Die Sätze von de Rham und Dolbeault

Theorem 3.12 (Poincaré Dualitätssatz) Sei R ein nullteilerfreier Hauptidealring und sei X einekompakte, zusammenhängende, R-orientierte n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann istein Modulisomorphismus für alle q, q ∈ Z.D X : H q (X; R) −→ H n−q (X; R)Zum Beweis siehe z.B. M.J.Greenberg, J.R.Harper: Algebraic Topology. A First Course, BenjaminPub.Co., (1981), Kapitel 26, S. 215-229. ¤Corollary 3.13 Sei R ein nullteilerfreier Hauptidealring und sei X eine kompakte, zusammenhängende,R-orientierte n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann gilt für die Betti-Zahlen b q (X) =Rang R (H q (X; R))von X:b q (X) =b n−q (X) , ∀q, 0 ≤ q ≤ nAußerdem ist der Torsionsuntermodul von H q (X; R) isomorph zu dem Torsionsuntermodul des ModulsH n−q−1 (X; R) .Corollary 3.14 (Perfekte Paarung) Sei R ein nullteilerfreier Hauptidealring und sei X eine kompakte,zusammenhängende, R-orientierte n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Die durch das cup-Produktinduzierte PaarungI q : H q (X; R) × H n−q (X; R) 3 (a, b) 7−→ ha ` b, [X]i = hb, D X (a)i ∈ Rist perfekt in dem Sinne, daß wenn I q (a, b) =0für alle a ∈ H q (X; R), dannistb eine Torsionsklasse;und umgekehrt, wenn I q (a, b) =0für alle b ∈ H n−q (X; R), dann ist a eine Torsionsklasse.4 Vektorbündel über differenzierbarenbzw. komplexen Mannigfaltigkeiten.In diesem Abschnitt betrachten wir nur differenzierbare und komplexe Mannigfaltigkeiten X; dieDefinitionensind wie üblich mit Hilfe von Karten, Übergangsfunktionen und maximalen Atlanten zu verstehen.Die Übergangsabbildungen sowie ihre Umkehrungen sind in dem ersten Fall C ∞ -differenzierbar; indemzweiten Fall holomorph. Zur Erinnerung: Ist f : U ⊂ C n −→ C n eine Abbildung von n komplexenVariablenz 1 = x 1 + √ −1 y 1 ,... ,z n = x n + √ −1 y n ,und∂:= 1 µ ∂− √ −1 ∂ ,∂z j 2 ∂x j ∂y j∂:= 1 µ ∂+ √ −1 ∂ ∂z j 2 ∂x j ∂y jdie üblichen Wirtinger-Operatoren mitdz j = dx j + √ −1 dy j ,dz j = dx j − √ −1 dyundnX ∂fnX ∂fdf = dz j + dz j ,∂zj=1 j∂zj=1 j| {z } | {z }∂f∂f15