Kurzskript zur Vorlesung Quantenmechanik I, Prof. W. Vogelsang ...

Kurzskript zur Vorlesung Quantenmechanik I,
Prof. W. Vogelsang, Univ. Tübingen, SoSe 2010
Vorlesung 11.06.2010
Der Vergleich von
∆ = 1 r
∂ 2
∂r 2 r + 1 r 2 (
∂
2
∂θ 2 + cot θ ∂ ∂θ + 1
sin 2 θ
∂ 2 )
∂ϕ 2
(1)
und
(
ˆ⃗L 2 ∂
= −¯h 2 2
∂θ 2 + 1 ∂ 2
sin 2 θ ∂ϕ 2 + cot θ ∂ )
∂θ
(2)
zeigt, dass
− ¯h2
2m ∆ = − ¯h2 1
2m r 2mr 2 . (3)
Damit wird der Hamiltonoperator nach Gl. (21) aus der letzten Vorlesung:
Ĥ = − ¯h2
2m
1
r
∂ 2 2
ˆ⃗L
∂r 2 r +
∂ 2 2
ˆ⃗L
∂r 2 r +
+ V (r) . (4)
2mr2 Wie in der klassischen Mechanik kann man die beiden letzten Terme als
effektives Potential ˆVeff (r) betrachten. Unser Ziel wird es jetzt sein, die
stationäre Schrödingergleichung
⎡
⎤
⎢
⎣− ¯h2 1 ∂ 2 2
ˆ⃗L
2m r ∂r 2 r + 2mr 2 + V (r) ⎥
⎦ ψ(r, θ, ϕ) = E ψ(r, θ, ϕ) (5)
zu lösen. Dazu werden wir uns näher mit dem Drehimpulsoperator beschäftigen
müssen. Wir können zunächst festhalten, dass
[
Ĥ, ˆ⃗ L
2 ] = 0 . (6)
Der Grund hierfür ist, dass ˆ⃗
2
L nur die Winkel θ und ϕ enthält, und keinerlei
r-Abhängigkeit. Daher vertauscht er auf jeden Fall mit den Termen 1 ∂ 2
r
r
∂r 2
und V (r) in (4). Denn diese enthalten nur Abhängigkeit vom Radius r, und
1

ei Wirkung auf die Wellenfunktion ψ(r, θ, ϕ) vertauschen Ableitungen nach
r mit denen nach den Winkeln. Außerdem vertauscht ˆ⃗ L
2
mit sich selber.
Damit folgt (6).
In ähnlicher Weise finden wir
[
Ĥ, ˆLz
]
= 0 . (7)
Es ist ja ˆL z = ¯h i
1 ∂ 2
r
∂
∂ϕ , was sofort bedeutet, dass ˆL z mit den radialen Anteilen
r und V (r) in
∂r Ĥ vertauscht. ˆLz vertauscht aber auch mit ˆ⃗
2
L : Die
2
Ableitungen nach θ in (2) haben keine Vorfaktoren, die ϕ enthalten und
vertauschen damit mit ∂/∂ϕ. Ebenso vertauscht der Term ∂ 2 /∂ϕ 2 in (2)
mit ∂/∂ϕ. Insgesamt folgt also (7). Wir können ebenfalls zeigen, dass
[
Ĥ, ˆLx
]
=
[
Ĥ, ˆLy
]
= 0 . (8)
Dies benötigt eine etwas längere Rechnung. Da wir später auf leichtere Weise
zu diesem Ergebnis kommen werden, verzichten wir an dieser Stelle auf den
Beweis. Insgesamt haben wir also:
[
Ĥ, ˆ⃗ L
]
= 0 . (9)
Dies gilt generell für Zentralkraftprobleme. Welche Bedeutung hat diese
Gleichung? Wir erinnern uns an die klassische Mechanik. Dort galt für Zentralkraftprobleme
mit Koordinatenursprung im Kraftzentrum die Drehimpulserhaltung.
Man kann diese schreiben als
d
dt ⃗ L =
{ ⃗L, H
}
= 0 , (10)
wobei {. , .} die Poisson-Klammer bezeichnet. Die Erhaltung des Drehimpulses
entspricht also dem Verschwinden der Poissonklammer mit der Hamiltonfunktion.
In der Quantenmechanik hatten wir in I.2.6. die Heisenberg-
Gleichung kennen gelernt:
d
dt
〈ˆ⃗L
〉
= ī h
〈[Ĥ, ˆ⃗ L
]〉
. (11)
Da die rechte Seite nach Gl. (9) verschwindet, folgt also, dass für Zentralprobleme
die Erwartungswerte des Drehimpulsoperators erhalten sind.
2

III.2. Drehimpulsalgebra
Wir untersuchen nun den Drehimpulsoperator genauer. Wir tun dies zunächst
für den allgemeinen Operator, d.h., unabhängig von der Darstellung.
III.2.1. Drehimpulsoperatoren
Wir halten zunächst fest, dass zwischen den Komponenten des Orts- und
des Impulsoperators folgende Kommutatorrelationen gelten:
[ˆx, ˆp x ] = [ŷ, ˆp y ] = [ẑ, ˆp z ] = i¯h . (12)
Alle anderen Kommutatoren, also z.B. [ˆx, ˆp y ], [ˆx, ŷ], [ˆp x , ˆp y ] verschwinden.
Dies wird unmittelbar klar, wenn man z.B. im Ortsraum bedenkt, dass die
Operatoren auf eine Wellenfunktion ψ(x, y, z) wirken und Ableitungen nach
verschiedenen Koordinaten vertauschen.
Der Operator ˆ⃗ L ist hermitesch. Zum Beispiel haben wir
ˆL z = ˆx ˆp y − ŷ ˆp x . (13)
Es ist
(ˆx ˆp y ) † = ˆp † y ˆx † = ˆp y ˆx = ˆx ˆp y . (14)
Also ist ˆx ˆp y hermitesch und genauso auch ŷ ˆp x , und damit ˆL z . In (14) haben
wir zunächst benutzt, dass (AB) † = B † A † , dann die Hermitizität von ˆx und
ˆp y , und schließlich, dass ˆx und ˆp y vertauschen. (In der Tat gilt allgemein,
dass das Produkt zweier hermitescher Operatoren wieder hermitesch ist,
wenn die beiden vertauschen.)
Wir untersuchen nun die Vertauschungsrelationen der Komponenten des
Drehimpulsoperators:
[ˆL x , ˆL y ] = [ŷˆp z − ẑ ˆp y , ẑ ˆp x − ˆxˆp z ]
= [ŷˆp z , ẑ ˆp x ] − [ŷˆp z , ˆxˆp z ] − [ẑ ˆp y , ẑ ˆp x ] + [ẑ ˆp y , ˆxˆp z ] . (15)
Um die Terme zu vereinfachen, erinnern wir uns an die ”Produktregel” für
Kommutatoren:
[Â ˆB, Ĉ] = Â[ ˆB, Ĉ] + [Â, Ĉ] ˆB . (16)
Wiederholte Anwendung liefert:
[Â ˆB, Ĉ ˆD] = Â[ ˆB, Ĉ ˆD] +
[Â, Ĉ ˆD] ˆB
= ÂĈ[ ˆB, ˆD] + Â[ ˆB, Ĉ] ˆD + Ĉ[Â, ˆD] ˆB + [Â, Ĉ] ˆD ˆB . (17)
3

Wir können diese Regel auf jeden der vier Terme in (15) anwenden. Dabei
sehen wir, dass die rechte Seite von (17) verschwindet, wenn die vier Operatoren
Â, ˆB, Ĉ, ˆD miteinander vertauschen. Auf der rechten Seite von (15)
ist dies der Fall für den zweiten und den dritten Term. Vom ersten und
vierten Term gibt es jeweils nur dann einen Beitrag, wenn ẑ und ˆp z in einem
Kommutator aufeinandertreffen. Für den ersten Term in (15) trägt daher
z.B. nur der Term Â[ ˆB, Ĉ] ˆD in (17) bei, und man hat insgesamt:
[ˆL x , ˆL y ] = ŷ [ˆp z , ẑ]
} {{ }
=−i¯h
= i¯h (ˆxˆp y − ŷˆp x )
ˆp x + ˆx [ẑ, ˆp z ] ˆp y
} {{ }
=i¯h
Genauso findet man:
= i¯hˆL z . (18)
[ˆL z , ˆL x ] = i¯hˆL y ,
[ˆL y , ˆL z ] = i¯hˆL x . (19)
Also haben wir eine ”zyklische” Vertauschungsregel: Man erhält die nächste
Kommutatorrelation, wenn man den Operator auf der rechten Seite nach
links bringt und die anderen Operatoren ”eine Stelle” weiter nach rechts
schiebt. Die Drehimpulskomponenten bilden unter Kommutation eine Algebra,
die geschlossen ist (d.h. sie ”bleiben untereinander”). Wir können
Gln. (18),(19) übrigens auch kompakt schreiben als
[ˆL i , ˆL j ] = i¯h
3∑
ε ijk ˆLk , (20)
mit dem ε-Symbol, das wir in Übungsaufgabe 36 im letzten Semester kennen
gelernt hatten. Dort hatten wir auch gesehen, dass die klassischen Drehimpulse
eine zu (20) analoge Relation für die Poisson-Klammern erfüllen.
Als nächstes berechnen wir
]
2
[ˆ⃗L , ˆLz =
[ˆL2 x + ˆL 2 y + ˆL 2 z, ˆL
]
z =
[ˆL2 x + ˆL 2 y, ˆL
]
z
k=1
= ˆL x
[ˆLx , ˆL
]
z +
[ˆLx , ˆL
]
z
ˆLx + ˆL y
[ˆLy , ˆL
]
z
} {{ } } {{ } } {{ }
=−i¯h ˆL y =−i¯h ˆL y
= −i¯hˆL x ˆLy − i¯hˆL y ˆLx + i¯hˆL y ˆLx + i¯hˆL x ˆLy
[ˆLy , ˆL z
]
+
} {{ }
=i¯h ˆL x =i¯h ˆL x
= 0 . (21)
ˆLy
4

Hier haben wir im ersten
]
Schritt wieder
]
die Produktregel (16) benutzt.
2 2
Ebenso findet man
[ˆ⃗L , ˆLx =
[ˆ⃗L , ˆLy = 0. Es sei bemerkt, dass diese
beiden Gleichungen auch einen einfachen Beweis von (8) liefern, da ˆL x und
ˆL y ja mit dem Radialanteil von Ĥ ebenfalls vertauschen.
Insgesamt haben wir also die folgenden Kommutatoren:
[
Ĥ, ˆ⃗ L
2 ] = 0 ,
[Ĥ, ˆLx
]
[ˆ⃗L
2
, ˆLx
]
=
=
[Ĥ, ˆLy
]
=
[ˆ⃗L
2
, ˆLy
]
[Ĥ, ˆLz
]
=
[ˆ⃗L
2
, ˆLz
]
= 0 ,
= 0 ,
[ˆL x , ˆL y ] = i¯hˆL z (und zyklische Permutationen) . (22)
Wir sehen, dass wir genau drei Operatoren wählen können, die alle untereinander
vertauschen. Dies sind Ĥ, ˆ⃗ L
2
, sowie eine Komponente des Drehimpulses,
für die wir ˆL z wählen. Diese drei Operatoren bilden also einen Satz
von kommutierenden Operatoren. Dieser Satz kann nicht weiter vergrößert
werden: Nähmen wir noch ˆL x oder ˆL y hinzu, so würden nicht mehr alle
Operatoren miteinander vertauschen. Wir erinnern uns, dass es nach II.1.6.
eine Basis des Hilbertraums aus gemeinsamen Eigenzuständen der drei kommutierenden
Operatoren Ĥ, ˆ⃗ L
2
, ˆLz gibt. Die Eigenwerte der Operatoren
sind simultan scharf messbar. Wir werden sie im Folgenden benutzen, um
die möglichen Zustände z.B. beim Wasserstoffatom zu klassifizieren. So werden
wir einen gemeinsamen Eigenzustand in der Regel mit
| n l m 〉 (23)
bezeichnen, wobei n, l, m die Eigenwerte von Ĥ, ˆ⃗ L
2
, ˆLz kennzeichnen.
III.2.2. Eigenwertprobleme für ˆ⃗ L
2
und ˆLz
Nach dem soeben Gesagten ist klar, dass wir die Eigenzustände und -werte
von ˆ⃗ L
2
und ˆLz bestimmen müssen. Dies wird uns auch bei der Lösung der
stationären Schrödingergleichung (5) sehr helfen.
Wir zeigen zunächst, dass das Quadrat eines hermiteschen Operators
Ô keine negativen Eigenwerte hat. Der Erwartungswert von Ô2 in einem
5

eliebigen Zustand |ψ〉 ist
〈ψ|Ô2 Ô herm.
|ψ〉 = 〈ψ|Ô Ô|ψ〉 = 〈ψ|Ô† Ô|ψ〉 =
〈Ôψ|Ôψ〉 ≥ 0 . (24)
Hier haben wir im vorletzten Schritt die Definition des adjungierten Operators
Ô† benutzt, und im letzten die Tatsache, das die Norm eines jeden
Zustands ≥ 0 ist. Wählen wir für |ψ〉 einen Eigenzustand von Ô, so folgt
die Behauptung.
Aus (24) folgt, dass die Eigenwerte von ˆ⃗ L
2
ebenfalls größer oder gleich
Null sind. Wir schreiben:
ˆ⃗L 2 |lm〉 = ¯h 2 l(l + 1) |lm〉 ,
ˆL z |lm〉 = ¯h m |lm〉 . (25)
Dabei haben wir den Eigenwert von ˆ⃗ L
2
also mit ¯h 2 l(l + 1) bezeichnet, was
die korrekte Einheit hat, wenn l eine einfache Zahl ist. Wir wissen, dass
der Eigenwert ≥ 0 ist, also können wir ihn in dieser (auf den ersten Blick
etwas kompliziert anmutenden) Weise schreiben, die sich später als günstig
herausstellen wird. Es muss gelten l ≥ 0. Den Eigenwert von ˆL z haben wir
¯h m genannt, mit einer reellen Zahl m.
Es wird sich als sehr nützlich herausstellen, die Operatoren
ˆL + = ˆL x + iˆL y ,
ˆL − = ˆL x − iˆL y ≡ ˆL † + (26)
einzuführen. Diese werden wie die Operatoren â † , â beim harmonischen
Oszillator Auf- und Absteigeoperatoren werden, die uns von einem Eigenzustand
zu einem anderen führen. Da ˆ⃗ L
2
mit ˆLx und ˆL y vertauscht, gilt:
[ˆ⃗L
2
, ˆL±
]
= 0 . (27)
Außerdem ist
[ˆL + , ˆL z ] = [ˆL x + iˆL y , ˆL z ]
(19)
= −i¯hˆL y + i 2¯hˆL x = −i¯hˆL y − ¯hˆL x
= −¯hˆL + . (28)
Genauso zeigt man:
[ˆL − , ˆL z ] = ¯hˆL − . (29)
6