Kurzskript zur Vorlesung Quantenmechanik I, Prof. W. Vogelsang ...

ei Wirkung auf die Wellenfunktion ψ(r, θ, ϕ) vertauschen Ableitungen nach
r mit denen nach den Winkeln. Außerdem vertauscht ˆ⃗ L
2
mit sich selber.
Damit folgt (6).
In ähnlicher Weise finden wir
[
Ĥ, ˆLz
]
= 0 . (7)
Es ist ja ˆL z = ¯h i
1 ∂ 2
r
∂
∂ϕ , was sofort bedeutet, dass ˆL z mit den radialen Anteilen
r und V (r) in
∂r Ĥ vertauscht. ˆLz vertauscht aber auch mit ˆ⃗
2
L : Die
2
Ableitungen nach θ in (2) haben keine Vorfaktoren, die ϕ enthalten und
vertauschen damit mit ∂/∂ϕ. Ebenso vertauscht der Term ∂ 2 /∂ϕ 2 in (2)
mit ∂/∂ϕ. Insgesamt folgt also (7). Wir können ebenfalls zeigen, dass
[
Ĥ, ˆLx
]
=
[
Ĥ, ˆLy
]
= 0 . (8)
Dies benötigt eine etwas längere Rechnung. Da wir später auf leichtere Weise
zu diesem Ergebnis kommen werden, verzichten wir an dieser Stelle auf den
Beweis. Insgesamt haben wir also:
[
Ĥ, ˆ⃗ L
]
= 0 . (9)
Dies gilt generell für Zentralkraftprobleme. Welche Bedeutung hat diese
Gleichung? Wir erinnern uns an die klassische Mechanik. Dort galt für Zentralkraftprobleme
mit Koordinatenursprung im Kraftzentrum die Drehimpulserhaltung.
Man kann diese schreiben als
d
dt ⃗ L =
{ ⃗L, H
}
= 0 , (10)
wobei {. , .} die Poisson-Klammer bezeichnet. Die Erhaltung des Drehimpulses
entspricht also dem Verschwinden der Poissonklammer mit der Hamiltonfunktion.
In der Quantenmechanik hatten wir in I.2.6. die Heisenberg-
Gleichung kennen gelernt:
d
dt
〈ˆ⃗L
〉
= ī h
〈[Ĥ, ˆ⃗ L
]〉
. (11)
Da die rechte Seite nach Gl. (9) verschwindet, folgt also, dass für Zentralprobleme
die Erwartungswerte des Drehimpulsoperators erhalten sind.
2