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(Präferierten Zuständen wird eine höhere reelle Zahlzugeordnet)☞Ordinalskala trotz numerischer WerteV i (x) individuelle NutzenfunktionV(x) = (V 1 (x), V 2 (x),..., V I (x)): Darstellung des sozialenZustandes im NutzenraumV(X) : Menge aller erreichbaren NutzenkombinationenBezeichnet x den Vektor der Güter für die einzelnenHaushalte i=1, ..., I so stellt V(x) eine Abbildung desgesellschaftlichen Zustrandes von Güter- in denNutzenraum dar.Im Zwei-Konsumenten-Fall:Quelle: Weimann (2001: 75)2

Definition 1:Pareto-EffizienzDer Zustand x ist im Vergleich zu dem Zustand yPareto-superior, wenn für alle Individuen i=1,..., I giltV i (x) ≥ V i (y) und für mindestens ein IndividuumV i (x) > V i (y) erfüllt ist.Definition 2:Für eine gegebene Menge aller erreichbaren sozialenZustände X ist ein Zustand x ∈ X dann Pareto-effizient,wenn es keinen anderen Zustand x’ ∈ X gibt, derPareto-superior zu x ist.Quelle: Weimann (2001: 77)3

Das Konzept der IndifferenkurvenQuelle: Weimann (2001: 79)Bilaterale Tauschgewinne:Die Edgeworth-Box und die Tauschkurve!Quelle: Weimann (2001: 80)Jeder Punkt auf der Kontraktkurve ist Pareto-effizient.5

Axiom 1:Soziale Wohlfahrtsfunktion V*(x): X→RWenn x strikt Pareto-superior zu xˆ ist, d.h. wenn V i (x)> V i ( xˆ ) für alle i = 1, ..., I, dann ist auch V*(x) >V*( xˆ ).Axiom 2:Wenn V i (x) = V i ( xˆ ) für alle i, dann soll auchV*(x) = V*( xˆ ) sein.Satz 1:Für gegebene individuelle Präferenzen V i gilt:Wenn die Präferenz des sozialen Planers durch eineFunktion V*: X→R abgebildet werden soll und wennAxiome 1 und 2 erfüllt sind, dann hat V* die folgendeGestalt:V*(x) = W(V 1 (x),...,V I (x)).Dabei ist W: R I →R eine strikt wachsende Funktion derV i .6

Satz 2:Wird die Wahl eines gesellschaftlichen Zustandes x∈Xdurch die Maximierung einer sozialen WohlfahrtsfunktionW(V 1 (x),...,V I (x)) getroffen, so wird derausgewählte Zustand immer Pareto-effizient sein.Beispiele für Wohlfahrtsfunktionen:Utilitaristische Wohlfahrtsfunktion:W= ∑IV ii=1Bergson/Samuelson Wohlfahrtsfunktion:∑W 1α= Ii=i V iRawlssche Wohlfahrtsfunktion: W = min { Vi , i = 1,...,I}7

Axiom U1:Die SWF soll ausschließlich von den Nutzenniveaus deri = 1,...,I Gesellschaftsmitglieder abhängen(Methodologischer Individualismus)Axiom U2:Strikte Pareto-Effizienz: Pareto-superiore Situationensind stets höher zu bewerten als inferioreAxiom U3:Der durch einen Nutzenzuwachs eines Individuumsausgelöste Wohlfahrtsgewinn soll unabhängig davonsein, welches Individuum diesen Zuwachs erfährt, d.h.:(Anonymität)∂W=∂V∂W∂i V jfür alle i ≠ j; i,j =1,...,IAxiom U4:Nutzen ist kardinal messbar und Nutzenzuwächse sindintersubjektiv vergleichbar8

Das Axiom U4 der kardinalen Messbarkeit von Nutzenund etwaiger interpersoneller Nutzenvergleiche istäußerst problematisch (Begründung für das ordinaleNutzenkonzept)!Satz 3:Bei Gültigkeit der Axiome U1 bis U4 ist die SWFnotwendig utilitaristisch9

3.3 Zur Charakterisierung von EffizienzPrivate Güter versus öffentliche GüterKriterien:• Rivalität im Konsum• AusschließbarkeitEffiziente Produktion und KonsumUnsere Modellwelt:K-1 private Güter (i=2,...,K),indiv. Konsum z i =(z i2 ,...,z iK )ein öffentliches Gut yVektor der priv. Konsummengen z=(z 1 ,...,z I ) ∈ R I(K-1)Knappheit der Ressourcen wird hier formalisiert durchfixe Ausstattung mit einem „Rohgut“, das transformiertwerden kann in das öffentliche oder die privaten Güterüber die Produktionstechnologie: F(y,z) = aBergsonsche Wohlfahrtsfunktion soll maximiert werden10

Optimierungsproblem:maxI∑i=1α U ( y,z ) u.d.B. F(y,z) = aiiiundIk∑ z i =i=1Bedingungen erster Ordnung (Methode von Lagrange)zkI∑i=1αi∂U∂ yi∂ F= λ∂ y(1)∂Ui∂ Fi = λ ∀i= 1,...,I∂ z ∂ zα (2)iKgilt natürlich auch für eine anderes privates Gut K ~K∂Ui∂ Fi = λ ∀i= 1,...,I∂ z ~ ∂ z ~α (3)Division von (2) durch (3) ergibt:iKK∂U∂ z∂U∂ ziiKi~iK=∂ F∂ zK∂ F∂ z ~K∀i= 1,..., IGRS (für jedes Individuum) = GRT (für dieVolkswirtschaft insgesamt)(4)11

i.e., GRS i = GRS j = GRTDas bedeutet aber nicht, daß der Grenznutzen für jedesIndividuum für jedes Gut gleich sein muß SWF desTyps Bergson/Samuelson!Öffentliches Gut?aus (2):∂ Fα i∂ zK= λ∂Ui∀i= 1,...,I∂ ziKin (1) und nach UmformenI∑i=1∂U∂ y∂U∂ ziiiK=∂ F∂ y∂ F∂ zK(6)Samuelson-Bedingung∑GRSi i =GRT12

Märkte und PreiseProblem: GRS nicht beobachtbar.Modellwelt: Nur private Güter z iK , jedes Individuum0 0 0 0habe eine Anfangsausstattung z = ( z , z ,..., z )Markt → Preissystem!ii1i2iKWert der Anfangsausstattung:K0∑ p j zij=j=1Yiindividuelles Optimierungsproblem:ii1 , zi2,...,ziK) u.d.B.K∑max U ( zp z = Y(7)j=1j0ijiQuelle: Weimann (2001:100)Individuell rationales VerhaltenKollektives Ergebnis????13

Kompatibilität der individuellen Pläne?Quelle: Weimann (2001:101)Sind Märkte geräumt zu dem herrschenden Preisvektor?Definition 3:Ein allgemeines Gleichgewicht (Walras-Gleichgewicht)ist durch einen Preisvektor p = (p 1 ,...,p K ) undindividuelle Güterbündel z i für alle Individuen Igegeben, so dass1. z i bei den Preisen p die individuellenOptimierungsprobleme (7) für alle Individuen löstundII 02. alle Märkte geräumt sind, d.h. z ≤∑i∑ i=i z1 i=1Dezentrales Marktgleichgewicht14

Erster Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie:Bei privaten Gütern und einer perfekten Eigentumsordnungist jedes Marktgleichgewicht bei vollkommenerKonkurrenz ein Paerto-Optimum.Wie funktioniert der Markt?• Die Fiktion eines „Walrasianischen Auktionators“• Preisbildungsprozesse• Experimentelle EvidenzZweiter Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie:Jedes Pareto-Optimum lässt sich bei vollkommenenMärkten als Marktgleichgewicht dezentralisieren, indemman eine geeignete Wahl der Anfangsausstattungenz 0 = (z 0 1,..., z 0 I) trifft.15

Marktgleichgewicht und Pareto-Optimum beiöffentlichen GüternFinanzierung des öffentlichen GutesX =∑Produktion des öffentlichen Gutes S = F(X)Privater Nutzen U i (F(X), z i )Individuelles Optimierungsproblem:max U(F(X ), zi) u.d.B.zi+ xi≤ a und X = ∑B.E.O.∂U∂z i= λundIIx ix i∂ U= λ1∂xIi∂U∂STrittbrettfahrerproblem!16