Trigonometrie - Arcor.de

TrigonometrieDie so genannten trigonometrischen bzw. Winkel-Funktionen Sinus, Kosinus undTangens ordnen jedem spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ein entsprechendesSeitenverhältnis zu (siehe Tabelle).Achtung: Die Gegenkathete und Ankathete hängt vom jeweils betrachteten Winkel ab!Betrachter Winkel αasin (α) = cbcos (α) = catan (α) = bDer Sinus eines Winkels ist das Verhältnisvon Gegenkathete zur Hypotenuse.Der Kosinus eines Winkels ist dasVerhältnis von Ankathete zur Hypotenuse.Der Tangens eines Winkels ist dasVerhältnis von Gegenkathete zur Ankathete.Betrachter Winkel βbsin (β) = cacos (β) = cbtan (β) = aMerkhilfe:Für die trigonometrischen Funktionen gilt: (Auflistung nach der Reihefolge auf dem Taschenrechner)sin = HGcos = HAtan = AGcot = GA(GAGA-HühnerHof AG)mit: G = Gegenkathete, A = Ankathete , H = HypotenuseDarstellung der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis (Radius = 1):Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen:Für alle Winkel α mit 0° ≤ α ≤ 90° gilt:1) sin² (α) + cos² (α) = 1*2) tan (α) =sin( α)cos( α)(für α≠90°)* Schreibweise: Statt (sin(α))² schreibt man auch sin²(α). Analog schreibt man cos²(α) und tan²(α).

Vorgehensweise zur Berechnung von fehlenden Winkeln und Seiten am Dreieck:Bei der Berechnung in rechtwinkligen Dreiecken wird meist der „Satz des Pythagoras“benutzt. Dieser gilt jedoch nur in rechtwinkligen Dreiecken, so dass bei der Berechnung inallgemeinen Dreiecken auf den Sinus- bzw. Kosinussatz zurückgegriffen werden muss.RechtwinkligesDreieck?jajaneinneinGegeben1 Seite, 2 Winkel2 Seiten, 1 Winkel1 Seite, 2 Winkel2 Seiten, 1 Winkel(SWS)2 Seiten, 1 Winkel(SSW)Lösungsstrategie- 3. Winkel mit Winkelsummensatz- 2. Seite mit Sinus, Kosinus oder Tangens- 3. Seite mit Pythagoras- 3. Seite mit Pythagoras- 2. Winkel mit Sinus, Kosinus oder Tangens- 3. Winkel mit Winkelsummensatz- 3. Winkel mit Winkelsummensatz- 2. Seite mit Sinussatz- 3. Seite mit Sinussatz- 3. Seite mit Kosinussatz- 2. Winkel mit Sinussatz- 3. Winkel mit Winkelsummensatzbzw.- 2. Winkel mit Sinussatz- 3. Winkel mit Winkelsummensatz- 3. Seite mit KosinussatzSatz des Pythagoras:Ein Dreieck ist rechtwinklig ⇔ Es gilt: a² + b² = c²(mit a, b = Katheten, c = Hypotenuse)Winkelsummensatz:In einem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180°, also:α + β + γ = 180°Sinussatz:In einem allgemeinen Dreieck gilt:sin(α)a=sin(β ) sin(γ )=b cKosinussatz:In einem allgemeinen Dreieck gilt:a² = b² + c² – 2 b c cos(α)b² = a² + c² – 2 a c cos(β)c² = a² + b² – 2 a b cos(γ)