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3.3∣ Vektoroperationen⎛ ⎞ ⎛ ⎞a 1 λa 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟λa=λ⎝a 2 ⎠= ⎝λa 2 ⎠ (3.4)a 3 λa 33.2.2 Kartesische Koordinatenza ze xe yae za yyxa xNatürliche Basis: Basisvektoren zeigen entlang der Koordinatenachsenx,y undz.⎛ ⎞a x⎜ ⎟a=a x e x +a y e y +a z e z = ⎝a y ⎠ (3.5)a z3.3 Vektoroperationen3.3.1 SkalarproduktIn kartesischen Koordinaten definiert man das Skalarprodukt als:⎛ ⎞ ⎛ ⎞a 1 b 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟a·b= ⎝a 2 ⎠· ⎝b 2 ⎠=a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 (3.6)a 3 b 3Andere Schreibweise für das Skalarprodukt:〈a,b〉=〈a|b〉=a·b∣
Vektoren∣ 3Man sieht damit schnell, dass die Länge eines Vektors, die wir auch Betrag nennen,berechnet werden kann mit:a=|a|= √ √a·a= a 2 x +a2 y +a2 z (3.7)Für das Skalarprodukt gilt:a·b=|a||b| cos(ϑ) (3.8)aϑbWegen dieser Eigenschaft nennt man Vektoren mita·b=0orthogonal.Die Basise x ,e y ,e z ist orthonormiert , denn die Vektoren erfüllen:e x·e y =e x·e z =e y·e z =0 orthogonale Basis (3.9a)|e x |=|e y |=|e z |=1 normierte Basis (3.9b)Bemerkung: Die Axiome des Skalarprodukts lauten mit drei Vektorenx,y undz unddem Skalarα:〈x|x〉≥0, insbesondere〈x|x〉∈R〈x|x〉=0⇔x=0〈αx|y〉=komplex konjugiert{}}{α〈x|y〉〈x|αy〉=α〈x|y〉〈x+y|z〉=〈x|z〉+〈y|z〉〈x|y+z〉=〈x|y〉+〈x|z〉〈x|y〉=〈y|x〉In kartesischen Koordinanten lautet das Skalarprodukt für zwei Vektorenv undw überdemR n〈v|w〉=n∑v i w i , v,w∈R n ,i=1während über einem komplexen VektorraumC n gilt〈v|w〉=n∑v i w i , v,w∈C n .i=1∣
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Seite 3: Vektoren∣ 33.2 Basis und Koordina

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