Die Sätze von de Rham und Dolbeault

µDefinition 4.2 (Teilbündel) Ist E = SE x , π : E −→ X ein r-Bündel und E 0 eine derartige Teilmengevon E, daß(E 0 , π| E 0 : E 0 −→ X) in kanonischer Weise ein k-Bündel ist, k ≤ r, so nennt man esx∈Xein k-Teilündel des ursprünglichen.³Beispiele. (i) Ist (E,g ij ) ein Bündel, so heißtE ∨ , ¡ g −1ij¢ |´sein duales Bündel.(ii) Sind (E,g ij ) , (F, h ij ) zwei vorgegebene Bündel über X, so kann man kanonisch neue Bündel konstruieren,wie z.B.⎛⎞µ µ gij 0⎜⎟die direkte Summe E ⊕ F,, das Tensorprodukt0 h⎝E ⊗ K F, (g ij ) ⊗ K (h ij ) ⎠ ,ij | {z }Kronecker-Produktdas Quotientenbündel E/F (falls F ein Teilbündel von E ist), das Hom-Bündel Hom K (E,F), dasBündel der p-fachen äußeren Potenzen Vp E von E, 0 ≤ p ≤ Rang(E) , u.a.(iii) Die m-getwisteten Bündel O P nC(m), m ∈ Z, überP n C :Sind[z 0 : z 1 : ...: z n ] die homogenen Koordinatenvon P n C ,sosind¡ ¢O P nC(m) ,g ij holomorphe Linienbündel (d.h., vom Rang 1), mit gij (z) :=auf U i ∩ U j ,wobeiU i := {z ∈ P n C : z i 6= 0}, 0 ≤ i ≤ n.(iv) Das Tangentialbündel einer differenzierbaren n-dimensionalen Mannigfaltigkeit XT X = S½ ¾T X,x −→ X, wobei T X,x∼ ∂ ∂= R ,... , .∂x 1 ∂x nz∈Xx∈X(v) Das reelle Tangentialbündel einer komplexen n-dimensionalen Mannigfaltigkeit XT (R)X= S½ ¾T (R)X,z −→ X, wobei T ∼ ∂ ∂ ∂ ∂X,z = R ,... , , ,... ,∂x 1 ∂x n ∂y 1 ∂y nund seine KomplexifizierungT (C)X= T (R)X⊗ R C = Sz∈XT (C)X,z−→ X,wobei bzgl. eines lokalen Koordinatensystems z =(z 1 ,... ,z n ), z j = x j + √ −1 y j , ∀j, 1 ≤ j ≤ n,½ ¾ ½ ¾T (C) ∼ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂X,z = C ,... , , ,... , ∼= C ,... , , ,... , .∂x 1 ∂x n ∂y 1 ∂y n ∂z 1 ∂z n ∂z 1 ∂z nSpaltung:T (C)X½ ¾= T 0 (C)X⊕ T 00 (C)X, T 0 (C) ∂ ∂X,z∼= C ,... ,∂z 1 ∂z n| {z }holomorpher Anteil, T 00 (C)½ ∂∼= C¾∂∂z nX,z,... ,∂z 1| {z }anti-holomorpher Anteil.³z iz j´m(vi) Das Kotangentialbündel TX ∨ einer differenzierbaren n-dimensionalen Mannigfaltigkeit X.³(vii) Das komplexe Kotangentialbündel T (C)´∨X einer komplexen n-dimensionalen Mannigfaltigkeit Xmit der Spaltung:³ ´∨ ³ ´∨ ³= ⊕T (C)XT 0 (C)XT 00 (C)X´∨.(viii) Das Normalbündel N Y/X einer Untermanigfaltigkeit Y einer differenzierbaren Mannigfaltigjkeit Xist definiert als das QuotientenbündelN Y/X := (T X | Y ) /T Y .17