Automaten und formale Sprachen Skript zur Vorlesung 14 ...

M ′ :a lesen−→ verw. → verw. → verw.ε→ akz.Außer gegen Komplement sind deterministische kontextfreie Sprachen gegen fast nichtsabgeschlossen.5.7.8 Behauptung Es gibt kontextfreie Sprachen, die nicht deterministisch kontextfreisind.Beweis:L = {a i b j c k | i ≠ j ∨ j ≠ k} ist kontextfrei.Wäre L deterministisch kontextfrei, wäre nach 5.7.7 auch ¯L deterministisch kontextfrei,also insbesondere kontextfrei. Die Sprache ¯L ist aber nicht kontextfrei, sonst wäre nachSatz 5.6.1 ¯L ∩ {a} ∗ {b} ∗ {c} ∗ = {a n b n c n | n ≥ 0} ebenfalls kontextfrei, was nicht der Fallist.□Es sei bemerkt, dass die Sprache{w | w ∈ {0, 1} ∗ ,w = w R }der Spiegelwörter ohne Mittezeichen nicht deterministisch kontextfrei ist. Intuitiv gesprochenkann ein deterministischer Kellerautomat die Stelle nicht identifizieren, an derumzukehren und mit dem bisher Gelesenen zu vergleichen ist. Der Beweis für diese einleuchtendeTatsache ist allerdings technisch aufwendig.5.7.9 Behauptung Die deterministisch kontextfreien Sprachen sind nicht gegen ∪ und∩ abgeschlossen.Beweis:L 1 = {a i b j c k | i ≠ j} ist deterministisch kontextfrei.L 2 = {a i b j c k | j ≠ k} ist deterministisch kontextfrei.aber nicht L 1 ∪ L 2 (siehe oben).L 3 = {a i b j c k | i = j} undL 4 = {a i b j c k | j = k} sind deterministisch kontextfrei.aber L 3 ∩ L 4 /∈ L 2 .5.7.10 Behauptung Die deterministisch kontextfreien Sprachen sind nicht gegen Konkatenationund Kleene-Abschluss abgeschlossen.(Ohne Beweis.)5.7.11 Satz Die deterministisch kontextfreien Sprachen sind gegen Durchschnitt mitregulären Sprachen abgeschlossen.(D.h.: L 1 deterministisch kontextfrei, L 2 regulär ⇒ L 1 ∩ L 2 deterministisch kontextfrei.)Dies beweist man genauso wie Satz 5.6.1.196