Kapitel 9 Integration über Flächen

9.1. UNTERMANNIGFALTIGKEITEN DES IR N 3Umgekehrt setzen wir nun voraus, dass zu jedem ⃗a ∈ M nach eventueller Umnummerierungder Koordinaten offene Umgebungen U ′ ∋ ⃗a ′ := (a 1 , ..., a k )imIR k und U ′′ ∋ ⃗a ′′ := (a k+1 , ..., a n )im IR n−k und eine C α -Abbildung g : U ′ −→ U ′′ existieren, so dassM ∩ (U ′ × U ′′ )={(⃗y ′ ,g(⃗y ′ )) | ⃗y ′ ∈ U ′ }Dann werden die Bedingungen M1) und M2) mit f j (⃗x) :=x k+j − g j (⃗x ′ ) erfüllt.□Beispiele. a) Sei wieder M = S n−1 .Ist⃗a ∈ M und a i0 ≠0,sosogiltgenaudann⃗x ∈ M für⃗x nahe bei ⃗a, wenn√x i0 =sign(a i0 ) 1 − x 2 1 − ... − x 2 i 0 −1 − x2 i 0 +1 − ... − x2 nDie Umnummerierung der Koordinaten, von der im obigen Satz die Rede war, ist nunEs gilt dannτ(⃗x) :=(x 1 , ..., x i0 −1,x n ,x i0 +1, ...., x n−1 ,x i+0 )g(τ(⃗x) ′ )= √ 1 −‖τ(⃗x) ′ ‖ 2b) Sei M ein k-dimensionaler Untervektorraum. Schreiben wir M als Lösungsmenge eineslinearen Gleichungssystems A · = vx = ⃗0, mit einer (n − k) × n-Matrix A vom Rang n −k, sowählen wir Indizes i 1 , ..., i n−k ∈{1, 2, ..., n} so dass die Spalten A ⃗e i1 , ...., A ⃗e in−k linearunabhängig sind. Ist dann J = {i 1 , ..., i n−k },sogehört der Punkt ⃗x genau dann zu M, wenn∑(A ⃗e l )x l = − ∑ (A ⃗e j )x jl∈J j/∈JDie Matrix B = ( )A ⃗e i1 , ...., A ⃗e in−k ist invertierbar. Genau dann gilt ⃗x ∈ M, wenn⎛ ⎞⎜⎝x i1.x in−k⎟⎠ = − ∑ j/∈JB −1 (A ⃗e j )x jNach der Umnummerierung(x 1 , ..., x n ) ↦−→ ( {x j } j/∈J ,x i1 , ...., x in−k)ist M Graph einer Abbildung g : IR k −→ IR n−k , wobei jede Komponentenfunktion eine Linearformauf IR k ist.Karten und ParametrisierungenFolgende Betrachtungen kennzeichnen eine Untermannigfaltigkeit dadurch, dass man sie durcheine differenzierbare Abbildung in eine offene Teilmenge des IR k bijektiv abbilden kann.

4 KAPITEL 9. INTEGRATION ÜBER FLÄCHEN9.1.2 Lemma (Karten). Genau dann ist eine Menge M ⊂ IR n eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit,wenn zu jedem ⃗a ∈ M offene Mengen U ∋ ⃗a und V ∋ ⃗0 und ein Diffeomorphismusϕ : U −→ V existieren, so dass ϕ(⃗a) =⃗0 undϕ(M ∩ U) ={⃗y ∈ V | y k+1 = ... = y n =0}Wir nennen dann das Tripel (U, ϕ, V ) eine lokale Karte für M in ⃗a.R n-kaUϕ0VUkRBeweis. Sei also M ⊂ IR n eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Ist ⃗a ∈ M, sogibtesoffene Umgebungen U ′ ∋ ⃗a ′ := (a 1 , ..., a k )imIR k und U ′′ ∋ ⃗a ′′ := (a k+1 , ..., a n )imIR n−k undeine C α -Abbildung g : U ′ −→ U ′′ (wobei wir die etwa nötige Koordinatenvertauschung beiseitelassen wollen), so dassM ∩ (U ′ × U ′′ )={(⃗y ′ ,g(⃗y ′ )) | ⃗y ′ ∈ U ′ }Setzen wir dann(ϕ(⃗x) :=⃗x ′⃗x ′′ − g(⃗x ′ ))− ⃗a

9.1. UNTERMANNIGFALTIGKEITEN DES IR N 5so ist ϕ von der Klasse C α und die Jacobimatrix lautet()EJ ϕ (⃗x) = k o−J g (⃗x ′ ) E n−kAlso ist ϕ in jedem Punkt lokal invertierbar. Weiter haben wir ϕ(⃗a) =⃗0 undϕ(M ∩ (U ′ × U ′′ )) ⊂ U ′ ×{⃗0 ′′ }Nun benutzen wir, dass ϕ bei ⃗a lokal invertierbar ist und erhalten offene Umgebungen U von ⃗aund V von ⃗0, zwischen denen ϕ diffeomorph abbildet. Ferner istϕ(U ∩ M) ={⃗y ∈ V | y k+1 = ... = y n =0}Zur Umkehrung: Angenommen, das Kriterium des Lemmas sei erfüllt. Gegeben sei ein Punkt⃗a ∈ M. Wirwählen offene Mengen U ∋ ⃗a und V ∋ ⃗0 und einen Diffeomorphismus ϕ : U −→ V ,so dass ϕ(⃗a) =⃗0 undϕ(M ∩ U) ={⃗y ∈ V | y k+1 = ... = y n =0}Dann betrachten wir die Funktionenf 1 = ϕ k+1 ,f 2 = ϕ k+2 , ...., f n−k = ϕ nDann erfüllen diese Funktionen die Forderungen M1) und M2).□Die sogenannten Parameterdarstellungen sind die geeigneten Verallgemeinerungen der Parametrisierungenbei Kurven, die in vielen Fällen 1-dimensionale Untermannigfaltigkeiten des IR ndarstellen.9.1.3 Satz (Parametrisierung). Genau dann ist eine Menge M ⊂ IR n eine k-dimensionale C α- Untermannigfaltigkeit, wenn zu jedem ⃗a ∈ M offene Mengen U ∋ ⃗a in IR n und T ∋ ⃗0 ′ in IR kund eine homeomorphe Abbildung f : T −→ M ∩ U der Klasse C α mit rg J f (⃗t) =k für alle⃗t ∈ T existieren. Wir nennen eine derartige Abbildung f eine lokale Parametrisierung von M bei⃗a.Beweis. Angenommen, M sei eine k-dimensionale C α - Untermannigfaltigkeit. Ist dann ⃗a ∈M, so finden wir eine lokale Karte (U, ϕ, )V in ⃗a. Nun sehen wir, dass die Abbildungf(t 1 , .., t k ):=ϕ −1 (t 1 , ..., t k , 0, ..., 0)das Gewünschte mit T := {⃗t ∈ IR k | (⃗t,⃗0 ′′ ) ∈ V } leistet.Umgekehrt nehmen wir jetzt an, die Menge M erfülle das im Lemma angegebene Kriterium.Sei nun ⃗a ∈ M ein Punkt und f : T −→ M ∩ U eine lokale Parametrisierung von M bei ⃗a,

6 KAPITEL 9. INTEGRATION ÜBER FLÄCHENmit einer offenen Nullumgebung T im IR k und einer offenen Umgebung U von ⃗a. Wirdürfenannehmen, es seien die ersten k Zeilen von J f (⃗0 ′ ) bereits linear unabhängig. Dann ist auch dieAbbildung⎛ ⎞0.0F (t 1 , ..., t n ):=f(t 1 , ..., t k )+⎜ t k+1 ⎟bei ⃗0 ′ lokal invertierbar, denn ihre Jacobimatrix lautet⎛⎞0J F (⃗t) = ⎝ J f (⃗t ′ ) ⎠E n−kWeiter bedenken wir, dass die ersten k Zeilen von J f (⃗0 ′ ) linear unabhängig sein sollten.Als Karte kann uns nun eine lokale Inverse von F bei ⃗a dienen.□Beispiele. a)SeiM ein k-dimensionaler Unterraum von IR n . Ist dann ⃗ b 1 , ..., ⃗ b k eine Basis fürM, so definiertk∑f(t 1 , ..., t k ):= t j⃗ bjeine (globale) Parametrisierung für M.b) Die Sphäre M = S n−1 .IstB ′ die Einheitskugel im IR n−1 ,sosei()rθf(r, θ) =r √ 1 −‖θ‖ 2auf IR + × B ′ . Dann parametrisiert f die ”obere Hemisphäre” M ∩{x n > 0}.c) Der Fall n =3.SeiT =(−π, π) × (0,π) und⎛⎞cos φ sin θf(φ, θ) = ⎝ sin φ sin θ ⎠cos θj=1⎜⎝.t n⎟⎠

9.1. UNTERMANNIGFALTIGKEITEN DES IR N 7liefert eine Parametrisierung von M ∩{x 2 ≠0}θφDer nächste Hilfssatz sagt, dass 2 Parametrisierungen auseinander durch Einsetzen einesDiffeomorphismus hervorgehen.9.1.4 Lemma(Parametertransformation). Angenommen, es sei M eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeitdes IR n und f : T −→ V ∩ M und g : S −→ W ∩ M seien 2 lokale Parameterdarstellungenfür M, sodassV ∩ W ∩ M ≠ ∅. SeiX = V ∩ W .DannsindT 1 = f −1 (X) undS 1 = g −1 (X) offene Teilmengen von T bezw. von S undein Diffeomorphismus.h := g −1 ◦ f : T 1 −→ S 1Beweis. Da f und g stetig sind, sind T 1 und S 1 offene Mengen, weiter ist h : T 1 −→ S 1homeomorph. Es bleibt die Differenzierbarkeit von h zu zeigen. Dazu sei ⃗c 1 ∈ T 1 und ⃗a 1 =f(⃗c 1 ) ∈ X und ⃗c 2 = h(⃗c 1 ). Wir wählen nun einen Diffeomorphismus F : U −→ U ′ zwischen 2offenen Mengen U und U ′ im IR n ,wobei⃗a 1 ∈ U so dassF (U ∩ M) ={⃗x ∈ U ′ | x k+1 = ... = x n =0}Dann giltauf f −1 (U) undF ◦ f(t 1 , .., t k )=(˜f 1 (⃗t), ..., ˜f k (⃗t), 0, ..., 0)F ◦ g(t 1 , .., t k )=(˜g 1 (⃗t), ..., ˜g k (⃗t), 0, ..., 0)

8 KAPITEL 9. INTEGRATION ÜBER FLÄCHENauf g −1 (U) mit geeigneten stetigen Funktionen ˜f 1 , ..., ˜g k .DaaberF sowohl auch als f und g vonder Klasse C α sind, gilt das auch für die Funktionen ˜f 1 , ..., ˜g k . Aus der Kettenregel erhalten wir,das F ◦ f und F ◦ g eine Jacobimatrix vom Rang k haben. Dann sind aber die Abbildungen˜f =(˜f 1 , ..., ˜f k ) und ˜g =(˜g 1 , ..., ˜g k ) lokal invertierbar bei ⃗c 1 bezw. ⃗c 2 . Ferner haben wirh =(F −1 ◦ ˜g) −1 ◦ (F −1 ◦ ˜f )=˜g −1 ◦ ˜fnahe bei ⃗c 1 . Also ist h in ⃗c 1 differenzierbar von der Klasse C α .Hier ist ein Diagramm der Abbildungen f,g und h.XUMVUMW MUfghT1S1Beispiel: Die Sphäre S 2 . Sei etwa ⃗a = 1 (2, 2, 1) und3⎛f(t 1 ,t 2 )= ⎝⎞⎛t 1√1t 2⎠ , g(ϕ, ϑ) = ⎝− t21 − t 2cos ϕ sin ϑsin ϕ sin ϑcos ϑ⎞⎠Dann isth(t 1 ,t 2 )=g −1 ◦ f(t 1 ,t 2 )=⎛⎜⎝arcsin( √ t 2)t 2 1 +t2 2arcsin( √ t 2 1 + t 2 2)⎞⎟⎠

10 KAPITEL 9. INTEGRATION ÜBER FLÄCHENWir nennen die Funktion ψ auch definierende Funktion für A. Auch der Rand von A lässtsich durch die Funktion ψ beschreiben:9.2.1 Lemma. Ist A ein Kompaktum mit C α -glattem Rand und ⃗a 0 ∈ ∂A und U und ψ wie inder Definition, so ist schon(∂A) ∩ U = {⃗x ∈ U | ψ(⃗x) =0}Beweis. ′′ ⊂ ′′ :Ist⃗x 0 ∈ (∂A) ∩ U, so gilt ψ(⃗x 0 ) ≤ 0. Wäre ψ(⃗x 0 ) < 0, so wäre ψ auch auf einerkleinen offenen Umgebung von ⃗x 0 noch negativ, welche dann ganz in A gelegen wäre, entgegender Annahme, es sei ⃗x 0 ∈ ∂A.′′ ⊃ ′′ : Ist umgekehrt ⃗x 0 ∈ U und ψ(⃗x 0 ) = 0, so gilt wegen ∇ψ(⃗x 0 ) ≠ ⃗0 für t nahe bei 0 schonψ(⃗x 0 + t∇ψ(⃗x 0 ))> 0, wenn t>0, und ψ(⃗x 0 + t∇ψ(⃗x 0 ))< 0, wenn t

9.2. KOMPAKTE MENGEN MIT GLATTEM RAND 11Setzten wir dann s = 0, so finden wir, dass alle Spalten, also der ganze Spaltenraum S vonJ φ (⃗t 0 ), senkrecht auf ∇f(⃗a) stehen. Da nun S und der Orthogonalraum zu IR∇f(⃗a) diegleicheDimension haben, also übereinstimmen müssen, folgt die Behauptung.□Der Rand eines glatt berandeten Kompaktums kann mit einer Orientierung versehen werden.9.2.3 Satz. Ist A kompakt mit glattem Rand, so gibt es genau eine stetige Abbildung ν ∂A :∂A −→ S n−1 ,sodass(für eine genügend kleine Zahl t 0 > 0) gilt⃗x + tν ∂A (⃗x) /∈ A, wenn ⃗x ∈ A, 0

12 KAPITEL 9. INTEGRATION ÜBER FLÄCHEN9.2.4 Lemma. Sind ⃗v 1 , ..,⃗v n−1 ∈ IR n Vektoren, so gibt es genau einen Vektor ⃗v 0 mit⃗v 0 · ⃗x = det(⃗v 1 , ..,⃗v n−1 ,⃗x)für alle ⃗x ∈ IR n . Insbesondere steht ⃗v 0 auf allen Vektoren ⃗v 1 , ..,⃗v n−1 senkrecht.Beweis. ⎛ Durch ⎞ λ(⃗x) := det(⃗v 1 , ..,⃗v n−1 ,⃗x) wirdaufIR n eine Linearform erklärt. Setzen wirλ(⃗e 1 )⃗v 0 := ⎜.⎟ so wird die Forderung erfüllt. Für jedes j ∈{1, ..., n} wird die j.Komponente⎝ ⎠λ(⃗e n )von ⃗v 0 durch⎛⎞v 1,1 ... ... v 1,n−1..v 0,j = det(⃗v 1 , ...,⃗v n−1 ,⃗e j )=(−1) n+j vdet j−1,1 ... ... v j−1,n−1v j+1,1 ... ... v j+1,n−1⎜⎟⎝ .. ⎠v n,1 ... ... v n,n−1gegeben. Das zeigt, dass ⃗v 0 durch ⃗v 1 , ..,⃗v n−1 eindeutig festgelegt ist.Die zweite Behauptung ist jetzt klar.□Im Falle n =3wird⃗v 0 = ⃗v 1 × ⃗v 2 , weshalb wir ab jetzt auch für allgemeine Dimension n denVektor ⃗v 0 als⃗v 0 = ⃗v 1 ×···×⃗v n−1schreiben.Beispiel. ImIR 4 seiDann ist ⃗v 1 × ⃗v 2 × ⃗v 3 =w 1 =∣⃗v 1 =⎛⎜⎝1 −1 0 12 −3 1 03 4 1 04 2 0 0⎛⎜⎝⎞w 1w 2w 3w 41234⎞⎟⎠ ,mit⎟⎠ , ⃗v 2 ==26, w 2 =∣∣⎛⎜⎝−1−342⎞1 −1 0 02 −3 1 13 4 1 04 2 0 0⎟⎠ , ⃗v 3 =⎛⎜⎝0110⎞⎟⎠= −6,w 3 =∣∣1 −1 0 02 −3 1 03 4 1 14 2 0 0=6,∣

9.2. KOMPAKTE MENGEN MIT GLATTEM RAND 13und w 4 =∣1 −1 0 02 −3 1 03 4 1 04 2 0 1⎛= −8. Damit wird ⃗v 1 × ⃗v 2 × ⃗v 3 = ⎜⎝∣Für technische Zwecke benötigen wir weiter26−66−89.2.5 Lemma. Für zwei n × d-Matrizen A , B gilt(wobeid ≤ n):det(A T B)=∑1≤i 1

14 KAPITEL 9. INTEGRATION ÜBER FLÄCHENDas ergibt sich aus dem vorstehenden Hilfssatz.Beispiel. 1)Für a, b, c > 0seiA das EllipsoidDann stellt die AbbildungA = {⃗x | x2 1a 2 + x2 2b 2 + x2 3c 2 =1}⎛φ(α, ϑ) := ⎝a cos α sin ϑb sin α sin ϑc cos ϑeine auf T := (−π, π) × (0,π) erklärte lokale Parametrisierung von ∂A \{x 3 =0} dar. Nun wird⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞−a sin α sin ϑa cos α sin ϑ∂φ∂α = ⎝ b cos α sin ϑ ⎠∂φ,∂ϑ = ⎝ b sin α cos ϑ ⎠∂φ,∂α × ∂φ −bcd cos α sin ϑ∂ϑ =sinϑ ⎝ ac sin α sin ϑ ⎠0−c sin ϑab cos ϑZusammen mit‖ ∂φ∂α × ∂φ √∂ϑ ‖ =sinϑ c 2 sin 2 ϑ (a 2 sin 2 α + b 2 cos 2 α)+a 2 b 2 cos 2 ϑfolgt ein expliziter Ausdruck für ν ∂A ◦ φ.2) Ist weiter ∂A in der Nähe von ⃗a als Graph einer Funktion g : T −→ IR dargestellt, alsoφ(⃗t) :=(⃗t, g(⃗t) ) eine Parametrisierung für ∂A (nahe ⃗a), dann haben wir( )1 −∇g( ⃗t)ν ∂A (φ(⃗t)) = √1+‖∇g(⃗t)‖ 2 1⎛Dazu beachten wir, dass J φ (⃗t) = ⎜⎝1 ... 0.. . . .0 ... 1∂g∂t 1...∂g∂t n−1⎞⎞⎠⎟⎠ ,alsoJ φ T · J φ(⃗t) =E n−1 + ∇g · (∇g) THieraus folgt (vgl. frühere Ü.A.) det(J T φ ·J φ(⃗t) =1+‖∇g(⃗t)‖ 2 . Ferner steht der Vektorauf allen Spalten von J φ senkrecht.(−∇g( ⃗t)1)9.3 FlächenintegraleWir überlegen zuerst, welche Funktionen wir über eine Untermannigfaltigkeit M ⊂ IR n (derKlasse C α ) integrieren können sollten.

9.3. FLÄCHENINTEGRALE 15Definition. MitC c (M) bezeichnen wir die Menge der stetigen Funktionen auf M, welcheaußerhalb einer kompakten Teilmenge von M verschwinden und mit Cc ↑ (M) die Menge derjenigenFunktionen, die man monoton von unten durch Funktionen aus C c (M) approximieren kann,entsprechend wird die Funktionenmenge Cc ↓ (M) definiert.Ehe wir das Flächenintegral einführen können, sind ein paar technische Vorbereitungen nötig.Zu allererst vereinbaren wir, dass wir ab jetzt nur noch solche Untermannigfaltigkeiten derDimension n − 1 zulassen wollen, zu denen es eine endliche Überdeckung (V i ) m i=1 durch offeneMengen gibt, welche Bildbereich einer Parametrisierung von M sind, also: Es soll zu jedemi ∈{1, .., m} eine offene Menge T i ⊂ IR n−1 und eine Parametrisierung φ i : T i −→ M ∩ V i geben.Wir nennen die Mengen V i kurz Parameterumgebungen.Jede kompakte Untermannigfaltigkeit hat diese Eigenschaft.9.3.1 Lemma. Ist (V i ) m i=1 eine Überdeckung von M durch Parameterumgebungen, so gibt esein Familie von stetigen Funktionen α j mit Werten in [0, 1] und supp(α j ) ⊂ V j für j =1, .., m, sodass α 1 + ... + α m =1. Eine solche Familie von Funktionen nennen wir eine (V i ) m i=1 untergordneteTeilung der Eins.Beweis. Wir können offene Teilmengen W j ⊂ V j so wählen, dass W j ⊂ V j kompakt ist undauch (W j ) m j=1 eine Überdeckung von M wird. Nun setzen wirβ j (⃗z) =dist(⃗z,V cj )dist(⃗z,W j ) + dist(⃗z,V cj ),wenn ⃗z ∈ W j und β j (⃗z) =0,wenn⃗z /∈ W j . Dann haben alle β j Werte in [0, 1], und es istβ := β 1 + ... + β m > 0aufM. Nun leisten die Funktionen α j := β j /β das Gewünschte.□Nun kommen wir zur Definition der FlächenintegraleDefinition. IstM eine Fläche (d.h. eine (n−1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit) des IR n ),und ist V eine offene Parameterumgebung, also Bild einer Parametrisierung φ : T −→ V ∩ M,so setzen wir für eine Funktion f ∈ C c (V ∩ M)∫M∫f(⃗z)dS(⃗z) :=T√f(φ(⃗t)) det Jφ T J φ(⃗t)d n−1 tDiese Definition hängt von der Wahl der Parametrisierung φ nicht ab.Ist nämlich ψ : ̂T −→ ̂V ∩ M eine weitere Parametrisierung von M mit f ∈ C c (M ∩ ̂V ), sofolgt ψ = φ ◦ h, wobeih : ̂T −→ T die Parametertransformation h = φ −1 ◦ ψ ist, von der wir

16 KAPITEL 9. INTEGRATION ÜBER FLÄCHENfrüher gesehen haben, dass sie ̂T diffeomorph nach T abbildet. Dann erhalten wir J ψ = J φ ◦h·J h ,alsoJ T ψ J ψ = J T h (J φ ◦ h) T · (J φ ◦ h) · J hDas ergibt aberDer Transformationssatz liefert jetzt∫ √f(ψ(⃗s)) det Jψ T J ψ(⃗s)d n−1 s =̂Tdet(J T ψ J ψ )=det(J φ ) T · (J φ )) ◦ h · (det J h ) 2=∫∫̂TT√f(φ ◦ h(⃗s)) det Jφ T J φ(h(⃗s))| det(J h (⃗s))|d n−1 s√f(φ(⃗t)) det Jφ T J φ(⃗t)d n−1 tVon der Einschränkung, dass der Träger in einer Parameterumgebung enthalten sein muss,befreien wir uns so: Angenommen, es sei f ∈ C c (M). Ist dann (V j ) m j=1 eine Überdeckung von Mdurch Parameterumgebungen, und (α j ) m j=1 eine untergordnete Teilung der Eins, so setzen wir∫m∑∫f(⃗z)dS(⃗z) := (α j f)(⃗z)dS(⃗z)Mj=1Auch diese Definition ist konsistent, hängt also von der Wahl der Überdeckung (V j ) ∞ j=1 undder Teilung der Eins nicht ab.Dies prüfen wir nach:Ist etwa (Ṽj) k j=1 noch eine Überdeckung von M durch Parameterumgebungen und (˜α j ) k j=1eine untergeordnete Teilung der Eins, so gilt∫M(α j f)(⃗z)dS(⃗z) =Mk∑∫Summieren wir das über alle j ∈{1, ..., m}, so kommt herausm∑∫j=1M(α j f)(⃗z)dS(⃗z) ==m∑j=1k∑l=1k∑∫l=1m∑∫j=1MMl=1M(˜α l α j f)(⃗z)dS(⃗z)(˜α l α j f)(⃗z)dS(⃗z)(˜α l α j f)(⃗z)dS(⃗z) =k∑∫l=1M(˜α l f)(⃗z)dS(⃗z)Beispiele. a)n =2.Istγ :[0, 1] −→ IR 2 eine doppelpunktfreie Kurve mit ˙γ(t) ≠0,sowird M = {γ(t) | 0

9.3. FLÄCHENINTEGRALE 17für jedes f ∈ C ↑c (M). Für f = 1 erhalten wir die Weglänge von γ.b) Drehflächen: Sei etwa g :[a, b] −→ IR + eine positive Funktion. Dann istφ(θ, s) := ( s, g(s)cosθ, g(s)sinθ )eine auf T := (a, b) × (0, 2π) definierte Parametrisierung einer Fläche M, die durch Drehung desGraphen von g um die x-Achse entsteht. (Hierbei fehlt jedoch die Mantellinie {(s, g(s), 0) | a

18 KAPITEL 9. INTEGRATION ÜBER FLÄCHENIm Falle der Halbkugeloberfläche wählen wir g(s) = √ R 2 − s 2 und a =0,b= R. Dann errechnenwir√g(s) 1+g ′ (s) 2 = √ ( ) 2−sR 2 − s√1+2 √ = RR2 − s 2und damit ∫ M dS =2πR2 .9.4 Der Satz von GaussWir wollen nun eine feinsinnige Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Differential - undIntegralrechnung behandeln. Dazu sehen uns das Beispiel eines Quaders an.Sei Q =[a 1 ,b 1 ] × ... × [a n ,b n ] ein kompakter Quader und die Funktion g : U −→ IR stetigdifferenzierbar auf einer offenen Umgebung U von Q.QDer Einfachheit halber schreiben wir∫h(x 1 , ..., ̂x l , ..., x n )dx 1 ... ̂dx l ...dx n ,wenn wir eine Funktion h über n − 1 Variable integrieren wollen, die übrig bleiben, wenn wir ausx 1 , ..., x n die Variable x l fortlassen. Dann sehen wir zuerst, dass∫∫∂gb1∫ bl−1∫ bl+1∫ bn(⃗x)d n x = ······ (g(x 1 , ..., b l , ..., x n ) − g(x 1 , ..., a l , ..., x n )) dx 1 ...Q ∂x ̂dx l ...dx nl a 1 a l+1a l−1a n

9.4. DER SATZ VON GAUSS 19Weiter hat auch ∂Q\K ein Einheitsnormalenfeld ν Q ,wobeiK aus den Randpunkten besteht,die auf mindestens 2 der Randflächen liegen, alsoK = {⃗x ∈ ∂Q| x i ∈{a i ,b i }, für mindestens 2 Indizes i}Es ist nämlich, wenn ⃗z ∈ ∂Q \ K ist, ν Q (⃗z) =⃗e i ,wennz i = b i und ν Q (⃗z) =−⃗e i ,wennz i = a i .Für festes l ist aber die rechte Seite gerade∫g(⃗z)⃗e l · ν Q (⃗z)dS(⃗z)∂QWenn wir jetzt eine vektorwertige Funktion f =(f 1 , ..., f n ) hernehmen und g = f l setzen, sofinden wir einen Spezialfall des Gaußschen Satzes:∫∫∂f l(⃗x)d n x = f l (⃗z)⃗e l · ν Q (⃗z)dS(⃗z)Q ∂x l ∂QSummieren wir das über alle l =1, ..., n, so folgt∫∫∇·f(⃗x)d n x = f · ν Q (⃗z)dS(⃗z)QDabei setzen wir ∇·f = ∑ n ∂f ii=1 ∂x i.Notation. Istf eine stetig differenzierbare vektorwertige Funktion, so nennen wir den Ausdruckn∑ ∂f i∇·f =∂x iauch die Divergenz von f.Wir streben jetzt an, obige Integralformel zu beweisen, wenn der Quader durch ein glattberandetes Kompaktum A ersetzt wird. Dazu behandeln wir zuerst den Fall, dass f seinenTräger innerhalb einer speziellen Parameterumgebung hat.9.4.1 Lemma. Sei T ⊂ IR n−1 eine offene Menge und I =(a, b) ein Intervall. Weiter sei eineFunktion g ∈ C 1 (T ) gegeben und D = {(⃗t, t n ) ∈ T × I | t n ≤ g(⃗t)}, M = {(⃗t, t n ) ∈ T × I | t n =g(⃗t)}. Dann gilt für jede Funktion h ∈ Cc 1 (T × I) die Integralformel∫∫∂h(⃗x)d n x = h(⃗z)ν i (⃗z)dS(⃗z)∂x iDHierbei ist ν i die i-teKoordinatedesäußeren Normalenfeldes auf M.∂Qi=1M

20 KAPITEL 9. INTEGRATION ÜBER FLÄCHENDie Situation wird durch folgende Skizze veranschaulicht:IMsupp hUMDsupp hTBeweis. Wir unterscheiden 2 Fälle. Zunächst sei i

9.4. DER SATZ VON GAUSS 21liefert uns die Kettenregel:∂F (⃗x ′ ,g(⃗x ′ ))∂x i= ∂ ∫ g(⃗x ′ )h(⃗x ′ ,t)dt∂x i a= ∂F (⃗x ′ ,g(⃗x ′ ))+ ∂F∂x i ∂ζ (⃗x ′ ,g(⃗x ′ )) ∂g (⃗x ′ )∂x i∫ g(⃗x ′ )∂h=(⃗x ′ ,t)dt + h(⃗x ′ ,g(⃗x ′ )) ∂g (⃗x ′ )a ∂x i ∂x iOder, nach dem ersten Term auf der rechten Seite umgestellt:∫ g(⃗x ′ )∂h(⃗x ′ ,t)dt =∂ F (⃗x ′ ,g(⃗x ′ )) − h(⃗x ′ ,g(⃗x ′ )) ∂g (⃗x ′ )a ∂x i ∂x i ∂x i(9.4.1)Die Funktion ⃗x ′ ↦−→ F (⃗x ′ ,g(⃗x ′ )) hat kompakten Träger in T , also wird∫∂( F (⃗x ′ ,g(⃗x ′ )) ) d n−1 x ′ =0T ∂x iIntegrieren wir jetzt (9.4.1) über T , so erhalten wir∫∫ ( ∫ )∂hg(⃗x ′ )(⃗x)d n ∂hx =(⃗x ′ ,t)dt d n−1 x ′D ∂x i T a ∂x i∫= − h(⃗x ′ ,g(⃗x ′ )) ∂g (⃗x ′ )d n−1 x ′T∂x∫i= h(⃗x ′ ,g(⃗x ′ )) √ 1+‖∇g(⃗x ′ )‖ 2 ν i (⃗x ′ ,g(⃗x ′ ))d n−1 x ′∫T= h(⃗z)ν i (⃗z)dS(⃗z)Jetzt zum 2. Fall: i = n. Für jedes feste ⃗x ′kompakten Träger in I. Also erhalten wir∫ g(⃗x ′ )M∈ T hat die Funktion t ↦−→ h(⃗x ′ ,t)einen∂h(⃗x ′ ,t)dt = h(⃗x ′ ,g(⃗x ′ )) − h(⃗x ′ ,a)=h(⃗x ′ ,g(⃗x ′ ))a ∂x nDiese Gleichung integrieren wir bezgl. ⃗x ′ ∈ T und finden∫D∂h∂x n(⃗x)d n x ====∫∫∫∫⃗x ′ ∈T⃗x ′ ∈T⃗x ′ ∈TM∫ g(⃗x ′ )a∂h∂x n(⃗x ′ ,t)dt d n−1 x ′h(⃗x ′ ,g(⃗x ′ )),d n−1 x ′h(⃗x ′ ,g(⃗x ′ )) √ 1+‖∇g(⃗x ′ )‖ 2 ν n (⃗x ′ ,g(⃗x ′ ))d n−1 x ′h(⃗z)ν n (⃗z)dS(⃗z)

22 KAPITEL 9. INTEGRATION ÜBER FLÄCHENDamit ist alles vorbereitet für den Beweis des Integralsatzes von Gauß:9.4.2 Satz (Gaußscher Integralsatz). Angenommen, es sei A ein Kompaktum mit glattem Randund U ⊃ A eine offene Umgebung von A, auf der eine stetig differenzierbare vektorwertigeFunktion f : U −→ IR n definiert sein soll. Dann gilt∫∫∇·f(⃗x)d n x = f · ν ∂A (⃗z)dS(⃗z)ABeweis. Dazu überdecken wir A durch endlich viele Quader Q 1 , ...., Q L , so dass alle Q j in Uenthalten sind und für jedes j gilt• Q j ⊂ A oder∂A• Q j ∩ ∂A ≠ ∅, und (nach evtl. Umnummerierung der Koordinaten) ∂A ist Graph einer differenzierbarenFunktion g j : Q ′ j −→ IR, (so dass also die Situation des Lemmas hergestelltwerden kann)QjAWir können nun ähnlich wie im Kapitel über Integration eine der Überdeckung untergeordneteTeilung der Eins wählen, also differenzierbare Funktionen α j mit Träger in Q j ,sodassjedeFunktion nicht-negativ ist und ihre Summe α 1 + ... + α L = 1 wird. Sei i ∈{1, 2, ..., n}.Wenn Q j ∩ ∂A = ∅, dannistα j f i ∈ Cc 1 ( A)also◦∫∫∂(α j f i )(⃗x)d n x =0=∂x iDMα j f i (⃗z)ν i (⃗z)dS(⃗z)Wenn Q j ∩ ∂A = ∅, so wenden wir das Lemma an mit h = f i α j und D = A ◦ und finden∫∫∂(α j f i )(⃗x)d n x = α j f i (⃗z)ν i (⃗z)dS(⃗z)D ∂x i ∂ASummieren wir nun über alle i =1, ..., n, so entsteht∫∫∇·(α j f)(⃗x)d n x = (α j f) · ν ∂A (⃗z)dS(⃗z)A∂A

9.4. DER SATZ VON GAUSS 23Summieren wir über alle j =1, ..., L, so folgt die Behauptung.□Anwendungen des Gaußschen Satzesa) Die Oberfläche der Sphäre S n−1R= {⃗x ∈ IR n |‖⃗x‖ = R}. Setzen wir jetzt f(⃗x) :=⃗x, sowird ∇·f(⃗x) =n, also∫∫∫n Vol(B(0,R))= ∇·f(⃗x)d n x = f(⃗z) · (⃗z/R)dS(⃗z) =R dS(⃗z)B(0,R)S n−1RS n−1RAber links steht nR n Vol(B(0, 1)). Das ergibt∫S n−1RFür n =2d (geradzahliges n) wird also∫dS(⃗z) =dS(⃗z) =nR n−1 Vol(B(0, 1)) = 2πn/2Γ(n/2) Rn−1S d−1RFür n =2d + 1 (ungeradzahliges n) wird∫S d−1R2πd(d − 1)! R2d−1dS(⃗z) = 2πd√ πΓ(d + 1 2 )R2db) Das Archimedische Prinzip. Angenommen, es sei A ein (glatt berandeter) Körper, der sichinnerhalb einer Flüssigkeit mit konstanter Dichte ϱ>0 befindet.x3AνADie Flüssigkeit übt an der Stelle ⃗z ∈ ∂A einen Druck cz 3 ν ∂A (⃗z) aus, woraus für die AuftriebskraftK,welcheA ⃗ erfährt∫⃗K = cz 3 ν ∂A (⃗z)dS(⃗z)∂A

24 KAPITEL 9. INTEGRATION ÜBER FLÄCHENresultiert. Für die i-te Komponente von K ⃗ erhalten wir daher mit dem Gaußschen Satz (f =x 3 ⃗e i ):∫∂x 3K i = ϱ d 3 x = δ i3 ϱVol(A)A ∂x iSo finden wir: Der Auftrieb den ein Körper in einer Flüssigkeit erfährt, ist gleich dem Gewichtder von ihm verdrängten Flüssigkeitsmenge (Gesetz von Archimedes).c) Das elektrische Feld und seine QuellenIst Q eine Ladung, welche in einem Kompaktum mit glattem Rand eingeschlossen ist, so istnach Gauß der Fluss des elektrischen Feldes durch die Oberfläche von A durch∫⃗E · ν ∂A dS =4πQ∂Agegeben. Haben wir allgemeiner eine Ladungsverteilung mit Dichtefunktion ϱ ∈ C c gegeben, somodifiziert sich diese Gleichung zu∫∫⃗E · ν ∂B(⃗x,R) dS =4π ϱd 3 x∂B(⃗x 0 ,R)B(⃗x 0 ,R)Da nun ⃗x 0 und R beliebig wählbar sind, folgt mit dem Integralsatz von Gauß∇·E =4πϱd) Impuls des elektromagnetischen FeldesAngenommen, es seien E ⃗ : IR 3 × IR + 0 −→ IR 3 und B ⃗ : IR 3 × IR + 0 −→ IR 3 ein (zeitabhängiges)elektrisches und magnetisches Feld (verbunden über die Maxwellgleichungen), welches von einerLadungsverteilung ϱ und einer Stromdichte ⃗j erzeugt werden: wenn letztere beiden Funktionenkompakte Träger ( etwa innerhalb B(⃗0,R)) haben, erfüllen sie die folgenden Wachstumsbedingungenim Unendlichen: (das werden wir später noch sehen)limR−→∞ R sup{‖ ⃗ E(⃗x, t)‖|‖⃗x‖ = R} =0, limR−→∞ R sup{‖ ⃗ B(⃗x, t)‖|‖⃗x‖ = R} =0für alle t ≥ 0. Dann gilt für den Impuls P ⃗ des elektromagnetischen Feldes die Beziehung⃗P (t) = 1 ∫E ⃗ × B(⃗x, ⃗ t)d 3 x4πDazu beachten wir, dass das Newtonsche Kraft-Gesetz hier lautetdP⃗ (dt∫B(⃗0,R)= ϱ E ⃗ + 1 )c ⃗ j × B ⃗ d 3 xIR 3

9.4. DER SATZ VON GAUSS 25Nun benutzen wir die Maxwellgleichungen∇· ⃗E =4πϱ, ∇× ⃗ B = 4π c ⃗ j + 1 c∂ ⃗ E∂tund erhalten∇· ⃗B = ⃗0, ∇× ⃗ E = − 1 cϱ = 1 ∇· ⃗E, ⃗j4π∂ ⃗ B∂t(= c ∇× B4π⃗ − 1 c∂E⃗ )∂tDas setzen wir ein in die Gleichung für d P ⃗ und erhaltendtdP⃗dt = 1 ∫ (⃗E∇·4π⃗E + 1 ∂ ⃗ )EB(⃗0,R)c ∂t × B ⃗ − B ⃗ × (∇× B) ⃗ d 3 xDas kombinieren wir mit1 ∂c ∂t ( E ⃗ × B)= ⃗ 1 ( ∂E)c ∂t ⃗und erhalten (wegen ∇· ⃗B =0)d ⃗ Pdt= 1 ∫4π B(⃗0,R)− 1 ∫∂4π ∂t× B ⃗ + 1 Ec ⃗ × ∂ B∂t ⃗ = 1 ( ) ∂Ec ∂t ⃗ × B ⃗ − E ⃗ ×∇× E ⃗( )⃗E∇· E ⃗ − E ⃗ ×∇× E ⃗ d 3 x + 1 ∫ ( )⃗B∇· B ⃗ − B ⃗ ×∇× B ⃗ d 3 x4π B(⃗0,R)B(⃗0,R)( ⃗ E × ⃗ B)d 3 xDie Vertauschung von ∂ mit der Integration ist erlaubt. Ist nun h eine vektorwertige stetig∂tdifferenzierbare Funktion, so gilt aberDas liefert∫14πB(⃗0,R)(h∇·h − h ×∇×h) i= ∇·(h i h) − 1 ∂‖h‖ 22 ∂x i(⃗E∇· ⃗ E − ⃗ E ×∇× ⃗ E)id 3 x = 1 ∫4π=14πRB(⃗0,R)∫∂B(⃗0,R)()∇· (E iE) ⃗1 −2 ‖ E‖ ⃗ 2 ⃗e i d 3 x()(E iE ⃗1 · ⃗z) −2 ‖ E‖ ⃗ 2 z i dS(⃗z)≤ R 2 (sup{‖ ⃗ E(⃗x, t)‖|‖⃗x‖ = R}) 2−→ 0

26 KAPITEL 9. INTEGRATION ÜBER FLÄCHENwenn R −→ ∞.Genauso folgt∫1( )⃗B∇· B ⃗ − B ⃗ ×∇× B ⃗ d 3 x −→ 0, R −→ ∞4π B(⃗0,R)iDamit gilt alsoDas ergibt die Behauptung.dP⃗dt = 1 ∫∂( E4π ∂t⃗ × B)d ⃗ 3 xIR 3□Die Greensche FormelIn der Potenzialtheorie wird gezeigt, dass bei gegebener ”Ladungsverteilung” ϱ ∈ C c (IR n )dieGleichung ∆U = ϱ durch∫U(⃗x) = E n (⃗x − ⃗y)ϱ(⃗y)d n yIR ngelöst wird, wobei⎧1⎨ (n−2)ω n‖⃗z‖ 2−n wenn n ≥ 3E n (⃗z) =wenn⎩12πlog ‖⃗z‖ wenn n =2Dazu benötiget man die folgende aus dem Gaußschen Satz leicht zu gewinnende Formel vonGreen9.4.3 Satz (Greensche Formel). Ist A eine glatt berandete kompakte Menge im IR n und U ⊃ Aeine offene Umgebung von A, auf der 2 stetig differenzierbare Funktionen f und g definiert seinsollen, so gilt∫∫(f∆g − g∆f)d n x = (f∇g − g∇f) · ν ∂A dSABeweis. Zum Beweis wenden wir den Gaußschen Satz mit der Abbildung F =(f∇g − g∇f)an und beachten, dass∇·F = f∆g − g∆f∂A□

9.5. DER SATZ VON STOKES IN DIMENSION 2 UND 3 279.5 Der Satz von Stokes in Dimension 2 und 3Der Fall n =2.Wir behandeln zuerst den ( Satz)von Stokes für Rechtecke im IR 2 .EsseialsoA =[a, b]×[c, d] ⊂IR 2 f1ein Rechteck und f = eine vektorwertige Funktion auf einer offenen Umgebung Uf 2von A. Dann integrieren wir f längs des positiv durchlaufenen Randes γ von A, wir bilden also∫∫ b∫ d∫ b∫ df(⃗s) · d⃗s = f 1 (t, c)dt + f 2 (b, s)ds − f 1 (t, d)dt − f 2 (a, s)dsγ====a∫ ba∫ d∫∫cAAac∫ d(f 1 (t, c) − f 1 (t, d))dt + ( f 2 (b, s) − f(a, s))dsc(∫ b) ∫∂f b(∫ d)2∂f 1dt ds −ds dt∂x 1 ∂x 2( ∂f2− ∂f )1(⃗x)d 2 x∂x 1 ∂x 2Rotf(⃗x)d 2 xacacDer Fall der Flächen im IR 3Gegeben sei wieder eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit im IR 3 , welche durch endlichviele Parameterumgebungen überdeckbar ist.Definition. SeiA ⊂ M eine kompakte Teilmenge. Dann bezeichnen wir mit ∂ M A die Mengederjenigen Punkte aus A, für welche jede offene Umgebung sowohl Punkte aus A als auch ausM \ A enthält.Wir sagen, A sei glatt berandet, wenn zu jedem ζ ∈ ∂ M A eine Parameterumgebung U ∋ ζund eine Parametrisierung φ :(−a, a) × (c, d) −→ IR 3 für M so gewählt werden können, dassA ∩ U = {φ(t 1 ,t 2 ) | t 1 ∈ (−1, 0]}∂ M A ∩ U = {φ(0,t 2 ) | t 2 ∈ (c, d)}Wir nennen dann die Parametrisierung φ randadaptiert .

28 KAPITEL 9. INTEGRATION ÜBER FLÄCHENHier ist eine SkizzeMAM Aζφd- aac9.5.1 Lemma. Ist A ⊂ M ein Kompaktum mit glattem Rand, so kann es durch endlich vieleParameterumgebungen der Form U j = φ j (R j ) überdeckt werden, wobei R j ein Rechteck derForm (−a j ,a j ) × (c j ,d j ) und φ j eine Parametrisierung für A ist.b) Der Rand ∂ M A von A besteht aus endlich vielen geschlossenen glatten Kurven.Beweis. a) Klar.b) (Skizze) SeiZ eine Zusammenhangskomponente von ∂ M A.Istζ ∈ Z , so gilt für einerandadaptierte Parametrisierung φ j von ∂ M A in ζ, dass∂ M A ∩ U j = {ϕ j (0,t 2 ) | c j

9.5. DER SATZ VON STOKES IN DIMENSION 2 UND 3 29ist, setzen sich diese Kurven zu einer glatten Kurve zusammen. Diese Kurve ist sogar geschlossen,denn sonst könnten wir zu dem Endpunkt von γ eine randadaptierte Parametrisierung φ : R −→M ∩ U wählen. Nach Verkleinerung von U könnten wir erreichen, dass je 2 verschiedene Punkteaus U \ (∂ M A) durch einen innerhalb U \ (∂ M A) verlaufenden Weg verbindbar wären. Auf deranderen Seite aber zerfällt U \(∂ M A) in die (relativ zu M) offenen Mengen A ◦ und ((U ∩M)\A) ◦ ,und ein Punkt aus A ◦ ist nicht durch einen in U \ (∂ M A) verlaufenden Weg mit einem Punktaus ((U ∩ M) \ A) ◦ verbindbar. Also muss eine der Mengen A ◦ oder ((U ∩ M) \ A) ◦ schon leergewesen sein. Offenbar bleibt nur der Fall ((U ∩ M) \ A) ◦ = ∅ übrig. Nun kann man aber wegender Randadaptiertheit von φ in R einen Weg c :(−ε, ε) −→ R so wählen, dass φ(c(0)) ∈ ∂ M A,aber φ(c(t)) /∈ U ∩ A, wennε>t>0, während aber φ(c(t)) in U ∩ A liegt, wenn −ε

30 KAPITEL 9. INTEGRATION ÜBER FLÄCHENüberdeckt, wobei j = 1, ..., L sei, R j ein Rechteck der Form (−a j ,a j ) × (c j ,d j ) und φ j eineParametrisierung für A sei. Sind dann die Parametrisierungen φ 1 , ...., φ l0 randadaptiert, so gilt:Ist f : V −→ IR 3 eine stetig differenzierbare Abbildung (V ⊃ A offen) und supp(f) ∩ M ineiner der offenen Mengen U j enthalten so haben wir∫∇×f(⃗z) · ν M (⃗z)dS(⃗z) =0, wenn j>l 0und∫AA∫∇×f(⃗z) · ν M (⃗z)dS(⃗z) = f(⃗s) · d⃗s, wenn j ≤ l 0γ jwobei γ j (τ) :=φ j (0,τ), für c j ≤ τ ≤ d j positiv durchlaufen wird.MAM AMAM Asupp ( f )UjUjsupp ( f )γjDer Fall j>l 0 Der Fall j ≤ l 0 .Beweis. A) Sei j > l 0 . Da supp(f) ⊂ φ j (R j ) kompakt gelegen ist, gibt es ein RechteckB j ⊂ R j , dass mitsamt seinem Rand in R j enthalten ist. Sein Rand ∂B j wird unter φ j auf einenstückweise glatten Weg Γ j abgebildet, der aus 4 glatten Teilwegen besteht und eine stückweisestetig differenzierbare Parametrisierung, nämlich φ j ◦ η j besitzt, wobei η j :[0, 1] −→ R j eine

9.5. DER SATZ VON STOKES IN DIMENSION 2 UND 3 31Parametrisierung von ∂B j sein soll. Nun rechnen wir∫Γ jf(⃗s) · d⃗s ==∫ 10∫ 10f(φ j (η j (t))) · (φ j (η j (t))) ′ dt(gj,1 (η j (t))η j,1(t)+g ′ j,2 (η j (t))η j,2(t) ) ∫′ dt = g j (⃗s) · d⃗s∂B jwobeig j,i =(f ◦ φ j ) · ∂φ ( )jgj,1, i =1, 2, und g j =∂t i g j,2Aber der Satz von Stokes für Rechtecke in der Ebene sagt jetzt, dass∫∫ ( ∂g2g j (⃗s) · d⃗s = − ∂g )1(⃗t)d 2 t∂B j B j∂t 1 ∂t 2Mit der Kettenregel rechnen wir jetzt aus, dass∂g 2∂t 1(⃗t) =3∑l=1∂ 2 φ j,l∂t 1 ∂t 2f l (φ j (⃗t)) +3∑l,k=1∂φ j,l∂t 2∂f l(φ j (⃗t)) ∂φ j,k(⃗t)∂x k ∂t 1∂g 1∂t 2(⃗t) =3∑l=1∂ 2 φ j,l∂t 1 ∂t 2f l (φ j (⃗t)) +3∑l,k=1∂φ j,l∂t 1∂f l(φ j (⃗t)) ∂φ j,k(⃗t)∂x k ∂t 2Durch Subtrahieren dieser beiden Gleichungen erhalten wir

32 KAPITEL 9. INTEGRATION ÜBER FLÄCHEN∂g 2∂t 1(⃗t) − ∂g 1∂t 2(⃗t) =3∑(∂φj,l∂t 2l,k=1(∂φj,l= ∑ l≠k= ∑ lk= ∑ l

9.5. DER SATZ VON STOKES IN DIMENSION 2 UND 3 33□Damit können wir jetzt den Satz von Stokes in der physikalische Anwendungen relevantenForm aufstellen:9.5.3 Satz ( Stokesscher Satz). Sei M ⊂ IR 3 eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit wiebisher und A ⊂ M ein Kompaktum mit glattem Rand ∂ M A. Ist dann V ⊃ A eine offene Mengeund f : V −→ IR 3 stetig differenzierbar, so gilt∫∫f(⃗s) · d⃗s = ∇×f(⃗z) · ν M (⃗z)dS(⃗z)Dabei ist γ der parametrisierte Rand ∂ M A von A.γABeweis. Wir wählen eine Überdeckung (R j ,ϕ j ,U j ) L j=1 für A durch Parameterumgebungen,wobei die ersten l 0 von diesen Parameterumgebungen randadaptiert sein sollen. Dann wählenwir eine untergeordnete Teilung (h j ) L j=1 derEins(ähnlich wie beim Satz von Gauß) dazu undwenden das Lemma auf die Felder h j f an. Das ergibt uns∫∫(h j f)(⃗s) · d⃗s = ∇×(h j f)(⃗z) · ν M (⃗z)dS(⃗z)γSummieren wir über alle j, folgt die Integralformel.AErste Anwendungena) Sei γ : [0, 1] −→ IR 2 eine doppelpunktfreie geschlossene Kurve. Dann hat die von γeingeschlossene Fläche den InhaltF (γ) =∫ 10γ 1 (t)˙γ 2 (t)dtWir wählen M = ⎛ {x 3 =0} ⎞ und A als das⎛von γ⎞berandete Kompaktum⎛in M. ⎞Dann gilt für das−x 200Vektorfeld f = ⎝ x 1⎠, dass∇×f = ⎝ 0 ⎠. Zusammen mit ν M = ⎝ 0 ⎠ folgt021∫ ∫∫∫ 1∫ 12 dS = ∇×f(⃗z) · ν M (⃗z)dS(⃗z) = f(⃗s) · d⃗s = − γ 2 (t)˙γ 1 (t)dt + γ 1 (t)˙γ 2 (t)dtA Aγ00Beachten wir nun noch, dass∫ 10γ 2 (t)˙γ 1 (t)dt = −∫ 10γ 1 (t)˙γ 2 (t)dt□

34 KAPITEL 9. INTEGRATION ÜBER FLÄCHENfolgt die Behauptung.b) Was ist der Wert des Integrals I α = ∫ K αx 3 dS, wobeiK α die Kugelkappe oberhalb des”Breitengrades” α bedeutet, wie im folgenden Bild gezeigt ist?K αα⎛Wir wählen wieder f = ⎝−x 2x 10⎞Dann wird∫I α = R (∇×f) · ν S 2dSK∫ α= R f(⃗s) · d⃗sγ⎛= 2πR∫ 10⎝= 2πR 3 cos α⎛⎠. Jetzt sei weiter γ(t) = ⎝−(R cos α) sin(2πt)(R cos α) cos(2πt)R sin α⎞⎛⎠ · ⎝(R cos α) cos(2πt)(R cos α) sin(2πt)R sin α−(R cos α) sin(2πt)(R cos α) cos(2πt)0⎞⎠ dt⎞⎠.