 2
Lösen Sie das Integral aus der Aufgabe P.2, indem Sie als äußeres Integral über y und als inneres
Integral über x (mit |y|-abhängigen Grenzen) integrieren.
Aufgabe 3
Berechnen Sie das Bereichsintegral
∫
√ x − y dV,
B
wobei B der Bereich aus der Aufgabe P.2 sei, d.h. das Dreieck, das durch die Geraden y = x, y = −x
und x = 1 begrenzt wird.
Aufgabe 4
Sei B der Bereich, der von den Parabeln p 1 : y = 2x 2 − 6 und p 2 : y = 6 − x 2 eingeschlossen wird.
(a) Ermitteln Sie die Schnittpunkte s 1 = (x 1 , y 1 ) und s 2 = (x 2 , y 2 ) von p 1 und p 2 .
(b) Skizzieren Sie B und zeichnen Sie s 1 und s 2 ein.
(c) Berechnen Sie das Bereichsintegral
∫
B
(
1 + 2y
x 2 )
dx dy.
Aufgabe 5
Gegeben sei eine zweidimensionale Gaußfunktion ψ 0 (x, y) = e − a 2 (x2 +y 2) . Berechnen Sie eine normierte
Funktion ψ = Nψ 0 . Gehen Sie dabei wie folgt vor:
(a) Berechnen Sie zunächst
in Kreiskoordinaten r, φ.
∫ ∞ ∫ ∞
−∞ −∞
|ψ 0 (x, y)| 2 dxdy
(b) Zeigen Sie, dass die gesuchte Normierungskonstante eins durch die Wurzel des gerade berechneten
Integrals ist. (Hinweis: ∫ ∫ |ψ| 2 = 1).
Abgabe: Mittwoch, 17.07.2013, 12 Uhr, nach der Vorlesung