2B Seil- und Membrantragwerke - NASG

2.5 Numerische Berechnung von GleichgewichtsformenGleichgewichtAuch bei der numerischen Berechnung von Gleichgewichtsformen werden in einem AusgangssystemBelastungen, innere Kräfte oder Spannungen in Größe, Richtung und Verteilung vorgegebenund die Geometrie berechnet, für die das Tragsystem mit den Festpunkten und Berandungenim Gleichgewicht ist. Für einen Punkt im Raum, der durch 4 Seilstücke gehalten wird,lassen sich die Gleichgewichtsbedingungen. im 3-dimensionalen Koordinatensystem x, y, zaufstellen. Die Methode geht auf [Linkwitz 71] und [Schek 74] zurück. Es gilt:sa sb sc sP id( xa − xi) + ( xb − xi) + ( xc − xi) + ( xd − xi)= pxS c cla lb lc lSdl b b b S alsa sb sc scd( ya − yi) + ( yb − yi) + ( yc − yi) + ( yd − yi)= pi l aayla lb lc lldd dsa sb sc sd( za − zi) + ( zb − zi) + ( zc − zi) + ( zd − zi)= pzl l l lS da b c dDie Gleichungen sind auf Grund der Seilstücklängen nichtlinear, denn für die Längen gilt amBeispiel von l a dargestellt:2 2 2l = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) .a a i a i a iFür die Berechnung der Gleichgewichtsflächen wird die Proportionalität zwischen Seilkraft undKomponenten genützt, die über die Richtungswinkel auch für die Längen gelten:S sa,xsaa, ysa,z= = = = konst.= ql l l la a, x a, y a, zDas Verhältnis von Seilkraft zu Seilstücklänge ist unabhängig von der Lage eines Seilstückesim Raum konstant, wird als zusätzlicher Parameter eingeführt, mit Kraftdichte bezeichnet undführt zu einem linearen Gleichunksystem.qa( xa − xi) + qb( xb − xi) + qc( xc − xi) + qd( xd − xi)= pxqa( ya − yi) + qb( yb − yi) + qc( yc − yi) + qd( yd − yi)= pyq ( z − z ) + q ( z − z ) + q ( z − z ) + q ( z − z ) = pa a i b b i c c i d d i zDurch plausible Vorgaben für die Kraftdichten - insbesondere müssen alle Kraftdichten positivsein zum Erhalt eines positiv definiten Gleichungssystems - kann das System ohne Vorgabevon Startwerten, nur durch die topologische Netzbeschreibung, das Vorhandensein von Kraftdichtenfür alle Elemente und der Fixierung des Netzes durch Festpunkte und/oder Ränder gelöstwerden, [Ströbel 97]. Der Ansatz ist auf Kontinuumselemente übertragbar und wird zurBestimmung der Gleichgewichtsflächen bei Membranen eingesetzt, [Singer 95], [Bletzinger00]. Für die Berechnung sind Lösungsverfahren erforderlich, die für große Verformungen undohne Berücksichtigung der Werkstoffgesetze ein Gleichgewicht finden.Ebenes Netz mit Spannungen, dieorthogonal und jeweils in jedeRichtung konstant sindFestpunkte, Randkurven mitKräften aus den ebenen NetzspannungenNumerisch ermittelte Gleichgewichtsform2.65