Prof. Dr. Werner Vogelsang, Dr. Valery Lyubovitskij Institut für ...

Prof. Dr. Werner Vogelsang, Dr. Valery Lyubovitskij
Institut für Theoretische Physik, Universität Tübingen
Aufgabe 8 :
Aufgaben zur Quantenfeldtheorie - WS 2012/2013 - Blatt 3
Für die Übungen in der Woche vom 05.11.-09.11.2012
(a) Berechnen Sie mittels der Lagrange-Dichte
L = 1
2 (∂µφ) (∂ µ φ) − 1
2 m2 φ 2
den Energie-Impuls-Tensor des freien Klein-Gordon Feldes.
(b) Die erhaltenen Ladungen eines skalaren Feldes sind für Lorentz-Transformationen gegeben durch
Q ρσ =
�
d 3 x
�
x ρ T 0σ − x σ T 0ρ�
Betrachten Sie die Ladungen Q 0i und zeigen Sie, dass ihre Erhaltung auf
�
d
dt
führt. Interpretieren Sie das Ergebnis.
Aufgabe 9 :
d 3 x x i T 00 = const.
(a) Untersuchen Sie den nicht-relativistischen Limes der Lagrange-Dichte für ein komplexes Klein-
Gordon Feld,
Lφ = (∂µφ) (∂ µ φ ∗ ) − m 2 φ ∗ φ .
Setzen Sie dazu φ = e −imt ψ und nehmen Sie an, dass ψ(�x, t) recht schwach mit der Zeit variiert.
Zeigen Sie, dass die entstehende Lagrange-Dichte für ψ nach Division durch 2m äquivalent ist
zu
∗ ∂ψ
Lψ = iψ
∂t −
�
�∇ψ ∗ � � �
· �∇ψ
(b) Zeigen Sie, dass die Lagrange-Dichte für ψ invariant ist unter ψ → e iα ψ (mit konstantem α ∈ R),
und bestimmen Sie den zugehörigen Noether-Strom.
1
2m
.
.

Aufgabe 10 :
Wie in der Vorlesung sei der Hamiltonoperator gegeben durch
�
ˆH = d 3 p E�p â † �
(�p ) â(�p ) ≡ d 3 p E�p ˆ N (�p ) ,
mit den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren â † (�p ), â(�p ) und dem Teilchen-Dichte-Operator
Weiter sei
ˆN (�p ) = â † (�p ) â(�p ) .
ˆN =
(a) Zeigen Sie mittels der Kommutatorrelationen
dass gilt:
(b) Es sei
(c)
�
d 3 p ˆ N (�p ) .
[â(�p ), â † (�p ′ )] = δ 3 (�p − �p ′ ) , [â(�p ), â(�p ′ )] = [â † (�p ), â † (�p ′ )] = 0 , (1)
|n〉 ≡
(i) [ ˆ N (�p ), â(�p ′ )] = −δ 3 (�p − �p ′ ) â(�p ) ,
(ii) [ ˆ N (�p ), â † (�p ′ )] = δ 3 (�p − �p ′ )â † (�p ) ,
(iii) [ ˆ N (�p ), ˆ N (�p ′ )] = 0 ,
(iv) [ ˆ N (�p ), ˆ H] = 0 ,
(v) [ ˆ N, â(�p )] = −â(�p ) ,
(vi) [ ˆ N, â † (�p )] = â † (�p ) ,
(vii) [ ˆ N, ˆ H] = 0 .
�
d 3 �
p1 . . . d 3 pn ϕ(�p1, . . . , �pn) â † (�p1) . . . â † (�pn) |0〉 ,
mit einer Funktion ϕ(�p1, . . . , �pn). Zeigen Sie, dass der Zustand n Teilchen enthält, dass also
ˆN|n〉 = n|n〉 .
Ändern sich die Relationen (i)-(vii) in (a), wenn man in (1) Anti-Kommutatoren statt Kommutatoren
hat?
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