12 Flächen- und Volumenintegrale

12 Flächen- und Volumenintegrale
12.1 Integration über ebene Mengen
12.1.1 Erweiterung des Flächeninhaltsbegriffes
In einigen Spezialfällen haben wir ebenen Mengen (d.h. Teilmengen von R 2 ) bereits einen
Flächeninhalt zugeordnet (siehe Abschnitt 9.1). Nun wollen wir für eine recht umfangreiche
Klasse von ebenen Mengen den Begriff des Flächeninhalts definieren.
Sei B ⊂ R 2 eine beschränkte Menge. Sei k
eine natürliche Zahl. R 2 sei mit einem kartesischen
Koordinatensystem versehen und bezüglich
dieses von einem Gitter achsenparalleler
abgeschlossener Quadrate der Seitenlänge
2 −k (so genannter k-Quadrate) überdeckt.
Der Flächeninhalt jedes k-Quadrats ist
2 −k · 2 −k = 2 −2k .
Sei
s k(B) := Summe der Flächeninhalte aller k-Quadrate, die ganz in B enthalten
sind,
sk(B) := Summe der Flächeninhalte aller k-Quadrate, die mindestens einen
Punkt von B enthalten.
Da B nach Voraussetzung beschränkt ist, gibt es zu jedem k nur endlich viele k-Quadrate
mit der entsprechenden Eigenschaft.
Durch Vergrößern von k wird das Gitter verfeinert. Dabei gilt
und daher existieren die Grenzwerte
s k(B) ≤ s k+1(B)≤sk+1(B) ≤ sk(B) ,
A (B) := lim sk(B) k→∞
(Approximation von innen),
A (B) := lim sk(B)
k→∞
(Approximation von außen).
B
285

12 Flächen- und Volumenintegrale
Definition 12.1.1. Die Menge B ⊂ R2 heißt Riemann-meßbar, wenn sie beschränkt ist und
A (B) = A ¯(B)
gilt. Dieser gemeinsame Wert heißt dann Flächeninhalt A (B) der Menge
B. (A für “area”, lat.: Fläche.)
Ist N ⊂ R 2 Riemann-meßbar und gilt A (N) = 0, so heißt N Nullmenge in R 2 .
Satz 12.1.2. Für beschränkte Teilmengen B und N von R 2 gilt:
(i) B ist genau dann Riemann-meßbar, wenn der Rand von B eine Nullmenge in R 2 ist.
(ii) Ist B Riemann-meßbar und N Nullmenge in R 2 , so gilt
A (B) = A (B ∪ N) = A (B \ N) .
Satz 12.1.3. Jede aus endlich vielen, stetig differenzierbaren Kurvenstücken und eventuell
endlich vielen, weiteren Punkten bestehende Teilmenge von R 2 ist Nullmenge in R 2 .
Aus diesen Sätzen folgt:
Folgerung 12.1.4. Jede beschränkte Teilmenge B von R 2 , deren Rand aus endlich vielen,
stetig differenzierbaren Kurvenstücken und eventuell endlich vielen weiteren Punkten besteht,
ist Riemann-meßbar, besitzt also einen Flächeninhalt A (B).
Folgerung 12.1.5. Das Hinzufügen oder Entfernen einer Nullmenge in R 2 läßt den Flächeninhalt
einer Riemann-meßbaren Menge unverändert.
Beispiel 12.1.6. Es sei B ein abgeschlossenes Rechteck in der
Ebene mit den Seitenlängen a > 0 und b > 0. N1 sei die aus
den vier Seitenlinien bestehende Menge und N2 eine Diagonale.
Dann sind N1 und N2 Nullmengen in R 2 , und es gilt
A (B \ N1) = A (B \ N2) = A (B) = ab .
Beispiel 12.1.7. Es sei B wie in Beispiel 12.1.6 und
M := {(x,y) ∈ B: x und y rationale Zahlen} .
Dann gilt A (M) = 0 (denn jedes k-Quadrat enthält auch Punkte mit mindestens einer irrationalen
Koordinate) und A ¯(M)
= ab > 0. Also ist M nicht Riemann-meßbar.
12.1.2 Der Begriff des Flächenintegrals
Es soll das Integral einer Funktion über eine beschränkte ebene Menge definiert werden.
286
a
N2
b

Wir erinnern an die Definition des Integrals b�
S( f ) :=
a
12.1 Integration über ebene Mengen
f (x)dx mittels Riemann-Summen der Form
m
∑ f (ξi) · △xi,
i=1
die zu einer Zerlegung Z = {a = x0,x1,...,xm = b} des Intervalls [a,b] gehören. Hierbei ist
△xi := xi − xi−1 die Länge des Teilintervalls [xi−1,xi] und ξi ∈ [xi−1,xi].
Nun sei B ⊂ R 2 eine beschränkte Menge und f : B → R eine Funktion.
Mittels glatten Kurvenstücken sei eine Zerlegung
Z von B in Teilmengen B1,...,Bm vorgenommen.
Die Menge B sei so beschaffen,
daß jedes Bi Riemann-meßbar ist, und es sei
△Bi := A (Bi) der Flächeninhalt von Bi. Weiter
sei (ξi,ηi) ∈ Bi beliebig gewählt.
Dann heißt
S( f ,Z) :=
m
∑ f (ξi,ηi) · △Bi
i=1
Riemann-Summe von f bezüglich der Zerlegung Z.
Bi
B
(12.1.1)
Es sei δ(Z) der maximale Durchmesser (d.h. das Supremum der Abstände zweier Punkte
dieser Menge) der zu Z gehörigen Mengen B1,...,Bm. δ(Z) ist ein Maß für die “Feinheit”
der Zerlegung Z.
Statt einer Zerlegung Z betrachten wir nun eine Folge von “immer feineren” Zerlegungen
Zn von B in Mengen B (n)
1 ,...,B(n) mn . Dabei soll “immer feiner” bedeuten, daß lim
n→∞ δ(Zn) = 0
gilt. Wenn nun für jede solche Folge (Zn) und jede Wahl der Punkte (ξ (n)
i ,η (n)
i ) ∈ B (n)
i die
zugehörige Folge der Riemann-Summen stets konvergiert, so hängt deren Grenzwert nur
von f und B ab und heißt Flächenintegral von f über B, in Zeichen
��
��
��
f db oder f (x,y)db(x,y) oder f (x,y)d(x,y) .
B
B
Das db deutet dabei darauf hin, daß wir über einen Bereich integrieren.
In Kurzform kann man die Definition so zusammenfassen:
��
f db := lim
mn
f (ξ (n)
i ,η (n)
i ) · △B (n)
i .
B
∑
δ(Zn)→0
i=1
Satz 12.1.8. Ist B ⊂ R2 Riemann-meßbar und f : B → R beschränkt und stetig, so existiert
das Flächenintegral ��
f db.
B
B
287

12 Flächen- und Volumenintegrale
Bemerkung 12.1.9. Aus (12.1.1) mit f = 1 folgt S( f ,Z) = m
∑
i=1
△Bi = A (B). Alle Riemann-
Summen haben denselben Wert und daher ist
��
db = A (B) der Flächeninhalt von B . (12.1.2)
B
12.1.3 Berechnung von Flächenintegralen
Wir beginnen mit zwei allgemeinen Rechenregeln.
Satz 12.1.10. Ist B ⊂ R2 Riemann-meßbar, N ⊂ R2 Nullmenge in R2 und f : B ∪ N → R
beschränkt und stetig, so gilt (vgl. Satz 12.1.2)
�� �� ��
f db = f db= f db . (12.1.3)
B
B∪N
B\N
Satz 12.1.11. Seien B1,B2 ⊂ R 2 Riemann-meßbare
Mengen, die höchstens eine Nullmenge gemeinsam haben.
Weiter sei f : B1 ∪ B2 → R beschränkt und stetig.
Dann gilt
��
B1∪B2
��
f db =
B1
��
db +
B2
db . (12.1.4) B1
Wir definieren nun Klassen von ebenen Mengen, für die das Flächenintegral leicht zu berechnen
ist.
Definition 12.1.12.
(i) Es seien u,v: [a,b] → R stetige Funktionen mit
u(x) ≤ v(x) für alle x ∈ [a,b]. Dann heißt
B− := {(x,y) ∈ R 2 : a ≤ x ≤ b, u(x) ≤ y ≤ v(x)}
horizontaler Normalbereich oder Normalbereich
bez. der x-Achse.
(ii) Es seien ϕ,ψ : [α,β] → R stetige Funktionen mit
ϕ(y) ≤ ψ(y) für alle y ∈ [α,β]. Dann heißt β
B | := {(x,y) ∈ R 2 : α ≤ y ≤ β, ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y)}
vertikaler Normalbereich oder Normalbereich bez.
der y-Achse.
288
α
a
ϕ
B_
B |
v
u
B2
b
ψ

12.1 Integration über ebene Mengen
Satz 12.1.13. (i) Ist B− ⊂ R2 ein Normalbereich bezüglich der x-Achse und f : B− → R
eine stetige Funktion, so gilt
�� ��
� �� �
b v(x)
f db = f (x,y)d(x,y) =
f (x,y)dy dx . (12.1.5)
B−
B−
x=a
y=u(x)
(ii) Ist B | ⊂ R 2 ein Normalbereich bezüglich der y-Achse und f : B | → R eine stetige Funk-
tion, so gilt
��
B |
��
f db =
B |
� β
f (x,y)d(x,y) =
y=α
�� ψ(y)
x=ϕ(y)
�
f (x,y)dx dy . (12.1.6)
Durch (12.1.5) wird das Flächenintegral auf ein zweifaches Integral zurückgeführt. Letzteres
berechnet man “von innen nach außen”: Man integriert zuerst über y bei “festgehaltenem”
x, danach über x.
Entsprechendes gilt für (12.1.6).
Beispiel 12.1.14. Die Graphen der Funktionen
mit
f1(x) = √ x + 3 , f2(x) = 0 , und f3(x) = 2 √ x
D( f1) = D( f2)[−3,∞[ , D( f3) = [0,∞[
beranden einen beschränkten Bereich B der x,y-Ebene. Gesucht ist der Flächeninhalt A (B).
Lösung: Im Bild ist der Bereich B dargestellt.
Der Schnittpunkt von graph( f1) und
graph( f2) ergibt sich aus √ x + 3 = 2 √ x zu
(1,2).
Zur Berechnung von A (B) = ��
db sind zwei
B
y = √ x + 3
Wege möglich. −3
1
1. Weg: B “von der x-Achse her” betrachten. Nach Satz 12.1.11 gilt
�� ��
A (B) = db + db ,
wobei B1 und B2 Normalbereiche bezüglich der x-Achse sind. Daher gilt
�
�� � 0 � √ �
x+3 � 0
db =
dy dx = y � �y=√x+3 dx
y=0
B1
=
x=−3
� 0
x=−3
y=0
B1
B2
x=−3
√ 2
x + 3 dx =
3 (x + 3) 3 �
�
2 �
�
B1
x=0
x=−3
y
= 2 √ 3
B2
y = 2 √ x
x
289

12 Flächen- und Volumenintegrale
und
��
B2
db =
Somit ist A (B) = 4.
� 1
x=0
� � √ x+3
y=2 √ x
dy
�
dx =
2. Weg: B “von der y-Achse her” betrachten.
Dann ist B selbst Normalbereich. Wegen
folgt
y = √ x + 3 ⇐⇒ x = y 2 − 3, y ≥ 0
y = 2 √ x ⇐⇒ x = 1
4 y2 , y ≥ 0 ,
��
A (B) =
B
db =
� 2
y=0
� � 14 y 2
x=y 2 −3
dx
�
dy =
� 1
x=0
� 2
y=0
( √ x + 3 − 2 √ x)dx = 4 − 2 √ 3 .
x = y 2 − 3
−3
Der zweite Weg ist hier kürzer und daher hier vorzuziehen.
y
x = 1 4 y2
[ 1
4 y2 − y 2 + 3]dy = [− 1
4 y3 + 3y] � �y=2 = 4 . y=0
Wir betrachten noch einen Spezialfall von Satz 12.1.13. Ein Rechteck
B = {(x,y) ∈ R 2 : a ≤ x ≤ b, α ≤ y ≤ β}
ist sowohl Normalbereich bezüglich der x-Achse als auch Normalbereich bezüglich der y-
Achse. Für jede stetige Funktion f : B → R gilt daher die Vertauschungsformel
� �� �
b β
�� ��
� �� �
β b
f (x,y)dy dx = f dB = f (x,y)d(x,y) = f (x,y)dx dy .
x=a
y=α
12.1.4 Anwendungen
B
B
y=α
x=a
1
x
(12.1.7)
Eine Riemann-meßbare Menge B ⊂ R 2 (Platte) sei mit Masse der Flächendichte ρF belegt.
a) Für die Masse m von B gilt
�� ��
m = ρF db = ρF(x,y)d(x,y) . (12.1.8)
B
B
b) Statische Momente von B :
Denkt man sich die Masse △mi des Teilbereichs Bi im Punkt (ξi,ηi) konzentriert, dann ist
290
△mi · ηi (Masse mal Abstand von derx-Achse)

12.1 Integration über ebene Mengen
das statische Moment dieser Punktmasse bez. der x-Achse. Durch Summieren und Verfeinern
der Zerlegung erhält man für den gesamten Bereich B :
Mx := ��
y · ρF(x,y)d(x,y) statisches Moment bez. der x-Achse,
B
My := ��
x · ρF(x,y)d(x,y) statisches Moment bez. der y-Achse.
(12.1.9)
B
c) Der Schwerpunkt (oder Massenmittelpunkt) von B ist definiert als derjenige Punkt
S = (xs,ys), in dem die Gesamtmasse m dieselben statischen Momente hat wie der Bereich
B. Aus mxs = My und mys = Mx folgt mit (12.1.9):
S = (xs,ys) mit xs = 1
m
��
B
x · ρF(x,y)d(x,y) , ys = 1
m
��
B
y · ρF(x,y)d(x,y) . (12.1.10)
��
Ist ρF(x,y) = ρ0 (konstant) für alle (x,y) ∈ B, dann ist m = ρ0 dB = ρ0A (B). Mit
(12.1.10) ergibt sich der geometrische Schwerpunkt S von B :
S = ( ¯xs, ¯ys) mit ¯xs = 1
��
A (B)
xd(x,y) , ¯ys = 1
��
A (B)
B
B
B
yd(x,y) . (12.1.11)
d) Trägheitsmomente von B :
��
Ix = y 2 · ρF(x,y)d(x,y) Trägheitsmoment bezüglich der x-Achse,
B
��
Iy =
B
��
I0 =
Ixy = −
B
��
B
x 2 · ρF(x,y)d(x,y) Trägheitsmoment bezüglich der y-Achse,
(x 2 + y 2 ) · ρF(x,y)d(x,y) polares Trägheitsmoment,
xy · ρF(x,y)d(x,y) Deviationsträgheitsmoment.
Im Falle ρF(x,y) = 1 für alle (x,y) ∈ B heißen Ix, ,Iy, I0 und Ixy Flächenmomente.
Beispiel 12.1.15. Es sei B das gleichschenklige Dreieck im Bild. Gesucht ist das Flächenmoment
Ix bezüglich der x-Achse.
Lösung: Zur Berechnung von
��
Ix = y 2 y
d(x,y)
h
B
deuten wir B als Normalbereich bezüglich der
y-Achse mit der linken Randkurve x = a hy − a
und der rechten Randkurve x = − a hy + a.
B
−a a
x
291

12 Flächen- und Volumenintegrale
Hiermit gilt
��
Ix =
B
y 2 d(x,y) =
� h
y=0
�� − a h y+a
x= a h y−a
y 2 � � h
dx dy = y
y=0
2 �
· 2
12.2 Integration über räumliche Mengen
12.2.1 Der Begriff des Volumens
− a
h
�
y + a dy = ah3
6 .
Analog zu 14.1.1 definieren wir die Parameterdarstellung eines Flächenstückes F ⊂ R 3 als
das Bild einer stetigen Abbildung f : B ⊂ R 2 → R 3 .
Die in 12.1.1 für beschränkte ebene Mengen durchgeführten Überlegungen lassen sich nun
sinngemäß auf beschränkte räumliche Mengen („Körper“) übertragen. Die folgende Tabelle
deutet dies an.
gegebene Menge Approx. durch führt zu speziell
R 2 B ⊂ R 2 beschränkt Quadrate Riemann-Meßbarkeit B Nullmenge in R 2
Flächeninh. A (B) A (B) = 0
R 3 K ⊂ R 3 beschränkt Würfel Riemann-Meßbarkeit K Nullmenge in R 3
Volumen V (K) V (K) = 0
Es gelten zu den Sätzen 12.1.2, 12.1.3 analoge Aussagen. Wir formulieren nur deren praktische
Konsequenzen:
• Jede beschränkte Teilmenge K von R 3 , deren Rand eine Nullmenge in R 3 ist [also
z.B. nur aus je endlich vielen Flächenstücken, Kurvenstücken oder Punkten besteht]
ist Riemann-meßbar, besitzt also ein Volumen V (K).
• Das Hinzufügen oder Entfernen einer Nullmenge in R 3 läßt das Volumen einer Riemannmeßbaren
Teilmenge von R 3 unverändert.
Beispiel 12.2.1. Es sei K ein abgeschlossener Quader mit den Kantenlängen a,b,c. Der
Rand von K besteht aus den 6 Seitenflächen, den 12 Kanten und den 8 Ecken. Bezeichnet
N den gesamten Rand von K (oder Teile davon), so ist N eine Nullmenge in R 3 , K ist
Riemann-meßbar, und es gilt
V (K \ N) = V (K) = abc .
Bemerkung 12.2.2. Jede Seitenfläche von K ist Nullmenge in R 3 , aber nicht Nullmenge in
R 2 .
292

12.2.2 Der Begriff des Raumintegrals
12.2 Integration über räumliche Mengen
Es seien K ⊂ R 3 eine beschränkte Menge und f : K → R eine Funktion. Es soll das Integral
von f über K definiert werden. Mittels Flächenstücken sei K in Teilmengen K1,...,Km zerlegt.
Jedes Ki sei Riemann-meßbar mit dem Volumen △Ki := V (Ki). Weiter sei (ξi,ηi,ζi) ∈
Ki beliebig gewählt. Dann heißt
Riemann-Summe von f .
S( f ,Z) :=
m
∑ f (ξi,ηi,ζi) · △Ki
i=1
(12.2.1)
Statt einer Zerlegung von K betrachten wir nun eine Folge von Zerlegungen, die “immer
feiner” werden (vgl. 12.1.2), sowie die zugehörige Folge der Riemann-Summen. Wenn
diese stets konvergiert, hängt der Grenzwert nur von f und K ab und heißt Raumintegral
von f über K, in Zeichen
���
K
f dv oder
���
K
f (x,y,z)dv(x,y,z) oder
���
Hier bezeichnet dv, daß es sich um ein Volumenintegral handelt.
K
f (x,y,z)d(x,y,z) .
Satz 12.2.3. Ist K ⊂ R3 Riemann-meßbar und f : K → R beschränkt und stetig, so existiert
das Raumintegral ���
f dv.
K
12.2.3 Berechnung von Raumintegralen
Die den Sätzen 12.1.10, 12.1.11 entsprechenden Sätze sind:
Satz 12.2.4. Ist K ⊂ R 3 Riemann-meßbar, N ⊂ R 3 Nullmenge in R 3 und f : K ∪ N → R
beschränkt und stetig, so gilt
���
K
���
f dv =
K∪N
���
f dv =
K\N
f dv .
Satz 12.2.5. Seien K1,K2 ⊂ R 3 Riemann-meßbare Mengen, die höchstens eine R 3 -Nullmenge
gemeinsam haben. Weiter sei f : K1 ∪ K2 → R beschränkt und stetig. Dann gilt
���
K1∪K2
���
f dv =
K1
���
f dv +
K2
f dv .
293

12 Flächen- und Volumenintegrale
Grundlage für die Berechnung von vielen Raumintegralen ist der folgende Satz.
Dazu betrachten wir einen zylindrischen Körper
K := {(x,y,z) ∈ R 3 : (x,y) ∈ B, g(x,y) ≤ z ≤ h(x,y)} , (12.2.2)
wobei B ⊆ R 2 ein Normalbereich (bezüglich der x-Achse oder der
y-Achse) ist und g,h: B → R stetige Funktionen sind.
Satz 12.2.6. Für einen zylindrischen Körper K mit (12.2.2) gilt
��� ��
f dv =
�� h(x,y)
�
f (x,y,z)dz db . (12.2.3)
K
B
z=g(x,y)
Ist also B ein Normalbereich bezüglich der x-Achse,
so gilt nach (12.2.3) und (12.1.7):
���
K
���
f dv =
K
B = {(x,y) ∈ R 2 : a ≤ x ≤ b, u(x) ≤ y ≤ v(x)} ,
f (x,y,z)d(x,y,z) =
� b
x=a
�� v(x)
y=u(x)
�� h(x,y)
z=g(x,y)
z
y
K
B
� �
f (x,y,z)dz dy dx . (12.2.4)
Im Spezialfall f = 1 gilt nach Definition des Raumintegrals
���
dv = V (K) Volumen von K . (12.2.5)
K
Ist K der durch (12.2.2) gegebene zylindrische Körper, so gilt nach (12.2.3)
��
��
V (K) = [h − g]db = [h(x,y) − g(x,y)]d(x,y) .
12.2.4 Anwendungen
B
B
Eine Riemann-meßbare Menge K ⊂ R 3 sei mit Masse der (räumlichen) Dichte ρ belegt. In
Analogie zum ebenen Fall erhält man die folgenden Formeln.
a) Die Masse m von K ist
294
���
m = ρ(x,y,z)d(x,y,z) . (12.2.6)
K
g
h
x

12.2 Integration über räumliche Mengen
Beispiel 12.2.7. Im x,y,z-Raum sei K der von dem Rotationsparaboloid
und der Kugel
F1 = {(x,y,z): z = √ 3(x 2 + y 2 )}
F2 = {(x,y,z): x 2 + y 2 + z 2 = 4}
berandete, oberhalb der x,y-Ebene gelegene Körper. K sei mit Masse der Dichte ρ(x,y,z) =
z belegt. Gesucht ist die Masse m von K.
Lösung: 1. Darstellung von K: Die Schnittkurve C von F1 und F2 ergibt sich aus
x 2 + y 2 + 3(x 2 + y 2 ) 2 = 4 .
Mit a := x2 + y2 folgt a2 + 1 3a − 4 3 = 0 also a = 1 (beachte a ≥ 0). C ist also ein Kreis um
die z-Achse mit Radius 1 auf der Ebene z = √ 3. Somit gilt
mit
K = {(x,y,z) ∈ R 3 : (x,y) ∈ B, √ 3(x 2 + y 2 ) ≤ z ≤
�
4 − (x 2 + y 2 )}
B = {(x,y) ∈ R 2 �
: − 1 ≤ x ≤ 1, − 1 − x2 �
≤ y ≤ 1 − x2 } .
2. Berechnung des Integrals: Mit (12.2.6) und (12.2.4) erhalten wir
���
m = zdv =
=
K
� 1
x=−1
� 1
x=−1
� � √ 1−x 2
y=− √ 1−x 2
� � √ 1−x 2
y=− √ 1−x 2
� � √ 4−(x 2 +y 2 )
z= √ 3(x 2 +y 2 )
zdz
�
dy
�
dx
1
2 [4 − (x2 + y 2 ) − 3(x 2 + y 2 ) 2 �
]dy dx .
Die weitere Auswertung der Integrale in kartesischen Koordinaten ist recht mühevoll. Wir
brechen die Rechnung hier ab. In 12.3 werden wir eine Methode behandeln, die schneller
zum Ziele führt.
b) Das statische Moment von K bezüglich der x,y-Ebene ist
���
Mxy := zρ(x,y,z)d(x,y,z) . (12.2.7)
Analog sind die statischen Momente bezüglich anderer Ebenen definiert.
K
295

12 Flächen- und Volumenintegrale
c) Der Schwerpunkt (oder Massenmittelpunkt) S = (xs,ys,zs) von K ergibt sich wieder
aus der Bedingung, daß die dort konzentrierte Gesamtmasse m dieselben statischen Momente
habe wie K. So ist zum Beispiel mzs = Mxy. Insgesamt ergibt sich
xs = 1
���
x · ρ(x,y,z)d(x,y,z) ,
m
K
ys = 1
���
y · ρ(x,y,z) d(x,y,z) , (12.2.8)
m
K
zs = 1
���
z · ρ(x,y,z)d(x,y,z) .
m
K
���
Ist ρ(x,y,z) = ρ0 (konstant), dann ist m = ρ0 dv = ρ0V (K). Mit (12.2.8) erhält man den
K
geometrischen Schwerpunkt ¯S( ¯xs, ¯ys, ¯zs) von K:
¯xs = 1
���
xd(x,y,z) , ¯ys =
V (K)
K
1
���
yd(x,y,z) , ¯zs =
V (K)
K
1
���
zd(x,y,z) .
V (K)
K
d) Man definiert das Trägheitsmoment (TM) von K bezüglich einer Ebene, einer Geraden
beziehungsweise eines Punktes durch die Formel
���
I = r 2 ���
· ρ dv = r 2 (x,y,z) · ρ(x,y,z)d(x,y,z) (12.2.9)
K
und folgende Tabelle:
Bezeichnung planares TM axiales TM polares TM
von I bez. x,y-Ebene bez. z-Achse bez. Nullpunkt
r 2 (x,y,z) = z 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2
K
Es ist r also der Abstand eines variablen Punktes des Körpers vom Bezugsobjekt. Für das
planare Trägheitsmoment bezüglich der x,y-Ebene schreibt man statt I auch Ixy; entsprechend
Iz beziehungsweise I0. Die Trägheitsmomente bezüglich anderer Ebenen, Geraden
und Punkten sind analog definiert.
Beispiel 12.2.8. Sei K das von den Ebenen x = 0, y = 0, z = 0 und x+y+z−1 = 0 berandete
Tetraeder. Die Dichte sei ρ(x,y,z) = 1 (konstant). Gesucht ist das axiale Trägheitsmoment
Iz bezüglich der z-Achse.
Lösung: Man erhält man
���
Iz = (x 2 + y 2 � �� �� 1 1−x 1−x−y
)d(x,y,z) =
(x 2 + y 2 � �
z
)dz dy dx
y
=
296
K
� 1
x=0
�� 1−x
y=0
x=0
y=0
z=0
(x 2 + y 2 �
)(1 − x − y)dy dx = ··· = 1
30 .
x

12.3 Integration mittels Koordinatentransformation
12.3 Integration mittels Koordinatentransformation
12.3.1 Allgemeiner Fall
Wir erläutern das Ziel des Abschnittes an einem Beispiel.
Beispiel 12.3.1. Gesucht ist das Flächenmoment Ix der Halbkreisfläche
bezüglich der x-Achse.
B = {(x,y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ a 2 , y ≥ 0}
Mit der Deutung von B als Normalbereich bezüglich der x-
Achse erhält man sofort
��
y 2 �
� a �
√
a2−x2 d(x,y) =
y 2 �
dy dx
Ix =
B
� a
x=−a
1
=
x=−a 3 (a2 − x 2 ) 3/2 dx .
Die Berechnung des letzten Integrals ist allerdings recht aufwendig.
y=0
Bei der Transformation der kartesischen Koordinaten x,y in Polarkoordinaten
r,ϕ gemäß
Tpolar : (r,ϕ) ↦→ (x,y) , x = r cosϕ, y = r sinϕ
entspricht der Menge B die Menge
und es gilt
B ∗ = {(r,ϕ): 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ ϕ ≤ π}
��
B ∗
... d(r,ϕ) =
� a
r=0
�� π
�
... dϕ dr .
ϕ=0
Zur Berechnung von Ix auf diesem Wege benötigt man aber einen Zusammenhang zwischen
��
... d(x,y) und ��
... d(r,ϕ).
B
B ∗
Hiermit wollen wir uns nun allgemein befassen.
Wir beschreiben zuerst die in Frage kommenden Transformationen.
Definition 12.3.2. Seien C0 und D0 offene Teilmengen von R n . Eine Vektorfunktion T : C0 →
D0 heißt zulässige Koordinatentransformation auf D0, wenn gilt
ϕ
π
y
B ∗
B
a
r
a
297
x

12 Flächen- und Volumenintegrale
1. T ist bijektiv, d.h., zu jedem x ∈ D0 existiert genau ein u ∈ C0 mit T (u) = x.
2. T ist auf C0 stetig (partiell) differenzierbar, und es gilt
u2
detJT (u) �= 0 für alle u ∈ C0
C0
Bemerkung 12.3.3. Die Surjektivität,
u
u1
T
x2
T [C0] = D0
von T bedeutet zusammen mit der Injektivität, daß jeder Punkt P von D0 außer durch seine
kartesischen Koordinaten x1,...,xn auch durch die zugehörigen Werte u1,...,un eindeutig
beschrieben werden. Daher heißen auch u1,...,un Koordinaten von P.
Die zweite Eigenschaft wird im folgenden benötigt. Die Determinante detJT (u) der Jacobi-
Matrix von JT (u) heißt Jacobi-Determinante (oder Funktionaldeterminante) von T.
Wir kommen nun zur Übertragung der Substitutionsformel (Satz 9.3.17)
� b
a
f (x)dx =
� g −1 (b)
g −1 (a)
x
D0
x1
f (g(u))g ′ (u)du
auf Flächenintegrale (n = 2) und Raumintegrale (n = 3).
Satz 12.3.4. Sei D ⊂ R n , n = 2 oder n = 3, Riemann-meßbar und f : D → R beschränkt
und stetig. Weiter sei T : C0 → D0 eine zulässige Koordinatentransformation auf D0 und
C ⊂ C0 so, daß T [C] = D. Dann gilt
���
D
��
D
��
f (x,y)d(x,y) =
f (x,y,z)d(x,y,z) =
Bemerkung 12.3.5. Für
298
C
���
C
f (T (u,v))|detJT (u,v)| d(u,v) für n = 2 , (12.3.1)
f (T (u,v,w))|detJT (u,v,w)| d(u,v,w) für n = 3 .
(u,v) ↦→ T (u,v) = (x(u,v),y(u,v))
(12.3.2)

zw.
haben wir
und
12.3 Integration mittels Koordinatentransformation
(u,v,w) ↦→ T (u,v,w) = (x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))
f (T (u,v)) = f (x(u,v),y(u,v)) bzw. f (T (u,v,w)) = f (x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))
detJT (u,v) = ∂(x,y)
�
�
(u,v) := �
∂(u,v) � xu(u,v)
�
xv(u,v) �
�
yu(u,v) yv(u,v) � ,
detJT (u,v,w) = ∂(x,y,z)
�
�
� xu(u,v,w) xv(u,v,w) xw(u,v,w)
(u,v,w) := �
∂(u,v,w) � yu(u,v,w) yv(u,v,w) yw(u,v,w)
� zu(u,v,w) zv(u,v,w) zw(u,v,w)
Motivation von (12.3.1): Einer Zerlegung von C mittels Koordinatenlinien u = ui und
v = vi entspricht eine Zerlegung von D in Teilmengen Di.
v y
vi
ui
Ci
T
bi
ai
Di
u x
Man approximiert nun die Menge Di durch das von den Vektoren
ai := △ui
� xu(ui,vi)
yu(ui,vi)
�
und bi := △vi
� xv(ui,vi)
yv(ui,vi)
mit △u,△v > 0 aufgespannte Parallelogramm. Für den Flächeninhalt |Di| von Di gilt dann
�
�
|Di| ≈ �
� a1i b1 i
a2 i b2 �
�
�
�
i
=
�
�
�
� xu(ui,vi)
�
xv(ui,vi) �
�
yu(ui,vi) yv(ui,vi) �△ui△vi .
Mit dem üblichen Summations- und Verfeinerungsprozeß folgt hieraus die Formel (12.3.1).
Im Bild ist übrigens angedeutet, daß die Koordinatenlinien u = ui bzw. v = vi in der x,y-
Ebene im allgemeinen nicht geradlinig (wie in der u,v-Ebene) sind. Daher heißen u,v auch
krummlinige Koordinaten.
Bemerkung 12.3.6. Aufgrund der Sätze 12.1.10, 12.2.4 gelten (12.3.1) und (12.3.2) auch,
wenn C \C0 und D \ D0 Nullmengen im R 2 oder R 3 sind.
�
�
�
�
�
�
� .
299

12 Flächen- und Volumenintegrale
12.3.2 Ebene Polarkoordinaten
Definition 12.3.7. Seien C,D ⊆ R 2 . Eine Abbildung Tpolar : C → D heißt (ebene) Polarkoordinatenfunktion,
wenn
Tpolar(r,ϕ) = (r cosϕ,r sinϕ) für (r,ϕ) ∈ C .
Gilt Tpolar (r,ϕ) = (x,y), dann heißen r und ϕ (ebene) Polarkoordinaten des Punktes (x,y).
Bemerkung 12.3.8. Einem Paar (r,ϕ) ∈ C wird durch Tpolar also der Punkt (x,y) ∈ D mit
zugeordnet.
Wir betrachten
Dann gilt
x = r cosϕ , y = r sinϕ
C1 := {(r,ϕ) ∈ R 2 : r ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π} .
D1 := Tpolar[C1] = R 2 ,
d.h., mittels Tpolar auf C1 hätten wir eine Beschreibung aller Punkte in R 2 durch Polarkoordinaten.
Leider gilt aber Tpolar (0,ϕ) = (0,0) für jedes ϕ ∈ [0,2π[, d.h., der Nullpunkt
der x,y-Ebene wird durch r,ϕ nicht eindeutig dargestellt. Außerdem ist die Menge C1 nicht
offen.
Wir müssen also C1 und damit D1 einschränken, um eine zulässige Koordinatentransformation
zu erhalten. Daher setzen wir
C0 := {(r,ϕ) ∈ R 2 : r > 0, 0 < ϕ < 2π} ,
D0 := R 2 \ N0 , wobei N0 := {(x,0) ∈ R 2 : x ≥ 0} .
ϕ y
2π
C0
Tpolar
D0
r x
Im Bild sollen die gestrichelten Linien andeuten, daß diese Teile des Randes nicht zu C0
bzw. D0 gehören. Jeder Punkt (x,y) ∈ D0 wird durch einen Punkt (r,ϕ) ∈ C0 eindeutig
dargestellt, d.h., Tpolar ist eine Bijektion von C0 auf D0.
Für die Jacobi-Determinante von Tpolar erhält man
�
∂(x,y) �
detJTpolar (r,ϕ) = (r,ϕ) = �
∂(r,ϕ) � xr(r,ϕ)
�
xϕ(r,ϕ) �
�
yr(r,ϕ) yϕ(r,ϕ) � =
�
�
�
�
300
r
ϕ
cosϕ −r sinϕ
sinϕ r cosϕ
�
�
�
� ,

also
12.3 Integration mittels Koordinatentransformation
detJTpolar
(r,ϕ) = r . (12.3.3)
Die partiellen Ableitungen sind auf C0 stetig, und nach (12.3.3) gilt detJTpolar
alle (r,ϕ) ∈ C0. Somit ist
Tpolar : C0 → D0
eine zulässige Koordinatentransformation auf D0.
Die Koordinatenlinien von Tpolar in der x,y-Ebene sind
r = r0 : Kreise um 0 mit dem Radius r0,
ϕ = ϕ0 : Halbgeraden von 0 aus mit dem Winkel ϕ0.
Die Transformationsformel 12.3.1 lautet für Polarkoordinaten explizit
��
D
��
f (x,y)d(x,y) =
C
(r,ϕ) > 0 für
f (r cosϕ,r sinϕ)r d(r,ϕ) , Tpolar [C] = D . (12.3.4)
Bemerkung 12.3.9. Die Mengen C1 \C0 und D1 \ D0 sind R 2 -Nullmengen, so daß (12.3.4)
nach Bemerkung 12.3.6 für beliebige, Riemann-meßbare Menge D (und C) in R 2 gilt.
Beispiel 12.3.10. Wir kommen auf Beispiel 12.2.7 zurück und verwenden die dort eingeführten
Bezeichnungen. Nun soll das Flächenmoment Ix der Halbkreisfläche B mittels
Polarkoordinaten berechnet werden.
Lösung: Im Hinblick auf die Mengen C0 und D0 setzen wir
ϕ
π
C := {(r,ϕ) ∈ R 2 : 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ ϕ ≤ π} ,
C
a
r
Tpolar
y
B
−a a
Dann ist C \C0 eine Nullmenge und es gilt Tpolar[C] = B. Daher gilt
��
Ix =
=
B
� a
r=0
y 2 ��
d(x,y) = (r sinϕ) 2 r d(r,ϕ) =
C
r 3
�
1 1
ϕ −
2 4 sin2ϕ
�π ϕ=0
dr =
� a
r=0
� a
r=0
�
r 3
� π
sin
ϕ=0
2 �
ϕ dϕ dr
3 π π
r dr =
4 8 a4 .
x
301

12 Flächen- und Volumenintegrale
12.3.3 Kugelkoordinaten
Definition 12.3.11. Seien C,D ⊆ R 3 . Eine Abbildung
TKugel : C → D heißt Kugelkoordinatenfunktion oder räumliche
Polarkoordinatenfunktion, wenn
TKugel(r,ϑ,ϕ) = (r sinϑ cosϕ,r sinϑ sinϕ,r cosϑ) für (r,ϕ) ∈C.
Gilt TKugel(r,ϑ,ϕ) = (x,y,z), dann heißen r, ϕ und ϑ Kugelkoordinaten
des Punktes (x,y,z).
Bemerkung 12.3.12. Einem Paar (r,ϑ,ϕ) ∈ C wird durch TKugel also der Punkt (x,y,z) ∈ D
mit
x = r sinϑ cosϕ , y = r sinϑ sinϕ , z = r cosϑ (12.3.5)
zugeordnet.
Mit
haben wir
C1 = {(r,ϑ,ϕ): r ≥ 0, 0 ≤ ϑ ≤ π, 0 ≤ ϕ < 2π}
D1 := TKugel[C1] = R 3 .
Leider ist auch hier TKugel auf C1 nicht eineindeutig und C1 ist nicht offen. Somit haben wir
C1 und damit D1 geeignet einzuschränken, um eine zulässige Koordinatentransformation zu
erhalten.
Seien dazu
C0 := {(r,ϑ,ϕ) ∈ R 3 : r > 0, 0 < ϑ < π, 0 < ϕ < 2π} ,
D0 := R 3 \ N0, wobei N0 := {(x,y,z) ∈ R 3 : x ≥ 0, y = 0} .
Dann ist TKugel : C0 → D0 bijektiv. Weiter gilt
detJTKugel (r,ϑ,ϕ) =
�
�
�
�
�
�
sinϑ cosϕ r cosϑ cosϕ −r sinϑ sinϕ
sinϑ sinϕ r cosϑ sinϕ r sinϑ cosϕ
cosϑ −r sinϑ 0
z
ϑ
r
y
ϕ
�
�
�
�
�
� = r2 sinϑ> 0
für (r,ϑ,ϕ) ∈ C0. Damit ist TKugel : C0 → D0 eine zulässige Koordinatentransformation.
Bemerkung 12.3.13. N0 ist die (von der z-Achse berandete) x,z-Halbebene mit x ≥ 0. Eine
beschränkte räumliche Menge schneidet diese “Ausnahmemenge” höchstens in einer Nullmenge
von R 3 . Bei der Berechnung von Raumintegralen können wir die Menge N0 also
ignorieren (Satz 12.2.4).
Die Koordinatenflächen von TKugel im x,y,z-Raum sind
302
x

12.3 Integration mittels Koordinatentransformation
r = r0 : Kugeln um 0 mit dem Radius r0,
ϑ = ϑ0 : Kegel mit der Spitze in 0,
ϕ = ϕ0 : Halbebenen mit der z-Achse als Rand.
Die Transformationsformel (12.3.2) lautet für Kugelkoordinaten:
���
D
���
f (x,y,z)d(x,y,z) =
C
TKugel[C] = D .
f (r sinϑ cosϕ,r sinϑ sinϕ,r cosϑ)r 2 sinϑ d(r,ϑ,ϕ) ,
(12.3.6)
Bemerkung 12.3.14. Die Mengen C1 \C0 und D1 \D0 sind R 3 -Nullmengen, so daß (12.3.6)
nach Bemerkung 12.3.6 für beliebige, Riemann-meßbare Menge D (und C) in R 3 gilt.
Man wird (12.3.6) dann anwenden, wenn die Menge D (oder wenigstens Teile davon) von
Koordinatenflächen der Funktion TKugel berandet wird.
Beispiel 12.3.15. Gesucht ist das axiale Trägheitsmoment der Halbkugel
D = {(x,y,z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 , z ≥ 0}
bezüglich der z-Achse. Die Dichte sei ρ(x,y,z) = 1 für alle
(x,y,z) ∈ D.
Lösung: Nach (12.2.9) ist
���
Iz = (x 2 + y 2 z
ϑ
)d(x,y,z) .
−a a
D
In Kugelkoordinaten wird D beschrieben durch
Somit gilt nach (12.3.6)
C = {(r,ϑ,ϕ) ∈ R 3 : 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ ϑ ≤ π
, 0 ≤ ϕ ≤ 2π} .
2
���
Iz =
C
� �� π/2 2π
=
=
0=0
� π/2
ϑ=0
(r 2 sin 2 ϑ cos 2 ϕ+r 2 sin 2 ϑ sin 2 ϕ)r 2 sinϑ d(r,ϑ,ϕ)
�� a
r
ϕ=0 r=0
4 sin 3 � �
ϑ dr dϕ dϑ
�
2π a5
5 sin3 �
ϑ dϑ .
x
303

12 Flächen- und Volumenintegrale
Beispiel 12.3.16. Der Kegel
bohrt aus dem Kugelkörper
K1 = {(x,y,z): 3x 2 + 3y 2 − z 2 ≤ 0}
K2 = {(x,y,z): x 2 + y 2 + (z − 1) 2 ≤ 1}
einen Körper D aus. Gesucht ist der geometrische Schwerpunkt
¯S von D.
x
Lösung: ¯S = ( ¯xs, ¯ys, ¯zs) ist nach (12.2.8) zu berechnen. Aus Symmetriegründen ist ¯xs = ¯ys =
0. Weiter gilt
¯zs = 1
���
V (D)
D
���
zd(x,y,z) mit V (D) =
D
K1
K2
d(x,y,z) .
K1 ist eine Koordinatenfläche von TKugel. Daher empfiehlt sich die Verwendung von Kugelkoordinaten.
Hingegen ist K2 eine Kugelfläche mit dem Mittelpunkt (0,0,1), also keine
Koordinatenfläche von TKugel.
Beschreibung von K1 in Kugelkoordinaten: Mit (12.3.5) haben wir
0 ≥ 3(r sinϑ cosϕ) 2 + 3(r sinϑ sinϕ) 2 − (r cosϑ) 2
= 3r 2 (sin 2 ϑ − cos 2 ϑ) ,
also
T −1
Kugel [K1] = {(r,ϑ,ϕ) ∈ R 3 : 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ ϑ ≤ π/6, 0 ≤ ϕ ≤ 2π} .
Beschreibung von K2 in Kugelkoordinaten:
und damit
1 ≥ (r sinϑ cosϕ) 2 + (r sinϑ sinϕ) 2 + (r cosϑ − 1) 2
= r 2 sin 2 ϑ + r 2 cos 2 ϑ + 2r cosϑ + 1
T −1
Kugel [K2] = {(r,ϑ,ϕ) ∈ R 3 : 0 ≤ r ≤ 2cosϑ, 0 ≤ ϑ ≤ π/2, 0 ≤ ϕ ≤ 2π} .
Zusammengefaßt erhalten wir
TKugel[C] = D mit C := {(r,ϑ,ϕ) ∈ R 3 : 0 ≤ r ≤ 2cosϑ, 0 ≤ ϑ ≤ π
, 0 ≤ ϕ ≤ 2π} .
6
Für das Volumen V (D) von D erhalten wir
���
���
V (D) = d(x,y,z) = r 2 sinϑ d(r,ϑ,ϕ)
304
=
=
D
C
� �� �� 2π π/6 2cosϑ
ϕ=0 ϑ=0
� �� 2π π/6
ϕ=0
ϑ=0
r=0
r 2 �
sinϑ dr
dϑ
�
dϕ
8
3 cos3 �
ϑ sinϑ dϑ dϕ = 7π
12 .
z
D

12.3 Integration mittels Koordinatentransformation
Aus Symmetriegründen ist ¯xs = ¯ys = 0. Weiter gilt
¯zs = 1
���
zd(x,y,z) =
V (D)
D
1
���
r cosϑ · r
V (D)
C
2 sinϑ d(r,ϑ,ϕ)
= 12
� �� �� 2π π/6 2cosϑ
r
7π
3 � �
cosϑ sinϑ dr dϑ dϕ
= 12
7π
ϕ=0 ϑ=0
� �� 2π π/6
ϕ=0
ϑ=0
12.3.4 Zylinderkoordinaten
r=0
4cos 5 ϑ sinϑ dϑ
�
dϕ = 37
= 1.32 .
28
Definition 12.3.17. Seien C,D ⊆ R 3 . Eine Abbildung
TZylinder : C → D heißt Zylinderkoordinatenfunktion, wenn
TZylinder(r,ϕ,z) = (r cosϕ,r sinϕ,z) für (r,ϕ,z) ∈ C .
Gilt TZylinder(r,ϕ,z) = (x,y,z), dann heißen r, ϕ und z Zylinderkoordinaten
des Punktes (x,y,z).
Bemerkung 12.3.18. Einem Paar (r,ϕ,z) ∈ C wird durch TZylinder also der Punkt (x,y,z) ∈ D
mit
x = r cosϕ , y = r sinϕ , z = z (12.3.7)
zugeordnet.
Mit
gilt
C1 := {(r,ϕ,z) ∈ R 3 : r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π}
D1 := TZylinder[C1] = R 3 .
Wie bei den Polarkoordinaten müssen wir C1 und damit D1 einschränken, um eine zulässige
Koordinatenfunktion zu erhalten. Mit
C0 := {(r,ϕ,z) ∈ R 3 : r > 0, 0 < ϕ < 2π, z ∈ R} , D0 := TZylinder[C0]
ist TZylinder bijektiv von C0 auf D0. Weiter gilt
�
�
� cosϕ
detJTZylinder (r,ϕ,z) = �
� sinϕ
� 0
−r sinϕ
r cosϕ
0
�
0 �
�
0 �
� = r > 0
1 �
für (r,ϕ,z) ∈ C0, so daß TZylinder eine zulässige Koordinatenfunktion auf D0 ist.
Die Koordinatenflächen von TZylinder im x,y,z-Raum sind
z
r
y
ϕ
x
305

12 Flächen- und Volumenintegrale
r = r0 : Zylinder um die z-Achse,
ϕ = ϕ0 : Halbebenen mit der z-Achse als Rand,
z = z0 : Ebenen parallel zur x,y-Ebene.
Die Transformationsformel (12.3.2) lautet für Zylinderkoordinaten:
���
D
���
f (x,y,z)d(x,y,z) =
C
TZylinder[C] = D .
f (r cosϕ,r sinϕ,z) · r d(r,ϕ,z) , (12.3.8)
Bemerkung 12.3.19. Die Mengen C1 \C0 und D1 \D0 sind R 3 -Nullmengen, so daß (12.3.8)
nach Bemerkung 12.3.6 für beliebige, Riemann-meßbare Menge D (und C) in R 3 gilt.
Formel (12.3.8) eignet sich besonders zur Integration über axialsymmetrische räumliche
Mengen (Rotationskörper bezüglich der z-Achse). Für räumliche Mengen, welche axialsymmetrisch
bezüglich einer anderen Achse sind, kann man eine entsprechende Drehung
verwenden.
Beispiel 12.3.20. Wir kommen auf Beispiel 12.2.7 zurück. Der dort beschriebene, mit
Masse der Dichte ρ(x,y,z) = z belegte Körper K ist ein Rotationskörper bezüglich der z-
Achse. Die gesuchte Masse
���
m = z d(x,y,z)
soll nun mittels Zylinderkoordinaten berechnet werden.
Beschreibung von F1 = {(x,yz): z ≥ √ 3(x 2 + y 2 )} in Zylinderkoordinaten:
und damit
K
z ≥ √ 3(r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ)
T −1
Zylinder [F1] = {(r,ϕ,z) ∈ R 3 : r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, z ≥ √ 3r 2 } .
Beschreibung der Vollkugel F2 = {(x,y,z): x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4} in Zylinderkoordinaten:
und damit
306
r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ + z 2 ≤ 4
T −1
Zylinder [F2] = {(r,ϕ,z) ∈ R 3 : 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, z 2 ≤ 4 − r 2 } .

Hiermit ergibt sich, daß die Menge
12.3 Integration mittels Koordinatentransformation
C := {(r,ϕ,z) ∈ R 3 : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, √ 3r 2 ≤ z ≤
�
4 − r 2 }
durch TZylinder auf K abgebildet wird. (Beachte den richtigen Durchschnitt!)Also gilt mit
(12.3.8)
� �
���
� 2π � 1 �
√ � �
4−r2 m = zr d(r,ϕ,z) =
dr dϕ
=
C
� �� 2π 1
ϕ=0
r=0
ϕ=0
r=0
1
2 (4 − r2 − 3r 4 )r dr
�
z= √ zr dz
3r2 dϕ = 5π
4
= 3.927 .
Im letzten Beispiel ist FZylinder in Kugelkoordinaten die Koordinatenfläche r = 2, so daß
man auch an die Verwendung von Kugelkoordinaten denken könnte. Hat man aber die
Wahl zwischen diesen und Zylinderkoordinaten, so wird man in der Regel letztere wählen,
da ihr Zusammenhang mit kartesischen Koordinaten einfacher ist. Natürlich ist bei dieser
Entscheidung auch der Integrand zu beachten. Wäre im Beispiel etwa die Dichte ρ(x,y,z) =
x 2 + y 2 + z 2 , so würde man Kugelkoordinaten wählen.
Beispiel 12.3.21. Gegeben sei in der x,z-Ebene der Normalbereich bezüglich der z-Achse
B = {(x,z) ∈ R 2 : z1 ≤ z ≤ z2, g(z) ≤ x ≤ h(z)} .
z
Bei Rotation von B um die z-Achse entsteht ein Rotationskörper
D. In Zylinderkoordinaten wird D beschrieben durch
C = {(r,ϕ,z) ∈ R 3 : z1 ≤ z ≤ z2, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, g(z) ≤ r ≤ h(z)},
d.h., es ist TZylinder[C] = D.
Für das Volumen V (D) gilt
���
���
V (D) = d(x,y,z) = r d(r,ϕ,z) =
D
Nach Integration über ϕ gilt weiter
� z2
V (D) = 2π
= 2π
z=z1
��
B
C
�� h(z)
r dr
r=g(z)
�
xd(x,z) = 2πA (B) ·
� z2
z=z1
� z2
dz = 2π
�� h(z)
r=g(z)
z2
z1
�� 2π
g
�� h(z)
xdx
z=z1 x=g(z)
��
1
A (B)
B
xs
S
h
� �
r dϕ dr dz .
ϕ=0
x d(x,z) .
�
dz
x
307

12 Flächen- und Volumenintegrale
Hierbei ist A (B) der Flächeninhalt von B. Mit (12.1.11) folgt schließlich die 2. Guldin-
Regel
V (D) = 2π ¯xs · A (B) ,
also „Volumen des Rotationskörpers D ist gleich dem Weg des geometrischen Schwerpunktes
von B mal Flächeninhalt von B“.
308