Dr. Wilfried Tenten Juli 2009 Ein Beispiel einer Störung, die auf ...

Dr. Wilfried TentenJuli 2009Ein Beispiel einer Störung, die auf einen Potentialtopf wirkt.Fürs Forum!> restart:Dann machen wir das mal mit den Störungen:Wir nehmen einen 3-D Potentialtopf V(x,y,z):> V := (x,y,z) -> piecewise(0

assume (l,integer);assume (V0,integer);interface(showassumed=0):Die Eigenfunktionen eines 3-D Potentialtopfs erhält man durch die Separation:> phi[nml] := phi[n] * phi[m] * phi[l]:Auch bedient man sich der Eigenfunktion des 1-D Potentialtopfs:Anmerkung: B(n) = 1/L und wurde durch normieren gefunden (hier nicht aufgeführt!)> phi[n] := B[n]*sin((n*Pi*x)/L):> B[n] := (1/L)^(1/2):Dann noch Normieren der Wellenfunktion Psi:> psi[nml] := (x,y,z) -> A * sin((n*Pi*x)/L) * sin((m*Pi*y)/L) *sin((l*Pi*z)/L);⎛ ⎞ψ nml:= ( x, y,z ) → A sin⎜n π x ⎛ ⎞⎟ sin⎜m π y ⎛ ⎞⎟ sin⎜l π z⎟⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠> Integral :=int(int(int((psi[nml](x,y,z))^2,x=0..L),y=0..L),z=0..L);L 3 A 2Integral :=8> solve (Integral=1,A^2);Warning, solving for expressions other than names or functions is notrecommended.Das Integral soll wegen der Normierung 1 sein.=> A^2 = 8 / L^3 damit A=(2/L)^1.5Dieses A in Wellenfkt einsetzen!8L 3> A := (2/L)^(3/2):> psi[nml] := unapply(A * sin((n*Pi*x)/L) * sin((m*Pi*y)/L) *sin((l*Pi*z)/L),(x,y,z));( 3 / 2 )ψ nml:= ( x, y,z ) → 2 2 ⎛ ⎝ ⎜1 ⎞⎟L ⎠Auf Grund der Energien im 1-D Potential gilt:> E[nml] := E[n] + E[m] + E[l];⎛ ⎞sin⎜n π x ⎛ ⎞⎟ sin⎜m π y ⎛ ⎞⎟ sin⎜l π z⎟⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠E nml:= E n+ E m+ E l> E[nml] := (hb)^2*Pi^2 /(2*M*L^2) * (n^2+m^2+l^2);hb 2 π 2 ( n 2 + m 2 + l 2 )E nml:=2 M L 2Der erste angeregte Zustand ist dreifach entartet:

Psi1: n=2, m=1, l=1Psi2: n=1, m=2,l=1Psi3: n=1,m=1,l=2Damit folgt:> psi||1 := unapply(subs( n=2, m=1, l=1,psi[nml](x,y,z)),(x,y,z));( 3 / 2 )ψ1 := ( x, y,z)→ 2 2 ⎛ ⎝ ⎜1 ⎞ ⎛ ⎞⎟ sin⎜2 π x ⎛ ⎞⎟ sin⎜π y ⎛ ⎞⎟ sin⎜π z⎟L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠> psi||2 := unapply(subs( n=1, m=2, l=1,psi[nml](x,y,z)),(x,y,z));( 3 / 2 )ψ2 := ( x, y,z)→ 2 2 ⎛ ⎝ ⎜1 ⎞ ⎛ ⎞⎟ sin⎜π x ⎛ ⎞⎟ sin⎜2 π y ⎛ ⎞⎟ sin⎜π z⎟L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠> psi||3 := unapply(subs( n=1, m=1, l=2,psi[nml](x,y,z)),(x,y,z));( 3 / 2 )ψ3 := ( x, y,z)→ 2 2 ⎛ ⎝ ⎜1 ⎞ ⎛ ⎞⎟ sin⎜π x ⎛ ⎞⎟ sin⎜π y ⎛ ⎞⎟ sin⎜2 π z⎟L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠Die Energie der entarteten Zustände:(Anmerkung: Es reicht hierbei völlig aus, eine Energie zu berechnen, da alle drei Zuständeenergieidentisch sind.> E0 := subs( n=2, m=1, l=1, E[nml]);Jetzt müssen wir noch die Matrix berechnen:E0 :=3 hb 2 π 2M L 2> with(LinearAlgebra):> for i from 1 to 3 dofor j from 1 to 3 dointegrand_V||i||j :=unapply(psi||i(x,y,z)*Vs(x,y,z)*psi||j(x,y,z),(x,y,z));V||i||j :=int(int(int(integrand_V||i||j(x,y,z),x=0..L),y=0..L),z=0..L);#print (V||i||j);end do;end do;> Vn := Matrix(3,3,(i,j)-> V||i||j);⎡ 2 V0 −2 V0 2 V0 ⎤Vn :=−2 V0 2 V0 −2 V0⎢⎥⎣ 2 V0 −2 V0 2 V0 ⎦Die immer vorhandene Frage nach den Eigenwerten sei zu lösen:

CharacteristicPolynomial(Vn,x);> loes:=solve(%,x);> Eigenvalues(Vn);x 3 − 6 V0 x 2loes := 0, 0,6 V0⎡ 0 ⎤0⎢ ⎥⎣6 V0⎦Schliesslich: Wir erhalten für die Energie des gestörten Systems:> for n from 1 to 3 doE||n := 3 * (hb)^2 * Pi^2 / (ML^2) + Eigenvalues(Vn)[n];end do;Und was sehen wir darin?E1 :=E2 :=3 hb 2 π 2ML 23 hb 2 π 2ML 23 hb 2 π 2E3 := + 6 V0ML 2Da E1 = E2 ist, wurde die Entartung durch die Störung nicht aufgehoben.