Die Sätze von de Rham und Dolbeault

D.I. DaisDie Sätze von de Rham und Dolbeault(Aufzeichnungen aus der Vorlesung “Algebraische Geometrie II”,Mathematische Fakultät, Universität Tübingen, SS 1998)

1 Tensorprodukt, äußeres Produkt und direkter Limes• Wir werden hauptsächlich innerhalb der Kategorie Mod R der R-Moduln arbeiten. Der Einfachheithalber werden wir von nun an voraussetzen, daß R stets ein kommutativer Ring mit 1 ist.Definition 1.1 (Universelle Bedingung) Seien L, M und N drei R-Moduln und Φ : L × M −→ Neine R-bilineare Abbildung. Das Paar (N,Φ) genügt der universellen Bedingung, wenn es für jedesPaar (P, τ) bestehend aus einem R-Modul P und einer R-bilinearen Abbildung τ : L × M −→ P eineneindeutig bestimmten R-Homomorphismus (R-lineare Abbildung) τ : N −→ P gibt, so daß das folgendeDiagramm kommutativ ist.L × MΦ−→τ &N↓ τP(Mit anderen Worten: (N,Φ) “linearisiert” alle R-bilinearen Abbildungen τ : L × M −→ P ).Proposition 1.2 (Konstruktion des Tensorprodukts) Seien L, M zwei R-Moduln. Dann gibt esimmer einen R-Modul N und eine R-bilineare Abbildung Φ : L × M −→ N, sodaßdasPaar(N,Φ) deruniversellen Bedingung genügt. Außerdem ist dieses Paar bis auf Isomorphismus eindeutig bestimmt.(Das heißt, daß es für jedes weitere Paar (N 0 , Φ 0 ), das der universellen Bedingung genügt, einen Modulisomorphismusu : N −→ N 0 gibt mit u ◦ Φ = Φ 0 ). N wird das Tensorprodukt von L und M genanntund wird mit N = L ⊗ R M bezeichnet. (l ⊗ R m := Φ (l, m)).Beweisidee. Sei FR(L × M) = L (l,m)∈L×M R (l,m), (R (l,m)∼ = R), der von L × M erzeugte freie R-Modulund Q der Untermodul von FR(L × M), der von allen Elementen von FR(L × M) erzeugt wird, die dieForm⎧⎨ (l, m + m 0 ) − (l, m) − (l, m 0 ) oder (l, rm) − r (l, m) ,r∈ R oder⎩(l + l 0 ,m) − (l, m) − (l 0 ,m) oder (rl, m) − r (l, m) ,r∈ R haben.Definiere N := FR(L × M) /Q und als Φ : L × M −→ FR(L × M) /Q die kanonische Projektion. Dieuniverselle Bedingung und die Eindeutigkeit für das Paar (N,Φ) sind dann leicht nachzuweisen. ¤Proposition 1.3 (Wichtige Eigenschaften des Tensorproduktes) Man hat folgende Modulisomorphismen:(i) M ⊗ R R ∼ = M, M ⊗ R M 0 ∼ = M 0 ⊗ R M,(ii) (M ⊗ R M 0 ) ⊗ R M 00 ∼ = M ⊗ R (M 0 ⊗ R M 00 ) ,(iii) (M ⊕ M 0 ) ⊗ R N ∼ = (M ⊗ R N) ⊕ (M 0 ⊗ R N) .Beweis. Übungsaufgabe. ¤Proposition 1.4 (Tensorprodukt von Homomorphismen) Sind f : M −→ M 0 und g : N −→ N 0Modulhomomorphismen, so wird durchM × N 3 (m, n) 7−→ f (m) ⊗ R g (n) ∈ M 0 ⊗ R N 0eine bilineare Abbildung definiert, die einen Modulhomomorphismus induziert:(Er wird das Tensorprodukt von f und g genannt).f ⊗ R g : M ⊗ R N −→ M 0 ⊗ R N 0 .Beweis. Übungsaufgabe. ¤1

Definition 1.5 (Tensoralgebra) Sei R ein nicht trivialer Ring und M ein freier R-Modul. Sei⎧R, falls p =0⎪⎨Ten p (M) :=Ten p (M; R) :=M ⊗ R M ⊗ R ···⊗ R M ⊗ R M, falls p ∈ Z⎪⎩ | {z }>0p-malDie direkte SummeTen ∗ (M) := M p≥0Ten p (M)ist mittels einer geeigneten MultiplikationTen p (M) × Ten q (M) 3 (x, y) 7−→ (x ⊗ y) ∈ Ten p+q (M)eine R-Algebra, die sog. Tensoralgebra von M.Definition 1.6 (Äußeres Produkt und äußere Algebra) Seien R ein nicht trivialer Ring und Mein endlich erzeugter R-Modul. Definiere den Untermodul Q p (M) ⊂ Ten p (M),⎧⎫⎪⎨pO⎪⎬Q p Modul erzeugt von allen Tensoren der Form x(M) :=i ∈ Ten p (M) ,i=1⎪⎩⎪⎭ ,für welche gilt: x i = x j , für gewisse i, j ∈ {1,... ,p} ,i6= jund Vp M := Ten p (M) /Q p (M). Ist p : Ten p (M) ³ Vp M die Restklassenabbildung, so bezeichnetNman das Bild vonp x i unter p miti=1µV p pNi=1 x i := p x ii=1Es gilt Rang R ( Vp M)= ¡ Rang R¢(M)p , undV ∗M := M p≥0V pMist eine R-Unteralgebra von Ten ∗ (M), die sog. äußere Algebra oder Grassmannsche Algebra von M.Proposition 1.7 (Eigenschaften des äußeren Produktes) Seien R ein nicht trivialer Ring, M einendlich erzeugter R-Modul, p ≥ 1, und(m 1 ,... ,m p ) ∈ M p . Dann gilt folgendes:(i) Für i ∈ {1,... ,p} ,r ∈ R, m 0 i ∈ M,m 1V ···V (mi + rm 0 i) V ···V m p = m 1V ···VmiV ···Vmp + r (m 1V ···V m0iV ···Vmp ) .(ii) V pi=1 m i =0, falls m i = m j , für gewisse i, j ∈ {1,... ,p} ,i6= j.(iii) V pi=1 m s(i) = sign(s) · Vpi=1 m i,wobeis ∈ S p .(iv) V pi=1 m Vi = m 1 ···V ³ m i + P Vj6=i r jm j´···Vmp , falls r j ’s ∈ R.(v) V pi=1 m i =0, falls m k = P i6=k r im i und r i ’s ∈ R.2

Definition 1.8 (Gerichtete Mengen) Eine Menge A heißt teilweise geordnet, wenn für gewisse Paare(α, β) ihrer Elemente eine Beziehung α ≤ β erklärt ist, so daß gilt:(i) Für alle α ∈ A ist α ≤ α.(ii) Aus α ≤ β und β ≤ γ folgt α ≤ γ.Eine teilweise geordnete Menge A heißt gerichtet, wennzujezweiElementeα, β ∈ A ein γ ∈ A existiertmit α ≤ γ und β ≤ γ.Definition 1.9 (Direktes System) Ein direktes System © G α ,αª β von abelschen Gruppen über einergerichteten Menge A besteht aus einer Familie {G α ; α ∈ A} von abelschen Gruppen und aus einer Funktionα 7−→ G α ,diejedemα eine abelsche Gruppe G α und jedem Paar (α, β) vonElementenausA mitα ≤ β einen Homomorphismus β α : G α −→ G β zuordnet, so daß gilt:(i) α α = Id Gα für jedes α ∈ A.(ii) Für α ≤ β ≤ γ ist γ β ◦ β α = γ α.In ähnlicher Weise definiert man direkte Systeme © R α , β αªvon Ringen,©Mα , β αªvon Rα -Moduln etc.Definition 1.10 (Direkter Limes) Sei © G α ,αª β ein direktes System von abelschen Gruppen. In derVereinigungS G α erklären wir eine Äquivalenzrelation “∼”: G α 3 g α ∼ g β ∈ G β genau dann, wennα∈Aes ein γ ∈ A gibt mit α ≤ γ, β ≤ γ, und γ α (g α )= γ β (g β). Istg α ∈ G α , so bezeichne [g α ] die zugehörigeÄquivalenzklasse. Sind [g α ], [g β ] zwei Äquivalenzklassen, so gibt es ein γ ∈ A mit α ≤ γ, β ≤ γ. Durchhi[g α ]+[g β ]:= γ α (g α )+ γ β (g β) , − [g α ]:=[−g α ] ,erhältµ SG := limG α := G α −→α∈A/ ∼ (1.1)die Struktur einer abelschen Gruppe. (Das Nullelement 0 G wird durch das Nullelement 0 α einer jedenabelschen Gruppe G α repräsentiert). G heißt der direkte Limes des direkten Systems © G α ,αª β .Ordnetmanfüreinfestesα ∈ A jedem g α ∈ G α die Äquivalenzklasse [g α ] ∈ G zu, so erhält man einenHomomorphismusFür α ≤ β gilt offensichtlich β ◦ β α = α .G α 3 g α α7−→ [gα ] ∈ G (1.2)• Ist © M α ,αª β das direkte System von Rα -Moduln, so kann man M := lim M α in entsprechender Weise−→mit der Struktur eines R-Moduls versehen, wobei R := limR α .−→• Morphismen Υ : © ©M α ,αª β −→ Nα ,rαª β zwischen direkten Systemen von Rα -Moduln über einergerichteten Menge A sind kanonisch definierbar: Sie bestehen aus Familien (Υ α : M α −→ N α ) α∈AvonModulhomomorphismen, für welche die folgenden Diagramme (mit α ≤ β) kommutativsind.M αΥ α−→Nα β ↓ © ↓ α rαβΥ β−→ NβM β3

Proposition 1.11 Seien © ©M α ,αª β , Nα ,rαª β zwei direkte Systeme von Rα -Moduln über einer gerichtetenMenge A. Dann gibt es Isomorphismenlim (M α ⊕ N α ) ∼ ³ ³= limM −→ −→ α´⊕ limN −→ α´undlim (M α ⊗ Rα N α ) ∼ ³= limM −→ −→ α´⊗ lim−→R α³limN −→ α´Beweis. Übungsaufgabe. ¤2 Grundbegriffe aus der homologischen AlgebraDefinition 2.1 Eine Sequenz von R-Moduln und Modulhomomorphismen··· −→ fi−2 f i−1 f i f i+1 f i+2M i−1 −→ Mi −→ Mi+1 −→ Mi+2 −→ ···heißt exakt, wennBild(f i )=Kern(f i+1 ), für alle i. Insbesondere gilt dann f i+1 ◦ f i =0. Eine exakteSequenz der Form0 −→ M 0 f−→ M −→ gM 00 −→ 0heißt kurzeexakteSequenz.(Offensichtlich ist dann f injektiv und g surjektiv).Beispiel. Ist f : M → N ein Modulhomomorphismus, so lieferteine kurze exakte Sequenz.Proposition 2.2 Es sei M 0folgende Sequenz exakt:0 −→ Kern (f) → M f−→ N ³ Kokern (f) −→ 0f−→ M(Für α ∈ Hom(M,N), ist f ∗ (α) :=α ◦ f).g−→ M 00 −→ 0 eine exakte Sequenz. Für jeden Modul N ist dann0 −→ Hom (M 00 ,N) −→ g∗Hom (M,N) −→ f ∗Hom (M 0 ,N)Beweis. Übungsaufgabe. ¤Warnung. Betrachte die exakte Sequenz von Z-Moduln 0 −→ 2Z i→ Z. Dannisti ∗ : Hom (Z, Z) −→ Hom (2Z, Z) , i ∗ (α) =α | 2Z ,nicht surjektiv, denn für α ∈ Hom(Z, Z) ist α (2) immer gerade. Hom(2Z, Z) enthält aber z.B. den durchα (2) = 1 definierten Homomorphismus. Also Hom(Z, Z) −→ Hom(2Z, Z) −→ 0 ist nicht exakt!Proposition 2.3 Es sei 0 −→ M 0folgende Sequenz exakt:f−→ M(Für α ∈ Hom(N,M 0 ), ist f ∗ (α) :=f ◦ α).g−→ M 00 eine exakte Sequenz. Für jeden Modul N ist dann0 −→ Hom (N,M 0 ) f ∗−→ Hom (N,M) g ∗−→ Hom (N,M 00 )Beweis. Übungsaufgabe. ¤4

Proposition 2.4 Es sei M 0folgende Sequenz exakt:f−→ Mg−→ M 00 −→ 0 eine exakte Sequenz. Für jeden R-Modul N ist dannM 0 ⊗ R N f⊗Id−→ M ⊗ R N g⊗Id−→ M 00 ⊗ R N −→ 0Beweis. Übungsaufgabe. ¤Proposition 2.5 Es sei 0 −→ M 0 f−→ M −→ gM 00 −→ 0 eine kurze exakte Sequenz. Für jeden freienModul N ist dann auch die ganze Sequenz 0 −→ M 0 ⊗ R N f⊗Id−→ M ⊗ R N g⊗Id−→ M 00 ⊗ R N −→ 0 exakt.Beweis. Übungsaufgabe. ¤Proposition 2.6 Sind © ªM α , β Υ © ª oα −→ Nα ,rαβ Ψ−→nQ α ,θ β αR α -Moduln über einer gerichteten Menge A derart, daßeine exakte Sequenz für alle α ∈ A ist, so istΥ0 −→ Mα Ψα −→αNα −→ Qα −→ 0Morphismen von direkten Systemen vonebenfalls exakt.0 −→ lim−→M αeΥ−→ lim−→N αeΨ−→ lim−→Q α −→ 0Beweis. Übungsaufgabe. ¤Definition 2.7 Sei M ein R-Modul, wobei R einen nullteilerfreien Hauptidealring bezeichnet.kurze exakte Sequenz der FormEine0 −→ N i−→ Fheißt freie Auflösung von M, wennF ein freier R-Modul ist.p−→ M −→ 0 (2.1)Definition 2.8 (Torsionsprodukt) Zu jedem solchen R-Modul M existieren immer freie Auflösungen(2.1). (Betrachte z.B. als F = {ϕ : M → R | ϕ (m) 6= 0, nur für endlich viele m ∈ M} den freien, vonM erzeugten Modul über R, und p (ϕ) = P mϕ (m) m, N = Kern(p)). Zu einer freien Auflösung (2.1)und zu einem weiteren M 0 betrachte die exakte SequenzN ⊗ R M 0 i⊗Id−→ F ⊗ R M 0 p⊗Id−→ M ⊗ R M 0 −→ 0Man definiert das Torsionsprodukt von M und M 0 als den KernTor (M,M 0 ):=Kern (i ⊗ Id : N ⊗ R M 0 −→ F ⊗ R M 0 )Es kann gezeigt werden, daß bis auf Modulisomorphismus diese Definition nicht von einer bestimmtenWahl von (2.1) abhängt.Beispiele. (i) Ist M ein freier R-Modul, so gilt Tor(M,M 0 )=0nach Prop. 2.5. (Das gleiche gilt wennM torsionsfrei ist).(ii) Tor(Z n , Z m ) ∼ = Z ggT(n,m) .(Betrachte0 −→ Z −→ iZ −→ pZ n −→ 0, i(x) =nx).(iii) Tor(M ⊕ Q, M 0 ) ∼ = Tor(M,M 0 ) ⊕ Tor(Q, M 0 ) .• Nun werden gewisse Standard-Tricks der homologischen Algebra erwähnt, die mit exakten Sequenzenzu tun haben, und die mit Hilfe von “Diagramm-Jagden” zu realisieren sind.5

Proposition 2.9 In folgendem kommutativen Diagramm seien die beiden Zeilen exakt. Es seien zweider senkrechten Pfeile Isomorphismen. Dann gilt das auch für den dritten.0 −→ M 1α−→1M2α−→2M3 −→ 0↓ f1 ↓ f2 ↓ f30 −→ N 1 −→ N 2 −→β1 β2N 3 −→ 0Beweis. Übungsaufgabe. ¤Proposition 2.10 (Fünfer Lemma) Das folgende Diagramm von R-Moduln und Modulhomomorphismensei kommutativ, und die beiden Zeilen seien exakt.M 1α−→1M2α−→2M3α−→3M4α−→4M5↓ f1 ↓ f2 ↓ f3 ↓ f4 ↓ f4N 1 −→ N 2 −→ N 3 −→ N 4 −→β1 β2 β3 β4N 5Dann gilt:(i) Ist f 1 surjektiv und sind f 2 und f 4 injektiv, so ist f 3 injektiv.(ii) Ist f 5 injektiv und sind f 2 und f 4 injektiv, so ist f 3 surjektiv.(iii) Sind f 1 ,f 2 ,f 4 ,f 5 Isomorphismen, so ist auch f 3 ein Isomorphismus.Beweis. Übungsaufgabe. ¤Proposition 2.11 (Schlangenlemma) Das folgende Diagramm von R-Moduln und Modulhomomorphismensei kommutativ, und die beiden Zeilen seien exakt.B 1β 1β−→2B2 −→ B3 −→ 0↓ α1 ↓ α2 ↓ α30 −→ C 1 −→ C 2 −→ C 3γ1 γ2Es sei A i := Kern(α i ) und D i = Kokern(α i )=C i /Bild(α i ), i =1, 2. Dann existiert ein kanonischerHomomorphismusδ : A 3 −→ D 1 ,so daß folgende SequenzA 1 −→ A 2 −→ A 3 −→ D 1 −→ D 2 −→ D 3β 1 |A 1 β 2 |A δ cγ1 cγ2 2exakt ist. (Hierbei wird bγ i durch γ i induziert).Beweis. Wir haben also folgende Situation6

wobei der Homomorphismus δ noch zu konstruieren ist. Wir erledigen zunächst die einfachen Teile desBeweises. Für x ∈ A 1 gilt α 2 (β 1 (x)) = γ 1 (α 1 (x)) = 0, alsoβ 1 (x) ∈ A 2 . Folglich ist β 1 | A1 : A 1 −→ A 2definiert. In der selben Weise sieht man, daß β 2 | A2 : A 2 −→ A 3 definiert ist. Offensichtlich istA 1−→ A 2 −→ A 3β 1 |A 1 β 2 |A 2ein Komplex. Wir müssen die Exaktheit an der Stelle A 2 zeigen. Es sei x ∈ A 2 und β 2 (x) =0. Danngibt es ein y ∈ B 1 mit β 1 (y) =x, d.h.,γ 1 (α 1 (y)) = α 2 (β 1 (y)) = α 2 (x) =0 (wegen x ∈ A 2 = Kern (α 2 ) )=⇒ α 1 (y) =0,daγ 1 injektiv =⇒ y ∈ A 1 ,womit die Exaktheit gezeigt ist. Nun in dem Kern der zusammengesetzten AbbildungγC1 π1 −→2C2 −→ D2liegt α 1 (B 1 ). Also induziert diese Abbildung einen Homomorphismus cγ 1 : D 1 −→ D 2 . Analog erhältman cγ 2 : D 2 −→ D 3 .Ausγ 2 ◦ γ 1 =0folgt unmittelbar cγ 2 ◦ cγ 1 =0, also Bild(cγ 1 ) ⊂ Kern(cγ 2 ).Wir zeigen jetzt die Exaktheit an der Stelle D 2 .Seix ∈ D 2 und cγ 2 (x) =0.Seiy ∈ C 2 mit π 2 (y) =x.Dann istπ 3 (γ 2 (y)) = cγ 2 (π 2 (y)) = cγ 2 (x) =0=⇒∃z ∈ B 3 : α 3 (z) =γ 2 (y) =⇒=⇒ ∃u ∈ B 2 : β 2 (u) =z (da β 2 surjektiv) =⇒ γ 2 (α 2 (u)) = α 3 (β 2 (u)) = α 3 (z) =γ 2 (y) =⇒=⇒ Für v := y − α 2 (u) gilt π 2 (v) =π 2 (y) =x und γ 2 (v) =0=⇒∃w ∈ C 1 : γ 1 (w) =v =⇒=⇒ cγ 1 (π 1 (w)) = π 2 (γ 1 (w)) = π 2 (v) =π 2 (y) =x =⇒ x ∈ Bild (cγ 1 ) , d.h., daßcγD1cγ1 −→2D2 −→D3in der Tat exakt ist.Konstruktion des Verbindungshomomorphismus δ. Wir konstruieren nun δ. Sei x ∈ A 3 . Danngibt es einy ∈ B 2 mit β 2 (y) =x (da β 2 surjektiv) =⇒ γ 2 (α 2 (y)) = α 3 (β 2 (y)) = α 3 (x) =0(da x ∈ A 3 ) =⇒=⇒ es gibt genau ein z ∈ C 1 mit γ 1 (z) =α 2 (y) ,daKern(γ 2 )= Bild (γ 1 ) und γ 1 injektiv.Definiereδ (x) :=π 1 (z)Wir müssen zeigen, daß diese Definition vernünftig, d.h. unabhängig von der Wahl von y ist: y kanndurch ein beliebiges Element der Form y + β 1 (u) ,u∈ B 1 , ersetzt werden. Dann wird z durch z + α 1 (u)ersetzt, undπ 1 (z + α 1 (u)) = π 1 (z) =δ (x)7

leibt unverändert. Die Abbildung δ ist ein Homomorphismus: Wählt man zu x, x 0 ∈ A 3 , r ∈ R,Elemente y, y 0 wie oben, so kann man zu x + x 0 bzw. rx die Elemente y + y 0 bzw. ry und z + z 0 bzw.rz wählen, also giltδ (x + x 0 )=π 1 (z + z 0 )=π 1 (z)+π 1 (z 0 )=δ (x)+δ (x 0 ) , δ(rx) =π 1 (rz) =rπ 1 (z) =rδ (x) .δDie zusammengesetzte Abbildung A 2 −→ A 3 −→ D 1 ist die Nullabbildung, denn berechnet man δ (x)für x = β 2 (u), u ∈ A 2 , so kann man y = u wählen und hat α 2 (u) =0,alsoz =0. Sei jetzt δ (x) =0fürein x ∈ A 3 .Dannistπ 1 (z) =0=⇒∃u ∈ B 1 : α 1 (u) =z =⇒ γ 1 (z) =γ 1 (α 1 (u)) = α 2 (β 1 (u)) =⇒=⇒ Für y 0 := y − β 1 (u) gilt β 2 (y 0 )=x, α 2 (y 0 )=0=⇒ y 0 ∈ A 2 und β 2 (y 0 )=x.Damit ist die Exaktheit an der Stelle A 3 bewiesen. Es bleibt die Exaktheit an der Stelle D 1 zu zeigen.Zunächst ist Bild(δ) ⊂ Kern(cγ 1 ), denn für jedes x ∈ A 3 giltcγ 1 (δ (x)) = cγ 1 (π 1 (z)) = π 2 (γ 1 (z)) = π 2 (α 2 (y)) = 0.Sei nun w ∈ C 1 mit cγ 1 (π 1 (w)) = π 2 (γ 1 (w)) = 0. Dann gibt es ein v ∈ B 2 mit α 2 (v) =γ 1 (w). Seix := β 2 (v). Dannistα 3 (x) =γ 2 (α 2 (v)) = γ 2 (γ 1 (w)) = 0 =⇒ x ∈ A 3 .Zu x kann man y = v und z = w wählen und erhält δ (x) =π 1 (w), alsoKern(cγ 1 ) ⊂ Bild(δ). Somit istder Beweis beendet. ¤Definition 2.12 (Ketten- und Kokettenkomplexe) Eine nach links bzw. nach rechts Mod R -Sequenzbzw.M • = {M i ,f i } i∈Z: ··· −→ fi+2 f i+1 f i f i−1 f i−2M i+1 −→ Mi −→ Mi−1 −→ Mi−2 −→ ···M • = © M i ,f iª i∈Zi−2i−1f i−1 f: ··· −→ M −→ M i f−→ ii+1i+2i+1 f i+2 fM −→ M −→ ···heißt Links-R-Komplex (oder Kettenkomplex über R) bzw. Rechts-R-Komplex (oder Kokettenkomplexüber R), wenn für alle i ∈ Z gilt:f i ◦ f i+1 =0 (⇐⇒ Bild (f i+1 ) ⊂ Kern (f i )) bzw. f i ◦ f i−1 =0 ¡ ⇐⇒ Bild ¡ f i−1¢ ⊂ Kern ¡ f i¢¢ .(Jedes Element von M i bzw. von M i heißt eine i-Kette bzw. eine i-Kokette. Dief i ’s bzw. f i ’s nennetman Randoperatoren bzw. Korandoperatoren.)Ein Morphismus Φ • : M • −→ M 0 • von Kettenkomplexen (bzw. ein Morphismus Φ • : M • −→ M 0• vonKokettenkomplexen) besteht aus einer Familie von R-Modulhomomorphismen Φ i : M i −→ Mi0 (bzw.Φ i : M i −→ M 0i ), für welche gilt:f 0 i ◦ Φ i = Φ i−1 ◦ f i (bzw. Φ i+1 ◦ f i = f 0i ◦ Φ i ).Analog definiert man das Bild, den Kern, den Kokern von solchen Morphismen sowie exakte Sequenzenvon Komplexen.Definition 2.13 (Homologie bzw. Kohomologiemoduln) Ist M • ein Kettenkomplex (bzw. M •ein Kokettenkomplex) über R, so nennt manH i (M • ):=H i (M • ; R) :=Kern (f i ) / Bild (f i+1 )8

weil Bild(f i+1 ) ⊂ Kern(f i ) und Bild(f i ) ⊂ Kern(f i−1 ). Daraus ergibt sich das kommmutative Diagrammmit exakten Zeilen und Spalten. ∂ ∗,i wird durch die erneute Anwendung des Schlangenlemmas 2.11gewonnen. ¤Analog kann man folgendes nachweisen.Theorem2.15(LangeKohomologiesequenz)Zu jedem i ∈ Z und zu jedem kurzen exakten Sequenzvon Kokettenkomplexen0 −→ M 0• Φ •−→ M • Ψ •−→ M 00• −→ 0gibt es einen R-Homomorphismus (Verbindungshomomorphismus)so daß die folgende “lange” Sequenzd ∗,i : H i (M 00•) −→ H i (M 0 •) ,´···−→ H i (M 0• ) −→ Φ∗,iH i (M • ) −→ Ψ∗,iH³M i 00 •−→ d∗,iH i+1 (M 0 •) −→ ··· (2.3)exakt ist.Bemerkung. Von einem Kettenkomplex M • = {M i ,f i } i∈Zausgehend kann man direkt einen natürlichenKokettenkomplex Q • folgendermaßen konstruieren:Q • = © Ξ i ,θ iª i∈Z , wobei Ξi := Hom R (M i ,R) , θ i := (f i ) ∗ : Ξ i −→ Ξ i+1 , (vgl. 2.2).(Aus Verträglichkeitsgründen benutzt man manchmal (−1) i θ i statt θ i ).3 Die singulären (Ko-) Homologiemoduln• Eine Teilmenge A von R n heißt konvex, wennmita, b ∈ A auch die Strecke {(1 − t) a + tb | t ∈ [0, 1]} inA enthalten ist. Die konvexe Hülle conv(B) einer Teilmenge B des R n ist die kleinste konvexe Teilmengedes R n ,dieB enthält.10

• Das Standard-q-Simplex ∆ q , q ≥ 0, ist die Teilmenge des R q+1(∆ q := (t 0 ,t 1 ,... ,t q ) ∈ R q+1 | t 0 ,t 1 ,... ,t q ∈ R ≥0 undqXi=0)t i =1 .Es gilt: ∆ q = conv({e 0 ,e 1 ,... ,e q }),wobeie 0 =(1, 0,... ,0) ,e 1 =(0, 1, 0,... ,0) ,... ,e q =(0, 0,... ,0, 1).Die Punkte e 0 ,e 1 ,... ,e q sind die Ecken von ∆ q .Füri ∈ {0, 1,... ,q} heißt∆ i q := {(t 0 ,t 1 ,... ,t q ) ∈ ∆ q| t i =0} = conv ({e 0 ,... ,e i−1 ,e i+1, ... ,e q }) ⊂ ∆ qdie i-te Facette oder Seite von ∆ q .(∆ i q liegt der Ecke e i gegenüber). Für jedes i ∈ {0, 1,... ,q}, q ≥ 1,wird eine Seitenabbildung definiert:d i q : ∆ q−1 −→ ∆ q , d i q ((t 0 ,t 1 ,... ,t q−1 )) := (t 0 ,... ,t i−1 , 0,t i ,t i+1 ,... ,t q−1 )(Dies ist so zu verstehen, daß im Falle q =1gelten soll: d 0 1 (t 0 )=(0,t 0 ) ,d 1 1 (t 0 )=(t 0 , 0)). ∆ i q ist selbstein (q − 1)-Simplex. d i q ist also eine Abbildung, durch die man ∆ q−1 bijektiv auf ∆ i q ⊂ ∆ q abbildenkann. Außerdem ist d i q die Beschränkung der linearen Abbildung R q −→ R q+1 auf ∆ q−1 , die bestimmtist durch die folgende Zuordnung derkanonischen Basisvektoren:d i q :=½ej,für j

die freie abelsche Gruppe (Z-Modul), die von allen singulären Simplizes in X erzeugt wird. Weiterhindefiniere den Operator∂ = ∂ q : S q (X) −→ S q−1 (X) , ∂σ :=qXi=0(−1) i ¡σ ◦ diq¢falls q ≥ 1, undsetze∂ q =0für q ≤ 0. (Es genügt ihn nur für die Erzeugenden von S q (X) zu definieren).Proposition 3.3 (Singulärer Kettenkomplex von X) Das System S • (X) :=³S q (X) , {∂ q } q∈Z´bildet einen Kettenkomplex über Z.Beweis. Es genügt zu zeigen, daß ∂ q ◦ ∂ q+1 =0. Ist q ≤ 0, so ist die Aussage trivial. Es sei alsoq ≥ 1. Dann genügt es, die Behauptung auf den Erzeugenden nachzurechnen. Es sei also σ = σ q+1 einsinguläres (q +1)-Simplex in X. Dannistà Xq+1∂ q ◦ ∂ q+1 (σ) =∂ qi=0(−1) i ¡ σ ◦ d i q+1¢ ! =qXj=0à Xq+1(−1) j i=0(−1) i ¡ σ ◦ d i q+1¢ ! ◦ d j q ==qXj=0Xq+1i=0(−1) j+i¡ σ ◦ d i q+1 ◦ d j ¢ Xq+1q =i=0qXj=0(−1) i+j ¡ σ ◦ d i q+1 ◦ d j q¢==X0≤j

Beispiele. In der folgenden Liste tragen wir die nicht-trivialen singulären Homologiegruppen weitererBeispiele ein. Beweise findet man in den Büchern der algebraischen Topologie.Nr. Raum X Nicht triviale Homologiegruppen Hq sing (X; Z) ,q≥ 1³ ´1. R n H• sing =0³ ´2. B n H• sing =03. S n Hnsing ∼= Z4. P 2nRH sing2n =0,Hsing ∼ 2k+1 = Z 2 , 0 ≤ k ≤ n − 15. P 2n+1RH sing ∼ 2k+1 = Z 2 , 0 ≤ k ≤ n − 16. P n C H sing2k∼= Z, 1 ≤ k ≤ n7. P n H (H à Quaternionen) Hsing4k∼= Z, 1 ≤ k ≤ n8. Kleinsche Flasche H sing1∼= Z ⊕ Z 2 , H sing2 =09. Orientierbare g-Flächen H sing1∼= Z 2g , H sing2∼= Z10. Nicht or. g-Flächen H sing1∼= Z g−1 ⊕Z 2 , H sing2 =0Bemerkungen. (i) In der algebraischen Topologie definiert man zu jedem topologischen Raum X, dertriangulierbar ist, d.h. der zu dem zugrundeliegenden Raum eines Simplizialkomplexes homöomorph ist,die sogenannten simplizialen Homologiegruppen Hqsimpl. (X; Z). Man zeigt dann, daß für triangulierbaretopologische Räume gilt Hqsimpl. (X; Z) ∼ = Hqsing. (X; Z), für alle q ∈ Z. Siehe z.B. R.Stöcker, H.Zieschang:Algebraische Topologie, Teubner, 2te Aufl. 1994, §9.7., S. 241-245.(ii) Ist X triangulierbar, so ist Rang ¡ Hqsing (X; Z) ¢ =: b q (X) eine nicht negative ganze Zahl. Sie heißtinsbesondere die q-te Betti-Zahl von X. Die alternierende Summe χ (X) := P q≥0 (−1)q b q (X) ist diesog. Euler-Poincaré Charakteristik von X.(iii) Ist A ⊂ X ein topologischer Teilraum von X, so lassen sich die sog. relativen Homologiegruppenvon X bezüglich A durchH singq(X, A; Z) :=H q (S • (X) /S • (A);Z)definieren. Zu jedem Raumpaar A→ X =(X, ∅) kanon.−→ (X, A) existiert nach (2.2) eine lange exakteHomologiesequenz···−→ H singq(A; Z) −→ H singq(X; Z) −→ H singq(X, A; Z) −→ H singq−1 (A; Z) −→ ···(iv) Sei π 1 (X, x 0 ) die Fundamentalgruppe eines wegweise zusammenhängenden topologischen RaumesX. Dann giltH sing1 (X; Z) ∼ = π 1 (X, x 0 ) / [π 1 (X, x 0 ) ,π 1 (X, x 0 )] ,wobei wir mit [., .] den Kommutator zweier Gruppen bezeichnen. In dem Seminar wurde schon angedeutet,daß wenn X eine orientierbare Fläche vom Geschlecht g ≥ 1 ist, dann ist*+gYπ 1 (X) ∼ = a 1 ,b 1 ,... ,a g ,b g [a¯¯¯¯¯ i ,b i ]=1¡[ai ,b i ]:=a i b i a −1i b −1 ¢i , wobei diese 2g Gruppenerzeugenden durch die entsprechenden zu X assoziierten“Polygone” beschrieben werden können.Definition 3.5 (Singuläre Homologiemoduln von X über R) Die Homologiemoduln von X überR werden durchi=1H singq (X; R) :=H q (S • (X) ⊗ Z R; R)definiert.13

Definition 3.6 (Singuläre Kohomologiemoduln von X über R) Die Kohomologiemoduln von Xüber R werden durchH q sing (X; R) :=Hq (S • (X; R)) , S • (X; R) :=Hom (S • (X) ⊗ Z R, R)definiert. (Vgl. mit der Bemerkung am Ende des vorigen Abschnittes).Definition 3.7 Definiere eine Abbildung“ ` ”:S p (X; R) × S q (X; R) −→ S p+q (X; R)wie folgt: Jedem singulären (p + q)-Simplex σ : ∆ p+q −→ X und Koketten c p und c q ordnec p ` c q (σ) =:hc p ` c q ,σi =(−1) pq D c p ,σ◦ d p+1p+q ◦ dp+1 p+q−1E DE◦ ···◦ dp+1· c p ,σ◦ d p−1p+q ◦ dp−2 p+q−1 ◦ ···◦ d0 q+1zu. Dies ist das sog. cup-Produkt.Proposition 3.8 Das cup-Produkt hat folgende Eigenschaften:(i) Distributivität: (a + a 0 ) ` b = a ` b + a 0 ` b, a ` (b + b 0 )=a ` b + a ` b 0 ,(ii) Homogenität: (ra) ` b = r (a ` b) =a ` (rb) ,(iii) ±-Kommutativität: a ` b =(−1) pq b ` a,(iv) Neutrales Element: 1 X ` a = a ` 1 X = a.(v) Korandformel: d (c p ` c q )= dc p ` c q +(−1) p c p ` (dc q ) .Proposition 3.9 (Kohomologiering von X) Das cup-Produkt induziert die Struktur eines graduiertenRinges aufHsing ∗ (X; R) =⊕ p≥0 H q sing(X; R)durch: (a 0 + a 1 + a 2 + ···)(b 0 + b 1 + b 2 + ···)=a 0 ` b 0 +(a 0 ` b 1 + a 1 ` b 0 )+···Theorem 3.10 (Künnethsches Theorem) Sei R ein nullteilerfreier Hauptidealring.Zu den R-Kohomologiemoduln des Kreuzproduktes X × Y zweier Räume X und Y existiert eine kurzeexakte Sequenz:0 −→ MH p (X; R) ⊗ R H q (Y ; R) −→ H n (X × Y ; R) −→MTor (H p (X; R) ,H q (Y ; R)) −→ 0p+q=np+q=n+1Wenn insbesondere R ein Körper ist, erhält man einen IsomorphismusH n (X × Y ; R) ∼ =MH p (X; R) ⊗ R H q (Y ; R)p+q=nProposition 3.11 Sei R ein nullteilerfreier Hauptidealring und sei X eine kompakte, zusammenhängende,R-orientierte n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann gibt es einen “Dualitätshomomorphismus”derart, daßD X : H q (X; R) −→ H n−q (X; R)hb, D X (a)i = ha ` b, [X]i ∈ R,wobei [X] die entsprehende “Grundklasse” von X bzgl. der R-Orientierung bezeichnet.14

Theorem 3.12 (Poincaré Dualitätssatz) Sei R ein nullteilerfreier Hauptidealring und sei X einekompakte, zusammenhängende, R-orientierte n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann istein Modulisomorphismus für alle q, q ∈ Z.D X : H q (X; R) −→ H n−q (X; R)Zum Beweis siehe z.B. M.J.Greenberg, J.R.Harper: Algebraic Topology. A First Course, BenjaminPub.Co., (1981), Kapitel 26, S. 215-229. ¤Corollary 3.13 Sei R ein nullteilerfreier Hauptidealring und sei X eine kompakte, zusammenhängende,R-orientierte n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann gilt für die Betti-Zahlen b q (X) =Rang R (H q (X; R))von X:b q (X) =b n−q (X) , ∀q, 0 ≤ q ≤ nAußerdem ist der Torsionsuntermodul von H q (X; R) isomorph zu dem Torsionsuntermodul des ModulsH n−q−1 (X; R) .Corollary 3.14 (Perfekte Paarung) Sei R ein nullteilerfreier Hauptidealring und sei X eine kompakte,zusammenhängende, R-orientierte n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Die durch das cup-Produktinduzierte PaarungI q : H q (X; R) × H n−q (X; R) 3 (a, b) 7−→ ha ` b, [X]i = hb, D X (a)i ∈ Rist perfekt in dem Sinne, daß wenn I q (a, b) =0für alle a ∈ H q (X; R), dannistb eine Torsionsklasse;und umgekehrt, wenn I q (a, b) =0für alle b ∈ H n−q (X; R), dann ist a eine Torsionsklasse.4 Vektorbündel über differenzierbarenbzw. komplexen Mannigfaltigkeiten.In diesem Abschnitt betrachten wir nur differenzierbare und komplexe Mannigfaltigkeiten X; dieDefinitionensind wie üblich mit Hilfe von Karten, Übergangsfunktionen und maximalen Atlanten zu verstehen.Die Übergangsabbildungen sowie ihre Umkehrungen sind in dem ersten Fall C ∞ -differenzierbar; indemzweiten Fall holomorph. Zur Erinnerung: Ist f : U ⊂ C n −→ C n eine Abbildung von n komplexenVariablenz 1 = x 1 + √ −1 y 1 ,... ,z n = x n + √ −1 y n ,und∂:= 1 µ ∂− √ −1 ∂ ,∂z j 2 ∂x j ∂y j∂:= 1 µ ∂+ √ −1 ∂ ∂z j 2 ∂x j ∂y jdie üblichen Wirtinger-Operatoren mitdz j = dx j + √ −1 dy j ,dz j = dx j − √ −1 dyundnX ∂fnX ∂fdf = dz j + dz j ,∂zj=1 j∂zj=1 j| {z } | {z }∂f∂f15

so ist f = u + √ −1 v holomorph, wenn eine (und somit alle) der folgenden äquivalenten Bedingunenerfüllt sind:(i) Cauchy-Riemannsche Bedingungen:∂u∂x j= ∂u∂y jund∂u= − ∂u .∂y j ∂x j(ii) ∂f =0auf ganz U.(iii) f läßt sich als eine absolut konvergente Potenzreihe (bzgl. z 1 ,... ,z n ) in einer Umgebung jedesPunktes von U entwickeln.Definition 4.1 (Vektorbündel) Sei X eine differenzierbare µ(bzw. komplexe) K-Mannigfaltigkeit (K ∈{R, C})derDimensionn = dim K (X). Das Paar E = SE x , π : E −→ X heißt ein differenzierbaresx∈X(bzw. komplexes) K-Vektorbündel mit Rang r über X, wennEπ−→ X∪∪E x = π −1 (x) 7−→ xeine C ∞ -differenzierbare (falls K = R) bzw. holomorphe (falls K = C) Abbildung ist, jedes E x = π −1 (x)mit der Struktur eines r-dimensionalen K-Vektorraumes versehen ist, und zwar so, daß gilt:Axiom der lokalen Trivialität: Es existiert eine offene Überdeckung U =(U i ) i∈Ivon X mit diffeomorphen(bzw. biholomorphen), fasertreuen und faserweise K-linearen AbbildungenDurchπ −1 ϕ(U i ) −→iUi × K r E x 7−→ π (E x ) ⊂ {x}×K r↓↓ Proj.l ∼ = ↓ Proj.VRU i == U i K r == K rϕ i ◦ ϕ −1j:(U i ∩ U j ) × K r −→ (U i ∩ U j ) × K rwird eine nirgends verschwindende diffeomorphe (bzw. biholomorphe) Abbildungϕ i ◦ ϕ −1j (x, t) :=(x, g ij (x) · t)definiert, wobei¯U i ∩ U j 3 x 7−→ g ij (x) :=ϕ i ◦ ϕ −1j¯{x}×K r ∈ GL (r, K) ⊂ K r2 . (4.1)(Wenn man die vorgegebene extra Struktur vergißt von den ϕ i ’s nur Homöomorphismen zu sein verlangt,dann spricht man von einem topologischen Bündel über X ). Die Übergangsfunktionen erfüllen die“Kozykelbedingungen”:g ii = Id, g ij ◦ g jk ◦ g ki = Id . (4.2)Sind umgekehrt nur X und Funktionen (4.1) vorgegeben, die den Bedingungen (4.2) genügen, so läßtsich π : E −→ X durch das Verklebenà •![E = U i × K r / ∼ , mit (x, t) ∼ (x 0 ,t 0 ) ⇐⇒ [x 0 = x und t 0 = g ij (x) · t]zurückgewinnen.i∈I16

µDefinition 4.2 (Teilbündel) Ist E = SE x , π : E −→ X ein r-Bündel und E 0 eine derartige Teilmengevon E, daß(E 0 , π| E 0 : E 0 −→ X) in kanonischer Weise ein k-Bündel ist, k ≤ r, so nennt man esx∈Xein k-Teilündel des ursprünglichen.³Beispiele. (i) Ist (E,g ij ) ein Bündel, so heißtE ∨ , ¡ g −1ij¢ |´sein duales Bündel.(ii) Sind (E,g ij ) , (F, h ij ) zwei vorgegebene Bündel über X, so kann man kanonisch neue Bündel konstruieren,wie z.B.⎛⎞µ µ gij 0⎜⎟die direkte Summe E ⊕ F,, das Tensorprodukt0 h⎝E ⊗ K F, (g ij ) ⊗ K (h ij ) ⎠ ,ij | {z }Kronecker-Produktdas Quotientenbündel E/F (falls F ein Teilbündel von E ist), das Hom-Bündel Hom K (E,F), dasBündel der p-fachen äußeren Potenzen Vp E von E, 0 ≤ p ≤ Rang(E) , u.a.(iii) Die m-getwisteten Bündel O P nC(m), m ∈ Z, überP n C :Sind[z 0 : z 1 : ...: z n ] die homogenen Koordinatenvon P n C ,sosind¡ ¢O P nC(m) ,g ij holomorphe Linienbündel (d.h., vom Rang 1), mit gij (z) :=auf U i ∩ U j ,wobeiU i := {z ∈ P n C : z i 6= 0}, 0 ≤ i ≤ n.(iv) Das Tangentialbündel einer differenzierbaren n-dimensionalen Mannigfaltigkeit XT X = S½ ¾T X,x −→ X, wobei T X,x∼ ∂ ∂= R ,... , .∂x 1 ∂x nz∈Xx∈X(v) Das reelle Tangentialbündel einer komplexen n-dimensionalen Mannigfaltigkeit XT (R)X= S½ ¾T (R)X,z −→ X, wobei T ∼ ∂ ∂ ∂ ∂X,z = R ,... , , ,... ,∂x 1 ∂x n ∂y 1 ∂y nund seine KomplexifizierungT (C)X= T (R)X⊗ R C = Sz∈XT (C)X,z−→ X,wobei bzgl. eines lokalen Koordinatensystems z =(z 1 ,... ,z n ), z j = x j + √ −1 y j , ∀j, 1 ≤ j ≤ n,½ ¾ ½ ¾T (C) ∼ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂X,z = C ,... , , ,... , ∼= C ,... , , ,... , .∂x 1 ∂x n ∂y 1 ∂y n ∂z 1 ∂z n ∂z 1 ∂z nSpaltung:T (C)X½ ¾= T 0 (C)X⊕ T 00 (C)X, T 0 (C) ∂ ∂X,z∼= C ,... ,∂z 1 ∂z n| {z }holomorpher Anteil, T 00 (C)½ ∂∼= C¾∂∂z nX,z,... ,∂z 1| {z }anti-holomorpher Anteil.³z iz j´m(vi) Das Kotangentialbündel TX ∨ einer differenzierbaren n-dimensionalen Mannigfaltigkeit X.³(vii) Das komplexe Kotangentialbündel T (C)´∨X einer komplexen n-dimensionalen Mannigfaltigkeit Xmit der Spaltung:³ ´∨ ³ ´∨ ³= ⊕T (C)XT 0 (C)XT 00 (C)X´∨.(viii) Das Normalbündel N Y/X einer Untermanigfaltigkeit Y einer differenzierbaren Mannigfaltigjkeit Xist definiert als das QuotientenbündelN Y/X := (T X | Y ) /T Y .17

In dem Fall der komplexen Untermannigfaltigkeiten Y einer komplexen Mannigfaltigkeit X definiertman³ ´N Y/X := T 0 (C)X| Y /T 0 (C)Y.Bemerkungen. (i) Ein Vektorbündelhomomorphismus f :(E,π : E −→ X) −→ (E 0 ,π 0 : E 0 −→ X)zwischen zwei Vektorraumbündeln über einer differenzierbaren bzw. komplexen Mannigfaltigkeit X isteine C ∞ -differenzierbare bzw. holomorphe Abbildung f : E −→ E 0 ,sodaßπ = π 0 ◦f fasertreu und f | ExistSK-linear ist. (f ist Isomorphismus falls f diffeomorph bzw. biholomorph ist). Der Kern Kern(f) :=Kern(f | Ex ) bzw. das Bild Bild(f) :=S Bild(f | Ex )eines Vektorbündelhomomorphismus f sindx∈Xwieder Vektorraumbündel.(ii) Eine Sequenz E 0Bild(f).f−→ Ex∈Xg−→ E 00 von Vektorbündelhomomorphismus heißt exakt, wenn Kern(g) =5 Grundbegriffe aus der GarbentheorieDefinition 5.1 (Prägarben) Sei X ein topologischer Raum und T das System seiner offenen Mengen.Unter einer Prägarbe F von abelschen Gruppen über X versteht man eine VorschriftT 3 U 7→ F (U)welche jedem U eine abelsche Gruppe und welche jedem Paar (U, V ∈ T, V ⊂ U) einen Gruppenhomomorphismus(“Beschränkungshomomorphismus”) U V : F (U) −→ F (V )zuordnet, so daß folgende Axiome gelten:(i) F (∅) ={0} ,(ii) U U = Id F(U), ∀U, U ∈ T.(iii) V W ◦ U V = U W , ∀U, V, W ∈ T mit W ⊂ V ⊂ U.Die Elemente f von F (U) nennet man insbesondere Schnitte von F über U und U V (f) die Einschränkungdes Schnittes f auf V ⊂ U.Bemerkungen. (i) Ist F (U) jeweils ein Ring (oder eine C-Algebra), so sind U V ’s jeweils Homomorphismenvon Ringen (bzw. von C-Algebren) und sind die Axiome (i)-(iii) erfüllt. (Hierbei wird {0}ausnahmsweise als Ring betrachtet).(ii) Sei R eine Prägarbe von Ringen über X. Ist F (U) ein R (U)-Modul und U V : F (U) −→ F (V )jeweils ein Homomorphismus von R (U)-Moduln, so nennt man die U 7→ F (U) definierten Zuordnungeine Prägarbe von R-Moduln.Definition 5.2 (“Halme” und “Keime”) Seien F eine Prägarbe über X, x ∈ X, undT x := {U ∈ T | x ∈ U } .Offensichtlich ist © ªF (U) , U V U∈T xein direktes System in dem Sinne von 1.9 und zwar definiert überder gerichteten Menge A := T x ,wobei“≤”:= ⊃ die gewöhnliche mengentheoretische Inklusionsrelationist (aber andersrum!). Der zugehörige direkte Limes (1.1)F x := lim F (U)−→U∈T xheißt der Halm von F im Punkt x. Für U ∈ T x sei nun x := U : F (U) 3 f 7−→ x (f) =[f] ∈ F xdie kanonisch induzierte Abbildung (1.2). x (f) wird der Keim von f in x genannt.18

Definition 5.3 (Der einer Prägarbe zugeordnete Überlagerungsraum) Sei F eine Prägarbe übereinem topologischen Raum X. Definiere|F| :=•[x∈XF x und die Abbildung p : |F| ⊃ F x 3 ϕ 7−→ x ∈ X.Proposition 5.4 Für jedes U ∈ T und f ∈ F (U) definiere [U, f] :={ x (f) :x ∈ U} ⊂ |F|. Dannbildet{[U, f] :U ∈ T} ⊂ |F|die Basis einer Topologie auf |F| und p : |F| −→ X ist lokal topologisch, d.h. eine unverzweigteÜberlagerung. Ist weiterhin X ein lokal zusammenhängender Hausdorffraum und F derart, daß(∀Y Gebiet ⊂ X und f,g ∈ F (Y ):( x (f) = x (g) für ein x ∈ X =⇒ f = g)) ,so ist |F| mit der obigen Topologie Hausdorffsch.Beweis. Siehe z.B. O.Forster: Riemannsche Flächen, Springer-Verlag, (1977), 6.8-6.10, S. 39-40. ¤Definition 5.5 (Prägarbe der Schnitten von Keimen) Sei F eine Prägarbe über einem topologischenRaum (X, T) und U ∈ T. Unter einem Schnitt von Keimen von F über U versteht man eineAbbildungγ : U −→ |F|derart, daß γ (x) ∈ F x , ∀x, x ∈ U, und daß zu jedem Punkt x ∈ U ein V ⊂ U, V ∈ T x , und einenSchnitt g ∈ F (V ) gibt mit der Eigenschaft: γ (y) = y (g), ∀y, y ∈ V. Bezeichnung:Durch die Zuordnungund durch die AbbildungenΓ (U, F):={γ : U −→ |F| | γ Schnitte von Keimen von F über U}T 3 U 7−→ Γ (U, F) ,r U V : Γ (U, F) 3 γ 7−→ γ | V∈ Γ (V,F)definiert man eine neue PrägarbeΓ F := © ªΓ (U, F) ,rVU(von abelschen Gruppen, Moduln usw. je nachdem, was F (U)’sfüreineStrukturhaben). Außerdemgibt es für jedes U ∈ T einen kanonischen Homomorphismus ε U : F (U) −→ Γ (U, F) ,F (U) 3 f 7−→ ε U (f)(x) := x (f) ∈ Γ (U, F) (5.1)Definition 5.6 (Garben) Eine Prägarbe F über X nennen wir eine Garbe, wenn sie zusätzlich diesogenannten “Verklebungseigenschaften” hat, d.h., wenn für jede U ∈ T und jede Familie (U i ) i∈I⊂ Uvon offenen Teilmengen von U mit U = S U i folgende Bedingungen (“Garbenaxiome”) erfüllt sind:(i) Sind f,g ∈ F (U) Elemente mit U U i(f) = U U j(g), fürallei ∈ I, so gilt f = g.(ii) Seien f i ∈ F (U i ), i ∈ I, vorgegebene Elemente miti∈I U iU i∩U j(f i )= UjU i∩U j(f j ) , für alle i, j ∈ I. (5.2)19

Dann existiert ein f ∈ F (U), für welches gilt: U U i(f) =f i , für alle i ∈ I. (5.3)(Dieses f ist zwar eindeutig bestimmt wegen (i)).Proposition 5.7 Sei F eine Prägarbe über einem topologischen Raum (X, T).(i) Γ F ist eine Garbe. (Man sagt Γ F sei die zur F assoziierten Garbe).(ii) F selbst ist genau dann eine Garbe über X, wennfüralleU ∈ T , die Homomorphismenε U : F (U) −→ Γ (U, F)(definiert durch (5.1)) Isomorphismen sind, d.h., genau dann, wennF = Γ F(Die Injektivität von ε U ’s ist eigentlich äquivalent zur Bedingung (5.2); die Surjektivität zu (5.3)).Beweis. Siehe z.B. M.Broadmann: Algebraische Geometrie, Birkhäuser, (1989), S. 360-361. ¤Definition 5.8 Seien F und F 0 zwei Garben über (X, T). Ein Garbenhomomorphismus f : F −→ F 0 isteine Familie von Homomorphismen {f U : F (U) −→ F 0 (U)} U∈T, die mit den Beschränkungshomomorphismenverträglich sind, d.h. für jedes Paar offener Mengen U, V von X mit V ⊂ U ist das DiagrammF (U)↓F (V )f U−→ F 0 (U)↓f V−→ F 0 (V )kommutativ. Ist f : F −→ F 0 ein Garbenhomomorphismus, so ist³´T 3 U 7−→ Kern F (U) f U−→ F 0 (U)eine Garbe, der Kern von f. Ein Garbenhomomorphismus f : F −→ F 0 induziert für jedes x ∈ XHomomorphismen der Halme f x : F x −→ F 0 x. Eine Sequenz von Garbenhomomorphismenf i−1 f i f i+1···−→ F i−1 −→ Fi −→ Fi+1 −→ ···20

heißt exakt, wenn für jedes x ∈ X(f i−1 )···−→ (F i−1 )xx−→exakt ist, d.h. Bild(f i ) x= Kern(f i+1 ) xfür alle i.(f i )(Fi )x(f i+1 )x−→ (Fi+1 )xx−→ ···Definition 5.9 (Lokal freie Garben) Sei R eine Garbe von (kommutativen) Ringen und F eine Garbevon R-Moduln über X. F heißt frei, wennF ∼ = R ⊕ R ⊕ ···⊕ R ⊕ R| {z }p-mal=: R pfür ein p ≥ 0. (Für p =0soll F trivial sein). F heißt lokal frei, wenn jeder Punkt x ∈ X eine derartigeUmgebung besitzt, daß F | U frei ist.Proposition 5.10 Sei X eine zusammenhängende differenzierbare oder komplexe Mannigfaltigkeit. Danngibt es eine Bijektion½¾ ½¾Isomorphieklassen von differenzierbaren 1:1 Isomorphieklassen von lokal freien←→(bzw. holomorphen) Vektorbündeln über X Garben von E - (bzw. O-) Moduln über XBeweis. Zuerst ordnet man jedem differenzierbaren (bzw. holomorphen) Bündel π : E −→ Xdie Garbeüber XU 7−→ E X (E)(U) :={diffenzierbare Abbildungen γ : U −→ E mit π ◦ γ = Id U }bzw.U 7−→ O X (E)(U) :={holomorphe Abbildungen γ : U −→ E mit π ◦ γ = Id U }(für alle offenen Teimengen U von X). Für jedes x ∈ X gibt es eine Umgebung von U von x, sodaß⎧⎨ E X (E)(U) ∼ = E X (U × R r ) falls K = RE | U∼ = U × Kr(r = Rang (E)) =⇒⎩O X (E)(U) ∼ = O X (U × C r ) falls K = CD.h.⎧⎨⎩E X (U × R r ) ∼ = (E X | U ) rfalls K = RO X (U × C r ) ∼ = (O X | U ) r falls K = C.Ist umgekehrt F eine lokal freie (oBdA nicht triviale) Garbe, so kann man immer eine offene Überdeckung(U i ) i∈Ivon X ein r>0 finden, so daß für alle i ∈ I, Isomorphismeng i : F | Ui∼ =−→ E p X | U i(bzw. O p X | U i).existieren. (r hängt nicht von i ab, denn X ist zusammenhängend). Definiereg ij := g i ◦ g −1j: E p X¯ ∼ = ¯Ui∩U j−→ E p ¯X¯Ui∩U j(bzw. O p X¯ ∼ = ¯Ui∩U j−→ O p ¯X¯Ui∩U j)und ordne F das differenzierbare (bzw. holomorphe) Bündel (E,g ij ) zu. ¤21

6 GarbenkohomologieIst 0 −→ F 0f−→ F −→ gF 00 −→ 0 eine exakte kurze Sequenz von Garben über X, soist0 −→ Γ (X, F 0 ) Γ(f)−→ Γ (X, F) Γ(g)−→ Γ (X, F 00 )auf dem Nieveau von globalen Schnitten exakt, aber Γ (g) im allgemeinen nicht surjektiv.Definition 6.1 (Welke Garben) Eine GarbeF über X heißt welk, wenn für jede offene Menge U ⊂ Xder Beschränkungshomomorphismus Γ (X, F) −→ Γ (U, F) surjektiv istLemma 6.2 Ist 0 −→ F 0 f−→ F −→ gF 00 −→ 0 eine exakte kurze Sequenz von Garben über X und F welk,so ist Γ (g) surjektiv und deswegen ist die folgende Sequenz ebenfalls exakt0 −→ Γ (X, F 0 )=F 0 (X) Γ(f)−→ Γ (X, F) =F (X) Γ(g)−→ Γ (X, F 00 )=F 00 (X) −→ 0Definition 6.3 (Kanonische Welke Auflösung) Sei F eine Garbe über einem topologischen RaumX. Man definiert eine welke Garbe C (F) durchÃU 7−→ C (F)(U) := Y !F x , gewöhliche Beschränkungshomomorphismen .x∈U(Mit anderen Worten: Man betrachtet alle nicht unbedingt stetigen Schnitte über allen U’s!). DurchF (U) 3 γ 7−→ (γ x ) x∈U∈ C (F)(U)wird ein Garbenmonomorphismus F → C (F) induziert. Definiere⎧⎨ C 0 (F) /F q =1C 0 (F) :=C (F) , G q (F) :=⎩C q−1 (F) /G q−1 (F) q ≥ 2undC q (F) :=C 0 (G q (F)) , ∀q, q ≥ 1Man erhält die folgenden kanonischen kurzen exakten Sequenzen:0 −→ F −→ C 0 (F) −→ G 1 (F) −→ 00 −→ G q (F) −→ C q (F) −→ G q+1 (F) −→ 0 .Setzt man sie zusammen, so erhält man die sog. kanonische welke Auflösung von F0 −→ F −→ C 0 (F) −→ C 1 (F) −→ ···−→ C q−1 (F) −→ C q (F) −→ C q+1 (F) −→ ··· (6.1)Definition 6.4 (Kohomologiegruppen) Sei X ein topologischer Raum und F eine Garbe über X.Die q-te Kohomologiegruppe (bzw. der q-ter Kohomologiemodul) von X mit Koeffizienten in F wirddefiniert durch (6.1):H q (X; F) :=H q (C • (F))22

7 Čechsche KohomologiegruppenSei X ein topologischer Raum, U =(U i ) i∈Ieine offene Überdekung von X und F eine Prägarbe vonabelschen Gruppen (oder von Moduln) über X. Fürq ≥ 0 definiere:C 0 (U; F) := Y i∈IF (U i )C 0 (U; F) :=.C q (U; F) :=Yi,j∈I,i

= q+2 Pk,ν=0k

Definition 7.7 (Čech-Kohomologiegruppen) Die Menge der offenen Überdeckungen von X ist gerichtetund zwar bzgl. “≤”= “”. Deshalb kann man nach 1.10 den direkten LimesȞ q (X; F) := lim−→UȞ q (U; F)bilden. Er heißt die q-te Čech-Kohomologiegruppe (bzw. der q-ter Kohomologiemodul) von X mitKoeffizienten in F.Definition 7.8 Ein topologischer Raum X heißt parakompakt, wenn er Hausdorffschistundjedeseineroffenen Überdeckungen eine lokal-endliche Verfeinerung zuläßt. Reguläre topologische Räume (d.h. T 3 +T 1 Räume), die eine abzählbare Basis besitzten, sind parakompakt.Theorem 7.9 (Isomorphie zwischen Kohomologietheorien) Sei F eine Garbe von abelschen Gruppen(oder von Moduln) über einem parakompakten topologischen Raum X, sogilt:Ȟ q (X; F) ∼ = H q (X; F)Beweis. Siehe G.E.Bredon: Sheaf Theory, Second Ed., Graduate Texts in Math., Vol. 170, Springer-Verlag, (1997), Cor. 4.12, S. 192. ¤Theorem 7.10 (Leray’s Theorem) Sei F eine Garbe von abelschen Gruppen (oder von Moduln) übereinem parakompakten topologischen Raum X und U = {U i } i∈Ieine offene Überdeckung von X. GiltȞ n ¡ U i0 ∩ U i1 ∩ ···∩ U ip ; F ¢ =0für alle n ≥ 1 und alle (p +1)-Tupel (i 0 ,i 1 ,... ,i p ),sogibtesfüralleq ≥ 0 Isomorphismen:Ȟ q (U; F) ∼ = Ȟq (X; F) ( ∼ = H q (X; F))Beweis. Siehe G.E.Bredon: Sheaf Theory, Thm. 4.13, S. 193, oder R.C.Gunning: Introduction toHolomorphic Functions of Several Variables, Vol.III, Wadsworth & Brooks/Cole Math. Series, (1990),S. 56-57. ¤8 Theoreme von De Rham und Dolbeault• Sei X eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und E (p)Xdie Garbe der Keime der p-Differentialformen, die durchU 7−→ E (p)X (U) :=Γ (U, Vp TX)∨definiert sind. Ist ϕ eine p-Differentialform, die bzgl. eines lokalen Koordinatensystems (x 1 ,... ,x n ) alsXϕ =ϕ i1 ,i 2 ,··· ,i p(x) dx i1 ∧ dx i2 ∧ ···∧ dx in| {z }i 1

Definition 8.1 (De Rham Kohomologie) Die q-te De Rham Kohomologiegruppe von X ist³³,d•´ ´H q DR (X; R) :=Hq E (•)X; RTheorem 8.2 (Theorem von De Rham) Ist X eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so existierenfür alle q ∈ Z IsomorphismenH q DR (X; R) ∼ = H q sing(X; R)die durchmitE (p)X(U) 3 [ϕ] 7−→ [κ p (ϕ)] ∈ S p (X; R) =Hom (S q (X; R);R)ZS q (X; R) 3 [σ] 7−→ [κ p (ϕ)] (σ) :=σϕ ∈ RInsbesondere sind in dem Fall, in dem X kompakt, zusammenhängend und orientiert ist, (HDR ∗ (X; R) , ∧)und (X; R) , `´als graduierte Ringe isomorph durch:³H q singwobei(vgl. Prop. 3.11)H p singH p DRμ(X; R) × Hn−psing(X; R) −→ R↓ ∼ = ∼ = ↓ k(X; R) × Hn−pDR (X; R) μ−→DRRZμ (a, b) :=hb, D X (a)i = ha ` b, [X]i , μ DR (a, b) :=Xa ∧ bBeweis. Siehe R.O. Wells: Differential Analysis on Complex Manifolds, GTM,Vol. 65, 2nd. Ed.,Springer-Verlag, 1980, Thm. 3.15. S. 60-61. ¤• Sei nun X eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit und E (p,q)Xdie Garbe der Keime von differenzierbarenDifferentialformen vom Bigrad (p, q), diedurchµU 7−→ E (p,q)X (U) :=Γ U, V ³ pT 0 (C)´∨ V ³X ⊗ q´∨T 00 (C)Xdefiniert sind. Ist ω eine (p, q)-Differentialform, die bzgl. eines lokalen Koordinatensystems (z 1 ,... ,z n )alsXω =ω i1 ,i 2 ,··· ,i p ,j 1 ,j 2 ,... ,j q(z) dz i1 ∧ ···∧ dz ip ∧ dz j1 ∧ ···∧ dz jqi 1

und somit einen Garbenhomomorphismus∂ = ∂ p,q : E (p,q)Xfür alle p, q ≥ 0. (E (p,0)X:= Ω p Xeinem Satz von Dolbeault ist ∂ p,q+1 ◦ ∂ p,q =0,d.h.−→ E (p,q+1)Xist die Garbe der Keime³der holomorphen ∂p,•´ (p, 0)-Differentialformen). Nach, ist ein Kokettenkomplex.E (p,•)XDefinition 8.3 (Dolbeault Kohomologie) Die q-te Dolbeault p-Kohomologiegruppe von X ist³³H p,q (X) :=H q ∂∂p,•´E (p,•)X,´; RTheorem 8.4 (Theorem von Dolbeault) Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit. Dann gilt für alleq ∈ Z:H q (X; Ω p X ) ∼ = H p,q (X)∂Beweis. Siehe R.O. Wells: Differential Analysis on Complex Manifolds, GTM,Vol. 65, 2nd. Ed.,Springer-Verlag, 1980, Thm. 3.17. S. 61. ¤27