Die Sätze von de Rham und Dolbeault

Definition 3.6 (Singuläre Kohomologiemoduln von X über R) Die Kohomologiemoduln von Xüber R werden durchH q sing (X; R) :=Hq (S • (X; R)) , S • (X; R) :=Hom (S • (X) ⊗ Z R, R)definiert. (Vgl. mit der Bemerkung am Ende des vorigen Abschnittes).Definition 3.7 Definiere eine Abbildung“ ` ”:S p (X; R) × S q (X; R) −→ S p+q (X; R)wie folgt: Jedem singulären (p + q)-Simplex σ : ∆ p+q −→ X und Koketten c p und c q ordnec p ` c q (σ) =:hc p ` c q ,σi =(−1) pq D c p ,σ◦ d p+1p+q ◦ dp+1 p+q−1E DE◦ ···◦ dp+1· c p ,σ◦ d p−1p+q ◦ dp−2 p+q−1 ◦ ···◦ d0 q+1zu. Dies ist das sog. cup-Produkt.Proposition 3.8 Das cup-Produkt hat folgende Eigenschaften:(i) Distributivität: (a + a 0 ) ` b = a ` b + a 0 ` b, a ` (b + b 0 )=a ` b + a ` b 0 ,(ii) Homogenität: (ra) ` b = r (a ` b) =a ` (rb) ,(iii) ±-Kommutativität: a ` b =(−1) pq b ` a,(iv) Neutrales Element: 1 X ` a = a ` 1 X = a.(v) Korandformel: d (c p ` c q )= dc p ` c q +(−1) p c p ` (dc q ) .Proposition 3.9 (Kohomologiering von X) Das cup-Produkt induziert die Struktur eines graduiertenRinges aufHsing ∗ (X; R) =⊕ p≥0 H q sing(X; R)durch: (a 0 + a 1 + a 2 + ···)(b 0 + b 1 + b 2 + ···)=a 0 ` b 0 +(a 0 ` b 1 + a 1 ` b 0 )+···Theorem 3.10 (Künnethsches Theorem) Sei R ein nullteilerfreier Hauptidealring.Zu den R-Kohomologiemoduln des Kreuzproduktes X × Y zweier Räume X und Y existiert eine kurzeexakte Sequenz:0 −→ MH p (X; R) ⊗ R H q (Y ; R) −→ H n (X × Y ; R) −→MTor (H p (X; R) ,H q (Y ; R)) −→ 0p+q=np+q=n+1Wenn insbesondere R ein Körper ist, erhält man einen IsomorphismusH n (X × Y ; R) ∼ =MH p (X; R) ⊗ R H q (Y ; R)p+q=nProposition 3.11 Sei R ein nullteilerfreier Hauptidealring und sei X eine kompakte, zusammenhängende,R-orientierte n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann gibt es einen “Dualitätshomomorphismus”derart, daßD X : H q (X; R) −→ H n−q (X; R)hb, D X (a)i = ha ` b, [X]i ∈ R,wobei [X] die entsprehende “Grundklasse” von X bzgl. der R-Orientierung bezeichnet.14