Kurzskript zur Vorlesung Quantenmechanik I, Prof. W. Vogelsang ...

Wir können diese Regel auf jeden der vier Terme in (15) anwenden. Dabei
sehen wir, dass die rechte Seite von (17) verschwindet, wenn die vier Operatoren
Â, ˆB, Ĉ, ˆD miteinander vertauschen. Auf der rechten Seite von (15)
ist dies der Fall für den zweiten und den dritten Term. Vom ersten und
vierten Term gibt es jeweils nur dann einen Beitrag, wenn ẑ und ˆp z in einem
Kommutator aufeinandertreffen. Für den ersten Term in (15) trägt daher
z.B. nur der Term Â[ ˆB, Ĉ] ˆD in (17) bei, und man hat insgesamt:
[ˆL x , ˆL y ] = ŷ [ˆp z , ẑ]
} {{ }
=−i¯h
= i¯h (ˆxˆp y − ŷˆp x )
ˆp x + ˆx [ẑ, ˆp z ] ˆp y
} {{ }
=i¯h
Genauso findet man:
= i¯hˆL z . (18)
[ˆL z , ˆL x ] = i¯hˆL y ,
[ˆL y , ˆL z ] = i¯hˆL x . (19)
Also haben wir eine ”zyklische” Vertauschungsregel: Man erhält die nächste
Kommutatorrelation, wenn man den Operator auf der rechten Seite nach
links bringt und die anderen Operatoren ”eine Stelle” weiter nach rechts
schiebt. Die Drehimpulskomponenten bilden unter Kommutation eine Algebra,
die geschlossen ist (d.h. sie ”bleiben untereinander”). Wir können
Gln. (18),(19) übrigens auch kompakt schreiben als
[ˆL i , ˆL j ] = i¯h
3∑
ε ijk ˆLk , (20)
mit dem ε-Symbol, das wir in Übungsaufgabe 36 im letzten Semester kennen
gelernt hatten. Dort hatten wir auch gesehen, dass die klassischen Drehimpulse
eine zu (20) analoge Relation für die Poisson-Klammern erfüllen.
Als nächstes berechnen wir
]
2
[ˆ⃗L , ˆLz =
[ˆL2 x + ˆL 2 y + ˆL 2 z, ˆL
]
z =
[ˆL2 x + ˆL 2 y, ˆL
]
z
k=1
= ˆL x
[ˆLx , ˆL
]
z +
[ˆLx , ˆL
]
z
ˆLx + ˆL y
[ˆLy , ˆL
]
z
} {{ } } {{ } } {{ }
=−i¯h ˆL y =−i¯h ˆL y
= −i¯hˆL x ˆLy − i¯hˆL y ˆLx + i¯hˆL y ˆLx + i¯hˆL x ˆLy
[ˆLy , ˆL z
]
+
} {{ }
=i¯h ˆL x =i¯h ˆL x
= 0 . (21)
ˆLy
4