Die Sätze von de Rham und Dolbeault

Beispiele. In der folgenden Liste tragen wir die nicht-trivialen singulären Homologiegruppen weitererBeispiele ein. Beweise findet man in den Büchern der algebraischen Topologie.Nr. Raum X Nicht triviale Homologiegruppen Hq sing (X; Z) ,q≥ 1³ ´1. R n H• sing =0³ ´2. B n H• sing =03. S n Hnsing ∼= Z4. P 2nRH sing2n =0,Hsing ∼ 2k+1 = Z 2 , 0 ≤ k ≤ n − 15. P 2n+1RH sing ∼ 2k+1 = Z 2 , 0 ≤ k ≤ n − 16. P n C H sing2k∼= Z, 1 ≤ k ≤ n7. P n H (H à Quaternionen) Hsing4k∼= Z, 1 ≤ k ≤ n8. Kleinsche Flasche H sing1∼= Z ⊕ Z 2 , H sing2 =09. Orientierbare g-Flächen H sing1∼= Z 2g , H sing2∼= Z10. Nicht or. g-Flächen H sing1∼= Z g−1 ⊕Z 2 , H sing2 =0Bemerkungen. (i) In der algebraischen Topologie definiert man zu jedem topologischen Raum X, dertriangulierbar ist, d.h. der zu dem zugrundeliegenden Raum eines Simplizialkomplexes homöomorph ist,die sogenannten simplizialen Homologiegruppen Hqsimpl. (X; Z). Man zeigt dann, daß für triangulierbaretopologische Räume gilt Hqsimpl. (X; Z) ∼ = Hqsing. (X; Z), für alle q ∈ Z. Siehe z.B. R.Stöcker, H.Zieschang:Algebraische Topologie, Teubner, 2te Aufl. 1994, §9.7., S. 241-245.(ii) Ist X triangulierbar, so ist Rang ¡ Hqsing (X; Z) ¢ =: b q (X) eine nicht negative ganze Zahl. Sie heißtinsbesondere die q-te Betti-Zahl von X. Die alternierende Summe χ (X) := P q≥0 (−1)q b q (X) ist diesog. Euler-Poincaré Charakteristik von X.(iii) Ist A ⊂ X ein topologischer Teilraum von X, so lassen sich die sog. relativen Homologiegruppenvon X bezüglich A durchH singq(X, A; Z) :=H q (S • (X) /S • (A);Z)definieren. Zu jedem Raumpaar A→ X =(X, ∅) kanon.−→ (X, A) existiert nach (2.2) eine lange exakteHomologiesequenz···−→ H singq(A; Z) −→ H singq(X; Z) −→ H singq(X, A; Z) −→ H singq−1 (A; Z) −→ ···(iv) Sei π 1 (X, x 0 ) die Fundamentalgruppe eines wegweise zusammenhängenden topologischen RaumesX. Dann giltH sing1 (X; Z) ∼ = π 1 (X, x 0 ) / [π 1 (X, x 0 ) ,π 1 (X, x 0 )] ,wobei wir mit [., .] den Kommutator zweier Gruppen bezeichnen. In dem Seminar wurde schon angedeutet,daß wenn X eine orientierbare Fläche vom Geschlecht g ≥ 1 ist, dann ist*+gYπ 1 (X) ∼ = a 1 ,b 1 ,... ,a g ,b g [a¯¯¯¯¯ i ,b i ]=1¡[ai ,b i ]:=a i b i a −1i b −1 ¢i , wobei diese 2g Gruppenerzeugenden durch die entsprechenden zu X assoziierten“Polygone” beschrieben werden können.Definition 3.5 (Singuläre Homologiemoduln von X über R) Die Homologiemoduln von X überR werden durchi=1H singq (X; R) :=H q (S • (X) ⊗ Z R; R)definiert.13