Kritik der Mengenlehre - Viktor Wolfgang Weichbold

(4) Die Formulierung (a) führt also zu einem Widerspruch, wenn derMengenbegriff im mengentheoretischen Sinn aufgefasst wird. Lässt sich derWiderspruch vermeiden, wenn "Menge" im alltagssprachlichen Sinninterpretiert wird? – Nein, denn dann ist es gar nicht möglich, von "leerenMengen" zu reden, wie wir oben gezeigt haben. Da dieser Ausdruck in derDiktion der Alltagssprache in sich widersprüchlich ist, wäre die Formulierung"zwei leere Mengen sind identisch" eine pure Absurdität.(5) Ein weiterer Widerspruch, den die Mengenlehre in sich trägt, ist seit altersbekannt: er führt u.a. zur Antinomie der Allklasse. Diese lässt sich am Beispieldes Universums schön veranschaulichen:Das Universum ist die Gesamtheit aller Dinge: es enthält alles, was es gibt.Jedoch: das Universum ist selber in der Menge der Universen enthalten. Alsoenthält es nicht alles, was es gibt (denn es kann nicht sich selbst enthalten 3 ).Das Universum, das alles enthält – aber selber in der Menge der Universenenthalten ist: wie soll man sich das vorstellen? Wohl so, wie den Ort, auf demder Hl. Christophorus einst stand, als er die ganze Welt trug.Es ist erstaunlich, dass die Mengentheoretiker auf diesen Widerspruch nichtreagieren, indem sie das Konzept der Menge als verfehlt erkennen undverwerfen. Stattdessen erlassen sie – völlig willkürliche – Regelungen, damitder Widerspruch nicht in Erscheinung tritt. Darin gleichen sie schlechtenTheologen, die einen festbefohlenen Glauben retten wolle, indem sie dort, woProbleme auftreten, sich eine schönrednerische Diktion verordnen.(6) Apropos Glaube: auch bezüglich Gott erzeugt der mengentheoretischeMengenbegriff merkwürdige Konsequenzen. Gott gilt der Urgrund allerDinge, d.h. er ist der Grund dafür, dass die Welt existiert. Das gilt aber nichtfür die Menge der Götter: sie existiert unabhängig von ihm, denn sonst könntesie – im Falle seiner Nichtexistenz – nicht leer sein. Da die Göttermengeunabhängig von Gott existiert, folgt daraus, dass Gott nicht der Urgrund allerDinge ist.C) Das Konzept der leeren Menge hat absurde Konsequenzen(7) Wie oben gesagt: die Annahme, dass Mengen unabhängig von ihrenElementen bestehen (existieren), ist eine notwendige Voraussetzung, umsinnvoll von "leeren Mengen" reden zu können. Doch diese Annahmegeneriert eine Reihe von absurden Konsequenzen.Eine davon ist, dass unendlich viele leere Mengen existieren müssen – ja, dassdas Universum heillos überfüllt ist mit allen erdenklichen undunausdenklichen Mengen.3 Die geläufige Phrase "eine Menge enthält sich selbst (als Element)" ist irrational: wie kannein Behälter sich selbst enthalten? Wer so redet, missachtet elementare Rationalitätsanforderungenan die Sprache und kann ebenso gut behaupten, dass Münchhausen sich ameigenen Schopf aus dem Sumpf zieht, oder dass Gott die Ursache seiner selbst ist.3

Warum? Ursache ist, dass es kein Existenzkriterium für leere Mengen gibt. Dadie (mengentheoretischen) Mengen nicht aus ihren Elementen konstituiertwerden, sondern unabhängig von ihnen bestehen, bestehen automatisch füralle (möglichen und unmöglichen!) nicht-existenten Dinge leeren Mengen.Das heißt: es gibt zwar keine Einhörner, wohl aber die leere Menge derEinhörner. Gleichfalls existieren keine Zyklopen, Nymphen, Sirenen,Zentauren, Kobolde, usw., wohl aber ihre leeren Mengen. Selbiges gilt für alleerdenklichen Fiktionen: es gibt zwar keine Menschen mit zwei, drei, vier, etc.Köpfen, doch es gibt die leeren Mengen der solcherart Missgebildeten. Undebenso verhält es sich mit den unmöglichen Fiktionen: zwar gibt es keine drei-, vier-, fünfeckigen Kreise usw., jedoch die leere Menge dieser sonderbarenGebilde, usw.(8) Die Welt der Mengenlehre ist also vollgestopft mit Mengen. Dazu trägtauch bei, dass für sämtliche Zustände, Ereignisse, Befindlichkeiten, etc., dievon Dingen der Welt ausgesagt werden, die Behauptung der Existenz einerMenge erforderlich ist. – Betrachten wir bspw. die folgenden Sätze:a) Peter ist Lehrerb) Peter ist müdec) Peter ist Bartträgerd) Peter ist in Gefahre) Peter ist in Italien.Wir erfassen intuitiv, dass in diesen Sätzen das Prädikat vom Subjekt (Peter)in unterschiedlicher Weise ausgesagt wird: Peter ist nicht in gleicher WeiseLehrer wie er müde ist; er ist nicht in gleicher Weise Bartträger wie er inGefahr ist; er ist nicht in gleicher Weise in Italien wie er müde ist, usw.Hierbei handelt es sich um die sog. Seinsanalogie (analogia entis): die Kopula"ist" hat verschiedene (analoge) Bedeutungen.Die Ontologie der Alltagssprache (und der wissenschaftlichen Sprache)begegnet dem Problem der Seinsanalogie u.a. mit der Kategorienlehre: mit derLehre, dass das Sein auf verschiedene Weise ausgesagt wird. 4 Dadurch werdenontologische Strukturierungen vorgenommen, die es nicht nötig machen, dassfür alles, was ausgesagt wird, eigene Entitäten angenommen werden.Ganz anders die Ontologie der Mengenlehre: sie kennt nur Dinge und Mengenund zwischen ihnen die – unveränderliche – Beziehung der Elementschaft.Dadurch kann sie kategoriale Differenzen (wie oben) nur durch dieZugehörigkeit zu unterschiedlichen Mengen ausdrücken:(a') Peter ist Element der Menge der Lehrer.(b') Peter ist Element der Menge derer, die müde sind.(c') Peter ist Element der Menge der Bartträger(d') Peter ist Element der Menge derer, die in Gefahr sind.(e') Peter ist Element der Menge derer, die in Italien sind.4 Mit "Sein" ist die Kopula gemeint, in ihren verschiedene Formen: ist, sind, hat, haben, etc.4

Was immer über Peter ausgesagt wird: es erfordert die Behauptung derExistenz einer Menge: der Menge der Verheirateten, der Hungrigen, derFahrradfahrer, der Hundeliebhaber, der Bankkunden, der Bücherleser, derermit einem Loch im Strumpf, usw. usw. usw. Wieder kommt es zu einergeradezu tumorösen Überfüllung der Welt mit Mengen bzw. Entitäten.5