Rogers Kap 1â7 1 Formale Berechenbarkeitsbegriffe

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Andernfalls ist ϕ f(x) total und gibt es ein n 0 mit Φ f(x) (0)=n 0 . In diesem Fall nimmt ϕ g(x) für alle i an derStelle i+n 0 den Wert ϕ ϕf(x) (i)(i+n 0 )+1 an. Da ϕ f(x) (i) ∈W x ⊆T R ist, ist ϕ ϕf(x) (i) total und damit ϕ g(x) anjeder Stelle definiert, also g(x) ∈T R.Wir nehmen an g(x) = z für ein z ∈W x . Wir wissen, daß ϕ f(x) (i) = z für ein i und daß ϕ ϕf(x) (i) = ϕ ztotal ist. Wir betrachten ϕ g(x) (i+n 0 ). Da g(x) = z ist, folgt ϕ g(x) (i+n 0 ) = ϕ z (i+n 0 ) = ϕ ϕf(x) (i)(i+n 0 ).Per Konstruktion ist aber ϕ g(x) (i+n 0 ) = ϕ ϕf(x) (i)(i+n 0 )+1. Da ϕ z total ist, ist dies ein Widerspruch.Damit ist g(x) ∉W x also insgesamt g(x) ∈T R − W x .Satz: A produktiv ⇒ A nicht r.a.Dies folgt unmittelbar aus der Definition.Satz: A produktiv ∧ A≤ m B ⇒ B produktivBeweis Sei f die produktive Funktion für A und A≤ m B via g. Da die Abschlußeigenschaften von r.a.Mengen effektiv sind, gibt es ein h ∈T R mit W h(x) = g −1 (W x ). Es folgtW x ⊆B ⇒ W h(x) = g −1 (W x )⊆A⇒ h(x) ∈domain(f) ∧f(h(x)) ∈A − W h(x)⇒ h(x) ∈domain(g◦f) ∧g(f(h(x))) ∈B − g(W h(x) ) = W xDamit ist g◦f◦h die produktive Funktion von B□Die Tatsache, daß sich Produktivität nach oben vererbt, erleichtert Beweise für Produktivität. Wir hättenstatt des Diagonalbeweises nur ¯K≤ m T R zeigen müssen, um zu beweisen, daß T R produktiv ist.Korollar: A kreativ ⇒ A unentscheidbarKorollar: A kreativ ∧ A≤ m B ⇒ ⇒ ¯B produktivKorollar: A m-vollständig ⇒ A kreativWarum dies Korollare sind, läßt sich mit kurzem Resümieren der bisherigen Erkenntnisse herausfinden.Satz: Jede produktive Menge hat eine unendliche rekursiv-aufzählbare TeilmengeBeweis Sei g die produktive Funktion von A. Da die Abschlußeigenschaften von r.a. Mengen effektivsind, gibt es ein f ∈T R mit W f〈i, j〉 = W i∪W j , ein h ∈T R mit W h(x) = {x}, und ein x 0 mit W x0 = ∅.Wir definieren eine Funktion k durch k(0) = x 0 und k(n+1) = f〈h(g(k(n))), k(n)〉. Dann ist k ∈T Rund W k(0 = ∅⊆A und W k(n+1) = W h(g(k(n))) ∪W k(n) = W k(n) ∪{g(k(n))}⊆A, wobei g(k(n)) ∈A − W k(n) .Damit ist die Funktion g◦k eine injektive Aufzählung einer Teilmenge von A, die r.a. und unendlich ist. □Korollar: Jede produktive Menge hat eine unendliche rekursive TeilmengeHier steht noch einiges auf Seite 91ff wozu ich nicht kommen werde. Die Beweise dauern zu lange.Satz: Jede produktive Menge hat eine total-rekursive produktive FunktionBeweis Erweiterung der obigen Methode, siehe Seite 92Definition: A ist vollständig produktiv, wenn es ein f ∈T R gibt so daß für alle x gilt f(x) ∈W x − A oderf(x) ∈A − W x A.¯K ist vollständig produktiv mit λx.xDefinition: A ist semi-produktiv, wenn es ein f ∈R gibt mit ∀x W x ⊆A ⇒ x ∈domain(f) ∧W x ⊂W f(x) ⊆A.Definition: A und B sind rekursiv trennbar, wenn es eine entscheidbare Menge C gibt mit A⊆C ∧B⊆ ¯CB sind effektiv untrennbar, wenn es ein f ∈R gibt mit(A⊆W i ∧B⊆W j ∧W i ∩W j =∅) ⇒ 〈i, j〉 ∈domain(f) ∧W f〈i, j〉 ∈ ¯Wi ∩ ¯W jSatz:1. Wenn A und B effektiv untrennbar sind, dann sind sie nicht rekursiv trennbar.2. Sind A und B effektiv untrennbar, disjunkt und r.a., dann sind beide Mengen kreativ3. Es gibt A und B, die effektiv untrennbar, disjunkte und r.a. sind.10□□
Beweis1. Übung2. Übung3. Wähle A = {i | ϕ i (i) = 0} und B = {i | ϕ i (i) = 1} ... Rest auf Seite 94 □7.3 1-Äquivalenz und Rekursive IsomorphieEs hat sich herausgestellt, daß 1-Äquivalenz und Rekursive Isomorphie (Äquivalenz unter rekursiven Bijektionen)dasselbe sind. Dieser Satz, der 1955 von Myhill gezeigt wurde, hat einen sehr technischenBeweis, den ich vorerst auslasse.Satz: A ≡ B ⇔ A ≡ 1 B7.4 ZylinderZylinder dienen dazu, die 1-Unterstruktur von m-Graden aufzufächern.Definition: A ist ein Zylinder, wenn A ≡ B×N = {〈i, j〉 | i ∈B, j ∈N}Man beachte, daß Rekursive Isomorphie anstelle von Gleichheit gewählt wurde, um rekursive Invarianzdes Begriffs zu erreichenSatz:1. A≤ 1 A×N2. A×N≤ m A3. A Zylinder ⇔ (∀B B≤ m A ⇒ B≤ 1 A)4. A≤ m B ⇔ A×N≤ 1 B×N5. A Zylinder ⇔ A×N≤ 1 A ⇔ A ≡ A×NBeweis1. A≤ 1 A×N via λx.〈x, 0〉2. A×N≤ m A via π 13. ⇒ : Sei A ≡ C×N und B≤ m A. Dann B≤ m C via f, also B≤ m C×N via λx.〈f(x), x〉, d.h. B≤ 1 A.⇐ : Sei (∀B B≤ m A ⇒ B≤ 1 A). Wegen A×N≤ m A gilt A×N≤ 1 A also A ≡ 1 A×N.Nach dem Satz von Myhill ist A ≡ A×N Zylinder.4. ⇒ : Sei A≤ m B, dann A×N≤ m A≤ m B≤ 1 B×N und mit (3) A×N≤ 1 B×N⇐ : Sei A×N≤ 1 B×N, dann A≤ 1 A×N≤ 1 B×N≤ m B5. Folgt direkt aus (1) – (4) □Eine wichtige Konsequenz aus (3) ist, daß K ein Zylinder ist (steht so nicht in <strong>Rogers</strong>), da K 1-vollständigist und aus B≤ m K folgt, daß B r.a. ist.{ A − Dx ∅̸=DSatz: A Zylinder ⇔ es gibt ein g ∈T R mit g(x) x ⊆A∈Ā − D x ∅̸=D x ⊆Ā .Beweis Analog zum Beweis des entsprechenden Lemmas für K□7.5 LogikanwendungenDieser Abschnitt diskutiert den Zusammenhang zwischen Gödel’s Unvollständigkeitstheorem und Produktivität.Er gibt eine Einführung – die eigentlichen Aussagen kommen später im Buch11
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Seite 7 und 8: 6 ReduzierbarkeitIn diesem kurzen K
Seite 9: Der obige Beweis wirft einige Frage

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