Übungen zu Struktur der Materie II (Festkörperphysik)

Übungen zu Struktur der Materie II (Festkörperphysik)Prof. Dr. Dieter Weiss WS 2009/2010Dr. Silvia Garelli / Markus Schlapps Blatt 21. Miller'sche IndizesNanodrähte werden häug auf Kristalloberächen präpariert, die leicht geneigtsind bezüglich einer Ebene mit niedrigen Indizes.a) Berechnen Sie den Neigungswinkel zwischen der (2 40 0)- und der (010)-Ebeneeines kubischen Kristalls.b) Wie groÿ ist der Abstand zwischen den (2 40 0)-Ebenen bei einem kubischächenzentrierten Kristall mit der Gitterkonstante a = 2 Å?c) Welche Photonenenergie ist mindestens erforderlich, um einen Röntgen-Reex1.Ordnung zu erhalten?2. Bindungsenergie ionischer VerbindungenFür die Coulombenergie pro Ionenpaar giltU C =−e24πɛ 0 r 0α = −14.40 eV ·αr 0 /Åmit dem Gleichgewichtsabstand der Ionen r 0 sowie der Madelungskonstante α. Fürdie Natriumchloridstruktur ist α ≈ 1.7476.a) Berechnen Sie für die Verbindungen LiCl (a = 5.14 Å), NaCl (a = 5.64 Å) undRbF (a = 5.63 Å) jeweils die auf ein Ionenpaar bezogene Coulombenergie.b) Die gesamte potentielle Energie von Ionen im Kristall setzt sich zusammenaus der bindenden Coulombenergie U C und einem abstoÿenden Anteil, fürden hier das exponentiell verlaufende PotentialU BM (r ij ) = B · exp(− r ijρ )nach einem Ansatz von BORN und MAYER angenommen werden soll (Abbildung1). Der Abstand zwischen zwei Ionen i und j wird dabei durch dieGrösse r ij gegeben, während B und ρ von der jeweiligen Substanz abhängendeParameter darstellen.Für die obengenannten Ionenkristalle betragen die experimentell ermitteltenBindungsenergien pro Ionenpaar E B (LiCl) = 8.93 eV, E B (NaCl) = 8.23 eV1

Abb. 1: Typischer Verlauf der potentiellen Energie eines Ionsin Abhängigkeit vom Abstand nächster Nachbarnund E B (RbF) = 8.17 eV. Schätzen Sie mit Hilfe dieser Werte und der obenberechneten Coulombenergien die Gröÿenordnung des Parameters ρ ab. Aufgrundder kurzen Reichweite der abstoÿenden Kräfte sind dabei lediglich Beiträgeder nächsten Nachbarionen zu berücksichtigen.c) Ein alternativer Ansatz von PAULING sowie von BORN und LANDÉ benutztfür das abstoÿende Potential zwischen Ionen eine Potenzabhängigkeitder FormU BL (r ij ) = B .rijnWelcher Exponent n führt in diesem Fall zu Übereinstimmung mit den obenangegebenen experimentellen Bindungsenergien?3. Reziprokes GitterZeigen Sie, dass das reziproke Gitter eines fcc Gitters bcc ist und umgekehrt.Im allgemeinen Fall berechnen sich die Basisvektoren ⃗ b i , i = 1,2,3 des reziprokenGitters aus den Basisvektoren ⃗a j , j = 1,2,3 des direkten Gitters nach⃗⃗a 2 × ⃗a 3b1 = 2π⃗a 1 · (⃗a 2 × ⃗a 3 ) , ⃗ ⃗a 3 × ⃗a 1b 2 = 2π⃗a 1 · (⃗a 2 × ⃗a 3 ) , ⃗ ⃗a 1 × ⃗a 2b 3 = 2π⃗a 1 · (⃗a 2 × ⃗a 3 )4. Bragg ReexionAn einem Kupferpulver beobachtet man bei Zimmertemperatur (T = 293 K) einenReex unter dem Bragg Winkel θ = 47,75 ◦ . Wie groÿ ist der linear thermischeAusdehnungskoezient, wenn bei T = 1293 K der Winkel 46,60 ◦ beträgt?2