7 Knickbeanspruchung

7 Knickbeanspruchung
Bei den bisherigen Festigkeitsberechnungen wurde ein Spannungsnachweis oder ein Tragfähigkeitsnachweis
geführt. Damit war eine ausreichende Sicherheit nachgewiesen. Es gibt aber Bauteile, bei
denen durch plötzlich sehr stark zunehmende Verformungen die Standsicherheit des Bauwerkes
nicht mehr gegeben ist, obwohl noch eine relativ geringe vorhandene Druckbeanspruchung herrscht.
Schlanke Bauteile, wie z.B. Stützen oder Wände, können seitlich ausknicken (Bild 7.1).
Bild 7.1 Biegeknicken bei Stützen Bild 7.2 Die Knicklänge bei einfachen Stützen ist die
Länge zwischen Fußplatte und Kopfplatte
Eine gerade Stütze wird bei der kritischen Belastung durch eine mittig angreifende und in Achsrichtung
wirkende Druckkraft N (Normalkraft) seitlich ausknicken, bevor die zulässige Druckspannung
erreicht ist (Bild 7.2). Die Stütze wird um so leichter ausknicken, je elastischer und
schlanker sie ist. Die Knickgefahr ist also abhängig vom Werkstoff und von der Schlankheit des
Bauteils. Die Schlankheit wird bestimmt durch die Knicklänge und durch die Größe und Form
des Querschnittes. Das Berechnungsverfahren für einteilige Querschnitte (nicht für zusammengesetzte
Querschnitte) soll im folgenden gezeigt werden. Das folgende Berechnungsverfahren gilt
nicht nur für Stützen, sondern allgemein für Bauteile, die durch Druckkräfte belastet werden.
Bild 7.3
Die Knicklänge bei Geschossstützen ist die Geschosshöhe, da sich das
Ausknicken wellenförmig durch die Geschosse fortsetzen kann

206 7 Knickbeanspruchung
Wenn die Druckkraft bei diesen Bauteilen einschließlich Eigenlast G in Längsrichtung wirkt,
bezeichnet man sie mit N (Längskraft, Normalkraft). Für die Längskräfte ohne Eigenlast kann die
Bezeichnung S (Stabkraft, Schnittkraft) verwendet werden:
N = G + S Gl. (7.1)
Die Längskraft N muß immer kleiner sein als die kritische Knicklast NKi (Bild 7.2 und 7.3).
7.1 Knicklänge
Die Länge, über die ein Stab (z.B. eine Stütze) bei Druckbelastung frei ausknicken kann, wird als
Knicklänge sK bezeichnet. Zur Bestimmung der Knicklänge ist die Lagerungsart des Stabes von
entscheidender Bedeutung. Der betrachtete Stab kann an beiden Enden gelenkig gelagert oder
eingespannt sein. Er kann auch an einem Ende gar nicht gehalten sein, dann muss das andere
Ende jedoch in jedem Fall eingespannt sein (Kragstütze, siehe Eulerfall 1). Bei einer gelenkigen
Lagerung können Kräfte übertragen werden aber keine Momente. Bei einer Einspannung können
sowohl Kräfte als auch Momente übertragen werden.
Für die Festlegung der Knicklänge gilt folgendes:
1. Für eingeschossige Stützen gilt als Knicklänge die Länge zwischen Fußplatte und Kopfplatte,
wenn beide Enden gegen seitliche Verschiebungen gesichert sind und weder Kopf- noch Fußende
eingespannt sind (Bild 7.2).
2. Wenn Stützen in mehreren Stockwerken übereinander stehen und wenn ihre Enden unverrückbar
festgehalten sind, darf die Geschosshöhe als Knicklänge angenommen werden (Bild
7.3).
der Wandebene mindestens der Abstand der Riegel, die die Stützen aussteifen (Bild 7.4).
4. Bei Stäben in Fachwerken treten verschiedene Knicklängen auf. Für das Knicken in der
Fachwerkebene gilt als Knicklänge für Pfosten und Diagonalstreben sK = 0,9 · l (in Bild 7.5
z.B. sK1 = 0,9 · l1). Senkrecht zur Fachwerkebene gilt für diese Stäbe sK = l.
5. Für die Gurte von Fachwerkstäben gilt für die Knicklänge in der Fachwerkebene sK = l (in
Bild 7.5 z.B. sK2 = l2). Für das Knicken aus der Fachwerkebene gilt als maßgebende Länge
der Abstand von seitlichen Aussteifungen durch Pfetten, Querträger oder Querverbände.
6. Allgemein kann als Knicklänge sK der Abstand zweier benachbarter Wendepunkte (WP) der
Knickverformungsfigur definiert werden (Bild 7.7). Mit dieser Definition können auch Knicklängen
von Stäben, bei denen das System keinem der vier Eulerfälle entspricht, abgeschätzt
werden.
Die ideale Knicklast ist die Last, bei der ein ursprünglich ideal gerader Stab seine Grenztragkraft
erreicht, er knickt aus. Die ideale Knicklast ist definiert als
N
π2
⋅ EI
Ki =
2
( β ⋅ l)
Gl. (7.2)
In besonderen Fällen sind statt gelenkiger Lagerungen auch feste Einspannungen der Stabenden
möglich. Feste Einspannungen haben einen großen Einfluß auf die freie Knicklänge. Wenn man
mit einer festen Einspannung eines Druckstabes rechnen will, muß diese Einspannung mit Sicherheit
vorhanden sein. Die feste Einspannung bei einer Stütze entspricht dem eingespannten
Lager bei einem Träger (Bild 7.6).

Bild 7.4 Die Knicklänge bei ausgesteiften
Stützen ist in der Richtung der Aussteifung
gleich dem Abstand zwischen
den Aussteifungen oder zwischen
Aussteifung und Fuß- bzw.
Kopfplatte
7.1 Knicklänge 207
Bild 7.5 Die Knicklänge bei Diagonalstreben und
Pfosten in Fachwerken für das Ausknicken
in der Fachwerksebene ist 90 %
des Systemmaßes (s K1 = 0,9 · l 1) . Die
Knicklänge bei Fachwerkstäben für das
Ausknicken rechtwinklig zur Fachwerksebene
ist die Länge zwischen den Aussteifungen
(s K2 = l 2)
Bild 7.6 Die Einspannung einer Stütze entspricht
einer Einspannung bei einem Träger
Die ersten Untersuchungen über die Lagerung und Belastbarkeit von Stützen hat Euler schon
1744 angestellt. Nach ihm werden alle vier möglichen Lagerungsfalle von Druckstäben als Eulerfälle
benannt (Bild 7.7 und Tafel 7.1).
β = 2 β = 1 β = 0,7 β = 0,5
Bild 7.7 Die vier Knickfälle nach Euler (Eulerfälle) mit den zugehörigen Knicklängenbeiwerten β
Der beidseitig eingespannte Stab (Eulerfall 4) kann bei gleicher Biegesteifigkeit und Knicklast
demzufolge doppelt so lang sein wie der beidseitig gelenkig gelagerte Stab (Eulerfall 1). Über die
vier Eulerfälle hinaus stehen in Tabellenwerken weitere Knicklängenbeiwerte β zur Verfügung.

208 7 Knickbeanspruchung
Die Knicklänge wird berechnet aus der Stablänge oder Stützenhöhe h und dem Knicklängenbeiwert
βK, der von der Lagerung abhängig ist.
Knicklänge sk = β K · h Gl. (7.3)
Tafel 7.1 Beiwerte β K für Knicklängen von Stützen (Knicklängenbeiwert)
Fall Stützenruß Stützenkopf β K
1
2
3
4
eingespannt
gelenkig
eingespannt
eingespannt
frei beweglich
gelenkig
gelenkig
eingespannt
Der ungünstigste Fall ist der erste, der günstigste der vierte Eulerfall. Am häufigsten tritt der
Eulerfall 2 auf. Bei Annahme des Falles 1, 3 oder 4 muß die Einspannung mit Sicherheit vorhanden
sein (Bild 7.7), ähnlich wie bei einem Freiträger oder bei eingespannten Trägern (Teil 1,
Abschn. 7.4).
Die Wirkung einer Einspannung ist unberücksichtigt zu lassen, wenn kein genauerer Nachweis
erbracht wird, von Ausnahmefällen abgesehen. Bei einfachen Stützen ist die Knicklänge die tatsächliche
Höhe vom Stützenfuß bis zum Stützenkopf. Bei Geschossstützen darf die Geschosshöhe
als Knicklänge zugrunde gelegt werden, wenn die Stützen in den Decken unverrückbar festgehalten
werden (Bild 7.3).
7.2 Trägheitsradius
Für das Biegeknicken eines Stabes sind außer der Belastung und der Knicklänge auch die Größe und
die Form des Querschnittes von Bedeutung. Je größer ein Stabquerschnitt ist und je weiter die einzelnen
Querschnittsteile von der Stabachse entfernt sind, um so größer ist die Steifigkeit gegen Biegeknicken.
Die Steifigkeit eines Stabquerschnittes wird durch das Flächenmoment erfaßt.
Bei der Ableitung der Biegegleichung (Abschn. 4.1) entstand der Ausdruck Σ ΔA · z 2 . Dieser
Ausdruck wurde als Flächenmoment I bezeichnet. Darin ist z der zugehörige Abstand einer jeden
Teilfläche ΔA, bezogen auf die Schwerachse. Man kann statt der Summe aller Teilflächen (Σ ΔA)
die gesamte Querschnittfläche A einsetzen und erhält I = A · z 2 . Mit z 2 = I/A hat man ein bestimmtes
Maß für das Verhältnis von Flächenmoment I zu Querschnittsfläche A gefunden.
In diesem Zusammenhang wird dieses Maß nicht mehr z, sondern i genannt. Dieses Maß erhält
den Namen Trägheitsradius:
2 I
i =
A
2,0
1,0
0,7
0,5
I
i = in cm mit I in cm
A
4 A in cm2 Gl. (7.4)
Für eine Querschnittsfläche A mit dem Flächenmoment Iy, bezogen auf die y-Achse des Querschnittes,
ergibt sich der Trägheitsradius iy:
iy
Iy
A
= Gl. (7.5)
Entsprechend wird mit dem Flächenmoment Iz , bezogen auf die z-Achse, der Trägheitsradius iz
bezeichnet:
iz
Iz
A
= Gl. (7.6)

7.2 Trägheitsradius 209
– Merksatz:
Der Trägheitsradius ist ein Maß für die Steifigkeit eines Querschnittes gegen Biegeknicken.
Für Querschnitte mit gleicher Steifigkeit rechtwinklig zur y-Achse und rechtwinklig zur z-Achse
erhält man gleiche Trägheitsradien iy = iz. Man kann damit den sogenannten Trägheitskreis in den
Querschnitt zeichnen (Bild 7.8). Für Querschnitte mit ungleicher Steifigkeit rechtwinklig zur
y-Achse und rechtwinklig zur z-Achse erhält man ungleiche Trägheitsradien iy ≠ iz. Man kann mit
den beiden Trägheitsradien die sogenannte Trägheitsellipse zeichnen (Bild 7.9). Bei rechteckigen
Querschnitten sind die Trägheitsradien iy und iz direkt abhängig von den Querschnittsabmessungen
b und d:
Iy b⋅d3 d2
iy= = = = d ⋅
A ⋅b⋅d iy = 0,289 · d
12 12
1
12
Bild 7.8 Trägheitskreis bei Querschnitten mit gleichen Trägheitsradien i y und i z bei gleichen
Steifigkeiten bezogen auf die y-Achse und die z- Achse
a) Quadratquerschnitt mit i y = 0,289 d und i z = 0,289 d, also i y = i z
b) Kreisquerschnitt mit i = 0,25 d
Bild 7.9 Trägheitsellipsen bei Querschnitten mit ungleichen Trägheitsradien i y und i z bei
ungleichen Steifigkeiten, bezogen auf die y-Achse und die z-Achse
a) Rechteckquerschnitt mit i y = 0,289 d und i z = 0,289 b
b) I-förmiger Profilquerschnitt mit
Iy I
i = = z
y und iz
A A
Gl. (7.7)

210 7 Knickbeanspruchung
I 3 2
z d ⋅ b b
iz= = = = b⋅
A ⋅d ⋅b
12
= 0,289 · b
12
1
12
(7.8)
Für genormte Querschnitte (Holz oder Stahl) ist der Trägheitsradius für die Hauptachsen angegeben
in Profiltabellen (s. Tafel 4.1 bis 4.7).
Beispiele zur Erläuterung
1. Für eine Holzstütze b/h = 100/220 mm werden die Flächenmomente Iy und Iz, sowie die Trägheitsradien
iy und iz berechnet und können mit den Tabellenwerten verglichen werden.
A = b · h = 10 cm · 22 cm = 220 cm2 I
y
3 3
b⋅h 10 cm ⋅(22cm)
= = = 8873 cm
12 12
I
4
y 8873 cm
iy
= = = 6,35 cm
A 220 cm2
4
I
z
3 3
h⋅b 22 cm ⋅(10cm)
= = = 1833 cm
12 12
I
4
z 1835 cm
iz
= = = 2,89 cm
A 220 cm2
2. Für eine Stahlstütze IPE 240 werden die Trägheitsradien iy und iz berechnet.
A = 39,1 cm2 Iy = 3890 cm4 Iz = 284 cm4 I
4
y 3890 cm
iy
= = = 9,97 cm
A 39,1 cm2
7.3 Schlankheitsgrad
I
4
z 284 cm
iz
= = = 2,69 cm
A 39,1 cm2
Das Verhältnis der Knicklänge sK zum Trägheitsradius i ist der Schlankheitsgrad λ (Lambda).
Schlankheitsgrad = Knicklänge
Trägheitsradius
– Merksatz:
sK
λ =
i
Gl. (7.9)
Der Schlankheitsgrad gibt die Knickempfindlichkeit eines Druckstabes an in Abhängigkeit
von Stablänge, Lagerungsart, Querschnittsgröße und Querschnittsform.
Ein Druckstab wird stets rechtwinklig zur Achse des kleinsten Flächenmomentes ausknicken
(Bild 7.10). Unterschiedliche Knicklängen erhält man, wenn ein Druckstab in den Hauptachsen
verschieden gehalten ist (Bild 7.11). Dann sind die Schlankheitsgrade für beide Hauptachsen zu
berechnen:
λ
sKy
y =
iy
sKz
z =
iz
λ Gl. (7.10)
Der größere Schlankheitsgrad ist der maßgebende, er ist für die weitere Berechnung zugrunde zu
legen.
4

7.4 Druckbeanspruchte Bauteile aus Holz
7.4 Druckbeanspruchte Bauteile aus Holz 211
Für den Holzbau gilt DIN 1052. Die Querschnittstragfähigkeit wird nach dem Ersatzstabverfahren
nachgewiesen. Der Bemessungswert der Druckspannung wird mit dem kc-fachen Bemessungswert
der Druckfestigkeit verglichen.
Bild 7.10 Druckstäbe knicken rechtwinklig zur
Achse mit dem geringsten Flächenmoment
7.4.1 Knickbeiwert und Schlankheit
Bild 7.11 Unterschiedliche Knicklängen durch
Aussteifen mit einem Zwischenriegel
Bei zunehmender Schlankheit nimmt die Tragfähigkeit eines Druckstabes immer mehr ab. Dieses
Verhalten wird durch den Knickbeiwert kc berücksichtigt. Der Knickbeiwert kann nach DIN
1052, Abschnitt 10.3 berechnet werden
1
kc
= ≤1
k + k2−λ2 rel,c
mit k = 0,5 ⋅ [1 + β ⋅( λ − 0,3) + λ2]
c rel,c rel,c
β c = 0,2 für Vollholz oder Balkenschichtholz
= 0,1 für Brettschichtholz und Holzwerkstoffe
λ fc,0,k
λ rel,c = ⋅ bezogener Schlankheitsgrad
π E0,05
λ = lef /i Schlankheitsgrad
lef = β · s Ersatzstablänge
s Stablänge
Gl. (7.11)