alte Klausuren - Oliver Kirchkamp

c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 3 12. JULI 2010 5a) Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte in reinenStrategien (mit Begründung).b) Prüfen Sie, ob eines der Gleichgewichte Paretoeffizientist (mit Begründung).c) Prüfen Sie nun, ob eines der Gleichgewichte dasandere risiko-dominiert (mit Begründung).d) Erstellen Sie nun ein Spiel in Normalform mitzwei Spielern, die jeweils zwei Strategien haben.Dieses Spiel soll zwei Nash-Gleichgewichtein reinen Strategien haben, von denen keinesPareto-effizient ist (mit Begründung).2. Betrachten Sie folgendes Zweipersonenspiel (die Auszahlung von Spieler 1 ist jeweils unten links, die Auszahlungvon Spieler 2 jeweils oben rechts angegeben):Spieler 1a) Gibt es strikt dominierte Strategien? Geben Siediese mit Begründung an.b) Vereinfachen Sie das Spiel durch iteratives Eliminierenstrikt dominierter Strategien. GebenSie die Strategien mit Begründung an.c) Betrachten Sie nun das vereinfachte Spiel undABCDESpieler 2f g h i j1/2 1 22 10 1/2 0 −1/2 −11/2 00 1 −1/2211 0 1/21 1/2 2 200 1/2 −1/2 −101 −1/21 1/2 1/21/2 1 −1/2 021/2 −1 1/2 2 02 2 0 1/2 1bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte in reinenund gemischten Strategien (mit Begründung).d) Prüfen Sie nun, ob das Gleichgewicht/dieGleichgewichte, die Sie im vereinfachten Spielgefunden haben, evolutionär stabil sind.3. Betrachten Sie das folgende Spiel (die Auszahlungvon Spieler 1 ist jeweils unten links, die Auszahlungvon Spieler 2 jeweils oben rechts angegeben).Spieler 1ABSpieler 2c d−1 0−4 −10−10 −60 −9a) Beschreiben Sie das Spiel in extensiver Formund beschreiben Sie ein Gleichgewicht.b) Um welche Art von Spiel oder Situation handeltes sich?c) Gehen Sie nun davon aus, dass die Spieler vordem Spiel einen bindenden Vertrag über ihre jeweiligenStrategien schließen können. BestimmenSie die Nash-Verhandlungslösung.d) Auf Basis welcher weiterer Mechanismen könnteKooperation hier zustande kommen?4. Anna möchte ihr 4 Jahre altes Auto verkaufen.Annas Werkstatt stellt fest, dass das Auto in gutemZustand ist und beziffert den tatsächlichenWert auf 10000 Euro. Auf dem Rückweg von derWerkstatt trifft sie Maria, die am Kauf des Wagensinteressiert ist. Sie bittet Maria, doch späteranzurufen, um zu sagen wieviel sie für das Autobezahlen würde. Anna entscheidet dann, ob siedas Gebot annimmt oder ablehnt. Maria informiertsich und liest in der Zeitschrift „Fahrzeugtest“,dass von dieser Art Wagen nach 4 Jahren nurnoch etwa 40% in gutem Zustand sind (Wert Euro10000), 60% aber in schlechtem Zustand (WertEuro 5000). Zudem erfährt sie, dass die Wertschätzungeines Verkäufers eines Gebrauchtwagensnur 50% des tatsächlichen Werts des Autos5

c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 4 23. FEBRUAR 2010 6beträgt.a) Beschreiben Sie die Abfolge der Züge in diesemSpiel. Ermitteln Sie die Auszahlungen der Spieler.b) Stellen Sie das Spiel in extensiver Form dar.Skizzieren Sie dabei die (potentiell unendlichvielen) Angebote von Maria nur beispielhaft,ähnlich wie wir das z.B. in der Vorlesung imStackelbergspiel gemacht haben. KennzeichnenSie die Informationsbezirke.c) Bestimmen Sie das Gleichgewicht dieses Spiels.Erläutern Sie.4 23. Februar 2010Bitte begründen Sie alle Ihre Antworten. Bearbeiten Sie die Klausur bitte in einer Stunde und ohne Hilfsmittel.Viel Erfolg!1. Betrachten Sie das folgende kooperative Spielmit drei Spielern, A, B, und C . Es gilt v(A)=100,v(B)=50, v(C)=0, v(A, B)=270, v(A,C)=220,v(B,C)=170, v(A, B,C)= 350 wobei v(K) jeweilsden Wert einer Koalition K bezeichnet.a) Überführen Sie dieses Spiel in ein 0-1-normalisiertes 3 Personen Spiel 0−1 .b) Stellen Sie die Menge der dominierten Imputationengraphisch dar. Geben Sie in Ihrer Zeichnung(oder in Ihren Zeichnungen) klar an, welcheMenge zu welcher Koalition gehört.c) Falls der Kern des Spiels 0−1 nicht leer ist,geben Sie eine Allokation im Kern des 0-1-normalisieren Spiels an.d) Gibt es eine Allokation im Kern des ursprünglichenSpiels, bei der A einen Betrag von 160 erhält?Begründen Sie kurz.e) Gibt es eine Allokation im Kern des ursprünglichenSpiels, bei der A einen Betrag von 200 erhält?Begründen Sie kurz.2. Betrachten Sie folgendes Spiel in extensiver Form:1a79• 1c9b 28d1a) Wieviele Teilspiele hat das Spiel (zählen Sie dasSpiel selbst mit)?b) Wieviele Strategien hat Spieler 1? Wieviele hatSpieler 2?c) Transformieren Sie das Spiel in Normalform.d) Finden Sie alle Nash-Gleichgewichte des Spiels.e) Welche davon sind nicht teilspielperfekt?3. Ein Entscheider mit von Neumann-MorgensternPräferenzen hat Präferenzen≻≻ über dieAllokationen ,, und .Sei eine Lotterie, die ihm mit Wahrscheinlichkeit1/2 die Allokation und mit Wahrscheinlichkeit1/2 die Allokation gibt. Unser Entscheiderhat Präferenzen≻.Sei eine Lotterie, bei der er mit Wahrscheinlichkeit1/4 die Allokation und mit Wahrscheinlichkeit3/4 die Allokation erhält, und sei eineLotterie, bei der er mit Wahrscheinlichkeit 1/2 dieAllokation und mit Wahrscheinlichkeit 1/2 dieAllokation erhält. Können Sie sagen, was dieserEntscheider wählen wird, wenn er sich zwischen und entscheiden muss. Begründen Sie IhreAntwort kurz.4. Betrachten Sie folgendes Spiel in Normalform: Mariaa b0 1aEva 0 22 3b1 36

c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 5 23. FEBRUAR 2009 8Zur Erinnerung: ∑ ∞i=0 δi = 11−δ3. Andreas und Bettina sind miteinander verabredet.Leider wissen Sie nicht mehr, ob Sie sich nun fürsKino, das Konzert oder das Kabarett entschiedenhaben. Alle Veranstaltungen beginnen zur gleichenZeit und es ist so spät, dass sich beide sofortentscheiden müssen, wohin sie jeweils gehen, ohnejedoch zu wissen, wofür die andere Person sichentscheidet.Für Andreas gilt• Konzert≻ Kabarett≻Kino.Für Bettina hingegen gilt• Kino≻Kabarett≻Konzert.Der Nutzen für die jeweils meistpräferierte Optionist 3, für die zweitbeste Option 2 und für dieam wenigsten präferierte Option 1.Falls sich die beiden treffen und den Abend gemeinsamverbringen, ist der Nutzen für jeden derbeiden wie oben angegeben. Falls sich die beidennicht treffen, ist der Nutzen für jeden der beidenjeweils 0.a) Stellen Sie das Spiel in Normalform dar.b) Finden Sie alle Gleichgewichte in reinen Strategien.Begründen Sie Ihre Antwort.c) Finden Sie alle Gleichgewichte in gemischtenStrategien. Begründen Sie Ihre Antwort.d) Stellen Sie das Spiel in extensiver Form dar.e) Nehmen Sie nun an, dass Andreas einen gemeinsamenFreund trifft, der ihm verrät, dassBettina vor dem Kabarett steht und dort auf ihnwartet. Stellen Sie das neue Spiel in extensiverForm und in Normalform dar (gehen Sie davonaus, dass Bettina keine Entscheidung mehr fällenmuss).f) Bestimmen Sie nun alle Gleichgewichte desSpiels aus 3e in gemischten und reinen Strategien.Begründen Sie Ihre Antwort.g) Betrachten Sie wieder das ursprüngliche Spiel(Teilaufgabe 3a–3d). Allerdings kommen Bettinaplötzlich Zweifel, ob sie in Teilaufgabe 3a–3d nicht die Vorlieben von Andreas mit denenvon Christian verwechselt hat. Eigentlich weißsie nur, dass Andreas entweder die Präferenzeni. Konzert≻ Kabarett≻Kinooder die Präferenzenii. Kino≻Konzert≻Kabaretthat. Beides erscheint ihr genau gleich wahrscheinlich.Dadurch wird ihr Leben um einigeskomplizierter. Allerdings erinnert sie sich wiederdaran, dass sie beim Frühstück mit Andreasausgemacht hat, auf keinen Fall ins Kabarett gehenzu wollen. Es verbleibt also beiden nur dieWahl zwischen Konzert und Kino. Zeichnen Sieden Spielbaum mit allen Informationsbezirken.4. Betrachten Sie das folgende Spiel (die Auszahlungen von Spieler 1 sind links unten, die von Spieler 2 in derMitte, und die von Spieler 3 oben rechts angegeben):•3 m1wi32oi3o22w0i17m24o2210w00i15m02o02151w0110m17211a) Finden Sie alle teilspielperfekten Gleichgewichte.b) Finden Sie mindestens ein Nash Gleichgewicht, welches nicht teilspielperfekt ist.8

c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 6 22. JULI 2008 96 22. Juli 2008Bitte begründen Sie alle Ihre Antworten. Bearbeiten Sie die Klausur bitte in einer Stunde und ohne Hilfsmittel.Viel Erfolg!1. Betrachten Sie das folgende Spiel. Die Knoten an denen Spieler 1 zum Zuge kommt, sind mit 1 a , 1 b , 1 c und1 d gekennzeichnet. Die Knoten an denen Spieler 2 zum Zuge kommt sind mit 2 a , 2 b , 2 c und 2 d gekennzeichnet.Die gestrichelten Linien kennzeichnen jeweils Knoten, die zu einem Informationsbezirk gehören.1 ar 112 al 12 b2 cl 2R 21 bL 1r 22 dR 21R 11 cl 3 r 3400L 14−1R 11 dl 4 r 4−100L 24L 22331412a) Wie viele reine Strategien hat Spieler 1? Wie vielereine Strategien hat Spieler 2?b) Bestimmen Sie alle teilspielperfekten Gleichgewichtein reinen und gemischten Strategienund beschreiben Sie diese vollständig.c) Finden Sie ein Nash-Gleichgewicht, welchesnicht teilspielperfekt ist.2. Betrachten Sie folgendes Zweipersonenspiel (dieAuszahlung von Spieler 1 ist jeweils unten links,die Auszahlung von Spieler 2 jeweils oben rechtsangegeben):Spieler 1ABCDESpieler 2f g h i j0 1 2 0 23 1 0 0 −1−2 2 4 3 04 2 1 1 02 4 2 −2 35 0 0 0 −5−3 4 −1 2 02 1 −1 2 0−3 1 0 −4 05 4 0 7 1a) Können Sie strikt dominierte Strategien eliminieren?Geben Sie diese mit Begründung an.b) Können Sie wiederholt strikt dominierte Strategieneliminieren? Geben Sie diese mit Begründungan.c) Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte in reinenStrategien (mit Begründung).d) Gibt es Nash-Gleichgewichte in gemischtenStrategien? Falls ja, bestimmen Sie diese.e) Welches spieltheoretische Standard-Spiel stelltdie Matrix nach der Eliminierung aller strikt dominiertenund rekursiv strikt dominierten Strategiendar?f) Beschreiben Sie eine Situation, die durch diesesSpiel dargestellt wird.3. Betrachten Sie folgendes Zweipersonenspiel (dieAuszahlung von Spieler 1 ist jeweils unten links,die Auszahlung von Spieler 2 jeweils oben rechtsangegeben):9

c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 7 27. JULI 2007 11a) Vorerst sei x= 4:i. Gibt es strikt dominierte Strategien? Wenn ja,warum? Geben Sie diese an.ii. Gibt es rekursiv strikt dominierte Strategien?Wenn ja, warum? Geben Sie diese an.iii. Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte inreinen Strategien (mit Begründung):b) Nun sei x beliebig. Geben Sie die Werte von xan für die sich ein weiteres Nash-Gleichgewichtin reinen Strategien ergibt (mit Begründung).c) Es gilt nun wieder x = 4. Bestimmen Sie allemöglichen Gleichgewichte in gemischten Strategien.2. Anna und Bernd sind ein Paar. Abwechselnd haben sie die Möglichkeit, ihren Partner auszunutzen (unddamit die Beziehung zu beenden) oder die Beziehung fortzuführen.• Entscheidet sich ein Partner für Fortführen, erhaltenbeide eine Nutzeneinheit und die Beziehungwird in der nächsten Periode fortgesetzt.• Entscheidet sich ein Partner für Ausnutzen, enthältdieser Partner zwei Nutzeneinheiten undder andere keine Nutzeneinheit. Ausserdemwird das Spiel dann nicht fortgesetzt.In der ersten Runde entscheidet Anna über dieZukunft der beiden, in der zweiten Bernd, dannwieder Anna,. . . Nach 50 Runden endet das Spiel.a) Welches Lösungskonzept ist (in der rationalenWelt der Spieltheorie) für dieses Spiel angemessen?b) Wie lange hält diese Beziehung?c) Was ist der Gesamtnutzen von Anna? Was ist derGesamtnutzen von Bernd?Erklären Sie Ihre Lösung.3. In einem Duopol konkurrieren die beiden Firmena und b . Sie produzieren die Mengen q a und q b .Das Marktangebot ist Q= q a + q b . Die Nachfragewird bestimmt durch die Funktion p(Q)=A−3·Q.Die Grenzkosten der beiden Firmen sind konstantund kleiner als A/2.a) Bestimmen Sie das Nash Gleichgewicht imCournot Modell. Geben Sie Lösungsweg, Mengenund Gewinne an.b) Skizzieren Sie die Reaktionsfunktionen der beidenFirmen in einem passenden Diagramm.c) Berechnen Sie nun die Produktionsmenge vonFirma a , wenn diese als Stackelberg-Führeragiert.4. Betrachten Sie folgendes Zweipersonenspiel (dieAuszahlung von Spieler 1 ist jeweils unten links,die Auszahlung von Spieler 2 jeweils oben rechtsangegeben):Spieler 1ABCSpieler 2d e f4 8 64 0 00 0 18 0 10 1 26 1 2a) Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte in reinenStrategien (mit Begründung):b) Was sind die minimax Auszahlungen der beidenSpieler?c) Dieses Spiel wird nun unendlich oft wiederholt.Die Auszahlungen werden mit dem Diskontfaktorδabdiskontiert.Nehmen Sie an, dass dieSpieler die folgende Strategiekombination spielen:• Spieler 1 beginnt mit A und bleibt dabei, jedenfallssolange Spieler 2 d spielt. Tut Spieler2 das einmal nicht, wird Spieler 1 fortan immerC spielen.• Spieler 2 beginnt mit d und bleibt dabei, jedenfallssolange Spieler 1 A spielt. Tut Spieler1 das einmal nicht, wird Spieler 2 fortan immerf spielen.Für welche Werte vonδ ist das ein Nash Gleichgewicht?d) Ist diese Strategiekombination auch ein teilspielperfektesGleichgewicht? Falls nicht, gebenSie eine Strategiekombination an, die diegleiche Auszahlung in einem teilspielperfektesGleichgewicht ergibt.11

c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 8 APRIL 2005 128 April 2005Begründen Sie bitte alle Ihre Antworten! Schreiben Sie bitte auf jedes Blatt Ihren Namen und machen Sie klar,zu welcher Aufgabe Ihre Lösung jeweils gehört. Es gibt keine weiteren Hilfsmittel. Viel Erfolg1. Eva betreibt einen Schnellimbiss und verkauftCurrywurst. Die Produktionskosten einer Currywurstliegen bei 1. Die Verhandlungen zwischenEva und ihren Kunden laufen wie folgt ab:• Eva schlägt einen Preis p 1 vor.• Der Kunde nimmt das Angebot entweder anoder er lehnt es ab. Falls er es annimmt, ist dieAuszahlung von Eva p 1 − 1 und die Auszahlungdes Kunden b− p 1 , wobei b seine Zahlungsbereitschaftist.Falls er es ablehnt, erhalten beide eine Auszahlungvon Null.a) Die Zahlungsbereitsschaft des Kunden ist 2.Welchen Preis p 1 schlägt Eva im Gleichgewichtvor?b) Im folgenden gehen wir davon aus, dass es zweiTypen von Kunden gibt, hungrige und satte.Die hungrigen haben eine Zahlungsbereitschaftvon 3, die satten eine Zahlungsbereitschaft von2. Ein Anteil vonρ= 2/3 aller Kunden ist hungrig.Welche Preise p 1 kann Eva im Gleichgewichtvorschlagen?c) Nun ist der Anteil der hungrigen Kundenρ=1/2. Welche Preise p 1 kann Eva im Gleichgewichtvorschlagen?d) Nun ist der Anteil der hungrigen Kundenρ=1/3. Welche Preise p 1 kann Eva im Gleichgewichtvorschlagen?e) Die Verhandlungen laufen nun anders ab.• Eva schlägt einen Preis p 1 vor.• Der Kunde nimmt das Angebot entweder anoder er lehnt es ab. Falls er es annimmt, istdie Auszahlung von Eva p 1 − 1 und die Auszahlungdes Kunden b− p 1 , wobei b die Zahlungsbereitschaftist.• Falls der Kunde das Angebot ablehnt, tretenEva und ihr Kunde in die zweite Verhandlungsperiodeein. Auszahlungen aus dieserPeriode werden mit dem Faktorδabdiskontiert.Eva macht nun einen zweiten Vorschlagp 2 .• Der Kunde nimmt das Angebot der zweitenPeriode entweder an oder er lehnt es ab. Fallser es annimmt, ist die Auszahlung von Evaδ·(p 2 − 1) und die Auszahlung des Kundenδ·(b− p 2 ).Falls er es ablehnt, erhalten beide eine Auszahlungvon Null.Überlegen Sie zuerst, was passiert, wenn diezweite Verhandlungsperiode erreicht wird. GehenSie davon aus, dass in der ersten Periodeρ= 1/3. Bezeichnen Sie den Anteil aller Hungrigendie das Angebot in der ersten Periode ablehnenmit h und den Anteil aller Satten die dasAngebot in der ersten Periode ablehnen mit s .Bezeichnen Sie den relativen Anteil der Hungrigenin der zweiten Periode mitσ. Welches Angebotp 2 wird Eva machen? Hängt das Ergebnisvonδab? Machen Sie gegebenenfalls Fallunterscheideungen.f) Was passiert in der ersten Verhandlungsperiode?i. Wie verhält sich ein satter Kunde in der erstenRunde?ii. Wie verhält sich ein hungriger Kunde in derersten Runde?iii. Welches Angebot p 1 wird Eva in der erstenRunde machen?2. Betrachten Sie das folgende Spiel:SpielerIABSpieler IIA B3 43 00 14 1Das Spiel wird unendlich oft wiederholt. Die Auszahlungender Spieler ist die mit dem FaktorδabdiskontierteSumme der Auszahlungen der einzelnenPerioden δ t u tT∑.t=0Spieler I und I I benutzten jeweils die Strategie titfor-tat,d.h., sie beginnen in der ersten Periode mitA und wählen fortan die Aktion die der jeweils an-12

c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 9 FEBRUAR 2005 13dere Spieler in der vorangegangenen Periode gewählthat.a) Für welche Diskontfaktorenδist obige Kombinationvon Strategien ein Nash Gleichgewichtdes unendlich wiederholten Spiels?b) Erklären Sie, warum für alle diese Diskontfaktorenobige Kombination von Strategien keinteilspielperfektes Gleichgewicht des unendlichwiederholten Spiels ist.c) Finden Sie eine Strategie für das unendlich wiederholteSpiel so dass es für hinreichend großeδ ein teilspielperfektes Gleichgewicht darstelltwenn beide Spieler dieser Strategie folgen.3. Betrachten Sie das folgende Spiel:SpielerIABSpieler IIc d e3 2 03 2 00 2 40 4 4a) Bestimmen Sie alle Gleichgewichte in reinenStrategien.b) Bestimmen Sie alle Gleichgewichte in gemischtenStrategien.c) Nun wird das Spiel zweimal gespielt. Die Auszahlungist die Summe der Auszahlungen derbeiden Perioden. Gibt es ein teilspielperfektesGleichgewicht in dem in der ersten Periode B, dgespielt wird?d) Gibt es ein teilspielperfektes Gleichgewicht indem in der ersten Periode A, e gespielt wird?9 Februar 2005Begründen Sie bitte alle Ihre Antworten! Schreiben Sie bitte auf jedes Blatt Ihren Namen und machen Sie klar,zu welcher Aufgabe Ihre Lösung jeweils gehört. Es gibt keine weiteren Hilfsmittel.Viel Erfolg1. Betrachten Sie das folgende Spiel in Normalform.Die Auszahlungen von Spieler I sind linksunten, die Auszahlungen von Spieler I I rechtsoben angegeben.SpielerIABSpieler IIA B3 x3 x0 50 5a) Sei x = 4. Bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichtein reinen und gemischten Strategien.Welche Strategien sind evolutionär stabil?b) Sei x = 2. Bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichtein reinen und gemischten Strategien.Welche Strategien sind evolutionär stabil?c) Sei x= 4. Was ist die Minimax Auszahlung fürjeden Spieler? (berücksichtigen Sie, wie in derVorlesung, auch gemischte Strategien).d) Das Spiel werde unendlich oft wiederholt.Die Auszahlung der Spieler sei der Grenzwertdes Mittelwertes der AuszahlungenlimT→∞ inf 1 TT∑u t .t=0Sei x= 4. Welche Auszahlungen können in einemteilspielperfekten Gleichgewicht erreichtwerden?e) Sei x beliebig. Welche Auszahlungen könnennun in einem teilspielperfekten Gleichgewichtdes unendlich oft wiederholten Spieles erreichtwerden? Machen Sie gegebenfalls Fallunterscheidungen.f) Sei x= 4. Nehmen Sie an es werde im unendlichoft wiederholten Spiel die folgende Strategiekombinationgespielt:Spieler I: Spiele immer A.Spieler I I: Beginne mit B und bleibe dabei, essei denn, es ist irgendwann einmal nicht A, Bgespielt worden (Spieler I hat nicht A gespieltoder Spieler I I hat nicht B gespielt). Spiele abdann immer A.Ist diese Strategiekombination ein Nash Gleichgewicht?Ist diese Strategiekombination ein teilspielperfektesGleichgewicht?13

c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 10 APRIL 2004 14g) Gibt es für den Fall x= 0 im unendlich oft wiederholtenSpiel ein teilspielperfektes Gleichgewicht,in dem beide Spieler eine Auszahlungvon 2 bekommen? Falls ja geben Sie ein Beispielfür ein solches teilspielperfektes Gleichgewicht.h) Gibt es für den Fall x= 0 im unendlich oft wiederholtenSpiel ein Nash Gleichgewicht, in dembeide Spieler eine Auszahlung von 2 bekommenund das nicht teilspielperfekt ist? Falls ja gebenSie ein Beispiel für ein solches Nash Gleichgewicht.2. Eva und Maria verhandeln über einen Kuchen,der nur in n gleichgroße Stücke zerschnitten werdenkann. Das Ergebnis der Aufteilung kann alsodurch eine ganze Zahl i∈{0, . . ., n} beschriebenwerden, wobei dann Eva einen Anteil i/n bekommtund Maria einen Anteil(n− i)/n.Die Verhandlungen laufen wie folgt ab: In jederRunde hat eine der beiden Spielerinnen die Möglichkeit,eine Aufteilung (einen Wert von i ) auszuschließen.Eva beginnt, danach wechseln sich diebeiden ab. Die Verhandlungen sind abgeschlossen,sobald nur noch eine Aufteilung übrig bleibt.a) Sei n= 2. Es gibt also drei mögliche Aufteilungen:Eva bekommt gar keinen Kuchen, sie bekommtden halben Kuchen, oder sie bekommtden ganzen Kuchen.Wieviel Strategien hat Eva? Wieviele Strategienhat Maria?b) Finden Sie alle teilspielperfekten Gleichgewichtedes Spieles. Welche Aufteilung wird erreicht?c) Gibt es ein Nash Gleichgewicht das zu einer anderenAufteilung führt? Wenn ja, beschreibenSie es.d) Sei n = 3. Wieviele Strategien hat Eva jetzt?Wieviele Strategien hat Maria? (Falls Sie keineLust haben, das Ergebnis im Kopf auszurechnen,schreiben Sie auf, was man ausrechnenmüsste.)e) Bestimmen Sie alle teilspielperfekten Gleichgewichtefür n= 3.f) Sei n eine beliebige Zahl. Auf welche Aufteilungeinigen sich die beiden im teilspielperfektenGleichgewicht?3. Betrachten Sie das folgende Spiel in extensiverForm. Spieler I ist in den Knoten I 1 und I 2 am Zug.Spieler I I ist nur im Knoten I I 1 am Zug:A 1 a 1 4• I 1 I I 1 I 20D 1 d 1 D 20 2 010a) Wie viele Strategien hat Spieler I , wieviele hatSpieler I I ?b) Finden Sie alle teilspielperfekten Gleichgewichtedes Spieles.c) Transformieren Sie das Spiel in Normalformund finden Sie alle Nash Gleichgewichte.d) Betrachten Sie nun wieder das Spiel in extensiverForm: Spieler I I hat allerdings erfahren,3A 2dass es zwei Typen von Spieler I gibt. Spieler,die das Spiel verstanden haben, und Spieler dieimmer A spielen (d.h. im Knoten I 1 spielen sieimmer A 1 und im Knoten I 2 spielen sie immerA 2 ). Der Anteil der Spieler die immer A spielenistε, der Anteil der Spieler die das Spiel verstandenhaben ist 1−ε.Nehmen Sie an, von den Spielern I , die das Spielverstanden haben, wählt ein Anteil x im KnotenI 1 die Aktion A 1 . Wenn Spieler I I im KnotenI I 1 zum Zug kommt, mit welcher Wahrscheinlichkeittrifft er dann auf einen Spieler I der dasSpiel verstanden hat?e) Gibt es in diesem Spiel ein Gleichgewicht in reinenStrategien? Falls ja, was ist es und welcheAuszahlungen erhalten die Spieler?f) Gibt es in diesem Spiel ein Gleichgewicht in gemischtenStrategien? Falls ja, was ist es und welcheAuszahlungen erhalten die Spieler?10 April 2004Begründen Sie bitte alle Ihre Antworten!14

•1c○ Oliver Kirchkampx3BW24.2 — 10 APRIL 2004 151. Betrachten Sie das folgende Spiel in extensiverForm. Die Auszahlungen von Spieler I sind linksunten, die Auszahlungen von Spieler I I rechtsoben angegeben. Wenn Spieler I sich in KnotenI a oder I b befindet, weiß er nur, dass er in einemder beiden Knoten ist, er kann nicht sagen, in welchemder beiden Knoten er sich befindet.LxAI aRID0l0I Ir00LI ba) Welches Lösungskonzept ist für dieses Spiel angemessen?b) Nehmen Sie an, dass x = 2 ist Wenden Siedas Lösungskonzept an, und bestimmen Sie alleGleichgewichte.c) Sei immer noch x= 2. Transformieren Sie dasSpiel in Normalform und bestimmen Sie alleNash Gleichgewichte.d) Sei immer noch x = 2. Betrachten Sie wiederdas Spiel in extensiver Form . Das Spiel wirdmehrmals gespielt. Die Spieler können jeweilsden Ausgang der vorangegangenen Runden beobachten.Ist es möglich, dass, wenn das Spielzweimal gespielt wird, im Gleichgewicht in derersten Runde DR, l gespielt wird? Falls nein, wieoft muss man das Spiel spielen, damit es einGleichgewicht gibt, in dem in der ersten RundeDR, l gespielt wird?e) Betrachten Sie wieder das Spiel in extensiverR Form . Sei x eine beliebige relle Zahl. BestimmenSie alle Gleichgewichte und machen Siegegebenenfalls Fallunterscheidungen (Hinweis:1kann es sein, dass Spieler I im Gleichgewicht3über A und D mischt? Wenn ja, für welche Wertevon x ?)2. Zwei Unternehmen stellen jeweils ein Produkther, das gegebenenfalls durch eine neue Erfindungverbessert werden kann. Die Unternehmergehen davon aus, dass der Wert der Erfindung fürbeide Unternehmen unabhängig und gleichverteiltim Intervall[0, 100] ist. Wir nennen den Wertden die Erfindung für Unternehmen 1 hat v 1 , undden Wert den die Erfindung für Unternehmen 2hat v 2 .Der Erfinder bietet nur den beiden Unternehmendas folgende Vorgehen an. Jeder Unternehmer inennt dem Erfinder einen Preis p i , und der Unternehmermit dem höchsten Preis bekommt dasRecht die Erfindung zu nutzen und muß den Preiszahlen. Sein Nutzen ist also v i −p i . Der Nutzen desUnternehmers mit dem niedrigeren Preis ist Null.Nennen beide Unternehmer den gleichen Preis,dann wirft der Erfinder eine faire Münze und bestimmtso, wer die Erfindung bekommt. Nur dermuss dann seinen Preis zahlen, bekommt alsov i − p i , der andere bekommt wieder Null.a) Nehmen Sie zunächst an, dass beide zuerst ihrenPreis p i nennen müssen. Danach erst stelltsich heraus, wie sie die Erfindung bewerten (alsowie groß v i ist). Bestimmen Sie die Reaktionsfunktionen.Welchen Preis p i geben die beidenUnternehmen im Gleichgewicht an?b) Nehmen Sie jetzt an, dass die beiden Unternehmenjeweils einen Agenten verwenden. Die beidenAgenten kennen den Wert v i der Erfindungfür jeweils für ihr Unternehmen i . Sie nennen,abhängig von v i , den Preis p i = c i +v i . Die Konstantec i kann das Unternehmen jeweils bestimmen.Zu dem Zeitpunkt, zu dem die Konstantec i bestimmt wird, ist der Wert v i allerdingsnoch nicht bekannt. Bestimmen Sie wiederdie Reaktionsfunktionen. Welche Konstantenc i werden die Unternehmen im Gleichgewichtbestimmen?c) Jetzt nennt der Agent eines Unternehmenseinen Preis p i = c i + b i v i wobei c i und b ivon den Unternehmen vorher festgelegt werdenkann. Allerdings ist zu dem Zeitpunkt v inoch nicht bekannt. Welche Werte für c i undb i werden die Unternehmen im Gleichgewichtfestlegen?15

••c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 11 FEBRUAR 2004 163. Ein Nash-Verhandlungsproblem wird durch einenVerhandlungsbereich S und durch einen Drohpunktd beschrieben. Wir nehmen an, dass Skompakt und konvex ist und dass d in S liegt. EineVerhandlungslösung ist eine Funktion f(S, d) dieeinen Punkt aus S auswählt.Erinnern Sie sich, dass die Nash-Verhandlungslösungbeschrieben werden kann als f N (S, d) die demProblem(S, d) das folgende Element s 1 , s 2 aus Szuordnet:f N (S, d)≡ arg max (s 1 − d 1 )(s 2 − d 2 )(d 1,d 2)≤(s 1,s 2)∈SKalai und Smorodinsky schlagen eine alternativeVerhandlungslösung vor. Sie bezeichnen den maximalenBetrag den Spieler i in einer Allokationaus s∈ S, wobei s> d ist, bekommen kann mitm i . So wird der Punkt m in der Skizze bestimmt.Wir betrachten nun die Gerade die durch d undm bestimmt wird, d.h. die Menge aller Punktedie durch(x 1 ,x 2 )=α(m 1 , m 2 )+(1−α)(d 1 , d 2 ) gegebenist. Wir bewegen uns auf dieser Geradenvon Punkt d aus in Richtung des Punktes m . Ander Stelle, an der wir den Verhandlungsbereich Sverlassen, liegt die Kalai-Smorodinsky Verhandlungslösungf K S .u 2m 2f K Sm •dd 2 Sd 1m 1 u 1a) Untersuchen Sie das Verhandlungsproblem(S, d) in dem d=(0, 0) und S die konvexe Hülleder Punkte(0, 0),(4, 0), und(0, 2) (das heisst,das S ist die dreieckige Fläche, die diese Punkteals Eckpunkte hat).Was ist die Kalai-Smorodinsky Verhandlungslösungf K S für dieses Problem? Was ist die NashVerhandlungslösung f N für dieses Problem?b) Ist die Kalai-Smorodinsky Lösung immer eindeutig?Welche Annahme braucht man dazu?c) Geben Sie ein einfaches Beispiel für ein Verhandlungsproblem(S,d) in dem f K S ≠ f N , indem also die Kalai-Smorodinsky Lösung nichtmit der Nash Verhandlungslösung zusammenfällt.d) Welche Axiome der Nash-Verhandlungslösungwerden durch f K S erfüllt, welche nicht. FürAxiome die nicht erfüllt werden, geben Sie bitteein Gegenbeispiel. Für Axiome die erfüllt werden,begründen Sie bitte Ihre Antwort mit einerkurzen Rechnung.11 Februar 2004Begründen Sie bitte alle Ihre Antworten! Viel Erfolg!1. Betrachten Sie bitte das folgende Spiel in Normalform:SpielerITDSpieler IIL R0 40 aa 44 4a) Sei a = 4. Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte des Spiels.b) Das Spiel wird nun dreimal gespielt. Die Auszahlungdes wiederholten Spiels ist die Summerder Auszahlungen der einzelnen Perioden. BeideSpieler können in jeder Wiederholung beobachten,was vorher gespielt wurde.i. Gibt es ein teilspielperfektes Gleichgewicht indem in einer der Perioden T, L gespielt wird.ii. Was können Sie über die teilspielperfektenGleichgewichte sagen?c) Was muss für a gelten, damit es im dreimalgespielten Spiel ein teilspielperfektes Gleichgewichtgibt, in dem in der ersten Periode T, L gespieltwird.16

•c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 11 FEBRUAR 2004 172. Betrachten Sie das folgende Spiel in extensiverForm. Die Auszahlungen von Spieler I sind linksunten, die Auszahlungen von Spieler I I in derMitte, und die Auszahlungen von Spieler I I I sindrechts oben angegeben. Spieler I I I kann nichtunterscheiden, ob er sich in Knoten I I I a oderI I I b befindet.a) Welche Lösungskonzept ist für dieses Spiel angemessen.b) Wenden Sie das Lösungskonzept an, und bestimmenSie alle Gleichgewichte.c) Gibt es unter den Gleichgewichten solche diemehr und solche die weniger plausibel sind?IDAI I I aI IdaLRLI I I bR3304441115502223. Ein Nash-Verhandlungsproblem wird durch einenVerhandlungsbereich S und durch einen Drohpunktd beschrieben. Wir nehmen an, dass Skompakt ist und dass d in S liegt. Eine Verhandlungslösungist eine Funktion f(S, d) die einenPunkt aus S auswählt.Erinnern Sie sich, dass die Nash-Verhandlungslösungbeschrieben werden kann als Funktion f N (S, d)die dem Problem(S, d)das folgende Element s 1 , s 2aus S zuordnet:arg max (s 1 − d 1 )(s 2 − d 2 )(d 1,d 2)≤(s 1,s 2)∈Sa) Betrachten Sie nun die folgende Lösung einesVerhandlungsproblems, nach der die Spielerstets den durch den Drohpunkt festgelegtenNutzen erhalten.Welche Axiome der Nash-Verhandlungslösungwerden durch diese Lösung erfüllt, welchenicht.b) Betrachten Sie nun die Lösung f G (S, d) einesVerhandlungsproblems die dem Problem(S, d)das folgende Element s 1 , s 2 aus S zuordnet: arg max s 1 − d 1 + s 2 − d 2(d 1,d 2)≤(s 1,s 2)∈Sund untersuchen Sie das Verhandlungsproblem(S, d) in dem d=(0, 0) und S die konvexe Hülleder Punkte(0, 0),(1, 0), und(0, 2) ist (das heißt,S ist die dreieckige Fläche, die diese Punkte alsEckpunkte hat).Was ist f G für dieses Problem? Was ist f N fürdieses Problem?c) Sei nun(S, d) wieder ein allgemeines Problem.Welche Axiome der Nash-Verhandlungslösungwerden durch f G (definiert wie in 3b) erfüllt,welche nicht. Begründen Sie für jedes Axiom IhreAntwort durch eine kurze Rechung.17

c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 12 APRIL 2003 184. Zwei Werbeagenturen, A und B, bewerben sichum einen Auftrag. Wenn sie nichts tun haben siedie gleichen Chancen, den Auftrag zu bekommen.Sie können jeweils eine Präsentation vorbereiten,um ihre Chancen zu verbessern. Falls das nur eineAgentur macht, bekommt sie den Auftrag, fallsbeide das tun, sind die Chancen gleich.a) Nehmen Sie an, dass die Kosten eine Präsentationvorzubereiten 1000 sind. Der Auftrag hateinen Wert von W .Was werden die Agenturen im Gleichgewichtmachen? Wie hängen die Gleichgewichte vonW ab?b) Jetzt nehmen Sie an, dass die Agenturen mehroder weniger in die Präsentation investierenkönnen. Agentur A wählt eine Investition e Aund Agentur B wählt eine Investition e B . Die Investitione A und e B wird in den gleichen Geldeinheitengemessen wie W . Wenn Agentur iden Auftrag bekommt, hat sie einen Reingewinnvon W−e i , wenn sie den Auftrag nicht bekommt,ist der Reingewinn−e i .Wenn e A > e B bekommt A den Auftrag, wenne A < e B bekommt B den Auftrag. Falls e A = e Bentscheidet das Los und beide haben die gleichenChancen.Nehmen Sie zunächst an, dass die Investitionene A und e B nach oben beschränkt sind und nichtgrößer alsαW sein können.Seiα=1/2. Was ist nun ein Gleichgewicht?c) Seiα=1. Was kann man nun über das Gleichgewichtsagen? Gibt es gemischte Gleichgewichte?d) Nun sei die Investition nicht mehr nach obenbeschränkt. Was kann man nun über dasGleichgewicht sagen? Gibt es gemischte Gleichgewichte?e) Nehmen Sie nun an, dass nicht mehr die Agenturmit der größeren Investition den Auftrag,und damit den Gewinn von W erhält. Stattdessen geht der Auftrag mit Wahrscheinlichkeite A /(e A + e B ) an A und mit Wahrscheinlichkeite B /(e A + e B ) an B.Was ist jetzt ein Gleichgewicht?12 April 20031. Betrachten Sie folgendes Spiel in extensiverForm (Die Auszahlung von Spieler I steht jeweilsunten links, die Auszahlung von Spieler I I stehtoben rechts):0A0I IL1B1Ia) i. Transformieren Sie das Spiel in Normalform.ii. Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte inreinen Strategien.iii. Das Normalformspiel wird nun zweimal hintereinandergespielt. Die Auszahlung des wiederholtenSpiels ist die Summe der Auszahlungendes Stufenspiels. Gibt es ein teilspielperfektesGleichgewicht in reinen Strategien,in dem Spieler I mehr als 2 bekommt?Warum?2a3RI I0b4iv. Bestimmen Sie für das Spiel in extensiverForm die teilspielperfekten Gleichgewichte inreinen Strategien.b) Betrachten Sie nun ein Nash Verhandlungsspielüber die Auszahlungen von (die „Verhandlungsmacht“beider Spieler sei gleich). NehmenSie an, dass Spieler beliebig Nutzen transferierenkönnen. Der Drohpunkt (Disagreementpoint)sei die Auszahlung eines teilspielperfektenGleichgewichtes von (Falls Sie in Aufgabe1(a)iv mehrere teilspielperfekte Gleichgewichtegefunden haben, geben Sie an welches Sie wählen).i. Was ist die Nash Verhandlungslösungii. Nehmen Sie nun an, daß Nutzen nicht transferiertwerden kann. Lotterien über Auszahlungensind aber möglich. Was ist jetzt dieNash Verhandlungslösungc) Betrachten Sie nun das Nash threat game:Spieler wählen Strategien die den Drohpunktder Nash Verhandlungsspiels liefern. Setzen Sietransferierbaren Nutzen voraus.i. Finden Sie Sie alle Gleichgewichte des NashThreat Game.18

c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 12 APRIL 2003 19ii. Welche Nash-Verhandlungslösung ergibt sichfür jedes der Gleichgewichte aus 1(c)i?d) In Aufgabe 1(a)ii haben Sie alle Nash-Gleichgewichte von in reinen Strategien berechnet.i. Zeigen Sie, daß es ein Nash-Gleichgewichtvon gibt, in welchem Spieler I I eine gemischteStrategie verwendet.ii. Zeigen Sie, daß es kein Nash-Gleichgewichtvon gibt, in welchem Spieler I eine gemischteStrategie verwendet.2. Finden Sie alle Nash Gleichgewichte im folgendenSpiel. Erklären Sie, warum es keine weiterenGleichgewichte gibt?SpielerIabcSpieler IIA B C0 4 50 5 45 0 44 0 54 5 05 4 03. Betrachten Sie ein Rubinstein-Verhandlungsspielin dem ein Dollar aufgeteilt werden soll. Auszahlungenwerden nicht abdiskontiert aber in jederPeriode, in der sich die Spieler nicht einigen, entstehenden Spielern Kosten. Die Kosten sind c 1pro Periode für Spieler 1 und c 2 für Spieler 2. NehmenSie an dass c 1 + c 2 < 1.a) Nehmen Sie an, dass c 1 < c 2 , d.h. Spieler 2hat größere Kosten. Was ist ein teilspielperfektesGleichgewicht des Spiels? Warum?b) Nehmen Sie nun an, dass c 1 > c 2 , d.h. Spieler 1hat größere Kosten. Was ist nun ein teilspielperfektesGleichgewicht des Spiels? Warum?c) Was ist ein teilspielperfektes Gleichgewicht desSpiels wenn c 1 = c 2 ? Warum?4. Zwei Leute, A und B, können zur Produktion einesöffentlichen Gutes beitragen. Wenn mindestenseine Person „beiträgt“, haben beide einenNutzen von 4. Wenn niemand beiträgt, ist der Nutzenfür beide Null. Wenn Spieler A zur Produktionbeiträgt, entstehen ihm Kosten c A . Wenn Spieler Bzur Produktion beiträgt, entstehen ihm Kosten c B .Die folgende Matrix gibt für jede Strategienkombinationdie Auszahlung der Spieler an:Spieler Abeitragennicht beitragenSpieler Bbeitragen nicht beitragen4−c B44−c A 4−c A4−c B040Der Betrag c A kann die Werte 1 und 3 annehmen.Der Betrag c B kann ebenfalls die Werte 1und 3 annehmen. Jeder Spieler i∈{A, B} kenntsein eigenes c i , aber nicht das seines Gegenüber.Es ist common knowledge, daß unabhängig voneinanderder Betrag von c i mit Wahrscheinlichkeitp den Wert 3 annimmt. Zeigen Sie, daß für1≤ 4 p≤3 ein Bayesianisches Gleichgewicht existiert,in dem Spieler mit niedrigem c i beitragen4und solche mit hohem c i nicht.19

c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 13 FEBRUAR 2003 2013 Februar 20031. Betrachten Sie folgendes symmetrisches Zweipersonenspiel:Spieler 1Spieler 2t 1 t 2 t 3 t 43 2 2 2s 13 5 7 15 4 7 6s 22 4 x 07 x 0 0s 32 7 0 11 0 1 2s 42 6 0 2Die Auszahlung von Spieler 1 ist jeweils unten links angegeben, die von Spieler 2 jeweils oben rechts.a) Wir beginnen mit dem Fall x= 0.i. Welche Strategien sind strikt dominiert?Warum?ii. Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte inreinen Strategien. Begründen Sie ihre Antwort.b) Nun sei x beliebig. Finden Sie alle Werte von xfür die sich vier Nash-Gleichgewichte in reinenStrategien ergeben. Begründen Sie ihre Antwort.c) Wir kehren wieder zurück zum Fall x= 0. DasSpiel werde nun unendlich oft wiederholt. Auszahlungenwerden mit dem Diskontfaktorδ=3/5 abdiskontiert. Gibt es ein Gleichgewicht, indem in allen Perioden s 2 , t 2 gespielt wird? Fallsja, geben Sie ein Beispiel für eine Strategiekombinationdie zu einem solchen Gleichgewichtführt und begründen Sie Ihre Antwort.d) Wir bleiben bei x= 0, betrachten aber nun dasunendlich oft wiederholte Spiel in dem die Auszahlungenals “limit of the means” bestimmtwerden. Geben Sie mit Hilfe einer Graphik an,welche Kombinationen von Auszahlungen derbeiden Spieler im teilspielperfekten Gleichgewichterreicht werden können. Begründen SieIhre Antwort.2. Zwei Spieler spielen das folgende Normalformspiel, wobei c ein fest vorgegebener positiverParameter ist (c≥ 0, die Auszahlung von Spieler Isteht jeweils unten links, die Auszahlung von SpielerII steht oben rechts): :SpielerITBSpieler IIL R1 03−c −c0 30 1a) Bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichte fürden Fall 0≤c≤ 3 (Hinweis: Betrachten Sie denFall c= 3 gesondert.).b) Nun haben sich die Spieler darauf geeinigt, vorSpielbeginn einmal eine Münze zu werfen. BeideSpieler beobachten das Ergebnis, Kopf oderZahl.i. Wieviele reine Strategien hat Spieler I jetzt?Schreiben Sie die Strategien auf und denkenSie daran, Ihre Notation zu erklären.ii. Es sei nun c = 0. Stellen Sie graphisch fürdas erweiterte Spiel alle im Gleichgewicht erreichbarenAuszahlungen dar (beschriften Siebitte die Graphik klar und begründen Sie IhrErgebnis).c) Anstatt eine Münze zu werfen, engagieren dieSpieler einen Schiedsrichter (dabei entstehenkeine Kosten). Der Schiedsrichter wählt einender Ausgänge(T, L),(T, R) und(B, R) aus, undzwar jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/3. Gegebendiese Auswahl empfiehlt er jedem Spielernur dessen Strategie, sagt also Spieler I ob er Toder B spielen soll, und Spieler II ob er L oderR spielen soll.i. Was sind die Beliefs der beiden Spieler in ihrenjeweiligen Informationsbezirken?20

c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 13 FEBRUAR 2003 21ii. Für welche positiven Werte von c (c≥ 0) gibtes ein Bayesianisches Gleichgewicht in demsich beide Spieler immer an die Empfehlungdes Schiedsrichters halten?d) Betrachten Sie das Spiel, in welchem zuerstSpieler I seine Aktion wählt, Spieler II dies beobachtetund anschließend seine Aktion wählt.i. Zeichnen Sie diesen Spielverlauf in extensiverForm.ii. Bestimmen Sie alle teilspielperfekten Gleichgewichte.e) Betrachten Sie nun folgende Zeitstruktur für c=0:Periode 1: Spieler I legt sich fest, ob er T oder Bspielen wird.Spieler II kann sich simultan auf L oder R festlegen,oder warten, bis er in Periode 2 über dieEntscheidung von Spieler I informiert wird.Periode 2: Wenn Spieler II gewartet hat, so wirder jetzt über die Entscheidung (T oder B) vonSpieler I informiert und muß sich dann auf seineAktion L oder R festlegen.Die Auszahlungen beider Spieler werden mitdem Diskontfaktor δ = 2 abdiskontiert falls3Spieler II wartet und sich erst in Periode 2 entscheidet.i. Zeichnen Sie den Spielverlauf in extensiverForm.ii. Wieviele reine Strategien hat Spieler I , wievielehat Spieler II ?iii. Bestimmen Sie alle teilspielperfekten Gleichgewichtein reinen Strategien.iv. Finden Sie ein Nash Gleichgewicht, das nichtteilspielperfekt ist.v. Gibt es ein teilspielperfektes Gleichgewicht,in dem Spieler II in Periode 1 zwischen seinenAktionen L und R mischt und nie bis Periode2 wartet?f) Betrachten Sie nun folgende Zeitstruktur (c =0):Periode 1: Spieler I kann sich auf T oder B festlegenoder er kann warten.Spieler II kann sich auf L oder R festlegen oderer kann warten.Periode 2: Jeder Spieler der gewartet hat, wirdjetzt über die Entscheidung seines Opponenten(T oder B oder warten, bzw. L oder R oder warten)informiert. Danach muß sich der Spielerauf T oder B bzw. L oder R festlegen.Sobald sich beide Spieler auf ihre Aktion imSpiel festgelegt haben, erhalten sie die dortbeschriebenen Auszahlungen. Falls sich eineroder beide Spieler erst in Periode 2 entscheiden,werden die Auszahlungen beider Spielermit dem Diskontfaktorδ= 2 3 abdiskontiert.i. Zeichnen Sie den Spielverlauf in extensiverForm.ii. Gibt es ein teilspielperfektes Gleichgewicht inreinen Strategien in dem beide Spieler wartenund in in der zweiten Periode(T, L) gespieltwird?3. In einem modifizierten Rubinstein-Verhandlungsspielsoll ein Dollar aufgeteilt werden. In Periode 1macht Spieler 1 einen Vorschlag. Falls das Spielnicht in dieser Periode endet, macht in Periode2 Spieler 2 einen Vorschlag. Falls das Spiel nichtendet, macht dann in Periode 3 wieder Spieler 1einen Vorschlag,. . .Wenn Spieler i einen Vorschlag(x i , 1−x i ) macht,wie der Dollar aufgeteilt werden soll, dann hat derandere Spieler (nennen wir ihn j ) drei Möglichkeiten:• Spieler j kann den Vorschlag annehmen. In diesemFall endet das Spiel, Spieler 1 erhält x i , undSpieler 2 erhält 1−x i .• Spieler j kann eine “outside-option” wählen. Indem Fall endet das Spiel, Spieler j bekommt x 0 ,Spieler i bekommt nichts.• Spieler j kann nichts tun. Dann geht das Spielin der nächsten Periode weiter. In dieser Periodemacht nun Spieler j einen Vorschlag wieoben, Spieler i kann diesen Vorschlag annehmen,oder die “outside-option” wählen, odernichts tun. . .Der Diskontfaktorδ∈(0, 1) ist für beide Spielergleich.Nehmen Sie an dass x 0

c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 14 23. APRIL 2001 2214 23. April 2001Lösen Sie bitte alle folgenden Aufgaben. Denken Sie bitte an eine vollständige Begründung Ihrer Antworten!Viel Erfolg!1. Betrachten Sie das folgende symmetrische Zweipersonenspiel(Auszahlungen von Spieler untenlinks, von Spieler oben rechts): Finden Siealle Nash Gleichgewichte dieses Spiels. BegründenSie, warum das von Ihnen verwendete Vorgehenausreicht, alle Gleichgewichte zu finden.SpielerSpielert 1 t 2 t 38 54s 18 7 −47 1 0s 25 1 2s 3−4 2 1040 102. In einem Rubinstein-Verhandlungsspiel, in demein Dollar aufgeteilt werden soll, spielt ein unendlichlang lebender Spieler 1 gegen eine Folge kurzlebigerSpieler 2, 3, 4..., die jeweils nur zwei Periodenexistieren. Der Diskontfaktorδist für alleSpieler gleich.Sei n∈{0, 1, 2, . . .}. In allen Perioden 2n machtSpieler 1 ein Angebot an Spieler n+ 2. In Periode2n+ 1 macht Spieler n+ 2 ein Angebot an Spieler1.Wenn also(i/j) beschreibt, daß Spieler i ein Angebotan Spieler j macht, dann läuft das Spiel(solange kein Spieler ein Angebot annimmt) wiefolgt:(1/2)(2/1)(1/3)(3/1)(1/4)(4/1).a) Prüfen Sie, ob die folgende Strategiekombinationein teilspielperfektes Gleichgewicht ist: Jeder1vorschlagende Spieler schlägt den Anteil für 1+δsich selbst vor und nimmt jedes Angebot an,δfalls er wenigstens bekommt. Begründen1+δSie Ihre Antwort.b) Gibt es andere teilspielperfekte Gleichgewichte?3. Betrachten Sie das folgende Spiel, an dem zweiSpieler beteiligt sind und das in zwei Stufen eingeteiltist. In der ersten Stufe spielen die zwei Spielerdas unten beschriebene Spiel A (Die Auszahlungenstehen für Spieler 1 links unten, für Spieler 2rechts oben).Spiel ASpieler12Spieler1 24 54 11 25 222

•c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 15 14. FEBRUAR 2001 24110A−1B2109cd120E0F00(Die Auszahlungen für Spieler stehen untenlinks, die für Spieler oben rechts).a) Zählen Sie alle reinen Strategien von Spieler 1auf.b) Schreiben Sie das Spiel in Bimatrixform!c) Finden Sie alle Nash-Gleichgewichte des Spiels !2. In einem Rubinstein-Verhandlungsspiel machenzwei Spieler abwechselnd einen Vorschlag, wieein „schrumpfender Kuchen“ aufzuteilen ist. Erstmacht Spieler 1 einen Vorschlag, dann Spieler 2,dann wieder Spieler 1, usw. Es sind nur Vorschlägeerlaubt, bei denen entweder einer der Spieler dengesamten Kuchen bekommt, oder bei denen derKuchen zu gleichen Teilen aufgeteilt wird. Die zulässigenVorschläge sind also(0, 1),(1, 0) und( 1 2 , 1 2 ).Die erste Zahl gibt stets den Anteil von Spieler 1,die zweite Zahl stets den Anteil von Spieler 2 an.Benutzen Sie bitte für die Lösung diese Notationum Vorschläge (Züge) beschreiben.Der Kuchen schrumpft mit einem Diskontfaktord) Finden Sie alle teilspielperfekten Gleichgewichtedes Spiels !e) Das Spiel wird nun zweimal hintereinandergespielt. Die Auszahlung des wiederholtenSpiels ist die Summe der Auszahlungen der beidenPerioden.Gibt es ein teilspielperfektes Gleichgewicht deswiederholten Spieles, so daß Spieler einenPayoff von 30 und Spieler einen Payoff von9 erhält? Begründen Sie Ihre Antwort!δ

•c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 15 14. FEBRUAR 2001 25Natur1A01 a15B0111 bC452Dz1−z0A1B10a) Wieviele und welche Teilspiele besitzt das Spiel?Geben Sie für jedes Teilspiel an, welche derKnoten Natur , 1 a , 1 b und 2 das Teilspielenthält.b) Zählen Sie alle reinen Strategien von Spieler 1auf.c) Welches der Gleichgewichtskonzepte, die Sie inder Vorlesung kennengelernt haben, ist zur Lösungdieses Spiels angemessen. Worauf müssenSie achten? Begründen Sie Ihre Antwort. VerwendenSie im folgenden dieses Konzept.d) Setzen Sie z=−100. Bestimmen Sie alle Gleichgewichte.Wenn Spieler zum Zug kommt, mit welcherWahrscheinlichkeit ist er dann in Knoten 1 aund mit welcher Wahrscheinlichkeit in Knoten1 b ?e) Setzen Sie z=+100. Bestimmen Sie wieder alleGleichgewichte.Wenn Spieler zum Zug kommt, mit welcherWahrscheinlichkeit ist er jetzt in Knoten 1 a undmit welcher Wahrscheinlichkeit in Knoten 1 b ?f) Nehmen Sie jetzt an, daß Spieler eine gemischteStrategie(β , 1−β) spielt. Er zieht mitWahrscheinlichkeitβ nach links (C ), und mitWahrscheinlichkeit 1−β nach rechts (D). Spielerkenntβ .Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Spieler ,wenn er denn zum Zug kommt, in Knoten 1 abzw. in Knoten 1 b ?g) Was ist, gegeben diese Wahrscheinlichkeit, diebeste Antwort von Spieler auf eine gegebenegemischte Strategie(β , 1−β) von Spieler?h) Nun nehmen Sie an, daß z = 1 ist und Spieler1 die gemischte Strategie(α, 1−α) spielt. Er2zieht mit Wahrscheinlichkeitαnach links (A),und mit Wahrscheinlichkeit 1−α nach rechts(B). Spieler kenntα.Was ist in diesem Fall die beste Antwort vonSpieler?i) Bestimmen Sie für z = 1 die Gleichgewichtsstrategienvon Spieler und2Spieler?Wie groß sind die Erwartungsauszahlungen derSpieler?25