0809 konkave Kunststofflaufmantelrollen - IWK

FORSCHUNGAbb. 2: Geometrie der Laufmantelrollen mit konkavem Profil undGrössen der Kontaktmechanik.1: Laufmantel, mit konkavem Profil. 2: Unterlage (Laufbahn), zylindrisch.3: Nabe. d A : Aussendurchmesser [mm]. d R : Rollendurchmesser [mm].d N : Nabendurchmesser [mm]. r 1 : Profilradius der Rolle [mm]. r 2 : Radiusder Unterlage [mm]. l: Rollenbreite [mm]. a,b: Halbachse der Kontaktflächenellipsein Umfangsrichtung [mm]. p 0 : Maximaler Kontaktdruck[N/mm 2 ]. w: Abplattung [mm].verhält sich linear viskoelastisch,das heisst die zeitabhängige Werkstoffsteifigkeit,beschrieben durchden Kriechmodul, ist keine Funktionder Last, und damit gilt dasBoltzmannsche Zeit-Verformungs-Superpositionsprinzip [1];e) allfällige Vorspannungen desLaufmantels durch Aufpressen bzw.Umspritzen lassen sich linear überlagern;f) die Nabe besteht aus einem Werkstoffvergleichsweise hoher Steifigkeit,sodass ihre Verformung vernachlässigtwerden kann;g) die Belastung besteht aus einerstatischen oder quasistatischen Radiallastim Zentrum der Nabe;h) die Rolle wirkt als reine Laufrolle,das heisst, es wirken keine Tangentialkräftein der Berührungsfläche;i) die Unterlage (Laufbahn) ist zumindestim Kontaktbereich vonkreiszylindrischer Geometrie undweist linear elastisches bzw. linearviskoelastisches Verformungsverhaltenauf.Abb. 3: Krümmungsbeiwertefür die HertzschenFormeln mit Stützfunktionenim Bereich0 cos 0,985 [9].Grundsätzliche ÜberlegungenDie Lauffläche von Rollen mit konkavemProfil ist zweifach, alsoräumlich gekrümmt (Abb. 2): Nebstdem geometriebedingten Krümmungsradiusr R = d R /2 in Umfangsrichtunghat auch ihre Kontur imQuerschnitt eine konkave Krümmungvom Radius r 1 . Dieser korrespondiertmit dem Krümmungsradiusr 2 der zylindrischen, also einfachgekrümmten Unterlage. Fürdas Verhältnis r 2 /r 1 erwünscht istein guter Kompromiss zwischenmöglichst geringem Kontaktdruck(r 2 /r 1 vergleichsweise gross) undmöglichst geringem Schlupf beimAbrollen (r 2 /r 1 klein). Rolle undUnterlage berühren sich theoretisch,das heisst ohne Verformungder Kontaktkörper, lediglich ineinem Punkt. Mit dieser theoretischenPunktberührung ist zumindesteine der Voraussetzungen derHertzschen Theorie erfüllt, welchein der Kontaktzone von räumlichenKrümmungen ausgeht.Bei den zu untersuchenden Rollenist aber damit zu rechnen, dassdas Durchmesserverhältnis d N /d Rvon Nabe und Rolle sich mehr oderweniger stark auf die anvisiertenkontaktmechanischen Grössen auswirkt,insbesondere bei relativ dünnemLaufmantel. Analoges könnteder Fall sein, wenn sich die Krümmungsbeträgevon Rolle und Unterlageannähern, was zu einer relativgrossen Kontaktfläche führt. SolcheEinflüsse könnten gegebenenfallsdurch eine entsprechende Anpassungder bekannten Hertzschen Formelnberücksichtigt werden. Alsobesteht die Aufgabe primär darin,die verschiedenen kontaktmechanischenGrössen in Bezug auf allfälligeAbhängigkeiten von Durchmesserverhältnisd N /d R und Radienverhältnisr 2 /r 1 zu untersuchen. Alsdannwären für gewichtige Abhängigkeitengeeignete mathematischeFunktionen zu suchen.Die lokale Berührungssituationist bei allen zu untersuchenden Fällenqualitativ gleich: Die räumlichkonvex/konkav gekrümmte Oberflächeder Rolle ist in Kontakt mitder zylindrischen Oberfläche derUnterlage. Deshalb soll auch hierversucht werden, die in komplexerWeise von diesen Krümmungsverhältnissenabhängigen Beiwerte derHertzschen Formeln [7, 8] möglichsteinfach mathematisch zu beschreiben.UntersuchungenDie Untersuchung mit Variation derrelevanten Parameter wurde in bewährterWeise mit der Finite ElementeMethode (FEM) durchgeführt,und zwar mit insgesamt 71Rechnungen, bei denen die Symmetrieeigenschaftender Problemstellungausgenützt wurde. Deren Verlässlichkeitkann aufgrund der Erfahrungenaus den bisherigenUntersuchungen als erwiesen gelten.Ausgegangen wurde von einerRolle mit den Referenzabmessungend A = 92,4 mm, d R = 84,0 mm, d N =33,6 mm, l = 25,0 mm, r 1 = 8,0 mm,r 2 = 6,0 mm. Die verschiedenen Parameterwurden über folgende Bereichevariiert: 0,4 ≤ d N /d R ≤ 0,8; 1,05 ≤d A /d R ≤ 1,25; 0,15 ≤ l/d R ≤ 0,298; 0,5 ≤r 2 / r 1 ≤ 0,95; 0,19 ≤ 2 · r 1 /d R ≤ 0,75;Kriechmodul 100 N/mm 2 ≤ E C ≤ 3000N/mm 2 ; Poissonzahl 0,3 ≤ μ ≤ 0,45.Als Werkstoff der Unterlage(Laufbahn) wurde Stahl angenommen.Die Allgemeingültigkeit derausgewerteten Resultate wird dadurchnicht eingeschränkt, da dieSteifigkeit der jeweiligen Werkstoffpaarungdurch den Vergleichs-Elastizitätsmodul(1)für den Kontakt zwischen Kunststoff-Laufmantel(E C : Kriechmodulin Abhängigkeit der statischen Belastungsdauer)und Laufbahn bzw.Unterlage (E L : Elastizitäts- bzw.Kriechmodul der Laufbahn) erfasstwerden kann.

FORSCHUNGDie Krümmungsverhältnisse imKontaktbereich können in denHertzschen Formeln durch einenVergleichskrümmungsradius R V erfasstwerden. Dieser errechnet sichim vorliegenden Fall der konkav profiliertenRolle im Kontakt mit einemZylinder anhand der Beziehung(2)Die für die Hertzschen Formelnbenötigten Krümmungsbeiwerte(Abb. 3) sind über den Krümmungsparameter(3)bestimmbar, der wegen der Betragsstricheim Zähler stets positive Werteannimmt. Besonders zu beachtenist, dass in (2) und (3) alle Krümmungsradienmit positiven Zahlenwerteneinzusetzen sind, also auchder Radius r 1 der konkaven Krümmung.Abb. 4: Abplattung w im Vergleich mit dem theoretischen Resultatw 0 in Funktion des Durchmesserverhältnisses d N /d R [9].Abb. 5: Abplattung w im Vergleich mit dem theoretischen Resultatw 0 in Funktion des Verhältnisses l/d R [9].nen angenähert werden (Abb. 3),die sich direkt in die Berechnungsformelneinarbeiten lassen.Die maximale Abweichungbeträgt 5% ausser bei cos = 0,985mit maximal 7%.Für die hauptsächlich interessierendenkontaktmechanischen Grössenliessen sich aus den ermittelten Resultatennachstehende Berechnungsformelnableiten, wobei die untergeordnetenEinflüsse zugunsten nichtallzu komplizierter Ausdrücke vernachlässigtwurden. Deren Gültigkeitbeschränkt sich auf die oben angegebenenParameterbereiche.● KontaktflächeDie Kontaktfläche, die sich unterder radialen Last F zwischen Laufrolleund Laufbahn einstellt, weisteinen elliptischen Umriss mit denHalbachsen a ≥ b auf. Sie sind jenach den Krümmungsverhältnissenin Quer- oder Umfangsrichtungorientiert. Bei kleinen Werten vonr 2 /r 1 < 0,5 liegt die grössere Halbachsein Umfangsrichtung. DieHalbachsen können mit guter Genauigkeitmit den Beziehungen(4)ErgebnisseDie wesentlichen Erkenntnisse derUntersuchungen sind:1. Der maximale Kontaktdruck unddie Abmessungen der Kontaktflächesind in den gewähltenParameterbereichen praktischvom Durchmesserverhältnis d N /d R und damit von der Laufmanteldickewie auch von der Rollenbreitel unabhängig. Also könnendie entsprechenden HertzschenFormeln mit sehr guter Genauigkeitangewendet werden.2. Die Abplattung zeigt dagegen einengewissen Einfluss von Laufmanteldicke(Abb. 4) und Rollenbreite(Abb. 5).3. Der Aussendurchmesser d A wirktsich – kaum überraschend – praktischnicht auf die Resultate aus.4. Die grösste positive Dehnung istproportional zum maximalenKontaktdruck und umgekehrtproportional zum Kriechmoduldes Rollenwerkstoffs. Sie trittam Rand der Kontaktfläche auf(Abb. 6).5. Die grösste Vergleichsspannungist proportional zum maximalenKontaktdruck und tritt im Innerndes Laufmantels auf (Abb. 7).6. Der Einfluss der Poissonzahl aufdie Ergebnisse liegt mit durchschnittlich±2,5% in vernachlässigbarerHöhe.7. Die Krümmungsbeiwerte derHertzschen Formeln können iminteressierenden Bereich 0 ≤ =cos ≤ 0,985 mit guter Übereinstimmungdurch Potenzfunktio-VerdankungDie vorliegende Arbeitentstand im Rahmendes Forschungsprojekts«Konstruierenmit Kunststoffen».Für dessen Förderungdanken die Verfasserdem Forschungsfondsder HSR Hochschulefür TechnikRapperswil.(5)berechnet werden, die der Theorievon Hertz entsprechen.● Maximaler KontaktdruckDer Kontaktdruck verteilt sich überder Kontaktfläche in Form eines halbenEllipsoids. Er erreicht seinenGrösstwert im theoretischen Berührungspunktund lässt sich – in Übereinstimmungmit der HertzschenTheorie – berechnen mit der Formel(6)● AbplattungFür die Abplattung, definiert als radialeVerschiebung des Rollenzent-

FORSCHUNGrums unter der Last F (Abb. 2), konntedie Beziehungherausgearbeitet werden bzw. mitlinearisierten Funktionen der Verhältnissed N /d R und l/d R etwas einfacherDiese kann mit einer maximalenAbweichung von weniger als 10%gegenüber den mit FEM erhaltenenWerten als brauchbarer Kompromisszwischen den hohen Ansprüchenan die Genauigkeit und aneine einfache Handhabung in derPraxis gelten.● Maximale DehnungDie grösste positive Dehnung, diefür die Dimensionierung der Rolleals massgebende Grösse beigezogenwerden kann, tritt angrenzend anden Rand der Kontaktfläche auf. Sielässt sich anhand der Beziehungberechnen mit dem maximalenKontaktdruck p 0 (6) und dem KriechmodulE C des Laufmantelwerkstoffs.● SpannungenDer Grösstwert der Vergleichsspannungtritt wie erwartet im Innerndes Laufmantels in einem Abstandder Kontaktfläche auf, der in etwadem halben harmonischen Mittelder Halbachsen a und b der Kontaktellipseentspricht. Mit Anwendungder Gestaltänderungsenergiehypothese(von Mises) [5, 6] ergibt sichAbb. 6: Kontaktfläche (Contact Status) und Zone der grösstenpositiven Dehnung (Principal Total Strain Major) am Rand derKontaktfläche [9].(8)Abb. 7: Zone maximalerVergleichsspannung(von Mises) im Innerndes Laufmantels [9].(9)(7b)(7a)Im Vergleich dazu sind – wie bei denbisher untersuchten Rollen – dieSpannungen aus der Lochleibungzwischen Nabe und Laufmantel undaus dem relaxierenden Druck zwischenNabe und Laufmantel aufgrunddes Aufpressens bzw. Umspritzensdeutlich geringer undmüssen nicht in Betracht gezogenwerden.FazitDie hier präsentierten Formeln, diedie Hertzsche Theorie der Kontaktmechanikauf konkav profilierteKunststoff-Laufmantelrollen ausweiten,können innerhalb der angegebenenGrenzen relativ einfachund mit vernünftiger Genauigkeitfür die Auslegung solcher Rollen angewendetwerden. In der Praxiskann in der aufgeführten Reihenfolgeder Beziehungen vorgegangenwerden, weitere Grundlagen sindnicht erforderlich.Die Anwendbarkeit der Formelnbeschränkt sich allerdings auf zylindrische,also geradlinige Profile alsUnterlage. Unterlagen, die auch inLängsrichtung gekrümmt sind, lassensich mit den erarbeiteten Beziehungennicht erfassen. Auch fürSeillaufrollen sind sie ungeeignet,da die Umschlingung der Rolledurch das Seil und die Struktur desSeils zu gänzlich andern Kontaktverhältnissenführen. Für solche Gegebenheitenwären weitere Studienerforderlich.Literatur[1] Kunz, J.: Kontaktmechanik zylindrischerKunststoff-Laufmantelrollen.Kunststoffe-Synthetics 52(2005)6,S. 19–22.[2] Kunz, J., Studer, M.: ZylindrischeLaufmantelrolle mit partieller Abstützung.Kunststoffe-Synthetics53(2006)1, S. 18–21.[3] Kunz, J., Holzinger, M.: Kunststoffrollenmit dachartigem Laufmantelprofil.Kunststoffe-Synthetics 53(2006)11, S. 24–27.[4] Kunz, J., Bürzle, W., Studer, M.:Kontaktmechanik balliger Kunststoff-Laufmantelrollen.SwissPlastics29(2007)6, S. 31–34.[5] Kunz, J., Studer, M.: Neuartige2K-Laufrollen und ihre Kontaktmechanik.SwissPlastics 30(2008)3,S. 17–20.[6] Kunz, J.: Laufrollen. In: Kunz, J.,Michaeli, W., Herrlich, N., Land, W.(Hrsg.): Kunststoffpraxis: Konstruktion,WEKA Media GmbH Kissing,Aktualisierungsstand April 2008.[7] Grothe, K.-H., Feldhusen, J. (Hrsg.):Dubbel – Taschenbuch für den Maschinenbau.Springer Verlag Berlin,22. Aufl., 2007.[8] Czichos, H., Hennecke, M. (Hrsg.):Hütte – Das Ingenieurwissen. SpringerVerlag Berlin, 33. Aufl., 2008.[9] Kunz, J., Bürzle, W.: ForschungsprojektAuslegung von Kunststoff-Laufrollen. Diverse interne, unveröffentlichteDokumente. HSR Hochschulefür Technik Rapperswil,2008.Separatdruck aus SwissPlastics 9/2008, S. 17–20Vogt-Schild Medien AG, CH-4501 Solothurn