1 4. Kostenminimierung vs. Outputmaximierung: ÜB 4 Aufgabe 5 5 ...

- Nicht-homogene Produktionsfunktionen können durchaus dazu führen, dass derExpansionspfad andere Verläufe annimmt. So kann sich das Faktoreinsatzverhältnismit fortschreitender Outputsteigerung durchaus ändern, die Produktion z.B.kapitalintensiver werden (bspw. durch Einsatz von Massenfertigungsbändern, wassich erst ab einem bestimmten Outputvolumen lohnt)- Durch einsetzen des Optimalitätswertes (hier: Expansionspfades), der durch denLagrange-Ansatz hergeleitet wurde, in die Produktionsfunktion erhält man diebedingten Faktornachfragen (bedingt durch das Produktionsniveau und den relativenPreis)- Dabei wird die dritte Optimalitätsbedingung, die die NB berücksichtigt ignoriert(Präsi F. 4/5)• Wir suchen nämlich nicht den einen Minimalkostenpunkt „a“ wie in der HHT denopt. Konsumpunkt• In der HHT sind wir von einem Zielnutzen oder beschränkten Budget ausgegangen• In der Produktionstheorie wird weder ein Ziel-Produktionsniveau vorgegeben nochdie Kosten beschränkt.• Im Gegenteil: Man sucht nach dem optimalen Weg die Produktion bei möglichstgeringen Kosten auszudehnen- Die langfristige Kostenfunktion Z* ergibt sich dann durch einsetzen der bedingtenFaktornachfragen in die Kostenrestriktion5. Welche Menge wird von den Unternehmen angeboten? Gewinnmaximierung amBeispiel ÜB 5 Aufgabe 4/5/6‣ Ermitteln Sie zu folgender Produktionsfunktion die Menge, die ein gewinnmaximierendesUnternehmen bereitstellt und berechnen sie die unbedingtenFaktornachfragen- Die Produktionsfunktion sei gegeben durch:3 12 2(40 / 54) YLK ( , ) = LK- Der Gewinn wird üblicher Weise durch eine Gewinnfunktion der Form:Gewinn = Erlös – Kosten beschrieben es gilt also:(55) Π= PY ( K, L) −pKK−pLL- Die Produktionsfkt. kann in Beziehung (55) eingesetzt werden.3 12 2(56) Π= PL K −pKK−pLL- Da sich die Unternehmen rational verhalten und zudem auf einem vollkommenenMarkt befinden, können die Unternehmen ihren Profit nur über die Menge Ymaximieren. Diese wird wiederum durch den Faktoreinsatz von K und L bestimmt- Die Profitfunktion wird also hinsichtlich der beiden Einsatzfaktoren optimiert, d.h.wir müssen sie nach K und L ableiten:3 1 3 1∂Π 1 −1−2 2 2 2(57) = PL K − pK= 0 ⇒ (57a) pK= PL K∂K2 21 1 1 1∂Π 3 32 2 2 2(58) = PL K − pL= 0 ⇒ (58a) pL= PL K∂L2 22

- Eine Optimalitätsbedingung ist also, dass das Wertgrenzprodukt (Absatzpreis*MPL)dem Faktorpreis entspricht- Außerdem können wir durch Division von (58a) und (57a) die bereits bekannteOptimalitätsbedingung:1 132 2PL K(58a) pL 2 P∂Y / ∂L WGPL ∂Y / ∂L MPL= = = = GRtS = = =3 1(57a) pK 1P Y / K WGP /2 2KY K MPKPL K − ∂ ∂ ∂ ∂2für die kostenminimale Produktion wieder finden: rel. Faktorpreis = GRtS- Da beide Optimalbedingungen beachtet werden müssen lösen wir Beziehung (57a)nach K auf und setzten in (58a) ein. Dabei erhalten wir die unbedingteFaktornachfrage nach der Arbeit3 11−2 2(57a) pK= PL K231 1−2K 2 K2KK3 3 12p2 2 2K⇒ (59)2 p= ⇒2p =1⇒PL=PL PL K32⎛ ⎞22 3PL P L(59) K =⎜ ⎟=22p⎜ K ⎟ 4pK⎝ ⎠- Jetzt einsetzen von (59) in (58a)3PL(58a) pL= PL K ∩ (59) K =2 41 1 2 32 22pK11 2 3 21 32 2⎛PL⎞2 2 2 −1 −1PL⎜ 2 ⎟K⎝ pK⎠pK2 22 ppL KL2pKP3 3 3(60) pL= PL = PL PL 2 p =2 4 2 4(60) pL3PL4= ⇒ =4 3* 4 pLpK(60) L =23P• unbedingte Nachfrage nach Arbeit; gibt an: Welche optimale alsoprofitmaximierende Menge an Arbeit bei gegebenen Preisniveau undFaktorpreisen nachgefragt wird!• die bedingte Nachfrage hingegen gibt die Substitutionseffekte bei gegebenenOutput Y zwischen Arbeit und Kapital an, wenn sich relative Preise ändern3

- L* (60) wird nun wiederum in (59) eingesetzt um die unbedingte Nachfrage nachKapital K* zu erhalten4 ppPL2 3*L K(60) L = ∩ (59) K =2 23P4pK322 ⎛4pLpK⎞ 3 3 3 3P−⎜ 2 ⎟ 2 2 2 2 2 −33 3 3 3* 3P4 P pLpK3P−2 2 2 2 2 −3 −1 −2(61) K =⎝ ⎠= = 4 P p 3 42 2LpK P pK4pK4pK31 3 1 3− −2* 2 −12 p2 2 2 L(61) K = 4 P pLpK3 =3 12 23 PpK32* 2 ⎛ pL⎞(61) K =1 ⎜ ⎟32 ⎝ ⎠PpK• der optimale Output würde sich durch einsetzen der unbedingten Nachfragen(60) und (61) in die Produktionsfunktion ergeben‣ Bestimmten Sie mit den Ergebnissen aus den letzten Aufgaben die opt. Profitfunktion- Die opt. Profitfunktion lautet:* * * * *(55) Π = PY( KL , ) − pKK− pLL• P* hätte sich ergeben, wenn man die partielle Ableitung der Profitfunktion nachdem Absatzpreis berücksichtigt hätte- Setzt man die optimalen Werte32* 2 ⎛ pL⎞(61) K =1 ⎜ ⎟32 ⎝ ⎠Pp* pLpK(60) L =23P- ein, so erhält man:K4

*3 12 2(56) Π= PL K −p K−pL(61) K*(60) L =(62)2 ⎛ pL⎞= ⎜ ⎟⎝ 3 ⎠Pp12KpLp3PK2K32L13⎛3⎞23⎛ 2 2 2* * pLp ⎞K2 ⎛ pL ⎞ 2 ⎛ pL ⎞ pLpKΠ = P ⎜ ⎟⎜p2 1 Kp1L 23P⎟− −⎜ ⎟3 ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜3 3P2⎝ ⎠2⎝ ⎠Pp ⎟KPpK⎝‣ Verifizieren Sie Hotteling’s Lemma mit den Ergebnissen der letzten Aufgabe und mitHilfe des Enveolope Theorems- Hotteling’s Lemma ist eine weiterer Spezialfall des Envelope-Theorems, d.h.insbesondere, dass nur die direkten Effekte entscheidend sind- Es besagt, dass sich der Profit eines Unternehmens (unter hier gegebenenAnnahmen; vollständiger Markt, Mengenanpasserverhalten erhöht, wenn sich derAbsatzpreis P erhöht oder aber der Profit wird geringer, wenn die Faktorpreisesteigen- In diesem Modell entsprich daher, die Veränderung des optimalen Profits, z.B.abhängig von einer Preisänderung des Faktors Arbeit lediglich der unbedingtenFaktornachfrage nach Arbeit usw.- Es reicht also die allgemeine Form der opt. Ausgabenfunktion zu betrachten:⎠(55) Π = PY( KL , ) − pK − pL(63)(64)(65)* * * * *K L*∂Π* =∂P*∂Π = −∂pK**∂Π = −*L∂pLYK*5