Die SÃ¤tze von de Rham und Dolbeault

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$symbolic math guide : an innovative way of teaching ... - Math.UOC$

wobei der Homomorphismus δ noch zu konstruieren ist. Wir erledigen zunächst die einfachen Teile desBeweises. Für x ∈ A 1 gilt α 2 (β 1 (x)) = γ 1 (α 1 (x)) = 0, alsoβ 1 (x) ∈ A 2 . Folglich ist β 1 | A1 : A 1 −→ A 2definiert. In der selben Weise sieht man, daß β 2 | A2 : A 2 −→ A 3 definiert ist. Offensichtlich istA 1−→ A 2 −→ A 3β 1 |A 1 β 2 |A 2ein Komplex. Wir müssen die Exaktheit an der Stelle A 2 zeigen. Es sei x ∈ A 2 und β 2 (x) =0. Danngibt es ein y ∈ B 1 mit β 1 (y) =x, d.h.,γ 1 (α 1 (y)) = α 2 (β 1 (y)) = α 2 (x) =0 (wegen x ∈ A 2 = Kern (α 2 ) )=⇒ α 1 (y) =0,daγ 1 injektiv =⇒ y ∈ A 1 ,womit die Exaktheit gezeigt ist. Nun in dem Kern der zusammengesetzten AbbildungγC1 π1 −→2C2 −→ D2liegt α 1 (B 1 ). Also induziert diese Abbildung einen Homomorphismus cγ 1 : D 1 −→ D 2 . Analog erhältman cγ 2 : D 2 −→ D 3 .Ausγ 2 ◦ γ 1 =0folgt unmittelbar cγ 2 ◦ cγ 1 =0, also Bild(cγ 1 ) ⊂ Kern(cγ 2 ).Wir zeigen jetzt die Exaktheit an der Stelle D 2 .Seix ∈ D 2 und cγ 2 (x) =0.Seiy ∈ C 2 mit π 2 (y) =x.Dann istπ 3 (γ 2 (y)) = cγ 2 (π 2 (y)) = cγ 2 (x) =0=⇒∃z ∈ B 3 : α 3 (z) =γ 2 (y) =⇒=⇒ ∃u ∈ B 2 : β 2 (u) =z (da β 2 surjektiv) =⇒ γ 2 (α 2 (u)) = α 3 (β 2 (u)) = α 3 (z) =γ 2 (y) =⇒=⇒ Für v := y − α 2 (u) gilt π 2 (v) =π 2 (y) =x und γ 2 (v) =0=⇒∃w ∈ C 1 : γ 1 (w) =v =⇒=⇒ cγ 1 (π 1 (w)) = π 2 (γ 1 (w)) = π 2 (v) =π 2 (y) =x =⇒ x ∈ Bild (cγ 1 ) , d.h., daßcγD1cγ1 −→2D2 −→D3in der Tat exakt ist.Konstruktion des Verbindungshomomorphismus δ. Wir konstruieren nun δ. Sei x ∈ A 3 . Danngibt es einy ∈ B 2 mit β 2 (y) =x (da β 2 surjektiv) =⇒ γ 2 (α 2 (y)) = α 3 (β 2 (y)) = α 3 (x) =0(da x ∈ A 3 ) =⇒=⇒ es gibt genau ein z ∈ C 1 mit γ 1 (z) =α 2 (y) ,daKern(γ 2 )= Bild (γ 1 ) und γ 1 injektiv.Definiereδ (x) :=π 1 (z)Wir müssen zeigen, daß diese Definition vernünftig, d.h. unabhängig von der Wahl von y ist: y kanndurch ein beliebiges Element der Form y + β 1 (u) ,u∈ B 1 , ersetzt werden. Dann wird z durch z + α 1 (u)ersetzt, undπ 1 (z + α 1 (u)) = π 1 (z) =δ (x)7
leibt unverändert. Die Abbildung δ ist ein Homomorphismus: Wählt man zu x, x 0 ∈ A 3 , r ∈ R,Elemente y, y 0 wie oben, so kann man zu x + x 0 bzw. rx die Elemente y + y 0 bzw. ry und z + z 0 bzw.rz wählen, also giltδ (x + x 0 )=π 1 (z + z 0 )=π 1 (z)+π 1 (z 0 )=δ (x)+δ (x 0 ) , δ(rx) =π 1 (rz) =rπ 1 (z) =rδ (x) .δDie zusammengesetzte Abbildung A 2 −→ A 3 −→ D 1 ist die Nullabbildung, denn berechnet man δ (x)für x = β 2 (u), u ∈ A 2 , so kann man y = u wählen und hat α 2 (u) =0,alsoz =0. Sei jetzt δ (x) =0fürein x ∈ A 3 .Dannistπ 1 (z) =0=⇒∃u ∈ B 1 : α 1 (u) =z =⇒ γ 1 (z) =γ 1 (α 1 (u)) = α 2 (β 1 (u)) =⇒=⇒ Für y 0 := y − β 1 (u) gilt β 2 (y 0 )=x, α 2 (y 0 )=0=⇒ y 0 ∈ A 2 und β 2 (y 0 )=x.Damit ist die Exaktheit an der Stelle A 3 bewiesen. Es bleibt die Exaktheit an der Stelle D 1 zu zeigen.Zunächst ist Bild(δ) ⊂ Kern(cγ 1 ), denn für jedes x ∈ A 3 giltcγ 1 (δ (x)) = cγ 1 (π 1 (z)) = π 2 (γ 1 (z)) = π 2 (α 2 (y)) = 0.Sei nun w ∈ C 1 mit cγ 1 (π 1 (w)) = π 2 (γ 1 (w)) = 0. Dann gibt es ein v ∈ B 2 mit α 2 (v) =γ 1 (w). Seix := β 2 (v). Dannistα 3 (x) =γ 2 (α 2 (v)) = γ 2 (γ 1 (w)) = 0 =⇒ x ∈ A 3 .Zu x kann man y = v und z = w wählen und erhält δ (x) =π 1 (w), alsoKern(cγ 1 ) ⊂ Bild(δ). Somit istder Beweis beendet. ¤Definition 2.12 (Ketten- und Kokettenkomplexe) Eine nach links bzw. nach rechts Mod R -Sequenzbzw.M • = {M i ,f i } i∈Z: ··· −→ fi+2 f i+1 f i f i−1 f i−2M i+1 −→ Mi −→ Mi−1 −→ Mi−2 −→ ···M • = © M i ,f iª i∈Zi−2i−1f i−1 f: ··· −→ M −→ M i f−→ ii+1i+2i+1 f i+2 fM −→ M −→ ···heißt Links-R-Komplex (oder Kettenkomplex über R) bzw. Rechts-R-Komplex (oder Kokettenkomplexüber R), wenn für alle i ∈ Z gilt:f i ◦ f i+1 =0 (⇐⇒ Bild (f i+1 ) ⊂ Kern (f i )) bzw. f i ◦ f i−1 =0 ¡ ⇐⇒ Bild ¡ f i−1¢ ⊂ Kern ¡ f i¢¢ .(Jedes Element von M i bzw. von M i heißt eine i-Kette bzw. eine i-Kokette. Dief i ’s bzw. f i ’s nennetman Randoperatoren bzw. Korandoperatoren.)Ein Morphismus Φ • : M • −→ M 0 • von Kettenkomplexen (bzw. ein Morphismus Φ • : M • −→ M 0• vonKokettenkomplexen) besteht aus einer Familie von R-Modulhomomorphismen Φ i : M i −→ Mi0 (bzw.Φ i : M i −→ M 0i ), für welche gilt:f 0 i ◦ Φ i = Φ i−1 ◦ f i (bzw. Φ i+1 ◦ f i = f 0i ◦ Φ i ).Analog definiert man das Bild, den Kern, den Kokern von solchen Morphismen sowie exakte Sequenzenvon Komplexen.Definition 2.13 (Homologie bzw. Kohomologiemoduln) Ist M • ein Kettenkomplex (bzw. M •ein Kokettenkomplex) über R, so nennt manH i (M • ):=H i (M • ; R) :=Kern (f i ) / Bild (f i+1 )8
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