Teil I: Deskriptive Statistik

Teil I: Deskriptive Statistik
2 Grundbegriffe
2.1 Merkmal und Stichprobe
2.2 Skalenniveau von Merkmalen
2.3 Geordnete Stichproben und Ränge
2.1 Merkmal und Stichprobe
An (geeignet ausgewählten)
Untersuchungseinheiten (Beobachtungsein–
heiten, Merkmalsträger)
werden Werte eines oder mehrerer Merkmale
festgestellt.
Merkmal (Variable) ist die zu untersuchende
Größe einer Untersuchungseinheit.
StatSoz 25

Merkmalsausprägungen sind die möglichen
Werte, die von einem Merkmal angenommen
werden können.
Tabelle 2–1 Merkmale und ihre Ausprägungen
Einheit Merkmal Ausprägung
Person Geschlecht weiblich, männlich
Berufsstatus Arbeiter, Beamter,...
Alter in Jahren 1, 2, 3, . . .
Lebensraum ländl. Region, Stadt
Haushalt Anzahl der Personen 1, 2, 3 . . .
Realeinkommen Beträge in e
Grundgesamtheit (Kollektiv, Population):
Menge aller potentiellen Untersuchungseinheiten
für eine bestimmte Fragestellung.
Vollerhebung: Alle Merkmalsträger einer
Grundgesamtheit werden in die Untersuchung
einbezogen.
StatSoz 26

Stichprobe: Endliche Teilmenge einer Grundgesamtheit.
Hat diese Menge n Elemente, so
spricht man von einer Stichprobe vom Umfang
n (sample of size n).
Daten, Beobachtungen: konkrete Werte der
Merkmalsausprägungen einer Stichprobe.
Beispiel:
Grundgesamtheit: Haushalte einer Stadt
Merkmal: Anzahl der Haushaltsmitglieder
Stichprobe vom Umfang 5: H1, H2, H3, H4, H5
Daten: 4, 5, 6, 6, 4
Bemerkung: Die Begriffe Stichprobe und Daten
werden auch häufig synonym verwendet (so auch
im Folgenden).
Es gibt verschiedene Merkmalstypen:
StatSoz 27

• Ein qualitatives (artmäßig erfassbares)
Merkmal hat nur endlich viele Ausprägungen,
die Namen oder Kategorien sind. Qualitative
Merkmale werden auch als kategoriale
Merkmale bezeichnet. Beispiele:
– Familienstand: ledig - verheiratet - eheähnliche
Partnerschaft - geschieden - verwitwet
– Schulabschluss: kein Schulabschluss -
Hauptschulabschluss - mittlere Reife - Fachhochschulreife
- Abitur
• Ein quantitatives (in natürlicher Weise zahlenmäßig
erfassbares) Merkmal liegt vor,
wenn seine Ausprägungen eine Größe wiedergeben.
Beispiele:
– Einwohnerzahl
– Intelligenzquotient
– Zeitmessung
StatSoz 28

Eine andere Unterscheidung ist in diskrete und
stetige Merkmale.
• Diskretes Merkmal (discrete variable): Ein
solches Merkmal kann nur endlich viele oder
höchstens abzählbar unendlich viele Ausprägungen
annehmen (häufig ganzzahlig, also
0, 1, 2, ...). Qualitative Merkmale sind immer
diskret. Quantitative Merkmale sind dann diskret,
wenn ihre Merkmalsausprägungen durch
einen Zählvorgang ermittelt werden (sogenannte
Zähldaten).
Beispiele für Zähldaten:
– Anzahl der Einwohner
– Anzahl der Mitglieder eines Haushaltes
– Anzahl der Pendler einer Region
– Anzahl der Geburten eines Jahres in einem
Land
StatSoz 29

• Stetiges Merkmal (continuous variable): Die
Ausprägungen können (wenigstens dem Prinzip
nach) beliebige Werte aus einem Intervall
annehmen, alle Werte aus einem Intervall sind
also denkbar. Die Ausprägungen werden in der
Regel durch einen Messvorgang ermittelt, sogenannte
Messdaten.
Beispiele:
– Längenmessung
– Zeitmessung
Zusammenfassung:
Merkmal diskret stetig
qualitativ ja nein
quantitativ ja ja
(Zähldaten) (Messdaten)
StatSoz 30

Bemerkung: Stetige Merkmale können nur diskret
beobachtet werden (Messgenauigkeit), Angaben
z. B. auf zwei Dezimalstellen hinter
dem Komma genau (Rundungen). In der Praxis
ist die Unterscheidung diskret/stetig vielfach
willkürlich.
2.2 Skalenniveau von Merkmalen
Für statistische Analysen ist die Einteilung in
qualitative und quantitative Merkmale zu grob.
Von entscheidender Bedeutung für die
– Interpretation von Daten und
– Eignung statistischer Verfahren
ist es, wie bzw. nach welchen Kriterien die Merkmalsausprägungen
gemessen und geordnet werden
können.
StatSoz 31

Grundsätzlich erfolgt die Messung der Merkmalswerte
mit Hilfe einer Skala (Messvorschrift).
Skala: Anordnung von Zahlen, denen die Merkmalsausprägungen
eindeutig zugordnet werden.
Skalenwerte: Zahlenwerte, die auf einer Skala
Berücksichtigung finden. Man spricht in diesem
Zusammenhang auch von Skalierung.
Das Skalenniveau gibt an
1. welche Vergleichsaussagen und welche rechnerischen
Operationen für die Skalenwerte
sinnvoll und somit zulässig sind
2. welche Transformationen von Skalenwerten
die Messung erhalten (sogenannte zulässige
Transformationen).
StatSoz 32

Die verschiedenen Skalenniveaus (Übersicht):
Qualitative Merkmale
Nominalskala Ordinalskala
Quantitative Merkmale
Metrische Skala
Intervallskala Verhältnisskala
StatSoz 33

Nominalskala (Skala mit dem niedrigsten Niveau)
Charakteristika:
– keine natürliche Rangordnung der Skalenwerte
– Zuordnung von Zahlen ist lediglich eine Kodierung
der Merkmalsausprägungen
– Anordnung hat keine inhaltliche Bedeutung
Vergleichsaussagen: gleich (=), ungleich (�=)
Rechnerische Operationen: Häufigkeiten
Zulässige Transformationen: bijektive (eineindeutige)
Abbildungen (siehe Aufgabe 3, Blatt
1)
StatSoz 34

Tabelle 2–2 Nominale Merkmale und Kodierungen
Merkmal Merkmalsausprägungen Kodierung
Familienstand ledig 1
verheiratet 2
geschieden 3
verwitwet 4
eheähnliche Partnerschaft 5
Erwerbsstatus Selbstständige 1
Beamte 2
Angestellte 3
Arbeiter 4
Rentner 5
Arbeitslose 6
Sozialhilfeempfänger 7
Geschlecht männlich 0
weiblich 1
Spezialfall nominalskalierter Merkmale sind
binäre Merkmale (dichotome Merkmale):
Merkmale mit nur zwei Ausprägungen (häufig
0/1–kodiert).
StatSoz 35

Ordinalskala (Rangskala)
Charakteristika:
Die Merkmalsausprägungen sind Kategorien, bei
denen eine natürliche Rangordnung aufgrund
ihrer Größe bzw. Intensität gegeben ist.
Vergleichsaussagen: gleich (=), ungleich (�=)
sowie kleiner ()
Rechnerische Operationen: Häufigkeiten,
Ränge
Zulässige Transformationen: streng monotone
(ordnungserhaltende) Abbildungen (siehe Aufgabe
3, Blatt 1)
StatSoz 36

Tabelle 2–3 Beispiele für ordinalskalierte Merkmale
Merkmal Merkmalsausprägungen Skala
politisches sehr stark 1
Interesse stark 2
mittel 3
wenig 4
überhaupt nicht 5
Meinung Ablehnung −1 (1)
neutral 0 (2)
Zustimmung 1 (3)
Beachte: Bei nominal– und ordinalskalierten
Merkmalen haben Abstände (Differenzen) und
Verhältnisse (Quotienten) von Skalenwerten
keine inhaltliche Bedeutung, sind also nicht
vergleichbar.
StatSoz 37

Bei quantitativen Merkmalen verwendet man eine
metrische Skala. Hier liegt Messbarkeit im
engeren Sinne vor, wobei Skalenwerte im Allgemeinen
eine Dimension haben (Minute, km,
km 2 , e, usw.).
Charakteristika:
– Abstände zwischen Skalenwerten sind interpretierbar
– natürliche Rangordnung durch die Größe der
Merkmalswerte
Bei der metrischen Skala wird zwischen Intervall–
und Verhältnisskala unterschieden.
StatSoz 38

Intervallskala (Differenzenskala)
Charakteristika:
Bezugspunkt dieser Skala (Nullpunkt, Durchschnittswert)
ist willkürlich festgelegt. Konsequenz:
Vergleich von Differenzen ist sinnvoll,
nicht aber von Quotienten.
Vergleichsaussagen: gleich (=), ungleich (�=)
sowie kleiner ()
Rechnerische Operationen: Häufigkeiten,
Ränge, Subtraktionen
Zulässige Transformationen: lineare Abbildungen
(siehe Aufgabe 3, Blatt 1)
Beispiele intervallskalierter Merkmale:
– Intelligenzquotient (Wechsler–Skala)
– Jahreszahlen
StatSoz 39

Verhältnisskala (Ratioskala)
Charakteristika:
Natürlicher (absoluter) Nullpunkt ist gegeben,
Vergleich von Verhältnissen (Quotienten) ist
daher sinnvoll. Gleiche Quotienten drücken einen
gleich großen Unterschied aus.
Vergleichsaussagen: gleich (=), ungleich (�=)
sowie kleiner ()
Rechnerische Operationen: Häufigkeiten,
Ränge, Subtraktionen, Divisionen
Zulässige Transformationen: lineare homogene
Abbildungen (siehe Aufgabe 3, Blatt 1)
Beispiele verhältnisskalierter Merkmale:
– Alter in Jahren
– Einkommen in e
– Entfernung in km
StatSoz 40

Die verschiedenen Skalenniveaus stellen eine
Hierachie dar:
Tabelle 2–4 Sinnvoll interpretierbare Berechnungen
Skala zählen ordnen subtrahieren dividieren
Nominal ja nein nein nein
Ordinal ja ja nein nein
Intervall ja ja ja nein
Verhältnis ja ja ja ja
Bemerkung: Statistische Methoden, die für ein
niedriges Skalenniveau geeignet sind, können
auch für ein höheres Skalenniveau verwendet
werden (zählen und ordnen ist stets für metrische
Merkmale durchführbar). Die Umkehrung
gilt nicht! Für metrische Merkmale kann etwa
der Durchschnittswert (arithmetisches Mittel)
berechnet werden, was für ordinal– und nominalskalierte
Merkmale im Allgemeinen völlig
sinnlos ist.
StatSoz 41

Skalentransformationen
Für die statistische Analyse kann es sinnvoll sein,
metrische Daten so zu transformieren, dass ihre
Ausprägungen ordinalskaliert sind, auch wenn
solche Transformationen immer mit einem gewissen
Informationsverlust verbunden sind (denn
aus der Kenntnis der transformierten Werte
können die ursprünglichen Werte nicht mehr
zurückgewonnen werden).
Die wichtigsten Transformationen sind der Übergang
zu
– Kategorien, Klassen (Klassenbildung ,,von
... bis”, ,,Klassierung der Daten”)
– Rängen (Daten werden der Größe nach geordnet,
der kleinste Wert erhält Rang 1, der
zweitkleinste Wert Rang 2, usw.)
StatSoz 42

Beispiel: (i) Klassierung von Daten
Tabelle 2–5 Einkommensklassen (monatl. Einkommen)
von bis unter Skala
1 2400 1
2400 4800 2
4800 7200 3
7200 9600 4
9600 12000 5
12000 16000 6
16000 20000 7
20000 25000 8
25000 36000 9
36000 50000 10
50000 75000 11
75000 100000 12
100000 und mehr 13
StatSoz 43

(ii) Rangbildung
Es wurden 12 Haushalte nach ihrem verfügbaren
Einkommen (in e) befragt:
Tabelle 2–6 Einkommens–Daten
Haushalt Nr. Einkommen
1 1240
2 1700
3 2040
4 1990
5 1240
6 1350
7 1060
8 920
9 1620
10 1480
11 1120
12 1780
StatSoz 44

Tabelle 2–7 Ränge der Einkommens–Daten
Durchschnittsrang
Einkommen Rang
geordnet
920 1
1060 2
1120 3
1240 4.5
1240 4.5
1350 6
1480 7
1620 8
1700 9
1780 10
1990 11
2040 12
Der Beobachtungswert 1240 kommt zweimal
vor. Es sind die Ränge 4 und 5 zu vergeben.
Man bildet den Durchschnittsrang:
Rang(1240) =
4 + 5
2
= 4.5
StatSoz 45

2.3 Geordnete Stichproben und Ränge
Gegeben seien Daten
Bezeichne
x1, x2, . . . , xn
x (1) die kleinste der n Zahlen x1, . . . , xn
x (2) die zweitkleinste der n Zahlen x1, . . . , xn
.
x (n) die größte der n Zahlen x1, . . . , xn
x (k) heißt k–te Ordnungsgröße. Per Definition
gilt stets
x (1) ≤ x (2) ≤ . . . ≤ x (n)
x (1), . . . , x (n) heißt geordnete Stichprobe.
StatSoz 46

Tabelle 2–8 Einkommens–Daten, geordnet
i xi x (i)
1 1240 920
2 1700 1060
3 2040 1120
4 1990 1240
5 1240 1240
6 1350 1350
7 1060 1480
8 920 1620
9 1620 1700
10 1480 1780
11 1120 1990
12 1780 2040
Der Rang einer Zahl xi innerhalb einer Stichprobe
gibt an, die wie–vielt–kleinste Zahl sie ist.
Um den Rang einer Beobachtung zu bestimmen
ist es sinnvoll, die Daten der Größe nach zu
ordnen.
Formaler versteht man unter einem Rang folgendes:
StatSoz 47

1. Fall: Der Beobachtungswert xi kommt in der
Stichprobe nur einmal vor. Dann ist der Rang
von xi gleich 1 plus Anzahl der Beobachtungen
die kleiner als xi sind:
Rang(xi) = 1 + Anzahl der xj mit xj < xi
2. Fall: Der Beobachtungswert xi kommt in der
Stichprobe k–mal vor, k ≥ 2 (man spricht von
einer Bindung der Länge k). Dann hat man für
diese k gleichen Beobachtungswerte die Ränge
zu vergeben, wobei
ri, ri + 1, . . . , ri + (k − 1)
ri = 1 + Anzahl der xj mit xj < xi
Käme der Beobachtungswert xi nur einmal vor,
so wäre die Zahl ri der Rang von xi.
StatSoz 48

Diese k gleichen Beobachtungswerte bekommen
alle den gleichen Rang, den Durchschnittsrang.
Dieser ist definiert als das arithmetische Mittel
der zu vergebenden Ränge:
Rang(xi)
= ri + (ri + 1) + . . . + [ri + (k − 1)]
k
(2.1)
Formel (2.1) lässt sich vereinfachen (Aufgabe 5,
Blatt 1).
Beachte: Die Rang–Transformation
xi → Rang(xi)
einer Beobachtung xi ist immer nur in Bezug auf
die Daten x1, . . . , xn festgelegt! (Vgl. Aufgabe
6, Blatt 1)
StatSoz 49