2B Seil- und Membrantragwerke - NASG

2B Seil- und MembrantragwerkeProf. Dr.-Ing. Rosemarie WagnerInhaltsverzeichnisSeite1 Grundlagen ............................................................................................................. 2.581.1 Kinematik ................................................................................................................. 2.581.2 Versteifung ............................................................................................................... 2.581.3 Geometrisch nichtlineares Verhalten ....................................................................... 2.602 Gleichgewicht .......................................................................................................... 2.612.1 Gleichgewicht am Seil .............................................................................................. 2.612.2 Gleichgewicht an Seilbindern ................................................................................... 2.632.3 Gleichgewicht an Seilnetzen .................................................................................... 2.633 Lastabtragung ......................................................................................................... 2.663.1 Tragverhalten von Seilen .......................................................................................... 2.663.2 Tragverhalten nach Theorie II. Ordnung .................................................................. 2.673.3 Geometrisch nicht lineares Tragverhalten ................................................................ 2.68

2 GleichgewichtGleichgewichtDie Kinematik von Seilen und Membranen und die Versteifung durch eine Vorbelastung odereine Vorspannung führen zu Gleichgewichtsformen, die dadurch gekennzeichnet sind, dass──sich die Geometrie in Abhängigkeit zu den einwirkenden Belastungen und inneren Kräftenoder Spannungen einstellt undkeine Werkstoffeigenschaften berücksichtigt werden.Zur Bestimmung von Gleichgewichtsformen werden Festpunkte, Berandungen, Belastungen,innere Kräfte oder Spannungen vorgegeben und die Geometrie des Seilsystems oder der Membranermittelt, die für die vorgegebenen Randbedingungen ein Gleichgewicht darstellt. Die Bestimmungder Gleichgewichtsformen ist werkstoffunabhängig, da die Tragsysteme kinematischoder statisch bestimmt sind. Auf Grund der Kinematik bestehen mehr Freiheitsgrade als Gleichungen.Zusätzliche Bedingungen sind notwendig, die damit eine Lösung zulassen und sichaus der Geometrie oder dem geometrisch nichtlinearen Verhalten ergeben.2.1 Gleichgewicht am SeilAm zwischen unverschieblichen Auflagern gehalten Seil werden die Beziehungen zwischenBelastung und Geometrie analytisch dargestellt. Vereinfachend liegen die Auflager auf einerHöhe.p x dyH∑ pxKräftegleichgewicht am infiniten Seilstück H = 0:SeilkraftVp y dxg dsdxdsV+dVH+dHS+dSdy∑ V = 0: pydH=−dydV=dx2 2S( x) = H( x) + V( x) = H( x) 1+Seillänged d 2 d 21 dys = x + y = + d 2 xdxMit diesen Gleichungen kann für eine in Verteilung und Richtung vorgegebene und kontinuierlicheBelastung die Geometrie der Seilkurve bestimmt werden. In den Gleichungen für die Seilkurvenist immer die Horizontalkraft als zusätzliche Unbekannte enthalten, die durch eine dernachfolgenden Bedingungen bestimmt wird:─ maximaler Durchhang f max = f─ maximale Seilkraft S max─ Seillänge syH Axp(x)H BV AV BDie Seilkurve für eine konstante Gleichstreckenlast kann näherungsweise auch bei Seilbindern,Seilnetzen und Membranen zur Berechnung der Zugkräfte oder –spannungen verwendet werden.Seileigengewicht führt immer zu einem Durchhang und bei langen frei gespannten Seilenwird das Tragverhalten durch den Durchhang unter Eigengewicht beeinflusst, eine Radiallasttritt bei Innendruck auf und Ellipsen entstehen bei Randseilen, wenn die Gewebebahnen randparallelverlaufen.L22dy2dxf max = f2.61

2B Seil- und Membrantragwerke2.1.1 ParabelBelastung konstante Gleichstreckenlast⇒ p x = 0, p y = p = konstant⇒ H A = H B = H = konstantyS maxSeilkurve:p 2 p⋅Ly = x − x2H2HH A22p ⋅ L LMax. Durchhang f = oder R =8H8 fmit H = p⋅RSeilkraftSeillängeNäherung⎛ p p⋅L⎞S = H ⋅ 1+ ⎜ x−⎟⎝ H 2H⎠22 2 2L ⎛ 4 41 p ⋅ L ⎞ H arcsinh p ⋅ L L ⎛1 f ⎞s = + ⎜ ⎟ + = + ⎜ ⎟ +L arcsinhf2 ⎝ 2H ⎠ p 2H 2 ⎝ L ⎠ 8f L2 2⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 ⎛ p⋅L⎞ 8⎛ f ⎞s ≈ L⎢1+ ⎜ ⎟ ⎥ = L⎢1+⎜ ⎟ ⎥⎢⎣ 24 ⎝ H ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 3 ⎝ L⎠⎥⎦xRLpS maxH Bf2.1.2 KettenlinieBelastung Eigengewicht⇒ p x = 0, p y = g/cos α(x)⇒ H A = H B = H = konstantSeilkurve:H ⎡H⎤y = ⋅cosh( x x0)y0g⎢ − +g⎥⎣ ⎦MitH ⎛ 2g⎞x0 = L /2 und y0=− cosh ⎜ ⎟g ⎝H⋅L⎠H ⎛ gL ⎞Max. Durchhang f = cosh ⎜ ⎟g ⎝ 2 H ⎠Max. Seilkraft⎛ gL ⎞Smax = H ⋅cosh ⎜ ⎟⎝ 2 H ⎠Seillänge2H⎛ gL ⎞s = ⋅sinh ⎜ ⎟g ⎝ 2 H ⎠2.1.3 KreissegmentBelastungRadialbelastung⇒ p x = p, p y = p⇒ H A = H B , H (x) ≠ konstant22L ⎞ ⎛ HA⎞ 2x y R22 ⎛L⎞ ⎛HA⎛⎞Seilkurve: ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ = mit R =⎝ 2 ⎠ ⎝ p⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ p ⎠22H⎛AL f ⎞ ⎛ L f ⎞Max. Durchhang f = R− oder HA= p⎜− ⎟ und R = ⎜ + ⎟p⎝8f2 ⎠ ⎝8f2 ⎠2⎛ L f ⎞Max. Seilkraft Smax= S = p⋅ f + HA= p⋅ ⎜ + ⎟= p⋅R⎝8f2 ⎠Seillänge16 H16s = L + ( R− ) = L + f3 p32 A 2 2 2SH Ayyxx2LLRpgSH Bf2.62

GleichgewichtDer Kreisradius unterscheidet sich vom Scheitelkrümmungskreis einer Parabel mit derselbenSpannweite und demselben Durchhang um den halben Durchhang (f/2). Bei geringem Durchhangwird dieser Term vernachlässigt; Kreisradius und Scheitelkrümmungskreis sind identisch.2.1.4 EllipseyBelastung Konstante Vertikal- und Horizontallast S⇒ p x = n · p, p y = p⇒ H A = H B , H (x) ≠ konstant HxA22⎛ L ⎞ ⎛ HA⎞⎜x− ⎟ ⎜y−2 n⋅p⎟Seilkurve:⎝ ⎠+⎝ ⎠= 12 2a bL22⎛2 1 L H ⎞22⎛ ⎞ ⎛A⎞2 2 1 ⎛ L ⎞ ⎛ HA⎞mit a = n⋅ ⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟= n⋅bund b = ⋅ +⎜ ⎟⎜n ⎝ 2⎠ ⎝n⋅p ⎠ ⎟n⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝n⋅p ⎠⎝⎠2H⎛ L f ⎞AMax. Durchhang f = b− oder Hn ⋅A= p⎜−n⋅ ⎟p⎝8f2 ⎠Die Seilkraft ist für a > b in Systemmitte am größten und für b > a an den AuflagernFür die Seillänge gibt es keine geschlossene Lösung.SH Bpn·pf2.2 Gleichgewicht an SeilbindernDie Gleichgewichtsform für einen ebenen Seilbinder mit vertikalen Hängern lässt mit den Annahmenbestimmen, dass der horizontale Abstand der vertikalen Hänger und die Kraft in denHängern konstant sind. Damit werden die Hängerkräfte durch eine konstante Gleichlast ersetzt.Es gelten folgende Gleichgewichtsbedingungen:u 2o⋅L H o o⋅8fLooH0 = ⇒ uo =28 foLR ooV ou 2u⋅ L H u u⋅8fH f oouHu = ⇒ uu =u o28 fuLuu uKrümmungsradien im Scheitel der Parabeln sind:H uf u22LoLVuuRo= und Ru=R u L u8 fo8 fuMit der Bedingung, dass in den Hängern uo= uugelten muss, ergibt sichHo⋅8fo Hu⋅8fu Ho Hu= ⇒ − = 02 2Lo Lu Ro RuSind die Geometrien der beiden mit den Umlenkkräften uo= uugegeneinander vorgespanntenSeile nicht identisch, erhält das Seil mit dem geringeren Durchhang die größeren Seilkräfte.2.3 Gleichgewicht an SeilnetzenBei doppelt gekrümmten Seilnetzen sind gegensinnig gekrümmte Seilscharen um 90° gegeneinanderverdreht. Auf Grund der Seilkrümmungen entstehen in jedem Seil an den KreuzungspunktenUmlenkkräfte, die als Belastung auf das gegensinnig gekrümmte Seil wirken. Gleichgewichtist erfüllt, wenn die Umlenkkräfte aus den Seilscharen an den Kreuzungspunkten entgegengesetztgerichtet und gleich groß sind. Mit der Vereinfachung, dass die Umlenkkräftekonstant sind und nur in vertikaler Richtung wirken, gilt derselbe Zusammenhang wie bei denebenen Seilbindern. Liegen die Seilscharen in Richtung der Erzeugenden sind die Seile geradeund können nur gegen unverschiebliche Auflager gespannt werden.2.63

2B Seil- und MembrantragwerkeR 2S 2 S 1S 2u 2S 1u 1 = – u 2S 1S 2S 2 S 2R S 21 S 1S 1S 2SS 11S 2S 1S 2 p 2R 2S 1p 1 S 2S 1 R 1S 2S 1S 1S 2mitS1 S2S1 S2− = 0SR1 R1 ist unabhängig von S 2+ = p , p = p1+p22R1 R222L1LS21S2R1= und R2= R1 = R2=∞ mit R1= und R2=8 f8 fpp1212Die Vorspannkräfte in beiden Richtungen der Seilscharen verhalten sich proportional zu denKrümmungsradien. Größere Seilkräfte führen zu größeren Krümmungsradien und damit zugeringeren Krümmungen. Wirkt in jedem Knoten eine äußere Last normal zur Fläche, sind dieSeilkräfte mit der äußeren Last ins Gleichgewicht zu setzen und entsprechen beispielsweiseeinem Vorspannzustand infolge von Innendruck. Auch hier sind die Vorspannkräfte proportionalzu den Krümmungsradien. Die Flächen besitzen im Allgemeinen eine gleichsinnige odersynklastische Krümmung.2.4 Gleichgewicht an Membranenn 22,kn 11,k ≠ n 22,k ≠ n 11,i≠ n 22,ikn 11,i ≠ n 22,in 22,inR11 221in− = 0RAnisotroper und inhomogenderSpannungszustand2nknnni1 1n ⋅( − ) = 0R R1 2Isotroper und homogener Spannungszustand(Minimalfläche)nR11 221n 11n+ = pRAnisotroper und inhomogenderSpannungszustand2n 22Bei Membranen als Kontinuum ist in jedem Punkt der Fläche das Gleichgewicht einzuhalten.Ebenen Spannungszustand vorausgesetzt, lassen sich Gleichgewichtsflächen berechnen. DieGleichgewichtsflächen besitzen allgemein einen anisotropen und inhomogenen Spannungszustand,d.h. die Spannungen ändern sich von Punkt zu Punkt stetig in Richtung und Betrag,[Blum 85]. Bezogen auf einen Punkt der Fläche gelten dieselben Beziehungen wie für Seilnetze.Ein Sonderfall sind aller möglichen Flächen sind Minimalflächen mit einem isotropen und homogenenSpannungszustand, d.h. die Spannungen sind in jedem Punkt auf der Fläche und injede Richtung konstant und beschreiben den hydrostatischen Spannungszustand.Die mittlere Krümmung ist null, wobei die Krümmungsradien von Punkt zu Punkt variieren.Werkstoffe, mit denen Minimalflächen hergestellt werden können, dürfen keine Schubsteifigkeitbesitzen und müssen homogen sein, damit sich ein hydrostatischer Spannungszustand einstellt.Beispielsweise tritt ein hydrostatischer Spannungszustand in der Oberflächenspannungvon Flüssigkeiten auf. Eine Möglichkeit Minimalflächen herzustellen, sind Seifenhautmodelle.2.64

2.5 Numerische Berechnung von GleichgewichtsformenGleichgewichtAuch bei der numerischen Berechnung von Gleichgewichtsformen werden in einem AusgangssystemBelastungen, innere Kräfte oder Spannungen in Größe, Richtung und Verteilung vorgegebenund die Geometrie berechnet, für die das Tragsystem mit den Festpunkten und Berandungenim Gleichgewicht ist. Für einen Punkt im Raum, der durch 4 Seilstücke gehalten wird,lassen sich die Gleichgewichtsbedingungen. im 3-dimensionalen Koordinatensystem x, y, zaufstellen. Die Methode geht auf [Linkwitz 71] und [Schek 74] zurück. Es gilt:sa sb sc sP id( xa − xi) + ( xb − xi) + ( xc − xi) + ( xd − xi)= pxS c cla lb lc lSdl b b b S alsa sb sc scd( ya − yi) + ( yb − yi) + ( yc − yi) + ( yd − yi)= pi l aayla lb lc lldd dsa sb sc sd( za − zi) + ( zb − zi) + ( zc − zi) + ( zd − zi)= pzl l l lS da b c dDie Gleichungen sind auf Grund der Seilstücklängen nichtlinear, denn für die Längen gilt amBeispiel von l a dargestellt:2 2 2l = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) .a a i a i a iFür die Berechnung der Gleichgewichtsflächen wird die Proportionalität zwischen Seilkraft undKomponenten genützt, die über die Richtungswinkel auch für die Längen gelten:S sa,xsaa, ysa,z= = = = konst.= ql l l la a, x a, y a, zDas Verhältnis von Seilkraft zu Seilstücklänge ist unabhängig von der Lage eines Seilstückesim Raum konstant, wird als zusätzlicher Parameter eingeführt, mit Kraftdichte bezeichnet undführt zu einem linearen Gleichunksystem.qa( xa − xi) + qb( xb − xi) + qc( xc − xi) + qd( xd − xi)= pxqa( ya − yi) + qb( yb − yi) + qc( yc − yi) + qd( yd − yi)= pyq ( z − z ) + q ( z − z ) + q ( z − z ) + q ( z − z ) = pa a i b b i c c i d d i zDurch plausible Vorgaben für die Kraftdichten - insbesondere müssen alle Kraftdichten positivsein zum Erhalt eines positiv definiten Gleichungssystems - kann das System ohne Vorgabevon Startwerten, nur durch die topologische Netzbeschreibung, das Vorhandensein von Kraftdichtenfür alle Elemente und der Fixierung des Netzes durch Festpunkte und/oder Ränder gelöstwerden, [Ströbel 97]. Der Ansatz ist auf Kontinuumselemente übertragbar und wird zurBestimmung der Gleichgewichtsflächen bei Membranen eingesetzt, [Singer 95], [Bletzinger00]. Für die Berechnung sind Lösungsverfahren erforderlich, die für große Verformungen undohne Berücksichtigung der Werkstoffgesetze ein Gleichgewicht finden.Ebenes Netz mit Spannungen, dieorthogonal und jeweils in jedeRichtung konstant sindFestpunkte, Randkurven mitKräften aus den ebenen NetzspannungenNumerisch ermittelte Gleichgewichtsform2.65

Lastabtragung2 33 2 ⎛ L⎞EA⋅q ⋅ LUmgeformt und nach H aufgelöst H + H ⋅EA⎜1− ⎟=⎝ s ⎠ 24⋅s2 23 EA⋅q⋅ LFür den Sonderfall des „geraden Seiles“ gilt L = s und H =24Der Einfluss der Vorspannung auf die Verformungen und Seilkräfte zeigt sich am Beispiel derkonstanten Gleichlast, wenn ein gerades, gewichtsloses Seil gegen unverschiebliche Auflagervorgespannt wird. Die vertikale Verformung wird mit Zunahme der Vorspannung kleiner. Dievertikale Komponente der Seilkraft bleibt konstant bleibt und die horizontale Komponente wirdum die Vorspannung größer. Die Dehnungen unter Last ergeben sich ausschließlich durch diekonstante Gleichlast. Wird wieder für einen kleinen Durchhang die Horizontalkomponente mitder Seilkraft gleichgesetzt, ergibt sich die Längenänderung Δsinfolge äußerer Belastung zuqΔs≈ =( )H ⋅ L H −H ⋅LEAVEAFür den gedehnten Zustand gilt auch für ein2q⋅Lvorgespanntes Seil Δ f =8 ⋅ H2 2Damit ergibt sichq ⋅ LV= q·L/2⎡ ⎤ ( H − HV) ⋅ LL⋅ ⎢1 + L 242 ⎥ = +⎣ H ⎦ EANach der unbekannten Horizontalkraft aufgelöst, gilt:SH VHH qs = L + ΔsLEA⋅q ⋅ LH 2 ( H − HV) =242 2qΔf3.2 Tragverhalten nach Theorie II. OrdnungFür vorgespannte Seilbinder, Seilnetze und Membranen lassen sich die Verformungen, Seilkräfteund Membranspannungen für Geometrie affinen Lasten näherungsweise berechnen und wirdfür eine konstante Gleichstreckenlast dargestellt. Weitere Einschränkungen sind für Seilnetzeund Membranen, dass die Seilscharen bzw. die Gewebebahnen in Richtung der Hauptkrümmungender doppelt gekrümmten Flächen angeordnet sind. Dieser Ansatz gilt sowohl für mechanischals auch pneumatisch vorgespannte Tragsysteme.q = q o + q un oV oH oL of oH ufV uuL uΔf uf oΔfΔf ooL uL of uebener Seilbinder Seilnetz MembranDie Gesamtlast teilt sich auf in einen Anteil, der die Zugkräfte in Tragrichtung erhöht und inSpannrichtung abbaut. Werden die Nachgiebigkeiten der Auflager und die Nachgiebigkeit dervertikalen Hänger bei Seilbindern vernachlässigt, gilt dass die Vertikalverformungen von TragundSpannrichtung in Systemmitte gleich sind. Auf Grund der Vereinfachungen in den Herleitungenhaben die Gleichungen eine ausreichende Genauigkeit für Verhältnisse von Durchhang/Spannweitevon 1/16 < f/L < 1/5.2qo⋅LoFür den verformten Zustand gilt in Tragrichtung noH ,= = qo⋅Ro8 foΔf uq = q o + q un u2.67