Einflussfunktionen und finite Elemente - Structural Analysis with ...
Einflussfunktionen und finite Elemente - Structural Analysis with ...
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<strong>Einflussfunktionen</strong> <strong>und</strong> <strong>finite</strong> <strong>Elemente</strong>F. HartmannInstitut für Baustatik <strong>und</strong> BaudynamikUniversität Kassel16. Juni 2009Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Messen = BewegenGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Was kommt bei der Last an?Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
YYZZXXYYZZXXGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Eisenbahn auf BrückeGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
ThesenMechanik ist Kinematik.Zu jeder Zahl gehört eine Bewegung.Jede Zahl ist eine Energie.∫u(x) · 1 =ΩG(y, x) p(y) dy(Betti)Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Der zentrale SatzEin FE-Programm berechnet alle Werte mittels<strong>Einflussfunktionen</strong>.<strong>Einflussfunktionen</strong> = ’Look-Up functions’ = ’Tabellen’Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Spannung in einem PunktGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Verbessertes NetzGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
KonsequenzMit falschen <strong>Einflussfunktionen</strong> erhält manfalsche Werte.Also müssen die <strong>Einflussfunktionen</strong> verbessertwerden!Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
<strong>Einflussfunktionen</strong> sind normale Lastfälle.Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Wie kann man <strong>Einflussfunktionen</strong> verbessern?Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Adaptive Verfeinerung des NetzesGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
StrategieGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Verbesserte StrategieIn einem Punkt x soll die Spannung möglichst genau sein!Fehlermaß im Element|σ(x) − σ h (x)| ≤ ‖u − u h ‖ · ‖G 1 − G h 1 ‖η = η u · η G = Fehler in u · Fehler in G 1K u = fK u G =f G← Lastfall← EinflussfunktionGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Goal oriented refinementGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Etwas Theorie: Funktionale∫ lJ(u) = u(x) =0∫ lJ(u) = N(x) =J(u) = 1 ∫∫σ xx dΩ =ΩΩZu jedem Funktional gehört eine Bewegung.0ΩG 0 (y, x) p(y) dyG 1 (y, x) p(y) dyG Σ (y, x) p(y) dΩ yJ(.) ≡ G(y, x) → G h (y, x) ≡ J h (.)(Riesz)<strong>und</strong> es giltu h ∈ V h : J(u h ) = J h (u) ∀ J(.) ∈ V ′Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
FEM = Approximation von FunktionalenLehrbücher: FE = Interpolation mit Hütchenfunktionenu h (x) = ∑ iu i ϕ i (x)Alternativ: FE = Approximation von Funktionalen∫J(u h ) = u h (x i ) = G h (y, x i ) p(y) dΩ y(’der Daumen auf dem Keilriemen’)ΩGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Die ganze Mathematik steckt in drei Zeilen...Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Unendlich große EnergieKann man den Daumendruck (= Einzelkraft) überhaupt mit<strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n darstellen?Die meisten <strong>Einflussfunktionen</strong> haben unendlich große Energie!Wie will man den Abstand zum Punkt ∞ klein machen?Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Membran <strong>und</strong> EinzelkraftZYXGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Unendlich große Energie auch bei ScheibenGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Funktionale, Knoten <strong>und</strong> GausspunkteGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Fast alle Daten im Ausdruck <strong>und</strong> auf dem Bildschirm stammenvon schlecht gestellten Problemen (’ill posed problems’) ! (?)Die Singularitäten der <strong>Einflussfunktionen</strong> in den Knoten <strong>und</strong>Gausspunkten sind viel größer als die Singularitäten auf denRändern!Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Modellanpassung◮ Änderungen von Steifigkeiten◮ Grobes Modell - feines Modell: Abschätzungen◮ OptimierungGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Wann ist fein fein genug?http://www.rueckle-gruppe.de/uploads/pics/FEM-Berechnungen.jpgGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Lokale Änderungen haben globale EffekteGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Änderungen in den SteifigkeitenGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Der ’Trick’Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Geänderte Einflussfunktion G → G cGlobale Analyse (Der ganze Koffer)J(u c − u) =∫ l0[G c (y, x) − G(y, x)] p(y) dy (Betti)Lokale Analyse [x 1 , x 2 ] (nur der Ziegelstein)J(u c − u) =∫ x2∆EI w c ′′ G ′′ dy = ∆EIx 1EI∫ x2x 1M c M GEIdyDie lokale Analyse misst die Änderung über die virtuelle innereEnergie.Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Vereinfachung1816141210864200 42 5 681 7 93 1043,532,521,510,500 42 5 681 7 93 10J(u c − u) = −d(u, G c ) = −d(u, G) − d(u, G c − G)≃ −d(u, G)Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Retrofitting structureshttp://gabijack.com/wp-content/uploads/2008/12/cosmos2.jpgGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Retrofitting structuresJ(u h c − u h ) ≃ −d(G h , u h )Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
InklusionenGenauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
Zusammenfassung◮ Mechanik ist angewandte Kinematik◮ Zu jeder Zahl gehört eine Bewegung, eine Einflussfunktion◮ FE = eingeschränkte Kinematik = ungenaue<strong>Einflussfunktionen</strong> = ungenaue Ergebnisse◮ Goal oriented refinement = gezielte Anpassung des Netz◮ Sensitvitätsanalyse mit <strong>Einflussfunktionen</strong>Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
LiteraturBangerth W, Rannacher R. (2003) Adaptive Finite Element Methodsfor Differential Equations. Birkhäuser VerlagBraack M, Ern A (2003) “A posteriori control of modeling errors anddiscretization errors”, Multiscale Model. Simul. 1: 221–238Ern A, Guermond J-L (2004) Theory and Practice of Finite Elements,Springer-VerlagHartmann F, Katz C. (2007) <strong>Structural</strong> <strong>Analysis</strong> <strong>with</strong> Finite Elements,2nd ed., Springer-Verlagwww.winfem.de (Diplomarbeiten, Doktorarbeiten, Programme zudem Thema)Genauigkeit <strong>und</strong> Fehler bei <strong>finite</strong>n <strong>Elemente</strong>n
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