Die SÃ¤tze von de Rham und Dolbeault

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$symbolic math guide : an innovative way of teaching ... - Math.UOC$

Definition 1.8 (Gerichtete Mengen) Eine Menge A heißt teilweise geordnet, wenn für gewisse Paare(α, β) ihrer Elemente eine Beziehung α ≤ β erklärt ist, so daß gilt:(i) Für alle α ∈ A ist α ≤ α.(ii) Aus α ≤ β und β ≤ γ folgt α ≤ γ.Eine teilweise geordnete Menge A heißt gerichtet, wennzujezweiElementeα, β ∈ A ein γ ∈ A existiertmit α ≤ γ und β ≤ γ.Definition 1.9 (Direktes System) Ein direktes System © G α ,αª β von abelschen Gruppen über einergerichteten Menge A besteht aus einer Familie {G α ; α ∈ A} von abelschen Gruppen und aus einer Funktionα 7−→ G α ,diejedemα eine abelsche Gruppe G α und jedem Paar (α, β) vonElementenausA mitα ≤ β einen Homomorphismus β α : G α −→ G β zuordnet, so daß gilt:(i) α α = Id Gα für jedes α ∈ A.(ii) Für α ≤ β ≤ γ ist γ β ◦ β α = γ α.In ähnlicher Weise definiert man direkte Systeme © R α , β αªvon Ringen,©Mα , β αªvon Rα -Moduln etc.Definition 1.10 (Direkter Limes) Sei © G α ,αª β ein direktes System von abelschen Gruppen. In derVereinigungS G α erklären wir eine Äquivalenzrelation “∼”: G α 3 g α ∼ g β ∈ G β genau dann, wennα∈Aes ein γ ∈ A gibt mit α ≤ γ, β ≤ γ, und γ α (g α )= γ β (g β). Istg α ∈ G α , so bezeichne [g α ] die zugehörigeÄquivalenzklasse. Sind [g α ], [g β ] zwei Äquivalenzklassen, so gibt es ein γ ∈ A mit α ≤ γ, β ≤ γ. Durchhi[g α ]+[g β ]:= γ α (g α )+ γ β (g β) , − [g α ]:=[−g α ] ,erhältµ SG := limG α := G α −→α∈A/ ∼ (1.1)die Struktur einer abelschen Gruppe. (Das Nullelement 0 G wird durch das Nullelement 0 α einer jedenabelschen Gruppe G α repräsentiert). G heißt der direkte Limes des direkten Systems © G α ,αª β .Ordnetmanfüreinfestesα ∈ A jedem g α ∈ G α die Äquivalenzklasse [g α ] ∈ G zu, so erhält man einenHomomorphismusFür α ≤ β gilt offensichtlich β ◦ β α = α .G α 3 g α α7−→ [gα ] ∈ G (1.2)• Ist © M α ,αª β das direkte System von Rα -Moduln, so kann man M := lim M α in entsprechender Weise−→mit der Struktur eines R-Moduls versehen, wobei R := limR α .−→• Morphismen Υ : © ©M α ,αª β −→ Nα ,rαª β zwischen direkten Systemen von Rα -Moduln über einergerichteten Menge A sind kanonisch definierbar: Sie bestehen aus Familien (Υ α : M α −→ N α ) α∈AvonModulhomomorphismen, für welche die folgenden Diagramme (mit α ≤ β) kommutativsind.M αΥ α−→Nα β ↓ © ↓ α rαβΥ β−→ NβM β3
Proposition 1.11 Seien © ©M α ,αª β , Nα ,rαª β zwei direkte Systeme von Rα -Moduln über einer gerichtetenMenge A. Dann gibt es Isomorphismenlim (M α ⊕ N α ) ∼ ³ ³= limM −→ −→ α´⊕ limN −→ α´undlim (M α ⊗ Rα N α ) ∼ ³= limM −→ −→ α´⊗ lim−→R α³limN −→ α´Beweis. Übungsaufgabe. ¤2 Grundbegriffe aus der homologischen AlgebraDefinition 2.1 Eine Sequenz von R-Moduln und Modulhomomorphismen··· −→ fi−2 f i−1 f i f i+1 f i+2M i−1 −→ Mi −→ Mi+1 −→ Mi+2 −→ ···heißt exakt, wennBild(f i )=Kern(f i+1 ), für alle i. Insbesondere gilt dann f i+1 ◦ f i =0. Eine exakteSequenz der Form0 −→ M 0 f−→ M −→ gM 00 −→ 0heißt kurzeexakteSequenz.(Offensichtlich ist dann f injektiv und g surjektiv).Beispiel. Ist f : M → N ein Modulhomomorphismus, so lieferteine kurze exakte Sequenz.Proposition 2.2 Es sei M 0folgende Sequenz exakt:0 −→ Kern (f) → M f−→ N ³ Kokern (f) −→ 0f−→ M(Für α ∈ Hom(M,N), ist f ∗ (α) :=α ◦ f).g−→ M 00 −→ 0 eine exakte Sequenz. Für jeden Modul N ist dann0 −→ Hom (M 00 ,N) −→ g∗Hom (M,N) −→ f ∗Hom (M 0 ,N)Beweis. Übungsaufgabe. ¤Warnung. Betrachte die exakte Sequenz von Z-Moduln 0 −→ 2Z i→ Z. Dannisti ∗ : Hom (Z, Z) −→ Hom (2Z, Z) , i ∗ (α) =α | 2Z ,nicht surjektiv, denn für α ∈ Hom(Z, Z) ist α (2) immer gerade. Hom(2Z, Z) enthält aber z.B. den durchα (2) = 1 definierten Homomorphismus. Also Hom(Z, Z) −→ Hom(2Z, Z) −→ 0 ist nicht exakt!Proposition 2.3 Es sei 0 −→ M 0folgende Sequenz exakt:f−→ M(Für α ∈ Hom(N,M 0 ), ist f ∗ (α) :=f ◦ α).g−→ M 00 eine exakte Sequenz. Für jeden Modul N ist dann0 −→ Hom (N,M 0 ) f ∗−→ Hom (N,M) g ∗−→ Hom (N,M 00 )Beweis. Übungsaufgabe. ¤4
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