1 Nachweis, dass gilt . . . 2 Andere Definition von Binomialkoeffizient ...

1 Nachweis, dass gilt . . .
Wo ist der Fehler?
(
n
k
Aussage:
)
=
(
n
k
)
≠
(
n
n − k
)
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
k(k − 1)(k − 2) . . . 1
(
n
k
) (
=
n
(n − k)
)
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
k(k − 1)(k − 2) . . . 1
=
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − (n − k) + 1)
(n − k)(n − k − 1)(n − k − 2) . . . 1
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
k(k − 1)(k − 2) . . . 1
=
n(n − 1)(n − 2) . . . (k + 1)
(n − k)(n − k − 1)(n − k − 2) . . . 1
(n − k + 1)
k(k − 1)(k − 2) . . . 1 = 1
(n − k)(n − k − 1) . . . 1
(n − k + 1)(n − k)(n − k − 1)(n − k − 2) . . . 1
k(k − 1)(k − 2) . . . 1
Einsetzen n = 5 und k = 2:
(5 − 2 + 1)(5 − 2)(5 − 2 − 1)(5 − 2 − 2) . . . 1
2(2 − 1) . . . 1
(5 − 2 + 1)(5 − 2)(5 − 2 − 1)(5 − 2 − 2)
2(2 − 1)
(4)(3)(2)(1)
2(1)
12 = 1
2 Andere Definition von Binomialkoeffizient –
Gegenbeweis
= 1
= 1
= 1
= 1
Nachweis, dass gilt:
(
n
k
)
=
(
n
n − k
)
1

Definition Binomialkoeffizient:
( )
n n!
=
k k!·(n − k)!
( )
n
(n − k)
=
n!
(n − k)!·(n − (n − k))!
Aussage:
(n − (n − k)) = (n − n + k) = k
n!
k!·(n − k)! = n!
(n − k)!·(n − (n − k))!
n!
k!·(n − k)! = n!
(n − k)!·k!
1 = 1
3 Beweis für die Äquivalenz der Definitionen
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
k(k − 1)(k − 2) . . . 1
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
k!
=
=
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) =
n!
k!·(n − k)!
n!
k!·(n − k)!
n!
(n − k)!
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) =
n(n − 1)(n − 2)(n − 3) . . . 1
(n − k)(n − k − 1)(n − k − 2) . . . 1
Faktum: Vollständige Folge (= n!) von n über k bis zu 1 wäre:
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)(n − k)(n − k − 1) . . . 3·2·1
Bringe Divisor auf linke Seite:
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)(n − k)(n − k − 1)(n − k − 2) . . . 1 = n!
wahre Aussage (siehe vollständige Folge)
2