Die Sätze von de Rham und Dolbeault

• Das Standard-q-Simplex ∆ q , q ≥ 0, ist die Teilmenge des R q+1(∆ q := (t 0 ,t 1 ,... ,t q ) ∈ R q+1 | t 0 ,t 1 ,... ,t q ∈ R ≥0 undqXi=0)t i =1 .Es gilt: ∆ q = conv({e 0 ,e 1 ,... ,e q }),wobeie 0 =(1, 0,... ,0) ,e 1 =(0, 1, 0,... ,0) ,... ,e q =(0, 0,... ,0, 1).Die Punkte e 0 ,e 1 ,... ,e q sind die Ecken von ∆ q .Füri ∈ {0, 1,... ,q} heißt∆ i q := {(t 0 ,t 1 ,... ,t q ) ∈ ∆ q| t i =0} = conv ({e 0 ,... ,e i−1 ,e i+1, ... ,e q }) ⊂ ∆ qdie i-te Facette oder Seite von ∆ q .(∆ i q liegt der Ecke e i gegenüber). Für jedes i ∈ {0, 1,... ,q}, q ≥ 1,wird eine Seitenabbildung definiert:d i q : ∆ q−1 −→ ∆ q , d i q ((t 0 ,t 1 ,... ,t q−1 )) := (t 0 ,... ,t i−1 , 0,t i ,t i+1 ,... ,t q−1 )(Dies ist so zu verstehen, daß im Falle q =1gelten soll: d 0 1 (t 0 )=(0,t 0 ) ,d 1 1 (t 0 )=(t 0 , 0)). ∆ i q ist selbstein (q − 1)-Simplex. d i q ist also eine Abbildung, durch die man ∆ q−1 bijektiv auf ∆ i q ⊂ ∆ q abbildenkann. Außerdem ist d i q die Beschränkung der linearen Abbildung R q −→ R q+1 auf ∆ q−1 , die bestimmtist durch die folgende Zuordnung derkanonischen Basisvektoren:d i q :=½ej,für j