Mathematik und Naturwissenschaften Prof. Dr. H. Pecher Dipl. Math ...

Bergische Universität WuppertalSoSe10Fachbereich C - Mathematik und NaturwissenschaftenProf. Dr. H. PecherDipl. Math. T. PawlaschykÜbungen zu Analysis II Blatt 8Aufgabe 1 (10=3+6+1)(a) Zeigen Sie, dass I = [0, 1] ∩ Q keine Jordan-Nullmenge in R ist.Sei ε = 1 und Q 1 , . . . , Q k eine endliche Quaderüberdeckung von I, d.h. I ⊂ ⋃ kj=1 Q j.Da Q 1 , . . . , Q k kompakt und somit abgeschlossen sind, ist auch ⋃ kj=1 Q j abgeschlossen(sogar kompakt). Damit ist auch der Abschluss I = [0, 1] von I in ⋃ kj=1 Q j enthalten.Also istk∑vol(Q j ) ≥ vol([0, 1]) = 1 = ε.j=1Daher kann I keine Jordan-Nullmenge sein.(b) Seien J 1 , J 2 Jordan-Bereiche in R n . Zeigen Sie, dass auch J 1 ∩ J 2 und J 1 ∪ J 2 Jordan-Bereiche sind.Klar ist, dass J 1 ∩ J 2 und J 1 ∪ J 2 kompakt sind, da diese Mengen abgeschlossen undbeschränkt sind. Zu zeigen bleibt also, dass die jeweiligen Ränder Jordan-Nullmengenbilden. Da jede Teilmenge einer Jordan-Nullmenge trivialerweise wieder eine Jordan-Nullmenge ist, bleibt nur zu zeigen, dass die Ränder von J 1 ∩ J 2 und J 1 ∪ J 2 in∂J 1 ∪ ∂J 2 enthalten sind und dass die endliche Vereinigung von Jordan-Nullmengenwieder eine Jordan-Nullmenge bildet.Ist also x ein Randpunkt von J 1 ∩ J 2 , dann gilt für alle ε > 0:bzw.Daraus folgt mit K ε := K ε (x):K ε (x) ∩ (J 1 ∩ J 2 ) ≠ ∅ und K ε (x) ∩ (J 1 ∩ J 2 ) C ≠ ∅.K ε (x) ∩ J 1 ∩ J 2 ≠ ∅ und K ε (x) ∩ (J C 1 ∪ J C 2 ) ≠ ∅.K ε ∩ J 1 ≠ ∅ und K ε ∩ J 2 ≠ ∅und(Kε ∩ J C 1 ≠ ∅ oder K ε ∩ J C 2 ≠ ∅ ) .Also ist x ∈ ∂J 1 oder x ∈ ∂J 2 bzw. x ∈ ∂J 1 ∪ ∂J 2 .Nahezu analog zeigt man, dass ∂(J 1 ∪ J 2 ) ⊂ ∂J 1 ∪ ∂J 2 ist.Es bleibt zu zeigen, dass die Vereinigung zweier Jordan-Nullmengen A, B wieder eineJordan-Nullmenge bildet. Sei also nun ε > 0 beliebig. Da A, B Jordan-Nullmengensind, gibt es Quader Q 1 , . . . , Q k und Q k+1 , . . . , Q m mitsowieA ⊂k⋃Q j und B ⊂j=1k∑vol(Q j ) < ε 2j=1Daher gelten A ∪ B ⊂ ⋃ mj=1 Q j undundm∑ ∑k+1vol(Q j ) = vol(Q j ) +j=1j=1m∑j=k+1m∑j=k+1m⋃j=k+1Q j ,vol(Q j ) < ε 2 .vol(Q j ) < ε 2 + ε 2 = ε.

(c) Ist die abzählbare Vereinigung von Jordan-Bereichen wieder ein Jordan-Bereich?Nein, denn eine abzählbare Vereinigung von beschränkten Mengen kann zu einer unbeschränktenMenge führen, z.B. Q j := [−j, j] für j ∈ N sind Jordan-Bereiche in R,aber nicht R = ⋃ j∈N Q j.Aufgabe 2 (10 Punkte) Bestimmen Sie das Volumen des einschaligen HyperboloidenH = {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 ≤ z 2 + 1, |z| ≤ 1}.Es ist:∫Hd(x, y, z) == 2= 2= 2= 2∫ 1 ∫ √ z 2 +1−1 − √ z 2 +1∫ 1 ∫ √ z 2 +1−1 − √ z 2 +1∫ 1 ∫ √ z 2 +1−1 − √ z 2 +1∫ 1 ∫ 1−1∫ 1−1−1∫ √ z 2 +1−y 2− √ z 2 +1−y 2 dxdydz√z 2 + 1 − y 2 dydz√1 − y21 + z 2 √z 2 + 1dydz√1 − t 2 (1 + z 2 )dtdz(1 + z 2 )dz= 163 · π2 = 8π 3 .∫ π2− π 2cos 2 (h)dhDabei haben wir in der 4. Gleichung die Substitution t =t = sin(h) benutzt.y √z 2 +1Aufgabe 3 (10) Seien 0 < a < b. Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes von FubiniI(a, b) =∫ 10x a − x blog(x) dx.und in der 5. GleichungDie Funktion f(x, y) = x y auf dem Quader Q = [0, 1] × [a, b] ist stetig und somit integrierbar.Dann gilt nach dem Satz von Fubini:∫Qx y d(x, y) ====∫ b ∫ 1a 0∫ 1 ∫ b0∫ 10∫ 10ax y dxdyx y dydx[ ]1 blog(x) xy dxax b − x adx = −I(a, b).log(x)

Andererseits gilt:Also:∫Qx y d(x, y) =I(a, b) = − log==∫ b ∫ 1a∫ ba∫ ba= log0[ xy+1x y dxdy1dyy + 1]0dy1 + y( 1 + b1 + a).( ) ( )1 + b 1 + a= log .1 + a 1 + bHinweis: Betrachten Sie die Funktion f(x, y) = x y auf einem geeigneten Quader in R 2 .Aufgabe 4 (10=4+2+4) Sei f : R 2 → R definiert durch{x 3 y(x, y) ≠ (0, 0)f(x, y) = (x 2 +y 2 ) 20 (x, y) = (0, 0)(a) Berechnen Sie die Integrale F (x) :=Sei zunächst x ≠ 0. Dann ist∫ 1∫ 10f(x, y)dy für x ∈ R.x 3 yF (x) =0 (x 2 + y 2 dy = −x3) 2 2[ ]= − x3 1 12 x 2 + y 2 y=0x=2(1 + x 2 ) .∫ 10−2y(x 2 + y 2 ) 2 dyFür x = 0 ist f(x, y) = f(0, y) = 0 für alle y ∈ R, also F (0) = 0. Somit ist F (x) =x2(1+x 2 ) .(b) Begründen Sie, warum F : R → R differenzierbar ist.Offensichtlich ist F differenzierbar als Quotient von Polynomen, wobei das Polynomim Nenner keine Nullstellen hat.∫ 1(c) Zeigen Sie: F ′ ∂f(0) ≠ (0, y)dy.∂xEs gilt für (x, y) ≠ (0, 0)und für (x, y) = (0, 0)Also ist: ∫ 10∂f∂x (x, y) = 3x2 y 3 − x 4 y(x 2 + y 2 ) 3∂ff(t, 0)(0, 0) = lim = 0.∂x t→0 t0∂f(0, y)dy = 0,∂x

wohingegenF ′ F (t) − F (0)(0) = limt→0 tF (t)= limt→0 t∫1 1= lim f(t, y)dyt→0 t 01= limt→0 2(1 + t 2 ) = 1 2 .Daher ist die Vertauschung von Integration und Differentiation in diesem Beispielnicht möglich.Man beachte, dass f in (0, 0) nicht stetig ergänzbar ist.Abgabe: 23.06.10 bis 10 Uhr auf D13www.math.uni-wuppertal.de/~pawla