Laser-Wakefield-Beschleunigung am JETI-Einfluss der ...

Laser-Wakefield-Beschleunigung am JETI
Einfluss der Pulsparameter des Lasers auf den
Beschleunigungsprozess
Diplomarbeit
Friedrich-Schiller-Universität Jena
Physikalisch-Astronomische Fakultät
eingereicht von Christina Widmann
geboren am 2. Juli 1984 in Schramberg

1. Gutachter:
Prof. Dr. Malte C. Kaluza
2. Gutachter:
Prof. Dr. Stefan Skupin
Tag der Verleihung des Diploms:

Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung 1
2. Grundlagen 3
2.1. Laserpulse und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1. Beschreibung kurzer Laserpulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.2. Winkelchirp und Pulsfrontverkippung . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3. Ausbreitung eines Gauß-Strahls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Grundlagen der Plasmaphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1. Eigenschaften eines Plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2. Elektromagnetische Wellen im Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Laser-Wakefield-Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1. Bewegung eines Elektrons im Laserfeld . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2. Die ponderomotive Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.3. Relativistische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.4. Der Beschleunigungsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Aufbau 24
3.1. Das JETI-Lasersystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1. Aufbau des Kompressors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.2. Messung der Pulsfrontverkippung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Der experimentelle Aufbau mit Diagnostik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1. Aufbau in der Experimentierkammer . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2. Bestimmung der Intensität im Fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.3. Diagnostik für Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4. Experimente 30
4.1. Verkippung der Pulsfront . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.1. Horizontale Pulsfrontverkippung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.2. Vertikale Pulsfrontverkippung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2. Variation der Ladungsträgerdichte bei unterschiedlicher Pulsenergie des
Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3. Variation der Pulsdauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5. Zusammenfassung 54
Anhang 57
A. Berechnung des Kippwinkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
B. Verkippen des zweiten Gitters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1. Einleitung
Relativistische Elektronenpakete finden Anwendung in vielen Bereichen der Grundlagenforschung.
Mit Energien von einigen GeV werden sie genutzt, um in Undulatoren oder
Freie-Elektronen-Lasern kurzwellige Strahlung zu erzeugen, im Energiebereich von einigen
10 GeV finden sie in Experimenten der Elementarteilchenphysik Anwendung. Durch
die Limitierung des Beschleunigungsgradienten in konventionellen Beschleunigern auf
wenige 10 MV/m sind lange Beschleunigungsstrecken nötig, um Elektronenenergien in
diesen Bereichen zu erreichen.
Der von Tajima und Dawson erstmals vorgeschlagene Laser-Wakefield-Beschleuniger 1
bietet eine Alternative zu konventionellen Beschleunigern. Durch hochintensive Laserpulse
aus Lasersystemen, die auf dem Prinzip der Chirped Pulse Amplification 2 beruhen,
wird dabei eine Plasmawelle angeregt. Bricht diese Welle, werden Elektronen in deren Felder
injiziert und darin beschleunigt. Beschleunigungsgradienten von einigen 100 GV/m,
die im Plasma erreicht werden, ermöglichen kurze Beschleunigungsstrecken von wenigen
Zentimetern und dadurch den Bau von kompakten Beschleunigern. Die Elektronenpakete
haben bedingt durch den Beschleunigungsprozess eine Länge von wenigen µm, was
zeitlich einigen Femtosekunden entspricht. 3 Nutzt man diese Elektronen, um zum Beispiel
in Freie-Elektronen-Lasern Sekundärstrahlung zu erzeugen, erreicht auch diese eine
vergleichbare Pulsdauer 4 und eignet sich daher sehr gut für Experimente, die eine Zeitauflösung
in diesem Bereich erfordern.
Im Jahr 2004 gelang es, quasimonoenergetische Elektronenpakete mit Energien im Bereich
von 100 MeV in einem Laser-Wakefield-Beschleuniger zu erzeugen. 5–7 Mit gezielter
Verlängerung der Beschleunigungsstrecke wurden inzwischen Energien von 1 GeV erreicht.
8 Die Energie- und Richtungsstabilität der Laser-Wakefield-Beschleuniger ist aber
zur Zeit nicht vergleichbar mit der konventioneller Beschleuniger. Um deren Qualität in
diesen Punkten zu verbessern und damit den hohen Anforderungen in den Anwendungen
zu entsprechen, ist ein detailliertes Verständnis des Beschleunigungsprozesses und die
Optimierung der entsprechenden Parameter im Experiment nötig.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem Einfluss der Eigenschaften des Laserpulses auf
den Beschleunigungsprozess. Über eine Veränderung der Justage des Lasersystems wird
1

1. Einleitung
die Pulsfront des Laserpulses verkippt und die Pulsdauer variiert. Damit soll nicht nur
das Elektronensignal optimiert werden, es soll auch festgestellt werden, wie empfindlich
der Beschleunigungsprozess gegenüber nicht optimaler Justage des Lasers ist. Außerdem
wird untersucht, wie mit einer Veränderung der Pulsenergie des Lasers die Teilchendichte
im Gasjet variiert werden muss, um das Elektronensignal für die entsprechende Energie
zu optimieren.
Das zweite Kapitel gibt zunächst einen Überblick über die theoretischen Grundlagen.
Die Grundbegriffe der Laser- und der Plasmaphysik werden erklärt, bevor näher auf das
Verhalten des Laserpulses im Plasma und schließlich den Beschleunigungsprozess selbst
eingegangen wird. Im dritten Kapitel werden die wichtigsten Teile des Lasersystems und
des experimentellen Aufbaus beschrieben. Außerdem wird die verwendete Diagnostik
zur Charakterisierung der Energie der Elektronen und der räumlichen Eigenschaften des
Elektronenpakets vorgestellt. Im vierten Kapitel, in dem die durchgeführten Messungen
beschrieben sind, wird zunächst auf die Beschleunigung mit verkippter Pulsfront eingegangen,
danach werden die Ergebnisse mit unterschiedlicher Pulsenergie des Lasers und
variierter Elektronendichte präsentiert und schließlich wird der Einfluss einer verlängerten
Laserpulsdauer auf den Beschleunigungsprozess untersucht.
2

2. Grundlagen
In den Messungen im Rahmen dieser Arbeit wird die Auswirkung verschiedene Parameter
des Laserpulses auf den Beschleunigungsprozess der Laser-Wakefield-Beschleunigung
untersucht. Im ersten Teil dieses Kapitels sind aus diesem Grund die grundlegenden
Gleichungen zur Beschreibung von Laserpulsen und der Ausbreitung von Laserstrahlen
zusammengefasst. Im zweiten Teil werden die Eigenschaften des Plasmas beschrieben,
bevor im dritten Teil auf die Entwicklung von Laserpulsen im Plasma und den Beschleunigungsprozess
selbst eingegangen wird. Es werden dabei unter anderem vereinfachte
Modelle gezeigt, mit denen einige der Resultate aus den Experimenten erklärt werden
können.
2.1. Laserpulse und ihre Eigenschaften
In diesem Abschnitt werden die Grundbegriffe zur Beschreibung der Ausbreitung von
Laserpulsen im Vakuum und im Medium zusammengefasst. Die ersten beiden Abschnitte
orientieren sich an den Lehrbüchern von A. Siegman 9 und B. Teich, 10 der dritte Abschnitt
an der Veröffentlichung von Pretzler et al. 11
2.1.1. Beschreibung kurzer Laserpulse
Kurze, modengekoppelte Laserpulse können in der Slowly Varying Envelope Approximation
durch ihre Einhüllende A(t) und einen mit der Frequenz ω 0 oszillierenden Anteil
beschrieben werden. Hat die Einhüllende die Form einer Gaußkurve, ist das elektrische
Feld des Pulses gegeben durch
]
E(t) = A(t) · exp(iω 0 t) = A 0 exp
[−2 ln 2 · t2
τp
2 · exp(iω 0 t) (2.1)
und die Intensität mit I(t) ∝ |E(t)| 2 durch
]
I(t) = I 0 exp
[−4 ln 2 · t2
τp
2 . (2.2)
3

2. Grundlagen
τ p ist dabei die Pulsdauer bezogen auf die Halbwertsbreite der Intensitätsverteilung.
Äquivalent ist durch eine Fouriertransformation von E(t) eine Beschreibung des Feldes
im Frequenzraum möglich:
Ẽ(ω) = exp
[−2 ln 2 (ω − ω 0) 2 ]
(∆ω) 2
(2.3)
∆ω = 2π∆ν ist die spektrale Halbwertsbreite. Die beiden Halbwertsbreiten hängen wegen
der Fouriertransformation über das Zeit-Bandbreite-Produkt ∆ν · τ p zusammen. Für
einen Gauß-Puls gilt ∆ν · τ p = 2 ln 2/π = 0, 441.
Im Medium mit Brechungsindex n breitet sich eine Frequenzkomponente mit der Geschwindigkeit
c n = c/n aus, wobei c die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist. Der Brechungsindex
n(ω) ist frequenzabhängig, was dazu führt, dass sich die einzelnen Frequenzkomponenten
unterschiedlich schnell ausbreiten. Damit ändert sich die Phase nicht mehr nur
linear. In erster Näherung wird (2.1) um einen zusätzlichen Phasenterm exp(iat 2 /τ 2 p )
erweitert:
Die Phase ist mit φ = ω 0 t + at 2 /τ 2 p
Frequenz
] [
)]
E(t) = exp
[−2 ln 2 · t2
τp
2 · exp i
(ω 0 t + at2
τp
2
(2.4)
nun quadratisch in der Zeit und die instantane
ω inst = dφ
dt = ω 0 + 2 at
τ 2 p
(2.5)
ändert sich linear mit der Zeit. Der Puls besitzt einen linearen Chirp, der durch den in
(2.4) eingeführten Chirpparameter a beschrieben wird. Für a > 0 laufen die kurzwelligen
Komponenten vor den langwelligen, der Puls hat einen Up-Chirp, für a < 0 einen Down-
Chirp. Durch den Chirp verändert sich die Pulsdauer τ p gegenüber einem ungechirpten
Puls mit
τ ′ p = τ p · √1
+ a 2 . (2.6)
Das Zeit-Bandbreite-Produkt wird dann größer, ∆ν · τ p > 0, 441, die Pulse haben nicht
mehr die aufgrund der spektralen Breite kürzest mögliche Pulsdauer. In den folgenden
Abschnitten wird der Einfluss von Materialdispersion bzw. eines Gitterkompressors auf
den Chirp des Pulses erläutert.
4

2. Grundlagen
Abbildung 2.1.: Skizze des CPA-Prinzips: Ein kurzer Laserpuls wird im Strecker gestreckt. Die
blauen (kurzwelligeren) spektralen Komponenten legen dabei einen längeren Weg
zurück als die roten, ein positiver Chirp wird auf den Puls addiert. Nach der
Verstärkung in mehreren Verstärkerstufen wird der Puls im Kompressor, wo die
roten Komponenten einen kürzeren Weg zurücklegen, wieder komprimiert. Ist ein
Kompressorgitter um den Winkel ɛ 0 gekippt, hat der Puls nach dem Kompressor
einen Winkelchirp C a,x .
Materialdispersion Die Wellenzahl k, die im Medium durch k = n(ω) ω c
gegeben ist,
kann nach ω entwickelt werden:
( )
( ∂k
∂ 2 )
k (ω − ω 0 ) 2 ( ∂ 3 )
k (ω − ω 0 ) 3
k(ω) = k(ω 0 )+ (ω−ω 0 )+
∂ω
ω 0
∂ω 2 +
ω 0
2 ∂ω 3 +. . . (2.7)
ω 0
6
∂k
∂ω ist die inverse Gruppengeschwindigkeit 1/v g des Pulses, ∂2 k
= ∂ 1
∂ω 2 ∂ω v g
beschreibt die
Änderung der inversen Gruppengeschwindigkeit mit der Frequenz ω, die Dispersion zweiter
Ordnung (GVD). Ist dieser Term ungleich Null, bewegen sich unterschiedliche Frequenzkomponenten
des Pulses mit verschiedenen Geschwindigkeiten, laufen auseinander
und ein anfangs ungechirpter Puls verlängert sich. Er besitzt nach der Propagation durch
das Medium einen linearen Chirp. Ist der Puls schon negativ gechirpt, kann ein dispersives
Medium, das für einen positiven Chirp sorgt, den Puls wieder verkürzen.
Bei Pulsen, deren Pulsdauer im Bereich von 50 fs oder darunter liegt, kann auch die
Dispersion dritter Ordnung (TOD) nicht mehr vernachlässigt werden. Sie ist proportional
zum Term ∂3 k
der Entwicklung (2.7). Mit ihm verändert sich dann wegen zusätzlicher
∂ω 3
Phasenterme nicht nur die Pulsdauer, sondern auch die Pulsform während der Propagation.
5

2. Grundlagen
Gitterstrecker/-kompressor
Für die Beugungsordnung m eines Gitters mit Gitterkonstante
G gilt für Licht der Wellenlänge λ
sin α − sin β = mGλ (2.8)
Dabei ist wie in Abbildung 2.1 zu sehen α der Winkel des einfallenden Strahls zur Gitternormalen
und β der Winkel des gebeugten Strahls zur Normalen, der positiv ist, wenn
er auf der anderen Seite der Gitternormalen liegt als der einfallende Strahl. Verschiedene
spektrale Komponenten des Pulses werden durch das Gitter unter unterschiedlichen
Winkeln gebeugt, es entsteht ein Winkelchirp.
Im Gitterstrecker bzw. -kompressor wird dies genutzt. Die spektralen Komponenten
legen Wege mit unterschiedlichen Laufzeiten zurück, was zu einer linearen Phasenverschiebung
führt. Der Strecker oder Kompressor ist damit ein dispersives Element, das
auf einen Puls einen Chirp addiert. Für einen Gitterkompressor mit Gitterabstand l 0 ist
der Chirpparameter a gegeben durch
a = − 1 λ 0 l 0 λ 2 0
τp
2 πc 2 G −2 − (λ 0 /2) 2 (2.9)
λ 0 ist dabei die mittlere Wellenlänge des Pulses. Eine Veränderung des Gitterabstands
l 0 verändert also den Chirp und damit die Pulsdauer des einfallenden Pulses.
Die Veränderung der Pulsdauer durch dispersive Elemente wird bei der Chirped Pulse
Amplification (CPA) 2 genutzt, die in Abbildung 2.1 skizziert ist. Der Laserpuls wird
dabei z.B. in einem Gitterstrecker durch Aufaddieren eines Chirps auf eine wesentlich
längere Pulsdauer gestreckt (vergleiche Gleichung 2.6), wodurch die Pulsspitzenleistung
und die Intensität im Puls sinkt. Der gestreckte Puls wird verstärkt und erst, nachdem
er keine Kristalle oder andere optische Komponenten mehr passieren muss, wieder im
Kompressor komprimiert, indem der im Strecker aufaddierte Chirp kompensiert wird.
Der Puls hat dann fast wieder die ursprüngliche kurze Pulsdauer a , die Intensität auf den
Komponenten und in den Verstärkerkristallen wird allerdings gering gehalten.
2.1.2. Winkelchirp und Pulsfrontverkippung
Sind die Kompressorgitter horizontal oder vertikal gegeneinander verkippt bzw. die Linien
der Gitter gegeneinander verdreht, wird die Winkeldispersion des einen Gitters nicht
a Durch die wellenlängenabhängige Verstärkung des Lasermediums kommt es während des Verstärkungsprozesses
zu einer Verschmälerung des Spektrums, dem sogenannten „Gain Narrowing“. Aufgrund des
schmaleren Spektrums kann der Puls nicht mehr vollständig auf die ursprüngliche Pulsdauer verkürzt
werden.
6

2. Grundlagen
(a) Verkippung der Phasenfronten
(b) Pulsfrontverkippung
Abbildung 2.2.: (a) Ausbreitungsrichtung verschiedener spektraler Komponenten des Laserpulses,
die gegeneinander um den Winkel ϕ(λ) verkippt sind. Die senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung stehenden Phasenfronten (gestrichelte Linien) sind gegeneinander
verzögert, die z-Position der konstruktiven Überlagerung zum Laserpuls
verschiebt sich. (b) zeigt die Wellenfront des Pulses, die sich wegen der Verkippung
ϕ der Phasenfronten der einzelnen spektralen Komponenten nicht mehr an
der gleichen z-Position überlagert. Durch eine geringe Verkippung ϕ der Phasenfronten
in (a) ist die Pulsfront um den Winkel α t gekippt. (Abbildung von
Pretzler et al. 11 )
vollständig durch die des zweiten kompensiert und die spektralen Komponenten breiten
sich unter einem kleinen Winkel ϕ zueinander aus. Ausgehend von der mittleren
Wellenlänge λ 0 entsteht ein von x abhängiger Wegunterschied ∆z zwischen den Wellenfronten
der einzelnen Komponenten (vergleiche Abbildung 2.2a) und somit eine über das
Strahlprofil unterschiedliche Phasenverschiebung ∆Φ(x) mit
∆Φ(x) = 2π ∆z
λ ≈ 2π · ϕ(λ)(x − x 0)
. (2.10)
λ
Über den wellenlängenabhängigen Kippwinkel ϕ kann der Winkelchirp C a mit
( ) ∣ dϕ(λ) ∣∣∣∣
C a =
(2.11)
∣ dλ
λ 0
definiert werden. Dabei ist λ 0 die Wellenlänge der Komponente, die sich parallel zu z im
Abstand x 0 ausbreitet. Die spektralen Komponenten sind abhängig von der x-Position
zeitlich verzögert. Dadurch verschiebt sich abhängig von x die z-Position, an der sich die
einzelnen Komponenten der modengekoppelten Pulse konstruktiv überlagern, was, wie
7

2. Grundlagen
in Abbildung 2.2b gezeigt, zu einer Verkippung der Pulsfront führt. Zwischen der ersten
und letzten Komponente des Pulses entsteht eine Laufzeitverzögerung ∆τ g (x) von
∆τ g (x) = λ 0
c C a(x 0 − x). (2.12)
Der Winkel α t der Pulsfrontverkippung ist größer als der ursprüngliche Verkippungswinkel
der Phasenfronten zueinander und kann aus der Verzögerung ∆τ g berechnet werden:
tan α t ≈ α t = c∆τ g
x 0 − x = λ 0C a . (2.13)
Ist ein Gitter im Kompressor um den Winkel ɛ x in horizontaler Richtung verdreht, wie
in Abbildung 2.1 im Kompressor gezeigt, führt dies nach Hin- und Rückweg durch den
Kompressor zu einem Winkelchirp von
∣ C a,x =
dϕ x
∣∣∣ ∣ dλ ∣ = tan β 0
2Gɛ x cos α ∣ (2.14)
β 0 ist hier der Beugungswinkel der Wellenlänge λ 0 , G ist die Gitterkonstante. Wird zum
Beispiel das Kompressorgitter (G = 1480 /mm, α = 54 ◦ , λ 0 = 800nm) um ɛ x = 0, 5 mrad
verdreht, resultiert daraus ein Winkelchirp C a,x von 1 µrad/nm und eine Pulsfrontverkippung
von 0, 8 mrad. Bei einem Strahldurchmesser von 5 cm haben die beiden Pulsenden
eine Laufzeitverzögerung von 135 fs.
2.1.3. Ausbreitung eines Gauß-Strahls
Zur Beschreibung der Ausbreitung von Laserstrahlen werden oft Gauß-Strahlen verwendet.
Sie liefern eine relativ einfache Beschreibung der Strahlausbreitung, die der in Laserresonatoren
nahe kommt und dabei Beugungseffekte berücksichtigt. Der Strahl wird
durch eine sich langsam verändernde Einhüllende A(⃗r) und eine ebene Welle mit Wellenzahl
k = 2π/λ und Wellenlänge λ beschrieben, die hier in z-Richtung propagiert.
Alle für die Ausbreitung des Strahls relevanten Größen können aus der Wellenlänge λ,
der Amplitude A 0 der Einhüllenden und der Rayleighlänge z R bestimmt werden. Dabei
wird angenommen, dass die Wellenfronten an der Stelle z = 0 keine Krümmung besitzen.
An dieser Stelle hat der Strahl auch den minimalen Radius w 0 mit
w 0 =
√
λzR
π . (2.15)
2w 0 entspricht dabei der 1/e-Breite des transversalen Profils des elektrischen Feldes. Der
8

2. Grundlagen
Abbildung 2.3.: Ausbreitung eines Gauß-Strahls und dessen Fokussierung mit einer dünnen Linse
der Brennweite f
Strahlradius an der Stelle z ist gegeben durch
w(z) = w 0
√
1 + z2
zR
2 . (2.16)
Die Rayleighlänge z R ist somit die Länge, nach der der Radius des Strahls auf √ 2w 0 angewachsen,
die Intensität also auf die Hälfe des Maximalwerts abgefallen ist. Der Verlauf
eines Gauß-Strahls ist in Abbildung 2.3 gezeigt.
Wird der Gauß-Strahl durch eine dünne Linse mit Brennweite f fokussiert, erreicht er
im Fokus einen minimalen Durchmesser w f mit
w f =
w 0
√
1 + (zR /f) 2 . (2.17)
Der fokussierte Strahl ist wieder ein Gauß-Strahl.
2.2. Grundlagen der Plasmaphysik
Ein Plasma besteht aus ionisierter (und neutraler) Materie, es ist quasineutral
und zeigt kollektives Verhalten aufgrund der elektromagnetischen Wechselwirkung
seiner geladenen Komponenten. 12
Durch diese Eigenschaften unterscheidet sich ein Plasma deutlich von anderen Formen
der Materie und kann neben Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen als vierter Materiezustand
angesehen werden. Die Wechselwirkung zwischen geladenen Teilchen wird durch
elektromagnetische Kräfte bestimmt, die im Gegensatz zur Wechselwirkung zwischen
neutralen Teilchen deutlich langreichweitiger sind. Somit beeinflusst ein Teilchen nicht
nur seine nächsten Nachbarn sondern eine Vielzahl von Teilchen, was zum kollektiven
Verhalten des Plasmas führt. In den folgenden Abschnitten, die sich am Lehrbuch von J.
Bittencourt 13 und dem Vorlesungsskript von Prof. M. Kaluza 14 orientieren, werden diese
9

2. Grundlagen
Eigenschaften näher erläutert.
2.2.1. Eigenschaften eines Plasmas
Da auch in anderen Materieformen ionisierte Atome und Moleküle vorkommen, ist die
Definition des Plasmas über das charakteristische kollektive Verhalten wichtig. Es werden
daher vier Kriterien herangezogen, durch die ein Plasma sich von anderen Materiezuständen
unterscheidet.
Temperatur des Plasmas
Die freien Elektronen bewegen sich im Plasma mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten. Analog zur kinetischen Gastheorie kann die Geschwindigkeitsverteilung
als Maxwellverteilung angenommen werden. Aus der mittleren quadratischen
Geschwindigkeit v th der Elektronen und ihrer kinetischen Energie E kin kann
den Elektronen im Plasma eine Temperatur T e zugeordnet werden:
k B ist die Boltzmannkonstante.
E kin = m e
2 v2 th = 3 2 k BT e (2.18)
Debye-Shielding und Debye-Länge Ein Plasma kann aufgrund seiner freien Ladungsträger
Potentiale nach außen abschirmen. Dabei ordnen sich die freien Ladungsträger um
das Potential im Innern des Plasmas an. Wegen der Bewegung der Teilchen bildet sich zur
Abschirmung aber nicht eine infinetisimale Ladungsträgerschicht, sondern ein über die
Debye-Länge λ D langsam abfallendes Potential. Die Debye-Länge λ D ist gegeben durch
λ D =
√
ɛ0 k B T e
m e e 2 (2.19)
mit der Dielektrizitätskonstanten ɛ 0 und der Elementarladung e. Damit das Potential
abgeschirmt werden kann, muss das Plasma eine Ausdehnung L haben, die größer als die
Debye-Länge ist, also L ≫ λ D , das erste Plasmakriterium. Die Dichte der Elektronen
n e im Plasma muss außerdem genügend hoch sein, damit ausreichend Ladungsträger zur
Abschirmung vorhanden sind, d.h. n e λ 3 D
≫ 1, das zweite Plasmakriterium.
Zur makroskopischen Neutralität des Plasmas muss die Ladungsdichte der Elektronen
und der Ionen übereinstimmen, ein drittes Kriterium für ein Plasma.
Plasmafrequenz
Wird das Gleichgewicht eines Plasmas kurzzeitig gestört, bilden sich
elektrische Felder innerhalb des Plasmas, die die geladenen Teilchen zur Oszillation anre-
10

2. Grundlagen
gen. Die Ionen können dabei wegen ihrer höheren Masse als fast konstanter Hintergrund
angesehen werden. Die Elektronen werden aufgrund der Störung ausgelenkt, der Ionenhintergrund
zieht die Elektronen wieder zu ihrer Ruheposition zurück und es bildet sich
eine stationäre Oszillation. Die natürliche Frequenz dieser Oszillation ist die Plasmafrequenz
ω p , die für Elektronen gegeben ist durch
ω p =
√
n e e 2
m e ɛ 0
. (2.20)
Sind zu viele neutrale Teilchen vorhanden, werden die Elektronen zu schnell von Stößen
abgebremst, können nicht mehr oszillieren und der Materiezustand kann nicht mehr als
Plasma angesehen werden. Als letztes Kriterium für ein Plasma muss also die Stoßfrequenz
der Elektronen mit Ionen und anderen Teilchen viel kleiner sein als die Plasmafrequenz.
2.2.2. Elektromagnetische Wellen im Plasma
Die Dispersionsrelation einer elektromagnetischen Welle mit Frequenz ω im Plasma ist
gegeben durch
ω 2 = ω 2 p + k 2 c 2 . (2.21)
k ist hier die Wellenzahl im Plasma. Mit (2.21) kann die Phasengeschwindigkeit der
elektromagnetischen Welle im Plasma bestimmt werden:
v ph = ω k = c ω
√ =
ω 2 − ωp
2
c
√ =: c
1 − ω2 p η > c (2.22)
ω 2
Ein Vergleich von (2.22) mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen
im Medium liefert den Brechungsindex η des Plasmas:
η =
√
1 − ω2 p
ω 2 (2.23)
Er ist kleiner als eins, somit ist die Phasengeschwindigkeit größer als die Vakuumlichtgeschwindigkeit
c. Die Gruppengeschwindigkeit v g der elektromagnetischen Welle im Plasma
ist mit
√
v g = dω
dk = kc 2
√ = c · kc
ωp 2 + k 2 c 2 ω = c · 1 − ω2 p
= cη < c (2.24)
ω2 11

2. Grundlagen
kleiner als die Vakuumlichtgeschwindigkeit c.
Ist die Frequenz ω der elektromagnetischen Welle kleiner als die Plasmafrequenz ω p ,
wird der Brechungsindex η imaginär, das bedeutet, die Lichtwelle kann sich nicht mehr im
Plasma ausbreiten. Die Elektronendichte, ab der die Lichtwelle einer gegebenen Frequenz
ω nicht mehr in das Plasma eindringen kann, wird als kritische Dichte n cr bezeichnet und
entspricht der Dichte, bei der Frequenz ω der Lichtwelle und Plasmafrequenz ω p gleich
sind:
n cr := ω2 ɛ 0 m e
e 2 (2.25)
Plasmen mit einer Elektronendichte n e > n cr werden überdicht, Plamsen mit n e < n cr
unterdicht genannt. Für ein Ti:Sa-Lasersystem mit λ = 800 nm beträgt die kritische
Dichte 1, 7 × 10 21 /cm 3 . Der Brechungsindex η kann auch über die kritische Dichte n cr
definiert werden,
η =
√
1 − ω2 p
ω 2 = √
1 − n e
n cr
(2.26)
eine Definition, die für die weiteren Betrachtungen meist verwendet wird.
2.3. Laser-Wakefield-Beschleunigung
Die Betrachtungen in diesem Abschnitt folgen vor allem dem Vorlesungsskript von Prof.
M.C. Kaluza 14 und den Doktorarbeiten von S. Kneip 15 und S.P.D. Mangles. 16
2.3.1. Bewegung eines Elektrons im Laserfeld
Eine ebene, unendlich ausgedehnte elektromagnetische Welle mit Wellenvektor ⃗ k = k⃗e z
und Frequenz ω, die sich in z-Richtung ausbreitet, kann durch das Vektorpotential ⃗ A mit
⃗A (⃗r, t) = ⃗ A (z, t) = −⃗e x A 0 cos (kz − ωt) (2.27)
beschrieben werden. Die elektrische und magnetische Feldkomponente im Vakuum sind
gegeben durch
⃗E (z, t) = − ∂ A ⃗
∂t = ⃗e xE 0 sin (kz − wt) (2.28)
⃗B (z, t) = ∇ ⃗ × A ⃗ = ⃗e y B 0 sin (kz − wt) (2.29)
12

2. Grundlagen
mit E 0 = A 0 ω und B 0 = A 0 k = E 0 /c. Die Intensität I L entspricht dem zeitlichen Mittel
des Betrags des Pointingvektors ⃗ S,
mit der Permeabilität µ 0 .
〈∣ ∣ ∣∣
I L = S ⃗ ∣∣
〉T = 1 〈∣ ∣〉
∣∣ E ⃗ × B ⃗ ∣∣
µ 0
T
(2.30)
= E 0B 0
2µ 0
= ɛ 0c
2 E2 0 (2.31)
Klassische Bewegung des Elektrons
Die Bewegung eines Elektrons innerhalb dieser Felder wird durch die Lorentzkraft beschrieben.
Die klassische Bewegungsgleichung ist somit
d⃗p e
dt = d [
dt (m e⃗v e ) = −e ⃗E (z, t) + ⃗ve × B ⃗ (z, t)]
. (2.32)
Wegen B 0 = E 0 /c ist der Beitrag des zweiten Terms um den Faktor v e /c kleiner als
der erste Term und kann im nichtrelativistischen Grenzfall, d.h. v e ≪ c, vernachlässigt
werden. Das Elektron oszilliert dann in transversaler Richtung entlang des elektrischen
Feldes. Der zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit und des Ortes kann durch Integration
von (2.32) unter Vernachlässigung des B-Feldes bestimmt werden. Hat das Elektron
zum Zeitpunkt t = 0 am Ursprung die maximale Geschwindigkeit in x-Richtung, sind
Geschwindigkeit und Ort gegeben durch
v e,x (t) = eE 0
ωm e
cos (kz − ωt) (2.33)
x e (t) = − eE 0
ω 2 m e
sin (kz − ωt) . (2.34)
Die maximale Geschwindigkeit ist gegeben durch v max = eE 0 /ωm e . Falls die Geschwindigkeit
v max im Bereich der Lichtgeschwindigkeit liegt, ist diese Näherung nicht mehr
gültig, die Bewegung ist relativistisch. Das normierte Vektorpotential a 0 mit
√ √√√
a 0 = eE 0
ωm e c = I L λ 2 L
(2.35)
1, 37 × 10 18 W cm 2 µm 2
ist direkt mit der Laserintensität I L verbunden. Ist es ungefähr eins oder größer, muss die
Elektronenbewegung relativistisch behandelt werden. Nur für a 0 ≪ 1 ist eine klassische
Betrachtung ausreichend.
13

2. Grundlagen
Relativistische Bewegung des Elektrons
Im relativistischen Fall muss in der Bewegungsgleichung (2.32) der relativistische Impuls
mit dem Lorentzfaktor γ e des Elektrons
γ e =
⃗p e = γ e m e ⃗v e (2.36)
1
√
1 − v 2 e /c 2 = √1 + ⃗p2 e
(m e c) 2 (2.37)
eingesetzt werden. Die Kraft durch das magnetische Feld ⃗ B kann nicht mehr vernachlässigt
werden. Über eine Variablentransformation zur Variablen τ = t − z(t)/c, die die
Phase im mit Lichtgeschwindigkeit bewegten Bezugssystem betrachtet, wird die veränderte
Bewegungsgleichung gelöst. Für die drei räumlichen Koordinaten ergibt sich
x (τ) = ca 0
sin (ωτ) (2.38)
ω
y (τ) = 0 (2.39)
(
z (τ) = ca2 0
τ + 1 )
4 2ω sin (2ωτ) . (2.40)
Das Elektron oszilliert nun zusätzlich zur transversalen Oszillation mit ω in Laserausbreitungsrichtung
mit der doppelten Frequenz des Laserfeldes. Im zeitlichen Mittel bewegt
es sich im Laborsystem mit der konstanten Driftgeschwindigkeit
〈 z
〉
v drift,z =
t
T
= c
a 2 0
a 2 0
+ 4.
(2.41)
Im Bezugssystem, das sich mit dieser Driftgeschwindigkeit entlang der Laserachse bewegt,
führt das Elektron eine Oszillation aus, die die Form einer Acht hat, wobei die Amplitude
in x-Richtung proportional zu a 0 ist, die Amplitude in z-Richtung mit a 2 0 skaliert. Das
bedeutet, je größer a 0 , desto breiter wird die beschriebene Acht, bzw. desto mehr bewegt
sich das Elektron in Laserrichtung.
2.3.2. Die ponderomotive Kraft
Werden statt unendlich ausgedehnter elektromagnetischer Wellen Laserpulse betrachtet,
d.h. das normierte Vektorpotential hat im Fall eines zeitlichen Gaußpulses der 1/e-
14

2. Grundlagen
Pulsdauer τ 0 die Form
[ ( ) ]
τ
2
a(τ) = a 0 exp − sin (ωτ) , (2.42)
τ 0
erfährt das Elektron zunächst ein ansteigendes Feld bis zur Pulsspitze, dann ein abfallendes
bis zum Ende des Pulses. Die Geschwindigkeit eines anfangs ruhenden Elektrons
und somit seine Auslenkung ändern sich über den Puls. Da es aber noch immer nur eine
Oszillation mit dem Feld durchführt, ist es am Ende des Pulses wieder in Ruhe, kann
also keine Energie aus dem Feld gewinnen.
Zusätzlich wird nun die begrenzte räumliche Ausdehnung des Pulses betrachtet. Durch
Fokussieren des Laserpulses kann auf der Propagationsachse im Fokus eine hohe Intensität
erzielt werden, die mit wachsendem Abstand zur Achse schnell abfällt. Das normierte
Vektorpotential auf der Achse ist hoch und die Bewegung des Elektrons ist relativistisch.
Ein Elektron, das sich zu Beginn auf der Laserachse befindet, wird im elektrischen Feld
beschleunigt und würde beginnen zu oszillieren. Mit der Oszillation bewegt es sich aber
von der Achse weg, wo wegen der kleineren Felder die Rückstellkräfte nicht so stark sind
wie auf der Achse, also ist die Beschleunigung zurück geringer und der Mittelpunkt der
Oszillation bewegt sich weg vom Fokus zu Bereichen niedrigerer Intensität. Somit verlässt
das Elektron die Fokusregion mit einer endlichen Geschwindigkeit. Dieser Prozess wird
ponderomotive Streuung oder Streuung aufgrund der ponderomotiven Kraft genannt.
Betrachtet man nicht die einzelnen Oszillationen des Elektrons, sondern bestimmt die
über mehrere Oszillationen gemittelte Kraft auf das Elektron, kann diesem Prozess die
ponderomotive Kraft F ⃗ pond mit
⃗F pond = − 1 e 2
4 〈γ e 〉 T
m e ω ⃗ ( ) 2 2 ∇ ⃗E
1 e 2
(⃗r) = − ∇IL ⃗
2 〈γ e 〉 T
m e ω 2 (⃗r) (2.43)
cɛ 0
zugeordnet werden. 〈γ e 〉 T
ist der über die schnellen Oszillationen gemittelte relativistische
Lorentzfaktor des Elektrons. Die ponderomotive Kraft ist der Richtung des Gradienten
der Intensität entgegengesetzt gerichtet und beschleunigt das Elektron weg vom Fokus.
2.3.3. Relativistische Optik
Laserpulse verändern bei ihrer Ausbreitung im Plasma aufgrund der ponderomotiven
Kraft die Elektronendichte. Da der Brechungsindex und somit die Ausbreitungseigenschaften
des Laserpulses selbst von der Elektronendichte abhängen, treten Effekte auf,
die denen der nichtlinearen Optik ähnlich sind.
15

2. Grundlagen
Für den Brechungsindex gilt im Falle elektromagnetischer Wellen mit großer Amplitude
und relativistischer Elektronen
η =
√
1 − ω2 p
〈γ〉 ω 2 . (2.44)
Für relativistische unterdichte Plasmen mit ω 2 p/ 〈γ〉 ≪ ω 2 kann die Wurzel entwickelt
werden:
ω 2 p
n e
η ∼ = 1 − 1 2 〈γ〉 ω 2 = 1 − 1 (2.45)
2 〈γ〉 n cr
Über die Plasmafrequenz hängt der Brechungsindex von der Elektronendichte n e ab.
Durch die ponderomotive Kraft verdrängt der Laserpuls die Elektronen auf der Propagationsachse.
Außerdem ist der relativistische Faktor 〈γ〉 in Achsennähe größer als in den
Randbereichen, was einer relativistischen Massenzunahme der Elektronen entspricht. Dadurch
bildet sich ein radialsymmetrisches Elektronendichteprofil aus und der Brechungsindex
nimmt mit dem Radius r ab. Entlang der Achse beeinflusst die Elektronendichte
in der Plasmawelle den Brechungsindex und damit die Ausbreitung des Pulses. Die radiale
Veränderung des Brechungsindex führt zur Selbstfokussierung des Pulses, während
die longitudinale Variation Pulskomprimierung und Photonenbeschleunigung verursacht.
Diese Effekte werden in den nächsten Abschnitten beschrieben:
Pulskomprimierung
Eine longitudinale Veränderung des Brechungsindex über die Ausdehnung
des Pulses entlang der Laserachse z führt dazu, dass verschiedene Teile des
Pulses sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit bewegen.
Es wird ein ansteigender Brechungsindex im mit Lichtgeschwindigkeit mitbewegten
Bezugssystem mit ξ = z − ct betrachtet. Da sich das System aus Plasmawelle und Laserpuls
auch mit dieser Geschwindigkeit bewegt, bleibt darin die Brechungsindexmodulation
annähernd räumlich konstant. Werden die Gruppengeschwindigkeiten zweier unterschiedlicher
Komponenten des Pulses v g1 und v g2 betrachtet (siehe Abbildung 2.4a), ist der
Wegunterschied nach einem Zeitraum ∆t in linearer Näherung
∆L = (v g1 − v g2 ) ∆t = L ∂v g
∂z ∆t = L∂v g
∆t. (2.46)
∂ξ
Somit ergibt sich für die zeitliche Entwicklung des räumlichen Abstandes der Komponenten
mit (2.24)
1 ∂L
L ∂t = ∂v g
∂ξ = c∂η ∂ξ , (2.47)
16

2. Grundlagen
(a) Pulskomprimierung im Plasma
(b) relativistische und ponderomotive
Selbstfokussierung
Abbildung 2.4.: (a) zeigt den schematischen Verlauf der Elektronendichte n e normiert auf die
ungestörte Elektronendichte n 0 (schwarz) und des Brechungsindex η (rot) entlang
der Ausbreitungsrichtung des Lasers und die daraus resultierende Phasenund
Gruppengeschwindigkeit v ph bzw. v g im Plasma für verschiedene Komponenten
des Pulses. Der dargestellte Verlauf führt zur Kompression des Pulses.
(b) zeigt das transversale Intensitätsprofil des Pulses (blau), den daraus resultierenden
Brechungsindex η (rot) mit entsprechender Phasengeschwindigkeit v ph .
Die Phasenfront (grün) wird während der Propagation um den Winkel θ gekippt,
der Strahl wird fokussiert.
das bedeutet, bei einer Zunahme des Brechungsindex, was z.B. in einer Plasmawelle der
Abnahme der Elektronendichte aufgrund der ponderomotiven Kraft entspricht, wird der
Abstand zwischen den beiden Komponenten kleiner. Da die Komponenten im vorderen
Teil des Pulses somit langsamer laufen als die im hinteren Teil, holen die hinteren Komponenten
auf und die Pulsdauer verkürzt sich.
Photonenbeschleunigung Aufgrund des Zeit-Bandbreite-Produkts, das die Pulsdauer
mit der spektralen Breite des Laserpulses verbindet, muss mit einer Verkürzung der
Pulsdauer das Spektrum des Pulses breiter werden.
Es werden zwei räumlich unterschiedliche Phasenfronten der selben spektralen Komponente
im gleichen Bezugssystem wie im Abschnitt zuvor betrachtet (siehe Abbildung
17

2. Grundlagen
2.4a). Sie bewegen sich im Zeitraum ∆t um die Strecke
z 1 = z 10 + ∆tv ph,1 , (2.48)
wobei z 10 die Position der ersten Phasenfront zu Beginn und v ph,1 deren Phasengeschwindigkeit
ist, entsprechendes gilt auch für die zweite Phasenfront. Mit z 10 − z 20 = λ 0 ergibt
sich
und somit mit ω = 2πc/λ und (2.22)
z 1 − z 2 = λ = λ 0 − λ 0 ∆t ∂v ph
∂z
1 ∂λ
λ ∂t = 1 ∂ω
ω ∂t = ∂v ph
∂ξ
(2.49)
= c
η 2 ∂η
∂ξ . (2.50)
Beim betrachteten Anstieg des Brechungsindex werden also die spektralen Komponenten
rotverschoben. Erst im hinteren Teil des Pulses, in dessen Bereich der Brechungsindex
wieder abfällt, erfährt der Puls eine Blauverschiebung. Diese Zunahme der Photonenenergie
im hinteren Teil des Pulses wird in der Literatur auch Photonenbeschleunigung
(„photon acceleration“) genannt. 17
Selbstfokussierung
Der in Abbildung 2.4b gezeigte radiale Abfall des Brechungsindex
fokussiert den Laserpuls im Plasma. Werden zwei Komponenten betrachtet, von denen
die erste sich mit v ph1 auf der Strahlachse, die zweite mit v ph2 im Abstand r = w
zur Strahlachse bewegt, ergibt sich nach der Zeit ∆t durch den Laufzeitunterschied der
Winkel θ gegen die Ebene senkrecht zur Strahlachse mit
( )
vph2 − v ph1
θ =
∆t = ∂v ph
w
∂r ∆t = − c ∂v ph
η 2 ∆t, (2.51)
∂r
das bedeutet, die Phasenfronten werden gekrümmt und für v ph2 > v ph1 oder ∂η
∂r < 0
wird der Puls fokussiert. Dabei kann diese Selbstfokussierung die natürliche Beugung
kompensieren und der Laserstrahl kann über längere Strecken als die Rayleighlänge im
Plasma geführt werden, womit die Beschleunigungsstrecke der Elektronen zunimmt.
2.3.4. Der Beschleunigungsprozess
Durch die ponderomotive Kraft verdrängen hochintensive Laserpulse im Plasma die Elektronen
von der Strahlachse, es entsteht eine Dichtemodulation δn e der Elektronendichte.
Der Ionenhintergrund bleibt dabei annähernd unverändert. Durch die räumliche Tren-
18

2. Grundlagen
nung von Elektronen und Ionen entstehen Felder mit bis zu 100 GV/m. 18 Wird die Kraft
auf die verdrängten Elektronen durch die Felder größer als die ponderomotive Kraft des
Laserpulses oder hat dieser sich schon weiterbewegt, schwingen die Elektronen angezogen
von der Kraft des elektrischen Feldes wieder zurück und oszillieren mit der Plasmafrequenz
ω p .
Der Laserpuls bewegt sich mit der Geschwindigkeit v g im Plasma. Da er die Oszillation
anregt, bewegt sich auch die Dichtemodulation δn e mit derselben Geschwindigkeit.
Aus der stehenden Oszillation der Elektronen wird eine sich mit dem Laserpuls
mitbewegende Plasmawelle. Die Phasengeschwindigkeit der Plasmawelle entspricht der
Gruppengeschwindigkeit v g des Lasers. Damit kann der Plasmawelle die Wellenlänge
zugeordnet werden.
λ p = 2πv g
ω p
(2.52)
Die starken Felder in der Plasmawelle können zur Beschleunigung von Elektronen genutzt
werden. Neben der Möglichkeit, Elektronen aus einer externen Quelle zu injizieren,
was jedoch einen sehr präzisen räumlichen und zeitlichen Überlapp von Elektronenpuls
und Plasmawelle erfordert, können Elektronen aus der Plasmawelle durch Wellenbrechen
in die Felder gebracht und beschleunigt werden. In den folgenden Abschnitten wird dieser
Beschleunigungsprozess näher betrachtet.
Eindimensionale Betrachtung des Beschleunigungsprozesses
In der eindimensionalen Betrachtung können die Elektronen nur in longitudinaler Richtung
schwingen. Für kleine Modulationen der Elektronendichte durch den Laserpuls, d.h.
δn e /n 0 ≪ 1, hat das Elektronendichteprofil n e (z) einen sinusförmigen Verlauf (vergleiche
Abbildung 2.5). Die Elektronen erreichen während der Schwingung relativistische
Geschwindigkeiten. Wird ihre Geschwindigkeit in z-Richtung so hoch, dass sie die Welle
überholen, kommt es zum Wellenbrechen. Die Auslenkung der Elektronen wird dabei
größer als die Plasmawellenlänge. Sie gelangen in die nächste Schwingungsperiode der
Welle, lösen sich aus der Oszillation und werden im elektrischen Feld beschleunigt, indem
sie sozusagen das elektrische Feld herunter „surfen“ und dabei Energie aus der Welle
gewinnen.
Das Profil der Welle verändert sich während des Prozesses. Die zunächst sinusförmige
Welle entwickelt zunehmend starke Spitzen. Beim Wellenbrechen überholen einige
Elektronen die Welle und lösen sich wie bei einer brechenden Wasserwelle aus diesen
19

2. Grundlagen
Abbildung 2.5.: Skizziert ist der Beschleunigungsprozess der Elektronen in der Plasmawelle. Der
Laserpuls verdrängt die Elektronen und regt die Plasmawelle als Dichtemodulation
mit der Wellenlänge λ p an. Elektronen mit ausreichend Anfangsenergie und
passender Phase können in die Welle injiziert werden und werden dann im elektrischen
Feld beschleunigt, bis sie das Dephasing Limit erreichen. (Abbildung
aus Diplomarbeit M. Nicolai 19 )
Spitzen. Das elektrische Feld in der Plasmawelle, das zum Wellenbrechen nötig ist, wird
im eindimensionalen relativistischen Fall beschrieben durch 20
E wb = m ecω p
e
√ ( ) ω
2 − 1 . (2.53)
ω p
Die Anregung der Plasmawelle ist besonders effizient, wenn der Laserpuls kurz genug ist,
um in eine halbe Plasmawellenlänge zu passen, d.h.
cτ p < λ p /2. (2.54)
Die Elektronen können in diesem Fall ungehindert zurückschwingen, nachdem sie vom
Laserpuls ausgelenkt wurden.
Die Energie, die die Elektronen gewinnen können, hängt von der Länge der Beschleunigungsstrecke
ab, die von einigen Faktoren begrenzt wird:
Dephasing Length
Relativistische Elektronen bewegen sich fast mit Lichtgeschwindigkeit,
die Plasmawelle bewegt sich jedoch mit der Gruppengeschwindigkeit des Laserpulses,
die geringer ist als die Elektronengeschwindigkeit. Die Elektronen überholen die Plasmawelle
und gelangen in Bereiche, in denen das elektrische Feld in entgegengesetzte Richtung
gerichtet ist, sie also wieder abbremst. Die maximale Länge, über die die Elektronen bis
zu diesem Limit beschleunigt werden können, nennt sich Dephasing Length L D .
20

2. Grundlagen
Für den linearen, eindimensionalen Fall kann sie über den Geschwindigkeitsunterschied
der Plasmawelle und der Elektronen abgeschätzt werden, wobei in guter Näherung angenommen
wird, dass die Elektronen sich während der Beschleunigung mit Lichtgeschwindigkeit
bewegen. Die Elektronen werden nach der Zeit t D der Plasmawelle eine halbe
Wellenlänge voraus sein, bevor sie im entgegengerichteten Feld abgebremst werden:
t D = λ p/2
= λ p 2ω 2
c − v g 2 cωp
2
(2.55)
Die lineare Dephasing Length ist damit
L lin
ω 2
D = c · t D = λ p . (2.56)
ω 2 p
Bei einer Elektronendichte n e von 1, 2 × 10 19 /cm 3 und einem Laser mit Wellenlänge
λ = 800 nm entspricht das einer Länge von 1, 4 mm.
Depletion Length Während des Beschleunigungsprozesses verliert der Laserpuls Energie,
die er an die Plasmawelle abgibt. Reicht seine Energie nicht mehr aus, um die Welle
weiter zu treiben, bricht der Beschleunigungsprozess ab. Die Länge, die der Laser bis zu
diesem Punkt im Plasma propagiert, nennt sich Depletion Length.
Maximal möglicher Energiegewinn
Die maximale Energie, die ein Elektron aus der
Plasmawelle gewinnen kann, ist gegeben durch die Beschleunigung im mittleren elektrischen
Feld Ēz über die Dephasing Length. Im eindimensionalen linearen Fall ist das
mittlere elektrische Feld über eine Schwingungsperiode gegeben durch
Ē z = ω pm e c a 2 0
e 4 . (2.57)
Wird der Laserpuls über die gesamte Dephasing Length geführt, ist der maximale Energiegewinn
1
∫ LD
Wmax lin = −e E z (z)dz = π
0
2 m ec 2 a 2 n cr
0 . (2.58)
n e
Dreidimensionale Betrachtung des Beschleunigungsprozesses
In der dreidimensionalen Betrachtung des Beschleunigungsprozesses verändert sich das
Verhalten des Laserpulses im Plasma, die Entwicklung der Plasmawelle und schließlich
das Brechen der Welle. Die Elektronen werden auch transversal ausgelenkt und der Laser-
21

2. Grundlagen
Abbildung 2.6.: Die Abbildung zeigt die Simulation des Beschleunigungsprozesses im Regime des
hochgradig nichtlinearen Wellenbrechens. Der Laserpuls läuft von links durch das
Bild und verdrängt die Elektronen komplett. Es bildet sich ein Bereich, der frei
von Elektronen ist, die Bubble. Die Elektronen, die nicht transversal weggestreut
werden, sammeln sich am hinteren Ende der Bubble, wo einige injiziert werden.
An der Spitze des injizierten Elektronenpakets sind einige Elektronen mit hoher
Energie zu erkennen. Sie bilden den quasimonoenergetischen Anteil im Spektrum.
(a) zeigt die Bubble für ct/λ = 500, (b) für ct/λ = 700. Ein Vergleich der
Bilder zeigt die Zunahme der Elektronenenergie und die Verlängerung der Bubble
im Verlauf des Beschleunigungsprozesses. Der quasimonoenergetische Peak
bleibt dabei bestehen. (Abbildung von Pukhov et al. 3 )
puls schafft durch die ponderomotive Kraft einen Bereich, in dem sich nur noch wenige bis
keine Elektronen mehr befinden. Der Verlauf des Beschleunigungsprozesses ist stark von
Parametern wie der Elektronendichte im Plasma und der Pulsdauer des Lasers abhängig.
Pukhov et al. 3 unterscheiden drei Regime der Laser-Wakefield-Beschleunigung.
Für kurze Laserpulse mit hoher Pulsenergie wird ein Regime des hochgradig nichtlinearen
Wellenbrechens in 3D-PIC-Simulationen beobachtet. Der Laserpuls kann alle
Elektronen verdrängen und hinterlässt eine Bubble, die frei von Elektronen ist (vergleiche
Abbildung 2.6. Ein Großteil der verdrängten Elektronen wandert am Rand der
Bubble zu deren hinterem Ende, wo einige von ihnen in die Bubble gelangen und darin
beschleunigt werden. Der Laserpuls entwickelt dabei durch die in Abschnitt 2.3.3 beschriebenen
Effekte eine steile Front mit einer hohen Spitzenleistung. In diesem Regime
werden Spektren mit monoenergetischen Peaks beobachtet.
Ist die Energie der Laserpulse etwas geringer, können nicht alle Elektronen durch den
Puls verdrängt werden. Es entsteht in der Plasmawelle eine Region mit geringer Elektronendichte,
an deren Rand sich die verdrängten Elektronen ansammeln. Auch in diesem
Regime werden Elektronen in den Bereich geringerer Dichte injiziert und im Feld
zwischen den Elektronen am Rand und dem Ionenhintergrund beschleunigt, allerdings
werden breite Spektren beobachtet, die keinen monoenergetischen Anteil zeigen.
22

2. Grundlagen
Den Betrachtungen liegt zunächst zugrunde, dass der Laserpuls in eine halbe Wellenlänge
der Plasmawelle passt und somit die gesamte Energie des Pulses für die Anregung
der dreidimensionalen Welle zur Verfügung steht. Ist der Laserpuls länger, wird er in
mehrere Teilpulse aufgespaltet. 21 Dieser Vorgang wird „Self-Modulated“ Laser-Wakefield-
Beschleunigung (SM-LWFA) genannt. Die Teilpulse werden in einer Halbwelle weiter
durch relativistische Effekte verkürzt und erreichen dadurch Intensitäten, die ausreichen,
um die Plasmawelle zu brechen. In diesem Fall ist aber eine stark erhöhte Pulsenergie
nötig, um das hochgradig nichtlineare Regime des Wellenbrechens mit quasimonoenergetischen
Spektren zu erreichen.
Für Pulse, die sich über einige Perioden der Plasmawelle erstrecken, beschreiben Pukhov
et al. die Beschleunigung als ein Regime, in dem die SM-LWFA und die direkte
Laserbeschleunigung gleichzeitig vorliegen. In diesem Bereich wird zwar noch eine Plasmawelle
erzeugt, aber das Spektrum der Elektronen zeigt einen exponentiellen Abfall.
Der Beschleunigungsprozess ist damit also neben der Pulsenergie vor allem vom Verhältnis
der Länge des Laserpulses c · τ p zur Plasmawellenlänge λ p abhängig. Da die Plasmawellenlänge
von der Elektronendichte abhängt, verändert sich bei einer Variation der
Dichte das Beschleunigungsregime.
23

3. Aufbau
Alle Experimente im Rahmen dieser Arbeit wurden am JETI-Lasersystem durchgeführt.
In diesem Abschnitt werden die für die Experimente relevanten Teile des Lasersystems
sowie der Aufbau in der Experimentierkammer und die Diagnostik, die zur Detektion der
Elektronen nötig ist, vorgestellt.
3.1. Das JETI-Lasersystem
Das Jenaer Titan:Saphire-Lasersystem (JETI) ist ein auf dem Prinzip der Chirped Pulse
Amplification (CPA) 2 basierendes Hochleistungslasersystem. Die Laserpulse werden in
einem modengekoppelten Oszillator erzeugt, vorverstärkt und in einem Gitterstrecker
auf 300 ps gestreckt, bevor sie in einem regenerativen Verstärker und drei Multipass-
Verstärkern auf eine Energie von 1, 3 J gebracht werden. Danach werden die Pulse im
Kompressor, der in Abschnitt 3.1.1 näher beschrieben ist, auf ca. 28 fs komprimiert. Mit
einem SPIDER der Firma APE wird neben der Pulsdauer auch die Phase des Pulses
bestimmt. Der SPIDER ist mit einem akkusto-optischen Modulator, dem DAZZLER,
gekoppelt, der die Phase des Pulses glättet.
Das JETI-Lasersystem arbeitet bei einer Zentralwellenlänge von 800 nm mit einer Repetitionsrate
von 10 Hz. Der Strahldurchmesser betrug während der Experimente ca.
6 cm. In der Experimentierkammer haben die Pulse eine Energie von 0, 65 J, womit abhängig
von der Fokussierung eine Intensität im Bereich von bis zu 10 19 W/cm 2 erreicht
werden kann.
3.1.1. Aufbau des Kompressors
Der Kompressor besteht aus zwei Blaze-Gittern mit Gitterkonstante G = 1480 /mm. Wie
in Abbildung 3.1 gezeigt fällt der Laserpuls unter dem Einfallswinkel α auf das Gitter
G1 und wird von diesem spektral aufgespalten und auf das zweite Gitter G2 gelenkt. Das
Gitter G2 kompensiert den am ersten Gitter entstandenen Winkelchirp und kollimiert
den Strahl. Der spektral aufgespaltene Puls fällt auf den Dachspiegel SD, der einen
Höhenversatz von 8 cm erzeugt, und läuft den Weg über die Gitter wieder zurück bis
24

3. Aufbau
Abbildung 3.1.: Schematischer Aufbau des Kompressors: Der Puls wird am Gitter G1 mit Einfallswinkel
α unter dem Beugungswinkel β(λ) wellenlängenabhängig gebeugt,
Gitter G2 kompensiert den Winkelchirp des ersten Gitters wieder. Durch den
Dachspiegel SD wird ein Höhenversatz erzeugt. Nachdem der Puls über die beiden
Gitter zurückgelaufen ist, wird er vom Spiegel S zum Experiment gelenkt.
zum Spiegel S, der den Strahl zum Experiment umlenkt. Die ganze Anordnung befindet
sich im Vakuum.
Über den Gitterabstand kann die Dispersion zweiter und höherer Ordnung verändert
werden. Eine Variation des Einfallswinkels erzeugt unter anderem Dispersion dritter Ordnung.
Der Abstand der beiden Gitter und die Drehung der Gitter um in der horizontalen Ebene
kann über Schrittmotoren eingestellt werden. Zusätzlich ist eine vertikale Verkippung
des zweiten Gitters möglich.
3.1.2. Messung der Pulsfrontverkippung
Sind die Gitter nicht optimal zueinander ausgerichtet, entsteht nach 2.1.2 eine Pulsfrontverkippung.
Zur Messung der Verkippung wird der von Pretzler et al. vorgestellte
interferometrische Feldkorrelator verwendet, 11 der schematisch in Abbildung 3.2 dargestellt
ist.
Der Laserpuls wird in einem Mach-Zehnder-artigen Interferometer in zwei Replikas
aufgespalten. Eines davon wird dabei durch den Dachspiegel SD in einer Dimension
invertiert. Durch Verschieben dieses Spiegels werden beide Replika zeitlich gegeneinander
verzögert. Sie werden am Strahlteiler wieder überlagert und das Interferenzbild wird mit
einer Kamera aufgenommen.
Aufgrund der kurzen Pulsdauer bilden sich nur in dem Bereich Interferenzstreifen, in
dem es einen zeitlichen Überlapp gibt. Ist die Pulsfront wie in Abbildung 3.2 gezeigt verkippt,
wird dies nur ein Teil des Strahlquerschnitts sein und die Interferenzstreifen wan-
25

3. Aufbau
Abbildung 3.2.: Schematischer Aufbau des interferometrischen Feldkorrelators: Der Laserpuls
mit verkippter Pulsfront (rot) wird am Strahlteiler ST in zwei Replikas aufgespalten.
Eines der beiden wird am Dachspiegel SD räumlich in einer Richtung
invertiert (blau) und kann durch Verschieben von SD zeitlich verzögert werden.
Nach dem zweiten Strahlteiler ST überlagern sich die Replika wieder. Auf der
CCD-Kamera sind in dem Bereich, in dem es einen zeitlichen Überlapp der Replika
gibt, Interferenzstreifen zu beobachten.
dern in diesem Fall mit einer Veränderung der Verzögerung über den Strahlquerschnitt.
Wird die Intensitätsverteilung entlang der Interferenzstreifen betrachtet, verschiebt sich
dadurch das Intensitätsmaximum von einer Seite des Strahlquerschnitts zur anderen.
Ohne Pulsfrontverkippung verschwinden die Interferenzstreifen bei einer Variation der
Verzögerung gleichmäßig und die Intensität der Interferenzstreifen nimmt gleichmäßig
ab.
Die Pulsfrontverkippung kann mit diesem Aufbau nur entlang einer der Achsen transversal
zur Strahlrichtung gemessen werden. Zur Messung der Pulsfrontverkippung in der
anderen Richtung wird der Messplatz um 90 ◦ gedreht.
3.2. Der experimentelle Aufbau mit Diagnostik
3.2.1. Aufbau in der Experimentierkammer
Der Laserstrahl wird in der Experimentierkammer von drei ebenen Spiegeln unter einem
Winkel von 8 ◦ auf eine Parabel der Brennweite 1 m gelenkt. Der Fokus der Parabel liegt
ca. 1 mm über der Überschall-Gasdüse. In Abbildung 3.3 ist eine Skizze des Aufbaus
gezeigt.
Das Elektronenpaket bewegt sich entlang der Strahlachse des Lasers. Auf dem ersten
Szintillations-Schirm a , dem Zielschirm, kann das Strahlprofil und die Richtung des
a Zur Detektion der Elektronen werden Szintillationsschirme genutzt. Sie bestehen aus einer pulverisierten
Schicht phosphorisierender Seltener Erden, die durch die Elektronen, aber auch durch Röntgenund
Gammastrahlung zu Fluoreszenz angeregt werden. Die Schirme im Elektronenspektrometer sind
besonders sensitiv (KODAK Biomax MS), im Zielschirm wird ein weniger sensitiver Szintillationsschirm
genutzt.
26

3. Aufbau
Abbildung 3.3.: Skizze des Aufbaus des Experiments: Der Laserstrahl wird von der Parabel in
dem Gasjet fokussiert. Die dort beschleunigten Elektronen können entweder auf
dem Lanex im Zielschirm, wo Richtung und Strahlprofil bestimmt werden, oder
im Spektrometer, wo die Elektronen durch ein Magnetfeld je nach Energie unterschiedlich
stark abgelenkt auf zwei Szintillationsschirme treffen, detektiert
werden.
Strahls beobachtet werden, im Elektronenspektrometer kann die Energieverteilung der
Elektronen auf zwei weiteren Szintillationsschirmen gemessen werden.
Die Gasdüse Die Überschall-Gasdüse besteht aus einem Zylinder mit einer konischen
Öffnung, die am unteren Ende einen Innendurchmesser von 1 mm, am oberen Ende einen
Durchmesser von 3 mm hat. Mit dieser Geometrie ist die Teilchengeschwindigkeit im Gasjet
größer als die Schallgeschwindigkeit und der Gasjet hat ca. 1 mm über der Düse ein
konstantes Teilchendichteprofil mit steil abfallenden Flanken. Im Experiment wird dadurch
eine relativ konstante Elektronendichte über den Düsenquerschnitt und somit die
gesamte Beschleunigungslänge erreicht, was für die Stabilität des Beschleunigungsprozesses
wichtig ist.
Die Düse ist auf ein Ventil mit einem Innendurchmesser von 0, 7 mm geschraubt, dessen
Öffnungszeitpunkt relativ zur Ankunft des Laserpulses und dessen Öffnungszeit extern
gesteuert werden können. Die Gasdichte des Heliums, das in den Messungen verwendet
wird, wird über den Hintergrunddruck, der über einen Druckminderer eingestellt werden
kann, variiert.
Optimieren des Fokus Um den Fokus zu betrachten, ist neben der Gasdüse ein Mikroskopobjektiv
angebracht, mit dem der Fokus über einen Spiegel auf eine CCD-Kamera
(Basler A102f 12 bit) außerhalb der Experimentierkammer abgebildet wird.
Für die Experimente ist wichtig, dass die Fokusposition festgehalten wird und gleichzeitig
die Richtung, aus der der Laserpuls in den Fokus gelangt, mit der Achse vom
27

3. Aufbau
Mittelpunkt der Parabel zum Ausgang des Elektronenspektrometers übereinstimmt. Zur
Justage werden zwei Helium-Neon-Laser verwendet. Der erste wird in einem der letzten
Töpfe des Vakuumsystems eingekoppelt und auf den Laserstrahl gelegt. Der zweite wird
auf die Mitte des Spektrometerausgangs und die Parabelmitte justiert. Dieser muss auch
mittig durch das Mikroskopobjektiv verlaufen.
Der Fokus wird durch Verändern des Kippwinkels der Parabel optimiert. Da sich seine
Position dabei verschiebt, muss er mit dem letzten Spiegel vor der Parabel wieder auf
das Objektiv gelegt werden. Dadurch verändert sich die Richtung des Strahls im Fokus,
der Strahl verläuft nicht mehr auf der Achse durchs Spektrometer. Die Strahlrichtung
wird mit dem zweiten und dritten Spiegel in der Kammer korrigiert, indem der mit
dem Laserstrahl überlagerte Justierlaser und der Justierlaser, der die Achse definiert,
wieder übereinander gelegt werden. Da sich dabei der Winkel des Strahls auf die Parabel
ändert, muss neu fokussiert werden. Dieser Vorgang wird iterativ fortgesetzt, bis der
Fokus optimiert ist und gleichzeitig der Laserstrahl auf der Achse verläuft.
3.2.2. Bestimmung der Intensität im Fokus
Die Intensität im Fokus kann bei Hochleistungslasern nicht durch eine direkte Messung
bestimmt werden, da Messgeräte weder die räumliche Genauigkeit haben und noch der
hohen Intensität standhalten. Die Intensität wird deshalb aus der Pulsenergie im Fokus,
der Fokusfläche und der Pulsdauer bestimmt.
Die Pulsdauer τ p wird mit dem SPIDER zwischen Kompressor und Experimentierkammer
gemessen. Zur Bestimmung der Fokusfläche A wird die Abbildung, die zur Optimierung
des Fokus genutzt wird, kalibriert. Mit den aufgenommenen Bildern kann neben
der Fläche des Fokus auch der Anteil der Energie, der in der Halbwertsfläche des Fokus
liegt, bestimmt werden. Dazu wird das Verhältnis der Energie in der Halbwertsfläche
als Summe der Pixelwerte zur Gesamtsumme aller Pixel des Bildes betrachtet. Dieses
Verhältnis wird als q-Faktor bezeichnet.
Zur Bestimmung der Pulsenergie im Fokus wird die Pulsenergie E p vor der Parabel
gemessen und mit dem q-Faktor multipliziert. Die Intensität im Fokus ist damit
I t = E p · q
A · τ p
. (3.1)
Damit sind alle für das Experiment notwendigen Größen zur Charakterisierung des Laserpulses
bestimmt.
28

3. Aufbau
3.2.3. Diagnostik für Elektronen
Der Zielschirm Das räumliche Profil und die Richtung des Elektronenstrahls können
auf dem Zielschirm betrachtet werden, einem Szintillationsschirm, der ca. 32, 5 cm hinter
der Gasdüse in den Elektronenstrahl gefahren wird. Der Schirm steht unter einem Winkel
von 45 ◦ zur Strahlachse und wird von einer CCD-Kamera (Basler A102f 12 bit), die
senkrecht zur Strahlachse auf den Schirm gerichtet ist, beobachtet. In dieser Geometrie
ist das aufgenommene Bild nicht verzerrt. b Mit Hilfe eines Punktrasters mit Punktabstand
0, 5 cm können die Abstände auf dem Schirm bestimmt werden. Um das Laserlicht
abzuschirmen, ist dieser mit Alufolie lichtdicht abgeklebt. Da der Szintillationsschirm
auch für Röntgen- und Gammastrahlung empfindlich ist, haben die Bilder dennoch einen
Untergrund, der bei der Auswertung der Bilder berücksichtigt werden muss.
Elektronenspektrometer Im Elektronenspektrometer werden die Elektronen von einem
20 cm langen und 10 cm breiten Magnetjoch auf zwei Szintillationsschirme gelenkt.
Der erste Schirm, der Niedrigenergieschirm, zeigt dabei die Elektronen von 20 MeV bis
56 MeV, auf dem Hochenergieschirm sind die Elektronen von 59 MeV bis ca. 250 MeV
aufgelöst. Die Spektren auf den Schirmen werden mit zwei CCD-Kameras (Basler A102f
12 bit) aufgenommen. Zwischen den beiden Schirmen entsteht aufgrund der Befestigung
eine kleine Lücke. Da die gemessene Intensität pro Ladung auf den beiden Schirme nicht
übereinstimmt, muss das Spektrum des einen Schirms mit einer Konstanten multipliziert
werden. Die Konstante wird über den Vergleich von breiten Spektren, die sich über beide
Schirme erstrecken, aus verschiedenen Messungen bestimmt.
Durch die runde Eintrittsöffnung von 2 cm ist der Akzeptanzwinkel des Spektrometers
auf 20 mrad beschränkt. Die maximal erreichte Energie in den Messungen liegt im Bereich
von 100 MeV. Für diesen Wert ergibt sich aufgrund der maximal möglichen Divergenz des
Elektronenstrahls eine Messungenauigkeit von 20 MeV. Für kleinere Energien wird der
Wert geringer, die Ungenauigkeit bleibt aber dennoch groß. Mit einem Spalt von 2 mm vor
dem Magneten kann die Auflösung deutlich gesteigert werden. Da das Elektronensignal
im Spektrometer schon bei kleinen Abweichungen von der optimalen Justage trotz des
relativ großen Akzeptanzwinkels von 20 mrad stark abgenommen hat, wurde der Spalt
in den Experimenten, die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführt wurden, nicht genutzt.
b Steht der Schirm im Winkel δ zum Strahl, wird das Bild zunächst um den Faktor 1/ sin δ gestreckt.
Das Bild der Kamera, die senkrecht zum Strahl steht, ist um den Faktor cos(90 ◦ − δ) gestaucht. Für
δ = 45 ◦ heben sich die beiden Faktoren auf und das aufgenommene Bild ist nicht verzerrt.
29

4. Experimente
Der experimentelle Teil dieser Diplomarbeit ist in drei Teile gegliedert. Im ersten wird
die Auswirkung einer Pulsfrontverkippung auf den Laserpuls im Fokus und den Beschleunigungsprozess
untersucht, im zweiten Teil wird die Pulsenergie des Lasers und
die Elektronendichte des Plasmas variiert, im dritten Teil wird für die Laser-Wakefield-
Beschleunigung ein gechirpter Laserpuls verwendet.
4.1. Verkippung der Pulsfront
Durch Drehen des zweiten, größeren Kompressorgitters wird ein Winkelchirp im Puls
erzeugt, der zu einer Pulsfrontverkippung führt. Durch die Verkippung ändern sich die
Parameter des Pulses im Fokus und in dessen naher Umgebung, was die Richtung, die
Richtungsstabilität und das Spektrum der Elektronen beeinflusst.
4.1.1. Horizontale Pulsfrontverkippung
Das Kompressorgitter wird mit der kleinst möglichen Schrittweite um die vertikale Achse
gedreht, was zu einem Winkelchirp in der horizontalen Ebene, die im weiteren Verlauf
des Experiments als x bezeichnet wird, führt. Der Versatz des Strahls, der durch die
Drehung entsteht, wird einige Meter nach dem Kompressor gemessen. Aus dem Kippwinkel
des Strahls kann dann der Drehwinkel des Gitters berechnet werden. Mit dem
letzten Spiegel S im Kompressor (vergleiche Abbildung 3.1) wird die Richtung des Strahls
korrigiert. Dabei entsteht ein Parallelversatz von wenigen Millimetern, der aber keinen
messbaren Einfluss auf die Richtung der Elektronen hat und deshalb in der Auswertung
vernachlässigt wird. Die Drehachse des Gitters liegt nicht auf dessen Oberfläche, weshalb
beim Drehen des Gitters sich effektiv der Abstand der beiden Gitter ändert und die
Pulsdauer über eine Veränderung des Gitterabstandes wieder auf den minimalen Wert
gebracht werden muss. Während des Drehens und der anschließenden Richtungskorrektur
wird die Fokusposition in der Experimentierkammer durch das Fokussierobjektiv
festgehalten.
30

4. Experimente
Drehwinkel des Gitters und Berechnung der Pulsfrontverkippung Der Strahl wurde
5 m nach dem letzten Kompressorgitter aus dem Vakuumsystem ausgekoppelt und
der horizontale Versatz ∆s, der bei der Drehung entsteht, markiert und gemessen. Der
Kippwinkel δ des Laserstrahls wird über
tan δ ≈ δ = ∆s
5 m
(4.1)
bestimmt. Für den Drehwinkel des Gitters gilt dabei (Herleitung siehe Anhang A)
ɛ x = −
δ
( ). (4.2)
2 1 + cos β
cos α
Mit dem Einfallswinkel α = 54 ◦ , dem Beugungswinkel β = 22 ◦ und der Gitterkonstanten
G = 1480 /mm kann nach (2.14) der Winkelchirp C a,x , nach Gleichung (2.13) die Pulsfrontverkippung
α t und nach Gleichung (2.12) die Laufzeitverzögerung ∆τ g berechnet
werden.
δ ɛ x C a,x α t ∆τ g
3, 6 mrad −0, 7 mrad −1, 5 µrad/nm −1, 2 mrad 237 fs
1, 6 mrad −0, 3 mrad −0, 7 µrad/nm −0, 5 mrad 105 fs
0, 6 mrad −0, 1 mrad −0, 3 µrad/nm −0, 2 mrad 39 fs
0, 0 mrad 0, 0 mrad 0, 0 µrad/nm 0, 0 mrad 0 fs
−0, 7 mrad 0, 1 mrad 0, 3 µrad/nm 0, 2 mrad 46 fs
−2, 8 mrad 0, 6 mrad 1, 2 µrad/nm 0, 9 mrad 184 fs
−4, 8 mrad 1, 0 mrad 2, 0 µrad/nm 1, 6 mrad 315 fs
Tabelle 4.1.: Aus dem Kippwinkel δ des Laserstrahls berechnete Werte für den Drehwinkel ɛ x
des Gitters, den Winkelchirp C a,x (nach (2.14)), die Pulsfrontverkippung α t (nach
(2.13)) und die Laufzeitverzögerung ∆τ g (nach (2.12)). Zur Unterscheidung der
Richtung wird C a,x in den ersten drei Messungen als negativ definiert.
Die Richtung der Drehung ist dabei, den Kompressor von oben betrachtet, im mathematischen
Sinn, d.h. eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn entspricht einem positiven
Drehwinkel. Zur Berechnung der Laufzeitverzögerung ∆τ g wird der Strahldurchmesser
von 6 cm eingesetzt. Zur Unterscheidung der Drehrichtungen wird C a,x mit gleichem Vorzeichen
wie der Drehwinkel ɛ x des Gitters in den ersten drei Messungen negativ gewählt.
Messung mit dem interferometrischen Feldkorrelator
Die Pulsfrontverkippung kann
qualitativ mit dem in 3.1.2 beschriebenen interferometrischen Feldkorrelator gemessen
31

4. Experimente
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Abbildung 4.1.: Aufnahmen mit dem interferometrischen Feldkorrelator mit unterschiedlichen
Verzögerungen: (a) - (c) Aufnahmen eines Pulses ohne Pulsfrontverkippung; (d)
- (f) Aufnahmen eines Pulses mit Winkelchirp |C a,x | = 1, 2 µrad/nm und Pulsfrontverkippung
α t = −0, 9 mrad. Die Interferenzstreifen sollten in diesem Fall
von einer Seite des Strahlquerschnitts zur anderen verlaufen, was allerdings weder
in den Bildern noch in deren Auswertung zu erkennen ist.
werden. In Abbildung 4.1 sind die Aufnahmen bei verschiedenen Verzögerungen für die
optimale Gitterjustage ohne Pulsfrontverkippung und mit einer Pulsfrontverkippung von
α t = −0, 9 mrad gezeigt. Hat der Puls keine verkippte Pulsfront, sollten die Interferenzstreifen
bei Veränderung der Verzögerung der beiden Arme zueinander gleichmäßig auf
der ganzen Breite der Mode auftauchen und wieder verschwinden, sobald die Pulse sich
nicht mehr überlagern. Im Fall einer verkippten Pulsfront sollte das Interferenzmuster
von einer Seite zur anderen über den Strahl wandern.
In den Aufnahmen ist keine deutliche Verkippung der Pulsfront zu erkennen, obwohl
die Kompressorgitter gegeneinander verdreht wurden. Auch bei Aufnahmen mit größerer
Verzögerung als in Abbildung 4.1 gezeigt ist keine eindeutige Aussage über die Pulsfrontverkippung
möglich. Das Intensitätsmaximum des Querschnitts entlang eines Interferenzstreifens
verschiebt sich trotz verkippter Pulsfront nicht über den Strahlquerschnitt
(vergleiche Abbildung 4.1(d)-(f)).
Am Messplatz selbst scheint eine Verkippung besser erkennbar zu sein, jedoch ist neben
32

4. Experimente
α t = 0, 5 mrad
1, 5 mm
1, 0 mm
0, 5 mm
0 mm
−0, 5 mm
−1, 0 mm
−1, 5 mm
−2, 5 mm
−2, 0 mm
1, 5 mm
2, 0 mm
1, 0 mm
0, 5 mm
0 mm
−1, 0 mm
−0, 5 mm
α t = 0 mrad
−1, 5 mm
−2, 0 mm
Abbildung 4.2.: Aufnahmen des fokussierten Strahls in unterschiedlichem Abstand zur Fokusposition.
Im ersten Fall ist die Pulsfront um α t = 0, 5 mrad verkippt, der Fokus
wurde aber mit der verkippten Pulsfront optimiert. Im zweiten Fall ist die Pulsfront
nicht verkippt, allerdings scheint der Fokus einen Astigmatismus zu haben.
der eher subjektiven Beurteilung der Kamerabilder keine quantitative Aussage über die
Verkippung der Pulse möglich. Die Messgenauigkeit des Messplatzes reicht nicht aus,
um die Verkippung, die in Tabelle 4.1 aufgeführt ist, zu messen. Sie wurde zusätzlich
durch eine schlechte Strahlmode, die die Interferenzstreifen verzerrt, und eine nicht mehr
optimale Justage des Messplatzes verschlechtert.
Für die weiteren Messungen wird die Position, bei der mit dem interferometrischen
Feldkorrelator keine Verkippung gemessen wurde und bei der der Beschleunigungsprozess
am effizientesten war, als Ausgangspunkt gewählt und angenommen, dass bei dieser
Gitterstellung die Pulsfront nicht verkippt ist.
Veränderung des Fokus durch eine verkippte Pulsfront Durch die Pulsfrontverkippung
und den damit verbundenen Winkelchirp wird die Intensität im Fokus wegen einer
verlängerten Pulsdauer durch zwei Aspekte verringert.
Zum einen fallen die spektralen Komponenten des Pulses unter unterschiedlichen Winkeln
auf die Parabel, was zu einer spektralen Aufspaltung im Fokus führt. Lokal ist somit
im Fokus die spektrale Breite geringer als die des unfokussierten Pulses und somit wegen
des Zeit-Bandbreite-Produkts die Pulsdauer nicht mehr minimal. 11
33

4. Experimente
Zum anderen hat die Projektion des Pulses auf die Propagationsachse durch die verkippte
Pulsfront die Dauer der Laufzeitverzögerung. Solange der Strahl nicht fokussiert
ist, ist der Puls lokal kurz. Im Fokus allerdings kommen die gegeneinander verzögerten
Komponenten zu unterschiedlichen Zeiten an und die effektive Pulsdauer entspricht ungefähr
der Laufzeitverzögerung, 22 die bei einem Strahldurchmesser von 6 cm schon bei
kleiner Pulsfrontverkippung einem Vielfachen der ursprünglichen Pulsdauer des JETI von
ca. 30 fs entspricht (vergleiche letzte Spalte in Tabelle 4.1). Dadurch sinkt die Intensität
im Fokus stark. Gleichzeitig wird der Puls schon bei kleinen Kippwinkeln der Pulsfront
so lang, dass er bei der Anregung der Plasmawelle in mehrere Unterpulse aufgespalten
wird und die Energie in einer Halbwelle trotz der Pulskomprimierung im Plasma nicht
mehr zum Brechen der Welle ausreicht.
Die Pulsdauer wird im Experiment mit dem SPIDER gemessen und über den Gitterabstand
im Kompressor wieder minimiert. Für die SPIDER-Messung wird allerdings nur
ein kleiner Ausschnitt des Strahls verwendet. Der Puls scheint trotz der langen Pulsdauer
im Fokus kurz zu sein a . Die SPIDER-Messung sagt in diesem Fall also nichts über die
Pulsdauer im Fokus aus.
Neben dem zeitlichen Profil des Fokus ändert sich auch das räumliche Profil. Durch
die schon erwähnte räumliche Aufspaltung der spektralen Komponenten wird der Durchmesser
des Fokus in Richtung des Winkelchirps größer. Die Pulsfrontverkippung wirkt
sich ähnlich aus wie ein Astigmatismus, bei dem die unterschiedlichen Komponenten
des Strahls nicht im gleichen Punkt fokussiert werden. Mit dem Winkelchirp C a ist der
Versatz der einzelnen Komponenten in der Fokusebene gegeben durch 11
∆x = fC a (λ − λ 0 ). (4.3)
Damit ergibt sich zum Beispiel mit einem Parabolspiegel der Brennweite f = 1 m, einem
Puls mit einer Bandbreite ∆λ von 40 nm und einem Winkelchirp von C a = 1 µrad/nm,
was ungefähr den gemessenen Werten im Experiment entspricht, ein maximaler Versatz
von ∆x = 40 µm (gemessener Durchmesser des Fokus ohne Winkelchirp: 16 µm). Der
Fokus wird also in Richtung des Winkelchirps gestreckt, ist dann elliptisch und seine
Fläche verdoppelt sich ungefähr.
Ein möglichst runder Fokus ist für den Beschleunigungsprozess am günstigsten. Desa
Bei einem Strahldurchmesser von 3 mm, was ungefähr dem Durchmesser der Blenden im SPIDER entspricht,
und einer Pulsfrontverkippung von 1 mrad hat die Projektion auf die Strahlachse eine Länge
von 3 µm, was einer Dauer von 10 fs, also einem Drittel der Pulsdauer im Experiment entspricht.
Die gemessene Pulsdauer wird dadurch um einige Femtosekunden länger, was allerdings wegen der
üblichen Schwankungen nicht auffällig ist.
34

4. Experimente
halb wird beim Fokussieren neben der Fläche auch die Form des Fokus optimiert. Ist
der Fokus allerdings in einer Richtung wegen des Winkelchirps gestreckt, wird bei einem
runden Fokus die andere Richtung durch einen Astigmatismus b um den selben Faktor
gestreckt.
In Abbildung 4.2 ist der fokussierte Laserstrahl für unterschiedliche z-Positionen zu
sehen. Die Fokusposition liegt jeweils bei z = 0, negative Werte entsprechen der Richtung
zur Parabel. Es tritt der oben beschriebene Effekt auf: Der Fokus wurde vor der ersten
Messung, bei der der Puls noch eine deutliche Verkippung von 0, 5 mrad hatte, in Größe
und Form optimiert. Aufgrund der Pulsfrontverkippung und des Astigmatismus geht der
Fokus beim Vergrößern des Abstandes in Ausbreitungsrichtung nicht rund auf, wie in
Abbildung 4.2 zu sehen ist. Während der Messung wurde allerdings vermutet, dass dies
auf eine schlechte Strahlmode zurückgeht.
Nach dem Verdrehen des Kompressors wurde der Fokus nicht mehr optimiert, da eine
Optimierung nach den üblichen Kriterien aus den genannten Gründen nicht sinnvoll
erschien. Wegen der verkippten Pulsfront während des Fokussierens bleibt die Form des
Fokus auch ohne Pulsfrontverkippung schlecht (vergleicht Abbildung 4.2 unten). Es ist
zu erkennen, dass auch für α t = 0 mrad der Astigmatismus nicht verschwindet und der
Fokus wie erwartet eine elliptische Form bekommt. Seine Fläche nimmt von anfänglich
220 µm 2 um 10% zu.
Richtung und Richtungsstabilität der Elektronen Die Experimente wurden mit einer
Pulsenergie von 570 mJ bis 650 mJ vor der Parabel durchgeführt. Die mit dem SPIDER
gemessene Pulsdauer blieb konstant bei 33 fs ± 3 fs, die Verlängerung der Pulsdauer
im Fokus durch die Pulsfrontverkippung ist dabei nicht berücksichtigt. Der Fokus hatte
eine Fläche von 220 µm 2 ± 10 µm 2 , bevor am Kompressorgitter gedreht wurde. Der
Hintergrunddruck betrug 40 bar, was in der Gasdüse zu einer Elektronendichte von ca.
1, 2 × 10 19 /cm 3 führt. Für jeden Drehwinkel des Gitters wurden ca. 100 Bilder des Elektronenstrahlprofils
am Zielschirm aufgenommen.
In Abbildung 4.3 sind die gemittelten Bilder des Zielschirms zu sehen. Für die Mittelung
werden alle Bilder eines Sets aufaddiert und das Gesamtbild wird durch die Bildanzahl
geteilt. Die entsprechende Pulsfrontverkippung und die Laufzeitverzögerung, die den
Werten aus Tabelle 4.1 entsprechen, sind den Bildern zugeordnet.
b Während des Verstärkungsprozesses und der Vergrößerung des Strahldurchmessers im Laser passiert
der Puls mehrere Linsen, wodurch der Strahl schon im Laser einen Astigmatismus hat. Dieser kann
dann beim Fokussieren durch eine Veränderung des Einfallswinkels auf die Parabel kompensiert werden.
Gleichzeitig entsteht aber durch eine Abweichung vom optimalen Einfallswinkel auf die Parabel
auch ein Astigmatismus, der während des Fokussierens minimiert werden soll.
35

4. Experimente
Abweichung y / mrad Abweichung y / mrad Abweichung y / mrad Abweichung y / mrad
40
0
−40
−80
−100 −50 0 50
40
0
−40
−80
−100 −50 0 50
40
0
−40
−80
−100 −50 0 50
40
0
−40
−80
−100 −50 0 50
C a,x = −0, 7 µrad/nm
α = −0, 5 mrad
∆τ g =105 fs
C a,x = −0, 3 µrad/nm
α = −0, 2 mrad
∆τ g =39 fs
C a,x = 0 µrad/nm
α = 0 mrad
∆τ g =0 fs
C a,x = 0, 3 µrad/nm
α = 0, 2 mrad
∆τ g =46 fs
Abweichung y / mrad
40
0
−40
−80
−100 −50 0 50
Abweichung x / mrad
C a,x = 1, 2 µrad/nm
α = 0, 9 mrad
∆τ g =184 fs
Abbildung 4.3.: Gezeigt sind die gemittelten Zielschirmbilder für unterschiedlichen Winkelchirp
des Laserpulses mit entsprechender Pulsfrontverkippung und Group Delay. Die
weißen Punkte geben die Richtung der einzelnen Elektronenpackete an. Der Nullpunkt
des Koordinatensystems entspricht der Laserrichtung.
36

4. Experimente
100
40
Anteil in %
80
60
40
20
RMS / mrad
30
20
10
0
−2 −1 0 1 2
C a / µrad/nm
(a) Anteil an Schüssen mit rundem oder elliptischem
Strahlprofil
0
−2 −1 0 1 2
C a / µrad/nm
(b) Richtungsstabilität
Abbildung 4.4.: (a) Anteil der Schüsse, bei denen am Zielschirm ein Elektronenpaket mit rundem
oder elliptischem Strahlprofil beobachtet wird. Das Vorzeichen des Winkelchirps
wurde zur Unterscheidung der Richtungen gleich gewählt wie das des Drehwinkels
ɛ x . (b) Richtungsstabilität der Elektronenpakete als RMS der Abweichung
von der Laserachse.
Zur Bestimmung der Richtungstabilität der Elektronenpakete wird eine Ellipse über
das mit dem Zielschirm aufgenommene Strahlprofil der einzelnen Bilder gelegt. Der Mittelpunkt
definiert die Richtung der Elektronen, die Hauptachse der Ellipse wird zur
Berechnung der Divergenz genutzt. Gibt es mehrere Maxima oder ist das Profil zu breit
gestreut, werden die Aufnahmen bei der Betrachtung der Richtungsstabilität und der
Divergenz nicht berücksichtigt c .
Wie schon nach den Abschätzungen im letzten Abschnitt zu vermuten war, nimmt
der Anteil der Schüsse, bei denen Elektronen detektiert werden, sowie die Ladung in
den Elektronenpaketen schon mit einer Verdrehung des Gitters um ca. 0, 1 mrad wegen
der deutlich längeren Pulsdauer im Fokus stark ab. Während ohne Pulsfrontverkippung
in über 90 % der Fälle Elektronen mit einem runden oder elliptischen Strahlprofil beobachtet
wurden, fällt die Wahrscheinlichkeit bei der ersten Verdrehung um ein Drittel
(vergleiche Abbildung 4.4a). Wird ein Kompressorgitter also nur leicht verdreht, verschlechtert
sich das Elektronensignal merklich.
In Abbildung 4.4b ist zu sehen, dass die Richtungsstabilität der Elektronen mit zunehmender
Pulsfrontverkippung abnimmt. Während ohne Pulsfrontverkippung die Abc
Da für Anwendungen hauptsächlich die Elektronenpakete mit gutem Strahlprofil und geringer Divergenz
von Bedeutung sind, wird in der Auswertung ihre Stabilität betrachtet. Die Richtungsstabilität
erreicht dabei einen besseren Wert, weil die stark streuenden, divergenten Elektronenpakete nicht in
die Betrachtung eingehen. Das sollte bei einem Vergleich mit anderen Messungen beachtet werden.
37

4. Experimente
20
Position x / mrad
10
0
−10
−20
−2 −1 0 1 2
C a / µrad/nm
Abbildung 4.5.: Gemittelte x-Position der Elektronenpakete, die Fehlerbalken geben die mittlere
Divergenz eines Elektronenpakets in mrad an.
weichung von der Strahlachse 9, 3 mrad RMS beträgt, steigt sie mit größer werdendem
Kippwinkel. Die Bilder zum Messpunkt mit α t = 0, 3 mrad wurden mit einer kleineren
Blende vor der Kamera aufgenommen, weshalb nur die intensiven Elektronenpakete detektiert
wurden, somit auch der Anteil von Elektronen mit rundem oder elliptischem
Strahlprofil geringer ist. Wird die Richtungsstabilität der Messung mit α t = −0, 3 mrad
und der Messung mit α t = 0, 3 mrad verglichen, liegt die Vermutung nahe, dass die intensiveren
Elektronenpakete stabiler in der Richtung sind, während die Pakete mit weniger
Elektronen stärker streuen.
Die Richtung der Elektronen verändert sich nicht mit einer Verkippung der Pulsfront,
wie in Abbildung 4.5 zu erkennen ist. Die mittlere Divergenz der Sets ist als Fehlerbalken
eingezeichnet. Erwartet wurde, dass sich die über ein Set gemittelte Richtung
der Elektronen beim Drehen des Gitters in horizontaler Richtung verschiebt, wie von A.
Popp et al. 23 in vertikaler Richtung gezeigt wurde. Die von A. Popp et al. gemessene
Verschiebung bleibt allerdings unter 10 mrad, die Richtungsstabilität und die Divergenz
der Elektronen liegt in der Messung am JETI im Bereich dieses Wertes wie in Abbildung
4.5 und 4.4b zu sehen ist. Es ist daher möglich, dass eine Richtungsänderung aus diesem
Grund nicht gemessen werden konnte. A. Popp et al. haben eine gasgefüllte Kapillare als
Gaszelle statt eines Gasjets zur Beschleunigung genutzt, wodurch eine deutlich bessere
Richtungsstabilität erreicht wurde. Innerhalb der Gaszelle sind die Dichteschwankungen
aufgrund von Turbulenzen im Gasfluss gering und es bildet sich ein homogeneres Gasdichteprofil
aus als im Überschall-Gasjet, was die Stabilität des Beschleunigungsprozesses
deutlich erhöht und damit die Richtungsstabilität der Elektronen verbessert.
38

4. Experimente
2
2
dN/dE / a.u.
1.5
1
0.5
dN/dE / a.u.
1.5
1
0.5
0
40 60 80 100
Energie / MeV
0
40 60 80 100
Energie / MeV
(a) monoenergetisches Spektrum
(b) Spektrum mit breitem Untergrund
Abbildung 4.6.: (a) zeigt ein monoenergetisches Spektrum mit E max = 62 MeV und
∆E/E = 9%; (b) zeigt ein Spektrum mit breitem Untergrund und einem Peak
bei E max = 70 MeV. Die fehlenden Werte knapp unter 60 MeV entstehen durch
die Lücke zwischen den beiden Schirmen.
Spektren Die Spektren der Elektronen wurden nur für die Messung ohne Pulsfrontverkippung
und mit α t = ±0, 2 mrad ausgewertet. Für alle weiteren Messungen war die
Richtungsstabilität zu gering für den Akzeptanzwinkel des Spektrometers oder die Ladung
in den Elektronenpaketen nicht ausreichend, um auf den Schirmen im Spektrometer
ein Signal zu beobachten.
Ohne Pulsfrontverkippung treffen 80% der Pulse ins Spektrometer. Die meisten Spektren
zeigen einen breiten Untergrund mit einem kleinen Peak im Bereich zwischen 70 MeV
und 90 MeV. Weniger als 5% der Spektren zeigen einen monoenergetischen d Peak mit
einer Breite ∆E/E < 10%. Die maximale Energie dieser Spektren ist mit ca. 60 MeV
etwas geringer. Zwei Beispielspektren sind in Abbildung 4.6 gezeigt.
Mit einer um α t = 0, 3 mrad verkippten Pulsfront gelangen nur noch 40% der Elektronenpulse
ins Spektrometer. Die Spektren zeigen wie auch bei der Messung ohne Winkelchirp
einen breiten Untergrund mit einzelnen Peaks im gleichen Energiebereich, jedoch
ist die Ladung pro Elektronenpaket geringer.
4.1.2. Vertikale Pulsfrontverkippung
Nach der horizontalen Drehung des Kompressorgitters soll auch die Auswirkung einer vertikalen
Pulsfrontverkippung auf den Elektronenbeschleunigungsprozess untersucht werd
Im experimentellen Teil der Arbeit werden die quasimonoenergetischen Spektren als „monoenergetisch“
bezeichnet.
39

4. Experimente
(a) mit vertikal verkippter Pulsfront
(b) minimal verkippte Pulsfront
Abbildung 4.7.: Vergleich von Aufnahmen des Hochenergieschirms des Elektronenspektrometers.
In (a) ist die Pulsfront in vertikaler Richtung verkippt, was zu einer Wellenform
der Spektren führt, in (b) wurde die Pulsfrontverkippung minimiert, die Wellenform
verschwindet.
den. Nach der ersten Verkippung wurde allerdings der Strahl am letzten Spiegel des
Kompressors abgeschnitten und die Messung musste abgebrochen werden. Mit dem interferometrischen
Feldkorrelator wurde daraufhin die Pulsfrontverkippung so gering wie
möglich eingestellt. Mit diesen beiden Messpunkten kann keine Aussage über eine eventuelle
Strahlverschiebung oder eine veränderte Richtungsstabilität getroffen werden. Die
gefundene optimale Position des Gitters stimmt nicht mit der Anfangsposition überein,
was bedeutet, dass das Kompressorgitter während der horizontalen Drehung auch vertikal
verkippt war.
In den Spektren kann die von Popp et al. beschriebene Wellenform beobachtet werden,
sobald eine vertikale Pulsfrontverkippung vorliegt (vergleiche Abbildung 4.7). Diese
Wellenform tritt auch in den Spektren auf, die während der Messung in Abschnitt 4.1.1
aufgenommen wurden. Nach der Korrektur der Pulsfrontverkippung verschwindet die
Struktur und die Spektren sind wieder als Linie auf den Szintillationsschirmen zu sehen.
Von A. Popp et al. 23 durchgeführte dreidimensionale PIC-Simulationen zeigen, dass
sich aufgrund der Verkippung der Pulsfront ein Profil des Brechungsindex im Plasma
ausbildet, das schräg zur Laserachse verläuft. Läuft der obere Teil des Pulses vor dem unteren,
führt das dazu, dass der Laserpuls sich langsam nach oben entlang dieses schrägen
Profils von der Achse wegbewegt. Die Plasmawelle verliert ihre Symmetrie zur Laserachse.
Dadurch werden die Elektronen nicht auf der ursprünglichen Laserpropagationsachse
injiziert, sondern etwas in vertikaler Richtung verschoben. Sie oszillieren deshalb um die
Richtung des Elektronenstrahls und haben, aufgrund der unterschiedlichen Injektionszeiten,
auch andere Beschleunigungszeit erfahren. Daher gehören zu den verschiedenen
Phasen der Oszillation auch unterschiedliche kinetische Energien. Im Spektrum führt das
40

4. Experimente
zu einer Ablenkung nach oben oder unten, die von der Elektronenenergie abhängt und somit
zur beobachteten Wellenform führt. Die horizontale Pulsfrontverkippung verursacht
keine Wellenform, da die Elektronen in horizontaler Richtung oszillieren und das nur zu
einer Positionsverschiebung auf dem Energieschirm führt. Die Elektronen scheinen eine
andere Energie zu haben.
Zusammenfassung des Abschnitts Die Messung hat gezeigt, dass der Beschleunigungsprozess
durch eine verkippte Pulsfront stark beeinflusst wird. Schon bei minimaler Abweichung
von der optimalen Justage des Kompressors sinkt die Gesamtladung der Elektronenpakete
und die Richtungsstabilität nimmt ab. Die erwartete Richtungsänderung
konnte in den Messungen wahrscheinlich aufgrund der zu großen Divergenz und zu geringen
Richtungsstabilität der Elektronen nicht beobachtet werden. Zudem scheinen die
Diagnostik, die momentan zur Messung der Pulsfrontverkippung verwendet wird, und die
Genauigkeit, mit der das Kompressorgitter justiert werden kann, für die Anforderungen
des Experiments nicht ausreichend zu sein.
4.2. Variation der Ladungsträgerdichte bei unterschiedlicher
Pulsenergie des Lasers
Über den Hintergrunddruck des Gasjets wird die Elektronendichte n e im Plasma variiert.
Bei drei unterschiedlichen Pulsenergien des Lasers wird dabei beobachtet, wie das Strahlprofil
der einzelnen Elektronenpakete, die Richtungsstabilität sowie das Energiespektrum
sich verändern.
Die Elektronendichte wurde für einen Wert des Hintergrunddrucks in einem späteren
Experiment am selben Aufbau über eine interferometrische Messung bestimmt. Über die
Dichte an diesem Messpunkt und den linearen Anstieg vom Ursprung zu diesem Punkt
werden die weiteren Werte festgelegt. Die Elektronendichte wird während der Messungen
von 3 × 10 18 /cm 3 bis 2, 4 × 10 19 /cm 3 variiert. Unterhalb einer Dichte von 9 × 10 18 /cm 3
konnten keine Elektronen am Zielschirm detektiert werden, weshalb diese Messungen im
Folgenden nicht mehr betrachtet werden. Die Pulsenergie wurde vom maximal verfügbaren
Wert 0, 6 J vor der Parabel auf 0, 45 J und 0, 3 J reduziert. Nach dem Fokussieren
wurde eine FWHM-Fokusfläche von 200 µm 2 und ein q-Wert von 0,24 erreicht. Die Pulsdauer
betrug 32 fs. Die im Fokus erreichte Intensität I t und das normierte Vektorpotential
a 0 sind in der folgenden Tabelle aufgetragen.
41

4. Experimente
E t I t a 0
0, 6 J 2, 3 × 10 18 W/cm 2 1,1
0, 45 J 1, 7 × 10 18 W/cm 2 0,8
0, 3 J 1, 1 × 10 18 W/cm 2 0,5
Tabelle 4.2.: Nach (3.1) und (2.35) berechnete Werte für die Intensität I t im Fokus und normiertes
Vektorpotential a 0 für die drei gewählten Pulsenergien E t vor der Parabel.
Auswertung der Zielschirmbilder In Abbildung 4.8 sind die gemittelten Zielschirmbilder
gezeigt. Elektronenbeschleunigung ist mit jeder der drei unterschiedlichen Pulsenergien
möglich. Mit sinkender Energie ist aber eine Zunahme der Gas- und somit Elektronendichte
nötig. Während bei voller Energie schon bei einer Dichte von 9 × 10 18 /cm 3
Elektronen auf dem Zielschirm detektiert werden, ist bei einer Pulsenergie von 0, 45 J
eine Elektronendichte von 1, 2 × 10 19 /cm 3 und bei 0, 3 J über 1, 8 × 10 19 /cm 3 nötig.
In Abbildung 4.9a ist der Anteil der Elektronenpakete mit rundem oder elliptischem
Strahlprofil aufgetragen. Wie im vorherigen Abschnitt wird über das Strahlprofil am
Zielschirmbild eine Ellipse gelegt, deren Mittelpunkt als Strahlrichtung gewählt und deren
Hauptachse zur Berechnung der Divergenz des Strahls genutzt wird. Bei zu niedriger
Elektronendichte können dabei keine Elektronen am Zielschirm beobachtet werden
oder die Ladung des detektierten Elektronenpakets ist zu gering, sodass es nicht in die
Auswertung eingeht. Im Bereich mittlerer Elektronendichte zwischen 1, 2 × 10 19 /cm 3
und 1, 5 × 10 19 /cm 3 erreicht der Anteil an Elektronenpaketen mit gutem Strahlprofil
ein Maximum. Mit höheren Dichten steigt die Gesamthelligkeit der Zielschirmbilder, die
Elektronen sind aber breit gestreut, in der Richtung nicht stabil und es treten mehrere
Maxima gleichzeitig auf. Die gemittelten Bilder zeigen deshalb bei Elektronendichten
von 1, 8 × 10 19 /cm 3 und 2, 4 × 10 19 /cm 3 trotz höherer Ladung pro Elektronenpaket eine
breitere und daher weniger intensive Verteilung. Der Anteil an Elektronenpaketen mit
rundem oder elliptischem Strahlprofil ist in diesem Bereich wieder geringer.
Ein charakteristisches Einzelbild für jeden der Messpunkte ist in Abbildung 4.10 gezeigt.
Während bei geringen Dichten das Strahlprofil annähernd rund bis elliptisch und
die Ladung auf einen kleinen Bereich des Zielschirms konzentriert ist, nimmt der Untergrund
mit der Elektronendichte zu, bis bei einer Dichte von 2, 4 × 10 19 /cm 3 der Schirm
fast ganz ausgeleuchtet ist und mehrere kleine Maxima zu erkennen sind.
Im Diagramm in Abbildung 4.9b ist die Richtungsstabilität der einzelnen Messungen
aufgetragen. Der ansteigende RMS-Wert zeigt, dass die Elektronenrichtung bei höheren
Dichten stärker streut. Die höchste Richtungsstabilität wird jeweils am zweiten Mess-
42

4. Experimente
E = 0.6 J E = 0.45 J E = 0.3 J
ne = 2.4 · 10 19 /cm 3
ne = 1.8 · 10 19 /cm 3
ne = 1.5 · 10 19 /cm 3
ne = 1.2 · 10 19 /cm 3
ne = 0.9 · 10 19 /cm 3
Abbildung 4.8.: Über ein Set gemittelte Zielschirmbilder für verschiedene Pulsenergien E t des
Lasers vor der Parabel (Spalten) und unterschiedliche Elektronendichten n e im
Gasjet (Zeilen).
43

4. Experimente
E t = 0, 6 J
E t = 0, 45 J
E t = 0, 3 J
E t = 0, 6 J
E t = 0, 45 J
E t = 0, 3 J
100
40
Anteil in %
80
60
40
20
RMS / mrad
30
20
10
0
1 1.5 2 2.5
Elektronendichte / cm −3
(a) Anteil an Schüssen mit rundem oder elliptischem
Strahlprofil
0
1 1.5 2 2.5
Elektronendichte / cm −3
(b) Richtungsstabilität
Abbildung 4.9.: (a) zeigt den Anteil der Elektronenpakete mit rundem oder elliptischem Strahlprofil.
(b) Richtungsstabilität als RMS der Abweichung von der Laserachse.
punkt erreicht, an dem auch der Anteil an Elektronenpaketen mit rundem oder elliptischem
Strahlprofil ein Maximum hat.
´
Für lineare Plasmawellen kann die Abhängigkeit von Laserintensität und Elektronendichte
über die Gleichungen (2.53) und (2.57) abgeschätzt werden: Gleichung (2.57) gibt
das mittlere elektrische Feld Ēz in einer linearen Plasmawelle an, Gleichung (2.53) das
elektrische Feld, bei dem die Welle bricht. Zum Zeitpunkt des Wellenbrechens sind die
beiden Felder gleich:
Ē z = E wb (4.4)
√
ω p m e c a 2 0
e 4 = m ( )
ecω p ω
2 − 1
(4.5)
e ω p
√
a 2 ( )
0 ω
4 = 2 − 1
(4.6)
ω p
Da das normierte Vektorpotential a 0 proportional zur Wurzel der Laserintensität ist,
ergibt sich daraus der Zusammenhang I L ∝ 1/ √ ω p . Damit ist die Laserintensität I wb ,
die zum Brechen der Plasmawelle nötig ist, proportional zu 1/ √ ω p . Mit zunehmender
44

4. Experimente
E = 0.6 J E = 0.45 J E = 0.3 J
ne = 2.4 · 10 19 /cm 3
ne = 1.8 · 10 19 /cm 3
ne = 1.5 · 10 19 /cm 3
ne = 1.2 · 10 19 /cm 3
ne = 0.9 · 10 19 /cm 3
Abbildung 4.10.: Gezeigt ist je ein charakteristisches Einzelbild für jeden Messpunkt des Dichte-
Energie-Scans. Die drei Spalten entsprechen der Pulsenergie E t am Target, die
Zeilen sind aufsteigend nach der Elektronendichte n e angeordnet.
45

4. Experimente
Elektronendichte nimmt nach (2.20) die Plasmafrequenz zu und damit die Intensität I wb
ab, wie es auch in den Messungen beobachtet wurde. Gleichzeitig nimmt nach (2.56)
die Dephasing Länge ab, was eine Ursache für das schlechter werdende Strahlprofil mit
zunehmender Elektronendichte sein kann.
Pukhov et al. 3 haben wie schon in Abschnitt 2.3.4 erwähnt gezeigt, dass dreidimensionale
Effekte einen starken Einfluss auf die zum Wellenbrechen nötige Energie, aber auch
auf den Beschleunigungsmechanismus haben. Mit der Elektronendichte nimmt die Plasmawellenlänge
λ p ab. Während der Messungen wurde also das Verhältnis von Pulslänge
cτ p zur Plasmawellenlänge λ p variiert.
Mit maximaler Pulsenergie wird bei den beiden geringsten Dichten eine sehr hohe Richtungsstabilität
von ca. 10 mrad erreicht. Dieser Bereich kommt dem Regime des hochgradig
nichtlinearen Wellenbrechens am nächsten. Mit zunehmender Elektronendichte wird
das Strahlprofil und die Richtungsstabilität schlechter, das Beschleunigungsregime ändert
sich. Mit geringerer Pulsenergie kann kaum noch das gute Strahlprofil des Regimes
des hochgradig nichtlinearen Wellenbrechens erreicht werden.
Energie und spektrale Verteilung der Elektronen Zur Auswertung der Spektren, die
auf den beiden Schirmen im Elektronenspektrometer aufgenommen wurden, werden diese
in drei unterschiedliche Kategorien unterteilt: Zum einen monoenergetische Spektren, die
einen Peak mit einer Halbwertsbreite ∆E bei der Peakenergie E max haben und deren
Wert ∆E/E max kleiner 10% bzw. kleiner 20% ist, zum anderen Spektren, die ein breites
Plateau mit einzelnen Maxima zeigen, und Spektren mit exponentiellem Abfall zu hohen
Energien hin, die nur noch einzelne kleinere Peaks zeigen. In Abbildung 4.11 ist jeweils
ein Beispiel für ein solches Spektrum gezeigt.
Für jedes Set wird der Anteil der Spektren bestimmt, die diesen Kategorien entsprechen.
Die Verteilung ist in Abbildung 4.12 gezeigt. Mit maximaler Pulsenergie ist die
Gesamtzahl der Elektronenpakete, bei denen auf den Schirmen im Spektrometer ein Signal
aufgenommen werden konnte, am höchsten. Mit mittlerer Pulsenergie reduziert sie
sich um ca. 20 %, während bei der niedrigsten Pulsenergie bei weniger als der Hälfte der
Schüsse Spektren aufgenommen werden konnten. Aufgrund des Akzeptanzwinkels des
Spektrometers und der abnehmenden Richtungsstabilität der Elektronen sinkt die Gesamtzahl
der Pakete, die das Spektrometer treffen, ab einer Dichte von 1, 8 × 10 19 /cm 3 .
Auch an den Spektren kann der von Pukhov et al. beschriebene Übergang zwischen
den unterschiedlichen Beschleunigungsregimes beobachtet werden. Mit maximaler Pulsenergie
wird die höchste Zahl von Spektren mit einem Peak mit maximaler Breite ∆E/E
von 20% erreicht. Wird die Elektronendichte erhöht oder die Pulsenergie des Laser redu-
46

4. Experimente
0.6
1.5
dN/dE / a.u.
0.4
0.2
dN/dE / a.u.
1
0.5
0
40 60 80 100 120
Energie / MeV
0
40 60 80 100 120
Energie / MeV
(a) monoenergetisches Spektrum I
(b) monoenergetisches Spektrum II
dN/dE / a.u.
2
1.5
1
0.5
dN/dE / a.u.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
40 60 80 100 120
Energie / MeV
(c) Spektrum mit breitem Untergrund
0
40 60 80 100 120
Energie / MeV
(d) exponentielles Spektrum
Abbildung 4.11.: (a) monoenergetisches Spektrum mit E max = 91 MeV und ∆E/E = 4%; (b)
monoenergetisches Spektrum mit E max = 60 MeV und ∆E/E = 20%; (c) Spektrum
mit breitem Untergrund; (d) exponentielles Spektrum mit einzelnen Peaks
ziert, nimmt deren Zahl ab, die Spektren zeigen ein breites Plateau, bevor der Anteil an
Spektren, die einen exponentiellen Abfall mit einzelnen, kleineren Peaks zeigen, zunimmt.
Die über ein Set gemittelte Peakenergie der monoenergetischen Spektren verändert sich
unter Variation der Dichte und Pulsenergie kaum. Die Energie der einzelnen Schüsse liegt
meist gleichmäßig verteilt zwischen 60 MeV und 90 MeV. Mit einer Energieauflösung des
Spektrometers von ca. 20 MeV in diesem Bereich lässt sich keine Tendenz zu höherer
oder niedrigerer mittlerer Energie bei steigender Elektronendichte feststellen. Nur bei
der geringsten Pulsenergie von 0, 3 J wird eine deutliche Abnahme der Elektronenenergie
der monoenergetischen Spektren auf 30 MeV festgestellt.
47

4. Experimente
100
E t = 0, 6 J
80
Anteil in %
60
40
20
0
1 1.5 2 2.5
n e / 1 × 10 19 cm 3
Peak mit ∆E/E < 10%
Peak mit ∆E/E < 20%
breites Spektrum
exponentielles Spektrum
100
E t = 0, 45 J
100
E t = 0, 3 J
80
80
Anteil in %
60
40
20
Anteil in %
60
40
20
0
1 1.5 2 2.5
n e / 1 × 10 19 cm 3
0
1 1.5 2 2.5
n e / 1 × 10 19 cm 3
Abbildung 4.12.: In den Diagrammen ist für die drei unterschiedlichen Pulsenergien der Anteil
an den Spektren dargestellt, die einen Peak mit einer Breite ∆E/E kleiner 10%
bzw. 20% haben, ein breites Plateau oder einen exponentiellen Verlauf zeigen.
Zusammenfassung des Abschnitts Anhand der Ergebnisse in diesem Abschnitt ist
die optimale Dichte für die Elektronenbeschleunigung zwischen 1, 2 × 10 19 /cm 3 und
1, 5 × 10 19 /cm 3 bei maximaler Pulsenergie des Lasers. Die Richtungsstabilität und das
Strahlprofil sind dabei am besten. Zudem ist der Anteil der monoenergetischen Spektren
in diesem Bereich am höchsten. Wird weniger Pulsenergie des Lasers genutzt, können
erst bei höheren Dichten Elektronen beschleunigt werden, allerdings wird das Strahlprofil
schon bei der minimalen Dichte, bei der Elektronen detektiert werden, breiter. Würde
eine höhere Pulsenergie zur Verfügung stehen, wäre die optimale Dichte voraussichtlich
geringer und die Richtungsstabilität würde wie die Zahl der monoenergetischen Spektren
zunehmen.
48

4.3. Variation der Pulsdauer
4. Experimente
In diesem Abschnitt wird die Pulsdauer des Laserpulses durch eine Veränderung des
Abstands der Kompressorgitter variiert. Bei einer Elektronendichte von 1, 5 × 10 19 /cm 3
und von 0, 9 × 10 19 /cm 3 konnte der Einfluss des Chirps auf die Elektronenbeschleunigung
untersucht werden.
Nach Gleichung (2.9) ändert sich der Chirpparameter linear mit dem Gitterabstand,
mit Gleichung (2.6) kann damit die veränderte Pulsdauer τ p ′ berechnet werden. Dabei
wird der Abstand l 0 , mit dem die kürzesten Pulse erreicht werden, als Ausgangspunkt
genommen und im Folgenden wird nur die Abweichung von diesem Abstand, der relative
Gitterabstand ∆l, betrachtet. Die veränderte Pulsdauer τ p ′ ist gegeben durch
τ ′ p = τ p
√
1 + a 2 (4.7)
mit dem Chirpparameter a des Kompressors
a = − 1
τ 2 p
λ 0 (∆l)
πc 2 λ 2 0
G −2 − (λ 0 /2) 2 . (4.8)
Ist der Abstand der Gitter kleiner als l 0 , hat der Puls nach dem Kompressor einen
positiven Chirp mit a > 0 , ist der Abstand größer als l 0 , ist der Puls negativ gechirpt.
Die Pulsdauer wurde mit dem SPIDER gemessen. Der minimale Wert, der erreicht
wurde, war 31 fs. Aus der Pulsdauer an den verschiedenen Messpunkten können der
Chirpparameter a und der relative Gitterabstand ∆l der Gitter berechnet werden. Die
entsprechenden Werte sind in Tabelle 4.3 aufgeführt.
τ ′ p a ∆l
71 fs 2,1 −0, 33 mm
57 fs 1,6 −0, 25 mm
49 fs 1,2 −0, 20 mm
40 fs 0,8 −0, 13 mm
31 fs 0 0, 0 mm
40 fs -0,8 0, 13 mm
49 fs -1,2 0, 20 mm
57 fs -1,6 0, 25 mm
Tabelle 4.3.: Mit SPIDER bestimmte Pulsdauern τ ′ p, der daraus nach Gleichung (4.7) berechnete
Chirpparameter a für einen Gitterkompressor und der nach Gleichung (4.8)
berechnete relative Gitterabstand ∆l.
49

4. Experimente
100
n e = 9 × 10 18 /cm 3
n e = 1, 5 × 10 19 /cm 3
40
n e = 1, 5 × 10 19 /cm 3
Anteil in %
80
60
40
20
RMS / mrad
30
20
10
0
−0.2 0 0.2
∆l / mm
(a) Anteil an Schüssen mit rundem oder elliptischem
Strahlprofil
0
−0.2 0 0.2
∆l / mm
(b) Richtungsstabilität
Abbildung 4.13.: (a) Anteil der Schüsse, bei denen am Zielschirm ein Elektronenpaket beobachtet
wurde, das ein rundes oder elliptisches räumliches Profil zeigt. Die Verteilung
ist nicht symmetrisch zu Null. (b) Richtungsstabilität als RMS der Abweichung
von der Laserachse.
Einfluss der Pulsdauer auf Richtung und Stabilität der beschleunigten Elektronen
Wird das Profil der Elektronenpakete auf dem Zielschirm betrachtet, ist sowohl an den
gemittelten Bildern in Abbildung 4.14 als auch in Abbildung 4.13a an der Zahl der
einzelnen Schüsse, bei denen eine Ellipse an das Profil angefittet werden kann, deutlich zu
erkennen, dass die Zahl der Elektronen mit zunehmender Pulsdauer abnimmt. Während
bei einer Elektronendichte von 1, 5 × 10 19 /cm 3 mit einer Pulsdauer von 31 fs bei allen
Einzelschüssen auf dem Zielschirm Elektronen detektiert wurden, fällt der Anteil für eine
Pulsdauer von 40 fs mit negativen Chirp auf 50%. Für einen positiv gechirpten Laserpuls
gleicher Dauer sinkt die Wahrscheinlichkeit nur auf 85%, mit positiven Chirp und einer
Pulsdauer von 49 fs nur auf 70%. Diese Asymmetrie ist in den gemittelten Bildern in
Abbildung 4.14 für beide Elektronendichten zu erkennen.
Die Dispersion zweiter Ordnung kann nicht die Ursache für diesen Effekt sein. Sie ist
proportional zur zweiten Ableitung der Wellenzahl k im Plasma nach der Laserfrequenz
ω:
∂ 2 k
∂ω 2 = 1 c
ω 2 p
√
ω 2 − ω 2 p
(4.9)
Dieser Wert ist positiv. Somit würde ein negativ gechirpter Puls im Plasma durch die Dispersion
zweiter Ordnung verkürzt werden, ein positiv gechirpter Puls läuft jedoch weiter
50

4. Experimente
n e = 9 × 10 18 /cm 3 n e = 1, 5 × 10 19 /cm 3
negativer Chirp positiver Chirp
45 fs
38 fs
31 fs
38 fs
48 fs
57 fs
Abbildung 4.14.: Gemittelte Zielschirmbilder für unterschiedliche Pulsdauer. Die Pulsdauer wird
durch Veränderung der Dispersion zweiter Ordnung variiert.
51

4. Experimente
auseinander. Demnach sollte der Beschleunigungsprozess mit einem negativ gechirpten
Puls effizienter sein. Die Messung zeigt aber ein gegenteiliges Verhalten.
Leemans et al. nennen als Grund für die Asymmetrie Dispersion höherer Ordnung. 24
Diese Dispersion entsteht im Strecker oder Kompressor des Lasersystems oder während
des Verstärkungsprozesses beim Durchgang des Pulses durch Material und führt zu einer
Veränderung der Pulsform. Ein ideal justierter Kompressor kann die Dispersion dritter
Ordnung durch den Einfallswinkel auf das Gitter kompensieren. Auch die Dispersion
dritter Ordnung verändert sich mit dem Gitterabstand der Kompressorgitter, wird also
bei einer Veränderung des Gitterabstands nicht mehr vollständig kompensiert. Somit hat
der Gitterabstand einen direkten Einfluss auf die Pulsform.
Ein Laserpuls mit einer steil ansteigenden und einer langsam abfallenden Flanke sorgt
für einen effizienteren Beschleunigungsprozess als ein Puls mit langsam ansteigender und
schnell abfallender Flanke. Wird der Laserpuls durch Dispersion dritter Ordnung nun
so verändert, dass für einen kleineren relativen Gitterabstand die ansteigende Pulsflanke
steiler wird und bei größerem relativen Abstand flacher, entsteht die im Experiment
beobachtete Asymmetrie bezüglich der kürzesten Pulsdauer. Die Dispersion höherer Ordnung
wurde während der Messung nicht bestimmt, weshalb nur vermutet werden kann,
dass diese die Ursache für die Asymmetrie ist.
Die Richtungsstabilität und die Anzahl der Schüsse mit gutem Strahlprofil sind für diese
Messung in Abbildung 4.13 aufgetragen. Die Werte sind ähnlich wie in den Messungen
zuvor.
Interessant ist ein Vergleich der beiden Messungen mit einer Pulsdauer von ca. 40 fs und
der Messung aus Abschnitt 4.1.1 mit einem Puls mit Winkelchirp C a,x = 0, 1 µrad/nm,
was mit dem Strahldurchmesser des JETI einer Laufzeitverzögerung von ca. 40 fs entspricht.
Der Anteil der Schüsse mit elliptischem Strahlprofil ist bei der Messung mit
asymmetrischem Laserpuls und positivem Chirp in dieser Messung mit etwas über 80%
am besten, gefolgt von dem Wert mit Winkelchirp aus Abschnitt 4.1.1, der bei ca. 70%
liegt (vergleiche Abbildung 4.4a). Dieser Wert wurde mit einer Elektronendichte von
1, 2 × 10 19 /cm 3 erreicht, mit der in dieser Messreihe gewählten Elektronendichte von
1, 5 × 10 19 /cm 3 würde ein etwas geringerer Wert erwartet werden. Mit asymmetrischem
Laserpuls und negativem Chirp wird nur ein Wert von ca. 50% erreicht, was deutlich
schlechter ist als die beiden anderen. Mit Winkelchirp wird der Puls im Fokus zwar
länger, er sollte aber zeitlich keine Asymmetrie zeigen, 22 solange das Strahlprofil des
Laserstrahls annähernd homogen ist. Die zeitliche Pulsform scheint zumindest bei einer
Pulsdauer über 40 fs einen großen Einfluss auf das Ergebnis des Beschleunigungsprozesses
zu haben.
52

4. Experimente
Energie der Elektronen Es wurden wieder nur die Spektren der Sets mit minimaler
Pulsdauer und der beiden Sets mit einer Elektronendichte von 1, 5 × 10 19 /cm 3 und einer
Pulsdauer von ca. 40 fs ausgewertet. Die Spektren, die mit unterschiedlicher Pulsdauer
aufgenommen wurden, zeigen ähnliche Merkmale wie bei den Messungen zuvor. Wird
das Spektrometer getroffen, bewegt sich die maximale Energie zwischen 60 MeV und
90 MeV. Dabei haben die meisten Spektren einen breiten Untergrund mit einem Peak
in diesem Bereich. Die Zahl der Schüsse, die ins Spektrometer gelangen, korreliert wieder
mit der Helligkeit der gemittelten Zielschirmbilder und der Richtungsstabilität der
Elektronenpakete.
Zusammenfassung des Abschnitts Das zeitliche Profil des Laserpulses scheint einen
starken Einfluss auf den Beschleunigungsprozess zu haben. Das zeigt sich vor allem,
sobald die Dispersion dritter Ordnung, die die Pulsform beeinflussen kann, über den
Abstand der Gitter im Kompressor verändert wird. Mit minimaler Pulsdauer wird das
beste Ergebnis erreicht. Das zeitliche Profil des Pulses ist dabei symmetrisch, da die
Phase des Pulses über die Kopplung von DAZZLER und SPIDER geglättet wird.
53

5. Zusammenfassung
In dieser Arbeit wurde gezeigt, dass verschiedene Parameter des Laserpulses einen entscheidenden
Einfluss auf den Beschleunigungsprozess haben.
Eine Verkippung der Pulsfront führt, wie in Abschnitt 4.1 gezeigt, zu einer Verschlechterung
des Elektronensignals. Während der Messung wurde ein Kompressorgitter in horizontaler
Richtung verdreht. Kleine Abweichungen von der optimalen Justage des Kompressors
führen dabei zu einer deutlichen Abnahme der Richtungsstabilität der einzelnen
Elektronenpakete und einer Verschlechterung des Strahlprofils, eine Änderung der mittleren
Richtung der Elektronen bei unterschiedlich stark verkippter Pulsfront wie von
A. Popp et al. 23 beobachtet konnte hingegen nicht beobachtet werden. In der Messung
wurde deutlich, dass die am Laser vorhandene Diagnostik zur Messung der Pulsfrontverkippung
und die Präzision, mit der die Kompressorgitter justiert werden können, für die
dN/dE / a.u.
1
0.5
0
40 60 80 100 120
Energie / MeV
1
0.5
0
40 60 80 100 120
Energie / MeV
2
1.5
1
0.5
0
40 60 80 100 120
Energie / MeV
dN/dE / a.u.
1
0.5
0
40 60 80 100 120
Energie / MeV
1
0.5
0
40 60 80 100 120
Energie / MeV
1
0.5
0
40 60 80 100 120
Energie / MeV
Abbildung 5.1.: Ausgewählte Spektren mit einer Peakenergie von 70 MeV ± 10 MeV. Über 10 %
der Schüsse zeigen ein Maximum in diesem Bereich. Der Spalt zwischen den
Schirmen im Spektrometer verursacht die fehlenden Werte im Spektrum.
54

5. Zusammenfassung
Abbildung 5.2.: Aufeinanderfolgende Zielschirmbilder mit optimierten Laserparametern: Der
Bildausschnitt zeigt den ganzen Zielschirm, der vertikale Abstand des Punktrasters
entspricht ca. 15 mrad. Der schwarze Punkt dient zur Orientierung im
Bild.
hohen Anforderungen im Experiment verbessert werden müssen. Eine präzisere Messung
der Pulsfrontverkippung wäre zum Beispiel mit der von K. Varjú et al. 25 vorgeschlagenen
Methode möglich.
In Abschnitt 4.2 wurde gezeigt, dass für unterschiedliche Energien des Laserpulses
eine Veränderung der Elektronendichte im Plasma nötig ist, um ein stabiles Elektronensignal
zu erreichen. Für geringere Pulsenergien muss die Dichte erhöht werden, dabei
nimmt allerdings die Richtungsstabilität der Elektronen ab. Diese erreicht bei hohen Pulsenergien
und relativ niedriger Elektronendichte ein Optimum. Gleichzeitig wird auch der
höchste Anteil an quasimonoenergetischen Spektren beobachtet. Die Eintrittsöffnung des
Spektrometers schneidet einen Teil des Strahlprofils aus. Trifft der Hauptteil des Elektronenpakets
die Öffnung nicht, wird nur das Spektrum der Elektronen am Rand des
Pakets gemessen. Dadurch kommt es zu zusätzlichen Schuss zu Schuss Schwankungen
der Spektren. Ist die Elektronendichte geringer als in diesem optimalen Bereich, werden
kaum Elektronen detektiert, bei höheren Dichten wird die Qualität der Elektronenpakete
schlechter.
Durch eine Veränderung des Gitterabstands wurde in Abschnitt 4.3 die Pulsdauer des
55

5. Zusammenfassung
Laserpulses verlängert. Der Gitterabstand wurde in beide Richtungen variiert, was die
Pulsdauer jeweils durch einen positiven und negativen Chirp gleichen Betrags verlängerte.
Mit der Dispersion dritter Ordnung, die bei einer Variation des Gitterabstands auch
verändert wird, verändert sich die zeitliche Pulsform. Eine steil ansteigende Flanke sorgt
dabei für einen effizienteren Beschleunigungsprozess, eine langsam ansteigende und steil
abfallende für einen schlechteren, weshalb vermutlich für längere Pulse von ca. 40 fs mit
positivem Chirp ein besseres Elektronensignal erreicht wurde als mit negativ gechirptem
Puls gleicher Dauer. In einer weiteren Messung könnte untersucht werden, ob auch ein
asymmetrischer Laserpuls mit möglichst kurzer Dauer die Anregung der Plasmawelle
beeinflusst. Über den DAZZLER wäre es möglich, die Phase des Pulses zu kontrollieren,
eine Rekonstruktion der Pulsform ist mit Hilfe des optischen Spektrometers und des
SPIDERs möglich.
Mit den in den Messungen optimierten Parametern wurde das stabilste Elektronensignal
am JETI erreicht, das bisher gemessen werden konnte. In Abbildung 5.2 sind einige
Zielschirmbilder aufeinander folgender Schüsse gezeigt, Abbildung 5.1 zeigt einige der
aufgezeichneten Spektren. Aufgrund der Richtungsstabilität, die in dieser Messung erreicht
wurde, kann die Öffnung des Spektrometers verringert und die Energieauflösung
gesteigert werden. Auch für die in der Einleitung genannten Anwendungen wie die Erzeugung
von Sekundärstrahlung in Undulatoren ist die verbesserte Richtungsstabilität
von großem Interesse. Die Kontrolle der genannten Parameter des Laserpulses verbessert
also nicht nur das Elektronensignal, sondern ist auch entscheidend für die mögliche
Anwendung der Elektronen in weiterführenden Experimenten.
56

Anhang
A. Berechnung des Kippwinkels
Im Experiment wurde die Ablenkung des Strahls δ nach dem Kompressor gemessen, in
den Berechnungen wird allerdings der Kippwinkel ɛ x des Gitters in horizontaler Richtung
verwendet. In diesem Abschnitt wird eine Beziehung zwischen den beiden Größen
hergeleitet.
Die beiden Gitter G 1 und G 2 haben die gleiche Gitterkonstante G, die Gitternormalen
(in Abbildung A1 rot) seien parallel. Für die minus erste Beugungsordnung des Gitter
gilt nach 2.8
sin α − sin β = −Gλ (5.1)
mit Einfallswinkel α und Beugungswinkel β.
Das Gitter G 2 wird nun um den Winkel ɛ x gekippt (siehe Abbildung A1a). Damit gilt
für den Einfallswinkel β ′ auf das zweite Gitter
β ′ = β + ɛ x
Mit dem Additionstheorem
sin (a ± b) = sin a · cos b ± cos a · sin b (5.2)
kann die Winkelabweichung γ vom ursprünglichen Strahlverlauf über die Gittergleichung
und mit α + γ = α ′ + ɛ x berechnet werden:
sin α ′ = sin (α + γ − ɛ x )
= sin α · cos(γ − ɛ x ) + sin(γ − ɛ x ) · cos α
= −Gλ + sin β ′
= −Gλ + sin β · cos ɛ x + sin ɛ x · cos β
Da die Abweichungen ɛ x , γ, γ ′ und δ sehr klein sind, gilt sin(γ − ɛ x ) ≈ γ − ɛ x und
57

Anhang
(a) erster Durchgang
(b) zweiter Durchgang
Abbildung A1.: (a) zeigt der Verlauf des Strahls (Einfallswinkel α, Beugungswinkel β) im optimal
justierten Kompressor (schwarz), bzw. den Strahlverlauf nach dem zweiten
Gitter, wenn dieses um den Winkel ɛ x verkippt ist (grün). Die Gitternormalen
sind rot eingezeichnet. Der Verlauf des Strahl nach der Refelxion am Spiegel S ist
in (b) blau dargestellt, wobei der optimale Strahlverlauf gestrichelt eingezeichnet
ist. Der Strahl ist durch die schlechte Justage im den Winkel δ verkippt, wenn
er den Kompressor verlässt.
cos(γ − ɛ x ) ≈ 1. Mit (5.1) ergibt sich für die Ablenkung γ nach dem zweiten Gitter
(γ − ɛ x ) cos α = ɛ x cos β
oder
γ = ɛ x
cos α + cos β
cos α
(
= ɛ x 1 + cos β )
cos α
Nach dem ersten Durchgang durch das Gitterpaar wird der Strahl am Spiegel S reflektiert,
der senkrecht auf dem ursprünglichen Strahl steht. Der Einfallswinkel auf dem
Spiegel ist γ. Duch die Reflexion wird der Winkel verdoppelt, der Winkel zwischen ursprünglichem
(in Abbildung A1b schwarz) und gekipptem Strahl (in Abbildung A1b
blau) ist −γ. Für α ′′ und β ′′ des zweiten Gitters gilt dann
α ′′ = α ′ − 2γ = α − (ɛ x + γ)
β ′′ = β ′ + γ ′ = β + γ ′ + ɛ x
mit der Verkippung γ ′ nach dem zweiten Gitter. Diese Werte in die Gittergleichung (5.1)
58

Anhang
eingesetzt
sin α ′′ = sin α − (ɛ x + γ) · cos α
= −Gλ + sin β ′′
= −Gλ + sin (β) + (γ ′ + ɛ x ) · cos β
liefern nach einem Vergleich mit (5.1) für die Verkippung γ ′
⇔
(γ ′ + ɛ x ) · cos β = −(ɛ x + γ) · cos α
γ ′ = − (ɛ x + γ) · cos α + ɛ x · cos β
cos β
Die letzte Beugung am ersten Gitter, auf das der Strahl mit dem Winkel β ′′′ = β ′′ − ɛ x =
β + γ ′ fällt und unter α ′′′ = α + δ gebeugt wird, liefert dann über
sin α ′′′ = sin (α + δ)
= sin α + δ · cos α
= −Gλ + sin β + γ ′ · cos β
die Verkippung δ des Strahls nach dem Kompressor:
δ = γ ′ · cos β
cos α = − [ɛ x + γ + ɛ x · cos β cos α]
[
= −ɛ x 1 + 1 + cos β
cos α + cos β ]
cos α
(
= −2 · ɛ x 1 + cos β )
cos α
oder
ɛ x = −
δ
( ) (5.3)
2 1 + cos β
cos α
B. Verkippen des zweiten Gitters
In der Veröffentlichung von Pretzler et al. 11 wird das erste Gitter verkippt, in der durchgeführten
Messung wird das zweite Gitter verkippt. In diesem Abschnitt wird gezeigt,
dass die Gleichungen dennoch gültig sind.
Wird angenommen, dass im Vergleich zur Rechnung im vorigen Abschnitt in Abbildung
59

Anhang
A1a der Strahl vom Spiegel S (grün) wieder in sich zurückreflektiert wird, ergibt sich
nach einer Verkippung des zweiten Gitters um den Winkel ɛ x und somit einem neuen
Einfallswinkel β ′ = β + ɛ x
sin β ′ = sin β + ɛ x · cos β = Gλ − sin α ′ . (5.4)
Mit (5.1) und einem weiteren Additionstheorem ergibt sich für die Abweichung der beiden
Winkel α und α ′ mit α ≈ α ′
( ) ( )
α + α
sin α − sin α ′ ′ α − α
′
= 2 cos · sin
2
2
≈ 2 · cos α · α − α′
2
= sin β ′ − sin β ≈ ɛ x cos β
und somit die in 11 vorausgesetzte Gleichung
φ = α − α ′ ≈ ɛ x
cos β
cos α . (5.5)
Die Verkippung des Strahls im Kompressor mit verkipptem Gitter ist also unabhängig
davon, welches der beiden Gitter gekippt wird, solange die Annahme gilt, dass der Spiegel
S noch senkrecht zum Strahl steht.
60

Abbildungsverzeichnis
2.1. CPA-Prinzip mit detaillierter Strecker- und Kompressorskizze . . . . . . . 5
2.2. Verkippung der Phasenfronten und Pulsfrontverkippung . . . . . . . . . . 7
2.3. Ausbreitung eines Gauß-Strahls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4. Relativistische Pulskomprimierung und Selbstfokussierung im Plasma . . . 17
2.5. Skizze des eindimensionalen Beschleunigungsprozesses in der Plasmawelle 20
2.6. Beschleunigungsprozess in der Bubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1. Schematischer Aufbau des Kompressors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Schematischer Aufbau des interferometrischen Feldkorrelators . . . . . . . 26
3.3. Skizze des Aufbaus in der Experimentierkammer . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1. Aufnahmen mit dem interferometrischen Feldkorrelator . . . . . . . . . . . 32
4.2. Aufnahmen des fokussierten Laserstrahls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3. Richtung der Elektronen am Zielschirm bei verkippter Pulsfront . . . . . . 36
4.4. Anteil an Schüssen mit rundem oder elliptischem Strahlprofil und Richtungstabilität
mit verkippter Pulsfront . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.5. Mittlere Richtung der Elektronen mit Divergenz bei verkippter Pulsfront . 38
4.6. Beispielspektren ohne Pulsfrontverkippung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.7. Vergleich von Aufnahmen des Hochenergieschirms mit und ohne Pulsfrontverkippung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.8. Gemittelte Zielschirmbilder für unterschiedliche Pulsenergie und Elektronendichte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.9. Anteil an Schüssen mit rundem oder elliptischem Strahlprofil und Richtungstabilität
bei unterschiedlicher Pulsenergie und Elektronendichte . . . 44
4.10. Gezeigt ist je ein charakteristisches Einzelbild für jeden Messpunkt des
Dichte-Energie-Scans. Die drei Spalten entsprechen der Pulsenergie E t am
Target, die Zeilen sind aufsteigend nach der Elektronendichte n e angeordnet. 45
4.11. vier Beispielspektren mit unterschiedlichem Verlauf . . . . . . . . . . . . . 47
4.12. Anteil an Spektren mit bestimmten Kriterien . . . . . . . . . . . . . . . . 48
61

Abbildungsverzeichnis
4.13. Anteil an Schüssen mit rundem oder elliptischem Strahlprofil und Richtungstabilität
bei Variation der Pulsdauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.14. Gemittelte Zielschirmbilder für unterschiedliche Pulsdauer. Die Pulsdauer
wird durch Veränderung der Dispersion zweiter Ordnung variiert. . . . . . 51
5.1. Spektren aufeinanderfolgender Schüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2. Zielschirmbilder aufeinanderfolgender Schüsse . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A1. Strahlverlauf in Kompressor mit verkipptem Gitter . . . . . . . . . . . . . 58
62

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[27] C. Palmer und E. Loewen: Diffraction Grating Handbook, Newport, 2005
65

Danksagung
An dieser Stelle möchte ich allen danken, die mich während des letzten Jahres unterstützt und
somit zum Gelingen der Diplomarbeit beigetragen haben. Mein besonderer Dank gilt
• Prof. Malte C. Kaluza für die Vergabe des Themas und die Betreuung während der Zeit.
Seine Tür stand immer offen, wenn theoretische oder praktische Fragen auftauchten. Auch
wenn nicht alles nach Plan verlaufen ist, hat mir die Arbeit bei ihm Spass gemacht und
mein Interesse an der relativistischen Plasmaphysik geweckt.
• Maria Nicolai für das schöne Jahr, alle Geduld, ein offenes Ohr bei allen Fragen und Sorgen
und noch für vieles, vieles mehr, was hier nicht aufgezählt werden kann...
• Burgard Beleites und Falk Ronneberger für die Pflege des „kleinen Sorgenkinds“. Trotz
manch technischer Probleme haben sie die Hoffnung nicht aufgegeben und nichts unversucht
gelassen, sodass unsere Experimente schließlich doch noch erfolgreich waren. Anrufe
zu allen Zeiten und selbst abendliche Besuche waren in manchen Wochen nicht selten.
• Wolfgang Ziegler für die schnelle und unkomplizierte Hilfe mit Konstruktionen und mit
vielen, vielen kleinen Dingen, die schnell noch gebraucht wurden.
• Alexander Sävert, Maria Reuter, Michael Schnell, Jens Polz und Oliver Jäckel für die gemeinsame
Zeit im Labor, viele hilfreiche Kommentare und Diskussionen und die praktische
Hilfe bei verschiedensten Dingen.
• Axel Bernhard für die lehrreiche und konstruktive Kritik bei der Korrektur der Diplomarbeit,
die vielen hilfreichen Kommentare und die amüsanten Gespräche dabei.
• meinen Freunden und Geschwistern im Glauben für alle aufbauenden Worte und Kritik
während der Zeit.
• meinen Eltern und Geschwistern für die Unterstützung und den Rückhalt während des
vergangenen Jahres und des gesamten Studiums.
• Joachim Niess für seine endlose Geduld, die aufbauenden Worte und dafür, dass er einfach
immer da war, wenn er gebraucht wurde.
Soli Deo Gloria
66

Erklärung
Ich erkläre, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die
angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
Jena, den 21. Dezember 2010
Christina Widmann
Seitens der Verfasserin bestehen keine Einwände, die vorliegende Diplomarbeit für die öffentliche
Nutzung in der Thüringer Universitäts- und Landesbibliothek zur Verfügung zu stellen.
Jena, den 21. Dezember 2010
Christina Widmann
67