Lineare Algebra I — 14.¨Ubungsblatt

Lineare Algebra I — 14. Übungsblatt
Prof. Dr. Wilhelm Plesken (WS 2004/05)
Für Matrikelnummer: 999999
Abgabezeitpunkt: Mon 18 Apr 2005 05:30:00 PM CEST
1 (Determinante)
Berechne die Determinanten der folgenden Matrizen:
⎛ ⎞
⎛
A :=
⎜
⎝
2 1 0
1 2 1
0 1 2
⎟
⎠∈ R 3×3 , Ω :=
⎜
⎝
0 −ω 3 ω 2
ω 3 0 −ω 1
−ω 2 ω 1 0
⎛
⎞
0 0 1 0 1
xI 3 − Ω ∈ R(x) 3×3 1 0 0 1 0
, B := ⎝ 0 1 1 1 1 ⎠∈ F 5×5
2
.
1 1 0 1 1
0 1 1 1 0
2 (Determinante)
Sei K ein Körper, k + l = n ∈ N, A 1 ∈ K k×k ,A 2 ∈ K l×l ,A 3 ∈ K l×k . Zeige
( )
A 1 0
det(
) = det(A 1 )det(A 2 ).
A 3 A 2
⎞
⎟
⎠∈ R 3×3 ,
Hinweis: Zweiter Teil des Beweises von Satz 9.25.
3 (Determinante von Endomorphismen)
Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, ϕ ∈ End(V ), Λ n (V ∗ ) der eindimensionale Vektorraum der
alternierenden n-Formen auf V . Sei 0 ≠ ∆ ∈ Λ n (V ∗ ), dann definiere
det(ϕ) :=
∆(ϕ ◦C)
∆(C)
für eine Basis C von V . Zeige: det ist unabhängig von der Wahl von ∆ und C, und detϕ = det( C ϕ C ) für
jede Basis C von V .
4 (Orthogonale Gruppe)
Sei (V ,Φ) ein Euklidischer Vektorraum, und α ∈ O(V ,Φ). Zeige:
1. detα = ±1.
2. Ist dimV = 2 und detα = 1, so gibt es ein γ ∈ [0,2π) mit
( )
cosγ − sinγ
B α B = := d γ
sinγ cosγ
für jede Orthonormalbasis B von V .
3. Ist dimV = 3, und detα = 1, so gibt es eine Orthonormalbasis B von V und ein γ ∈ [0,2π) mit
B α B = diag(1,d γ ).
Hinweis zu 3: Zeige zunächst daß det( B α B −I 3 ) = det(( B α B −I 3 )( B α B ) −1 ) = (−1) 3 det( B α B −I 3 ). Folgere
hieraus, daß α den Eigenwert 1 hat.

5 Zusatzaufgabe: (Infinitesimale Rotation)
Sei V = R 3×1 ausgestattet mit dem Kreuzprodukt (aus der Schule)
⎛ ⎛ ⎛
⎜
⎝
⎞ ⎞
a 1 b 1
⎟ ⎜
a 2 ⎠ × ⎝ b 2
a 3 b 3
⎟
⎠ =
⎜
⎝
⎞
a 2 b 3 − a 3 b 2
a 3 b 1 − a 1 b 3
a 1 b 2 − a 2 b 1
⎛ ⎞
ω 1
⎜ ⎟
Sei weiter ω = ⎝ ω 2 ⎠ ∈ R 3×1 und bezeichne mit ω 2 in Physikerart das Quadrat der Länge, d.h. ω 2 :=
ω 3
ω 2 1 + ω2 2 + ω2 3 . Zeige: Die inverse Formel der infinitesimalen Rotation“
”
ist gegeben durch
r ′ = r + ω × r
⎟
⎠.
r = r ′ + 1
1 + ω 2 (ω × (ω × r′ ) − ω × r ′ ).
Hinweis: Betrachte Ω : r ↦→ ω × r, Aufgabe 1 und benutze Cayley-Hamilton.