Timo Leuders Lisa Hefendehl-Hebeker Hans-Georg Weigand (Hrsg.)

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12 Eine didaktisch und mathematisch dankbare Tätigkeit Intelligentes Üben hat nach den vorangegangenen Ausführungen einen echten Mehrwert für die Lernenden – und ganz nebenbei für die Lehrenden. Denn Aufgabenkonstruktion ist mehr als langweiliges Alltagsgeschäft. Wenn Sie sich erst einmal darauf eingelassen haben, werden Sie feststellen, dass Sie im doppelten Sinne wieder zum Forscher werden: • zum pädagogischen Forscher, denn Sie erkunden den didaktischen Gehalt ihrer Übungsaufgaben • zum mathematischen Forscher, denn oft geht das Konstruieren von Aufgaben einher mit mathematischen (Wieder)entdeckungen. Hier nur zwei Beispiele: Beispiel 1: Sie möchten, dass Schülerinnen und Schüler die Quadratzahlen und Primzahlen memorieren. Dazu überlegen Sie sich, dass die Schüler möglichst oft mit Quadratzahlen und Primzahlen operieren. Sie nutzen die Technik „Erfinde Aufgaben …. mit den Lösungen….“, die Ihnen problemorientierte Übungsaufgaben erzeugt. Z.B.: Suche möglichst viele Lösungen zu der Aufgabe: + = Dabei sollen in den Kästen nur Primzahlen oder Quadratzahlen stehen. Die Schüler werden hier sicher nicht die gesamte Lösungsvielfalt ausschöpfen. Denken Sie zunächst einmal selbst über mögliche Lösungen nach! Vielleicht erinnern Sie sich an die pythagoreischen Zahlentripel und daran, dass mit Kubikzahlen hier kein Ergebnis zu erzielen ist. Wie aber lauten alle Lösungen zu Primzahlen? Welche Primzahlen sind die Summe von Quadratzahlen? Welche Quadratzahlen unterscheiden sich um eine Primzahl? Vielleicht lautete eine andere Aufgabenvariante aus Ihrer Werkstatt auch so: Sie haben sich daran erinnert, dass eine gelöste Aufgabe auch eine Zahlenmauer sein kann: Fülle diese Pluszahlenmauer mit möglichst vielen Quadratzahlen Gibt es überhaupt eine Lösung mit 6 Quadratzahlen? Die Schüler können hier mehr oder weniger systematisch probieren und sich dabei Quadratzahlen einprägen. Sie selbst werden nachdem Sie diese Aufgabe ersonnen haben, wahrscheinlich den Stift nicht so schnell beiseite legen und nach Quadratzahlgruppen suchen, für die a 2 +b 2 = d 2 , b 2 +c 2 = e 2 und d 2 +e 2 =f 2 . Gibt es solche „pythagoräischen Zahlen-tripel-tripel“ überhaupt?
Beispiel 2: Sie versuchen eine Aufgabe zu erstellen, bei denen Schüler Wurzel ausreduzieren sollen. Sie wenden die Technik „Welche Muster kannst du entdecken?“ an und erzeugen damit eine Reflexionen anregende Übungsaufgabe. Aber welche Muster könnten das sein? Zum Beispiel könnten bestimmte Aufgaben immer dieselbe Lösung besitzen. Wie finden Sie alle möglichen Wurzelterme mit demselben Wert, also z.B.: 12 + 2 3 , 48 , 4 3 ? Gibt es Werte, bei denen sich so keine drei Terme erzeugen lassen? Gibt es Terme, denen man die Gleichwertigkeit nicht sofort ansieht? Wollen Sie auch nicht weiter reduzierbare Terme untermischen, also z.B. 2 + 3 ? Welche Verwandten haben diese? Zum 2 Beispiel ( 2 + 3) = 5 + 2 6 , ein Term, dem man seine Reduzierbarkeit nicht unbedingt ansieht. Kann man auch einen solchen Term mit der noch schöneren Form a + b bilden, bei dem a und b nicht mehr reduzierbar sind, wohl aber der ganze Term? Ganz schnell geraten Sie in den Sog eigener mathematischer Erkundungen. Und auch wenn Sie ihre Schüler nicht den ganzen Weg mitnehmen wollen, so verschaffen Ihnen solche Erkundungen Hintergrundkenntnisse und Sicherheit und für den täglichen Unterricht, wenn Sie etwa einmal ein Beispiel aus dem Stegreif erzeugen wollen. Und sogar in die Übungsaufgabe, deren Konstruktion ja Ihr ursprüngliches Ziel war, können Sie solche Erfahrungen einmischen: Suche unter diesen Wurzelausdrücken viele gleichwertige Ausdrücke (ohne Taschenrechner) Zum Schluss 48 12 + 2 3 4 3 5 + 24 2 + 3 4 8 Intelligentes Üben darf nicht beschränkt sein auf Ausnahmesituationen oder Ausnahmeschüler, sondern kann grundsätzlich verwirklicht werden. Es gibt nur ganz wenige Stellen im Unterricht, wo auch einmal das reine Fertigkeitstraining angebracht ist (z.B. beim Kopfrechnen). Intelligentes Üben ist in einem auf Verstehen ausgerichteten Mathematikunterricht möglich und notwendig für alle Schülerinnen und Schüler. Glücklicherweise lassen sich intelligente Übungen mit etwas Hintergrundwissen und Handwerkszeug (und ein wenig Kreativität) selbst erstellen. Dabei lernt man als Lehrer sogar noch etwas über seine didaktischen Ziele und womöglich sogar über Mathematik. So kann man (sich) fortbilden… Das Erarbeiten von Übungsaufgaben kann man im Prinzip im „Selbststudium“ betreiben. Wichtig ist, dass man seine „Produkte“ auch in den Klassenraum trägt und ausprobiert – und nicht das Handtuch wirft, wenn es einmal nicht so funktioniert, wie man es sich gewünscht hätte. Noch ergiebiger und freudvoller ist es aber, gemeinsam produktive Übungsaufgaben zu entwickeln, etwa im Rahmen einer Fortbildung oder in einer kleinen Arbeitsgruppe von Gleichgesinnten an der eigenen Schule. Wenn man dabei die Erfahrungen und Ergebnisse austauscht, entsteht eine echte Arbeitserleichterung und eine schöne Materialsammlung, die das Schulbuch ergänzen kann. Ein Kardinalfehler, dem Arbeitsgruppen allerdings immer wieder erliegen, ist der Versuch im gemeinsamen Gespräch Aufgaben zu entwickeln. Es entfalten sich dabei alle Untugenden einer Gruppenarbeit: Einer prescht vor und dominiert die anderen, gute Ideen bleiben auf der Strecke, weil sie zu früh 13
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Seite 5 und 6: Die Aufgabenvariante 1 auf S.XXX is
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Seite 9 und 10: dung der Techniken nicht immer zu
Seite 11: Argumentieren an gestellten/ gelös
Seite 15: Zum Weiterdenken und -arbeiten…

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