Rogers Kap 1–7 1 Formale Berechenbarkeitsbegriffe

Satz:1. ≤ 1 und ≤ m sind reflexiv und transitiv2. ≤ 1 impliziert ≤ m3. A≤ 1 B ⇒ Ā≤ ¯B 1 und A≤ m B ⇒ Ā≤ ¯B m4. A≤ m B und B entscheidbar (bzw. r.a) ⇒ A entscheidbar (bzw. r.a) und analog für ≤ 1Definition: A ≡ 1 B = A≤ 1 B ∧B≤ 1 A, A ≡ m B = A≤ m B ∧B≤ m A≡ 1 und ≡ m sind Äquivalenzrelationen, deren Klassen 1-Grade bzw. m-Grade genannt werden. Grade,die eine entscheidbare Menge enthalten, bestehen nur aus entscheidbaren Mengen und das gleiche gilt fürr.a. Mengen. Man spricht daher auch von rekursiven Graden bzw rekursiv-aufzählbarenen Graden.Für den Beweis des nächsten Theorems brauchen wir den Begriff der disjunktion Summe (join).Definition: A+B = {2x | x ∈A}∪{2x+1 | x ∈B}Aus dieser Definition ergibt sich, daß A≤ m A+B via λx.2x und B≤ m A+B via λx.2x+1 gilt. Damit istA+B in der ≤ m -Ordnung eine obere Schranke von A und B. Außerdem gilt: wenn A≤ m C via f undB≤ m C via g, dann ist A+B≤ m C via h für die Funktion h mit h(2x) = f(x) und h(2x+1) = g(x), d.h.A+B ist die kleinste obere Schranke.Satz:1. Es gibt zwei unentscheidbare Mengen, die bezüglich ≤ m und ≤ 1 unvergleichbar sind.2. A≤ m B impliziert nicht A≤ m ¯B3. m-Reduzierbarkeit ist ein Halbverband mit (eindeutigem) Supremum. Das Supremum zweier rekursivaufzählbarerGrade ist rekursiv-aufzählbar.Beweis1. Als Beispiel wähle man K und ¯K. Da ¯K nicht r.a. ist, kann ¯K≤ m K nicht gelten und nach obigemSatz (3) auch nichtK≤ m ¯K.2. Als Gegenbeispiel wähle man A = B = K3. Für eine Menge X sei d(X) der m-Grad von X. Die Grade sind partiell geordnet und für je zweiGrade d(A) und d(B) ist d(A+B) das Supremum.□7.1 1-/m-vollständige MengenDefinition: Eine Menge A⊆N ist 1-vollständig, wenn A r.a. ist und B≤ 1 A für jede r.a. Menge B gilt.Definition: Eine Menge A⊆N ist m-vollständig, wenn A r.a. ist und B≤ m A für jede r.a. Menge B gilt.Satz: H = {〈i, n〉 | n ∈W i } ist 1-vollständigBeweis H = {〈i, n〉 | ∃t.Φ i (n)≤t} ist nach dem Projektionssatz r.a. Ist B r.a., dann gibt es ein i mitB = W i und x ∈B genau dann, wenn 〈i, x〉 ∈H. Also B≤ 1 H via λx.〈i, x〉□Satz: K = {i | i ∈W i } ist 1-vollständigBeweis K ist wie H r.a. Wir zeigen H≤ 1 K. Dafür zeigen wir H≤ m K und modifizieren { dann die Reduktionsfunktion.Nach dem smn-Theorem gibt es ein f ∈T R mit ϕ f〈i, n〉 (x) = ϕi (n) konvergiert1⊥ sonstEs folgt 〈i, n〉 ∈H ⇔ f〈i, n〉 ∈K, da ϕ f〈i, n〉nicht von der Eingabe abhängt.Um f injektiv zu machen, verwenden wir eine Technik namens padding, mit der wir schrittweise größereGödelnummern derselben Funktion konstruieren. Es gibt eine Funktion t ∈T R mit ϕ t〈i, j〉 = ϕ i für allej und t ist injektiv in j. Wir konstruieren eine Funktion t ′ ∈T R durch t ′ (0)=t(0) und (für 0