Die Sätze von de Rham und Dolbeault

heißt exakt, wenn für jedes x ∈ X(f i−1 )···−→ (F i−1 )xx−→exakt ist, d.h. Bild(f i ) x= Kern(f i+1 ) xfür alle i.(f i )(Fi )x(f i+1 )x−→ (Fi+1 )xx−→ ···Definition 5.9 (Lokal freie Garben) Sei R eine Garbe von (kommutativen) Ringen und F eine Garbevon R-Moduln über X. F heißt frei, wennF ∼ = R ⊕ R ⊕ ···⊕ R ⊕ R| {z }p-mal=: R pfür ein p ≥ 0. (Für p =0soll F trivial sein). F heißt lokal frei, wenn jeder Punkt x ∈ X eine derartigeUmgebung besitzt, daß F | U frei ist.Proposition 5.10 Sei X eine zusammenhängende differenzierbare oder komplexe Mannigfaltigkeit. Danngibt es eine Bijektion½¾ ½¾Isomorphieklassen von differenzierbaren 1:1 Isomorphieklassen von lokal freien←→(bzw. holomorphen) Vektorbündeln über X Garben von E - (bzw. O-) Moduln über XBeweis. Zuerst ordnet man jedem differenzierbaren (bzw. holomorphen) Bündel π : E −→ Xdie Garbeüber XU 7−→ E X (E)(U) :={diffenzierbare Abbildungen γ : U −→ E mit π ◦ γ = Id U }bzw.U 7−→ O X (E)(U) :={holomorphe Abbildungen γ : U −→ E mit π ◦ γ = Id U }(für alle offenen Teimengen U von X). Für jedes x ∈ X gibt es eine Umgebung von U von x, sodaß⎧⎨ E X (E)(U) ∼ = E X (U × R r ) falls K = RE | U∼ = U × Kr(r = Rang (E)) =⇒⎩O X (E)(U) ∼ = O X (U × C r ) falls K = CD.h.⎧⎨⎩E X (U × R r ) ∼ = (E X | U ) rfalls K = RO X (U × C r ) ∼ = (O X | U ) r falls K = C.Ist umgekehrt F eine lokal freie (oBdA nicht triviale) Garbe, so kann man immer eine offene Überdeckung(U i ) i∈Ivon X ein r>0 finden, so daß für alle i ∈ I, Isomorphismeng i : F | Ui∼ =−→ E p X | U i(bzw. O p X | U i).existieren. (r hängt nicht von i ab, denn X ist zusammenhängend). Definiereg ij := g i ◦ g −1j: E p X¯ ∼ = ¯Ui∩U j−→ E p ¯X¯Ui∩U j(bzw. O p X¯ ∼ = ¯Ui∩U j−→ O p ¯X¯Ui∩U j)und ordne F das differenzierbare (bzw. holomorphe) Bündel (E,g ij ) zu. ¤21